Aleatoriedad de una serie de precipitación en el estado de Veracruz, México*

Randomness of a series of precipitation in the state of Veracruz, Mexico

Miguel A. Velásquez Valle^1§, Gabriel Díaz Padilla², Jesús A. Muñoz Villalobos¹, Rafael Alberto Guajardo Panes² e Ignacio Sánchez Cohen¹

¹Centro Nacional de Investigación Disciplinaria en Relación Agua-Suelo-Planta-Atmósfera. INIFAP. Margen derecha Canal Sacramento, km 6.5. C. P. 35140. Gómez Palacio, Durango. (villalobos.arcadio@inifap.gob.mx), (sanchez.ignacio@inifap.gob.mx). ^§Autor para correspondencia: velasquez.agustin@inifap.gob.mx.

* Recibido: febrero de 2011
Aceptado: julio de 2011

RESUMEN

Ante un eminente cambio en las tendencias de los estadísticos, que describen las series de tiempo de información climática en las últimas décadas, es necesario caracterizar adecuadamente las series de tiempo, con el propósito de aumentar el grado de predicción de las variables involucradas. El objetivo es presentar el análisis de la información pluviométrica considerando el análisis fractal, con el propósito de explicar el grado de aleatoriedad de la serie de tiempo, desde un punto de vista multiescalar en tiempo. En el estado de Veracruz, la estación meteorológica "Las Vigas" es representativa de la región conocida como Las Vigas de Ramírez y se encuentra ubicada en la zona centro del estado. La longitud de la serie de tiempo de la estación es de 85 años. A partir de esta base de datos se generaron archivos para las escalas diaria, decenal, mensual y anual. Estos mismos archivos se guardaron como series de tiempo con la extensión *.ts, para calcular el exponente de Hurst, utilizando los métodos de referencia de ondoletas (H_w) y el Rango Re-escalado (H_R/S), diseñados para el análisis de los patrones auto-afines con el programa comercial Benoit®. Se presentan los valores del exponente de Hurst para las escalas de tiempo diario (H_R/S= 0.26 y H_w= 0.22) y valores promedio para las escalas decenal (H_R/S= 0.25 y H_w= 0.20), mensual (H_R/S= 0.26 y H_w= 0.09) y Anual (H_R/S= 0.24 y H_w= 0.21). Ambos métodos de referencia indican un comportamiento anti-persistente de las series multiescalares de tiempo, con una tendencia a la volatilidad.

Palabras clave: anti-persistencia, exponente de Hurst, grado de aleatoriedad, precipitación.

ABSTRACT

Key words: anti-persistence, degree of randomness, Hurst exponent, precipitation.

INTRODUCCIÓN

Por la complejidad en el entendimiento del funcionamiento y estructura de algunos procesos o fenómenos de un sistema, se ha señalado que posee un comportamiento caótico o con falta de orden. Estos sistemas son extremadamente sensibles a las condiciones iníciales, por lo que pequeñas variaciones en ellas pueden hacer impredecible el comportamiento futuro (Guégan y Leroux, 2009). Este comportamiento errático es una respuesta compleja (no-lineal) del sistema en función de su dinámica en el tiempo y de su variabilidad en el espacio. La dinámica no-lineal estudia aquellos sistemas que responden de manera no proporcional a un estímulo y la magnitud de la respuesta es aparentemente impredecible (Martínez, 2000). Es por esta razón que no existe un buen ajuste entre los valores observados o simulados con la línea de tendencia de modelos como los lineales.

En este contexto, la capacidad predictiva de los modelos está limitada por diversos factores o circunstancias. Algunos errores de los modelos son atribuibles a la falta de aproximación a la realidad; es decir, al desconocimiento del funcionamiento o estructura del sistema que de desea simular (Sánchez et al., 2005). Como consecuencia, pequeños errores desde el inicio de la simulación pueden crecer durante el proceso y generar información equivocada (sub o sobreestimada). Una manera de tener una buena aproximación del sistema es conocer el tipo de estructura que lo conforma. El patrón estructural del sistema contiene información que nos permite conocer su funcionamiento y en un determinado momento entender la complejidad que está detrás del sistema; la cual produce la serie de tiempo (Sánchez, 2008).

El clima como un sistema caótico, en la actualidad y a una escala global cada año se manifiestan una serie de eventos climatológicos fuera de tiempo y espacio, que han ocasionado disturbios ecológicos, biológicos e incluso la pérdida de vidas humanas. Por el comportamiento errático, aleatorio y poco predecible del clima se puede clasificar como un sistema caótