Ensayo

El modelo de crecimiento económico Solow-swan aplicado a la contaminación y su reciclaje

The Solow-swan model of economic growth applied to pollution and its recycling

Darío Ibarra Zavala¹

¹Unidad Académica Profesional Nezahualcóyotl, UAEM y Laboratorio de Análisis Económico y Social, A. C. Correo-e: darioibarra@yahoo.com

Fecha de recepción: 18 de enero de 2011;
Fecha de aceptación: 30 de julio de 2012.

RESUMEN

El presente trabajo combina el modelo de crecimiento económico de Solow-Swan con la generación y absorción de la contaminación. A partir de la siguiente premisa: la producción depende no solo del trabajo y del capital, sino también de la materia prima disponible en la economía. La incorporación de la materia prima al modelo permite que este sea más real mientras se conserven los supuestos típicos. Por otra parte, la contaminación surge como residuo de los procesos productivos, y se reduce debido a la capacidad de la naturaleza para absorber los contaminantes del medio ambiente. Al considerar el reciclaje de la contaminación en el modelo tradicional de crecimiento económico Solow-Swan, el impacto a largo plazo se refleja en la obtención de un mayor nivel de capital, como resultado de un incremento en la materia prima disponible y de un menor grado de contaminación a causa de la reutilización de los desperdicios generados en el proceso productivo. Esto ocurre porque, aun si se mantiene la tasa de ahorro en la economía constante, el reciclaje se traduce en un desplazamiento de la función de producción, el cual tiene el impacto equivalente a un cambio tecnológico. Con ello, el capital per cápita aumenta en la fase estacionaria, y el nivel de contaminación disminuye en virtud de que el reciclaje ayuda a que la naturaleza la absorba.

Palabras clave: Capital natual, contaminación, crecimiento económico, equilibrio de largo plazo, modelo Solow-Swan, reciclaje.

ABSTRACT

The present work combines the Solow-Swan model of economic growth with the generation and absorption of pollution. Our starting point is the assumption that production relies not only on labor and capital, but also on the raw materials available in the economy. The incorporation of the raw materials renders the model more real while maintaining typical assumptions. On the other hand, pollution is a by-product of production processes and its reduction is a consequence of nature's ability to absorb pollutants from the environment. Upon considering the recycling of the contamination in the traditional model of economic growth Solow-Swan, the long-term impact is reflected in the obtainment of a higher level of capital, as a result of the increased availability of raw materials and of the reduction of pollution on account of the recycling of the wastes generated in the production process. This occurs because, even if the savings rate in the economy remains steady, the recycling causes an upward shift in the production function whose impact is similar to that of technological change. As a result of this the capital per cápita increases in the stationary phase, and the level of pollution diminishes because recycling helps nature absorb it.

INTRODUCCIÓN

El modelo de crecimiento económico de Harrod (1939) y Domar (1946) fue pionero en incorporar la acumulación del capital y el crecimiento económico en el largo plazo, y dio origen al desarrollo de otros con más flexibilidad e información en su análisis, como el Solow-Swan (Solow, 1979), el de Ramsey (1928), y otro cuyo principal marco teórico es el de "generaciones traslapadas" (OLG por su nombre en inglés, Overlaping Generations) atribuido a Diamond (1965). La mayoría de estos sugieren la existencia de dos factores productivos: trabajo y capital; a partir de los cuales se conforma un proceso de optimización intertemporal por parte de los consumidores; por ejemplo, el de Ramsey y el OLG, o bien el ahorro puede estar dado exógenamente, como en el caso de Solow-Swan, de modo que no existe dicho proceso.

El análisis de los modelos se centra en el nivel de capital y consumo de largo plazo, y en su estabilidad e implicaciones, en términos de política económica; ejemplo de ello son los de Blanchard y Fischer (1989), Barro y Sala-i-Martin (1995) y Sala-i-Martin (2000).

Un enfoque olvidado en la literatura sobre crecimiento económico es el de los recursos naturales, cuyo análisis se basa en su explotación y en la sustentabilidad de la economía, bajo la premisa de la existencia de capital natural suficiente para producir. Con todo, hay dos elementos que no han recibido suficiente atención: la presencia de la contaminación y el papel que el reciclaje podría tener en el abatimiento de la misma y en el crecimiento económico. Esto se observa en textos relevantes de la teoría del crecimiento económico de Blanchar y Fischer (1989), Barro y Sal-i-Martin (1995), Sala-i-Martin (2000) y, más recientemente, De La Croix y Michel (2002).

El modelo de Solow-Swan plantea que el crecimiento económico no solo es función del trabajo y el capital, sino también de la materia prima que será transformada por medio del proceso productivo hasta obtener el bien final, el cual puede ser consumido o invertido. Se reconoce que la contaminación se genera en paralelo a la producción o que esta origina residuos; es decir, se produce contaminación después de utilizar los bienes y servicios, en consecuencia, el modelo asume su preexistencia.

La dinámica del crecimiento económico y la contaminación produce un equilibrio estable en el largo plazo. Cuando en términos económicos se hace algún esfuerzo por reciclar, se obtienen dos efectos: 1) se reduce la contaminación, y 2) existe un volumen superior de materia prima, lo que en el largo plazo permite un mayor crecimiento económico. Por ende, el reciclaje tiene un doble efecto positivo en el largo plazo: una reducción de la contaminación y un mayor producto.

La presente contribución se divide en tres secciones: la primera incluye los modelos de crecimiento económico ecológicos; y en la segunda se describen las características del modelo de Solow-Swan, el cual sirve de referencia para la tercera parte, donde se incorpora la materia prima en estado virgen, la materia prima reciclada, así como la dinámica de la contaminación. Se determina que bajo condiciones específicas el equilibrio en el largo plazo se mantiene estable.

La mayoría de los modelos de crecimiento económico asumen que los recursos naturales convertidos en materia prima son abundantes y no se agotan. Autores como Sala-i-Martin (2000) hacen su análisis con tres tipos de modelos: tasas de ahorro e inversión constantes; de optimización dinámica; y con crecimiento endógeno, mas no refieren el tema de los recursos naturales. Barro y Sala-i-Martin (1995) incorporan ahorro e inversión constantes, optimización intertemporal, crecimiento endógeno, economías abiertas y cerradas. Asimismo, su aportación es la inclusión de capital humano; sin embargo, una vez más dejan de lado los recursos naturales y el medio ambiente.

La revista española Cuadernos Económicos de ICE dedica el número 58 (1994) a la teoría del crecimiento económico; en ella se describen los modelos de crecimiento endógeno y se aborda el tema de la convergencia económica, el papel de los mercados financieros en el crecimiento de la economía, la importancia del sector público, el análisis de la población y el equilibrio político-económico, y el crecimiento económico. En estos trabajos persiste la ausencia de la incorporación de los recursos naturales y la contaminación.

Foley y Michl (1999) utilizan el enfoque clásico, es decir, parten de las premisas de Smith (2003) y Ricardo (1987)), y elaboran modelos cuyos resultados no difieren significativamente de los propuestos por Solow (1956) y Ramsey (1928). En particular, su modelo Ricardiano plantea el tema de la tierra como un factor productivo escaso, lo cual sirve como preámbulo al caso más general de crecimiento económico con recursos agotables. Y propone que conforme se agoten los recursos su precio se incrementará hasta hacer rentable el uso de otras tecnologías. En todo caso, Foley y Michl abordan temas que tradicionalmente no se estudian en la literatura del crecimiento económico.

Solow (1986) critica los modelos de crecimiento económico por no tomar en cuenta los recursos naturales; y considera a los modelos de generaciones traslapadas como la mejor opción para tratarlos, además establece que las utilidades de las generaciones futuras deben ser, al menos, iguales a las de la generación actual; y propone que el capital natural, como mínimo, se mantenga constante. Jouvet et al. (2000) coinciden con dicho autor en términos de modelar a través de generaciones traslapadas y sugieren que existe el altruismo intergeneracional, que se manifiesta cuando la contaminación alcanza niveles críticos. Señalan que brindar poca atención a las generaciones futuras implicaría un mayor consumo actual en detrimento del capital natural del porvenir.

Por otro lado, Howarth y Nogaard (1990) crean un modelo de tres generaciones traslapadas y enfatizan la necesidad de que los derechos de propiedad sobre los recursos naturales corresponden a la generación joven, a fin de evitar que las maduras y viejas los agoten. John y Pecchenino (1997) indican que el problema de las externalidades ambientales no solo es intergeneracional, sino internacional; por ello, sugieren la creación de un organismo que integre ambos aspectos, que será responsable de regular el uso de los recursos naturales, y de la emisión de contaminantes.

Otros modelos de crecimiento económico ecológico centran la discusión en la equidad intergeneracional, los mercados incompletos y el altruismo (Doeleman y Sandler, 1998; Krautkraemer y Batina, 1999); estos se fundamentan en el modelo de generaciones traslapadas con diferentes variantes y supuestos. Brock y Taylor (2004) desarrollaron el Modelo Ecológico de Solow (Green Solow Model) que incorpora los elementos contaminación, tecnología y costo de abatimiento de la contaminación; y concluyeron que en el largo plazo el cambio tecnológico ayudará a erradicar la contaminación. Su principal aporte es la integración de la contaminación al modelo de Solow, lo cual originó la Curva Ecológica de Kuznets; es decir, la relación entre el cociente contaminación/producción contra la producción. Dicha curva tiene forma de "U" invertida y muestra que para bajos niveles de producción, un país tenderá a contaminar más; eventualmente, la tasa de contaminación declinará. Así, cuanto mayor sea el crecimiento económico de una nación, menor será la emisión de contaminantes. No obstante, en la investigación se excluye, de forma explícita, el tema de la materia prima virgen y de la reciclada.

La información sobre crecimiento económico ha evolucionado; de tal forma que se han tornado más complicados y realistas, mediante la incorporación de nuevos elementos. A lo largo de la revisión bibliográfica se observa una constante: se aborda una característica determinada (como el capital humano) y se dejan de lado otros factores (el capital natural o la contaminación). La razón es simple: cuanto más variables tiene el modelo, su tratamiento y entendimiento es más complicado. El mismo camino se ha seguido en el presente trabajo, no se considera el cambio tecnológico ni el capital humano, en cambio, se agregan los elementos recursos naturales y contaminación. Los resultados no cambiarían de manera drástica al incorporar la tecnología u otros tipos de capital, pero lo complicarían más. Por ello, en aras de la simplicidad, se restringe al trabajo a capital físico, recursos naturales y contaminación.

El modelo de Solow-Swan

En su trabajo original, Solow (1979) plantea una función de producción con rendimientos constantes a escala, o bien, homogénea de grado uno. El supuesto es fundamental, ya que la mayoría de los libros de texto lo utilizan para expresar la dinámica del capital en términos per cápita. Aunque existen variantes del modelo en los que se incluyen el cambio tecnológico, el capital humano y el capital natural; el análisis no se modifica de manera drástica. Por tanto, este ensayo se refiere a la materia prima y el análisis de la contaminación.

Antes de abordar el modelo de Solow-Swan a través de los pasos de Sala-i-Martin, se asume que la productividad marginal de los factores es positiva, pero decreciente, y que la productividad marginal del capital se aproxima a cero cuando el capital tiende a infinito, y a infinito cuando el capital tiende a cero. Esto satisface las condiciones de nada; lo mismo se aplica al caso del factor trabajo.

Así, la función de producción es:

Donde:

Y= Producto total de la economía
L= Factor trabajo de la economía ]]> K= Capital utilizado en la economía

Donde se satisface:

Dinámica del trabajo. Se considera que la población crece a una tasa constante n, y que la oferta de trabajo se contrata inelásticamente y es igual al total de la fuerza de trabajo de la economía.

De modo que:

Donde:

De (4) se infiere que:

Lo que implica que:

Dinámica del capital. Dado que la función de producción es homogénea de grado uno:

Como se sabe, la dinámica del capital es la siguiente:

Donde:

s= Tasa de ahorro de la economía

δ= Tasa de depreciación del capital

En términos per cápita:

Por lo tanto:

Derivando con respecto al tiempo:

Es decir:

Análisis de estabilidad. El modelo será estable si la derivada del cambio en el capital, con respecto al mismo capital es negativa, esto es si:

Es decir, se requiere que la productividad per capita del capital multiplicado por la tasa de ahorro sea inferior al crecimiento de la población, más la tasa de depreciación. Bajo las condiciones de la función de producción propuesta es muy probable que (11) se cumpla; por lo tanto, la dinámica corresponderá a la que se muestra en la Figura 1.

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Con base en lo anterior, la mayoría de los artículos que utilizan este modelo explican el ahorro de "la regla de oro", introducen el cambio tecnológico, el capital humano y el natural, y observan la nueva dinámica a partir de los cambios mencionados. En el presente documento se omite tal discusión y se orienta en la posibilidad de que exista reciclaje en el modelo.

La materia prima y el crecimiento económico 

La función de producción se plantea como:

Y= Producto total

L= Mano de obra de la economía

MP= Materias primas disponibles en la economía  

Se asume que la función de producción es HDG-1 o en sus tres insumos, por tanto, la función se puede expresar en términos per cápita como:

Un ejemplo de lo anterior es la función de producción tipo Cobb-Douglas:

Las materias primas tienen el siguiente comportamiento:

Donde:

MV= Materia prima virgen

MR= Materia prima reciclada

En términos per cápita:

Si se considera que la mp es constante en el tiempo y que no existe reciclaje (es decir, mr= 0), el problema se reduce al modelo de Solow, donde se puede analizar la dinámica del capital, el estado estacionario, la regla de oro, etcétera.

Para el caso de la función de producción Cobb-Douglas, la función es la siguiente:

y = Ak ^ß

Donde:

A = mp ^Y

Es decir, la materia prima podría asumirse como una constante. Sin embargo, interesa el caso donde la materia prima no es fija, por ello es que se estudia su dinámica:

Dinámica de la Materia Prima. La Materia Prima (MP) se descompone en Materia Prima Virgen (MV) y Materia Prima Reciclada (MR). En una primera aproximación, se considera que no existe reciclaje; es decir, MR= 0. Después, se analiza el comportamiento de la MP cuando la MR es distinta de cero.

Dinámica de la Materia Prima Virgen. En el primer caso se cumple que MP= MV. En el modelo se acepta que la MV crece de manera natural en la economía, pero decrece a medida que se usa en los procesos productivos, de este modo:

De modo tal que:

m= Tasa de crecimiento de los recursos naturales

d= Tasa de decrecimiento consecuencia del uso de los mismos en los procesos productivos

El análisis de interés es el caso per cápita; por lo tanto, se tiene que determinar la dinámica en esos términos. La MP y la MV se obtienen de las ecuaciones (14) y (16):

De donde se infiere que:

De esta ecuación se deduce que la estabilidad de mv se alcanza cuando m= d+n; es decir, la tasa de reposición de la naturaleza debe ser igual a la tasa que se utiliza, más la tasa de crecimiento poblacional. Si m>d+n, la mp crecerá de forma indefinida. Por el contrario, m<d+n, la materia prima per cápita decrecerá exponencialmente. Si m=d+n, entonces se trata del modelo de Solow clásico. La Figura 2 ilustra la dinámica de la materia prima.

Si la mp disponible variara, se podrían obtener diferentes funciones de producción (Figura 3).

En la Figura 3 mp'>mp, por lo que para el mismo nivel de capital la producción es mayor; mp"<mp, por lo que, igualmente, para el mismo nivel de capital el producto es menor. Si la mp crece, el producto también lo hará, si se reduce el producto decrecerá. En el extremo, ante el eventual agotamiento de los recursos naturales, el producto total será cero.

En las figuras 2 y 3 se observa que es importante permitir que el medio ambiente se regenere para producir en el largo plazo. El riesgo de efectuar una explotación irracional es que simplemente no habrá materia prima que pueda ser convertida en bienes o servicios en el largo plazo. De ahí la relevancia de producir con una tasa de explotación que permita a la naturaleza regenerarse.

Si la mp cambia, el capital de largo plazo también lo hará (Figura 4).

La presencia del reciclaje incrementa la mp disponible; por ende, se podría alcanzar un nivel de capital en el estado estacionario como k***.

En presencia de reciclaje la materia prima deviene en:

MP= MV + MR

Donde:

MP= Materia Prima

MV= Materia Prima Virgen

MR = Materia Prima Reciclada

La MR es un porcentaje de la contaminación recuperada e incorporada en el proceso productivo. El análisis de esta dinámica se estudia a continuación. Por ahora basta saber que la contaminación se refiere a desperdicios generados antes, durante los procesos productivos o después del consumo de los mismos; por ejemplo, el ruido producido por las fábricas; así como el humo que generan estas, y los vehículos automotores; además de los desperdicios procedentes de los bienes consumidos (como envolturas).

Es decir, la contaminación (P) es un porcentaje del producto total.

Caracterizada la contaminación, se define la MR como la parte de la materia contaminante (a) rescatada e incorporada en el proceso productivo. De este modo:

En términos per cápita:

Se incorpora la MR en la MP:

MP = MV + MR

En términos per cápita:

De la ecuación (18) se infiere que:

Esto implica que habrá más cantidad de materia disponible en la economía. En consecuencia, el nivel de capital del estado estacionario será mayor.

Análisis de la contaminación

La contaminación tiene la siguiente dinámica:

La naturaleza por sí misma absorbe parte de la contaminación; adicionalmente, si existe reciclaje, la materia reciclada deja de ser contaminación, de tal forma que el cambio en esta última se da por:

Que deviene en:

Donde:

a = Tasa a la que la naturaleza absorbe la contaminación

MR= Materia prima reciclada

En términos per cápita:

In p = 1n P - ln L

Por tanto:

De donde:

Que deviene en:

Análisis de estabilidad 

Dado que se asumió por construcción que a > 0, n > 0, se concluye que el nivel de contaminación será estable en el largo plazo (Figura 5).

Dinámica de la contaminación y el capital sin reciclaje

En ausencia de reciclaje (mr = 0), las ecuaciones 28 y 29 determinan la dinámica de la economía:

El estado estacionario se alcanza cuando ambas ecuaciones son iguales a cero (Figura 6):

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Estabilidad del sistema

Para determinar si el sistema es estable se requiere determinar los valores característicos del Jacobiano, del sistema de ecuaciones:

La solución de la ecuación anterior es:

Por lo que se concluye que el sistema es estable como lo ratifica el análisis gráfico (Figura 7).

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No es difícil observar que los valores característicos del jacobiano del nuevo sistema coinciden con los del caso previo, por lo cual se determina que este sistema también es estable.

El análisis gráfico permite observar que el reciclaje conduce a la economía a un nivel de capital de estado estacionario mayor que cuando no lo hay (k**>k*), mientras que el nivel de contaminación se reduce en presencia de reciclaje. Esto indica que reciclar conviene no sólo en términos de abatimiento de contaminación, sino también implica un nivel de capital y, por ende, más cantidad de producto.

Dinámica de la contaminación y el capital con reciclaje

La incorporación del reciclaje modifica ligeramente al sistema de ecuaciones diferenciales:

De esta forma, el nuevo estado estacionario se muestra en la Figura 7.

La materia prima se transforma mediante el proceso productivo, el cual también utiliza trabajo y capital para obtener el producto final. Si es estable, corresponde al modelo de Solow-Swan tradicional; si la materia prima se consume con rapidez, se podría llegar al extremo de agotarla y dejar de producir; en cambio si aumenta, sería factible tener mayor crecimiento económico en el largo plazo.

La contaminación surge por el hecho de producir. Todo proceso productivo inevitablemente genera residuos. La dinámica del capital y la contaminación revisados indican que el equilibrio de largo plazo es estable.

La incorporación del reciclaje tiene un impacto doble: reduce la contaminación y provee a la economía de mayor materia prima disponible; por ello, en el equilibrio de largo plazo la contaminación se reduce y los niveles de producción y capital son superiores a los registrados en ausencia de reciclaje. En conclusión, el modelo demuestra que bajo las condiciones típicas del modelo de Solow, a la economía le conviene reciclar sus desperdicios.

REFERENCIAS

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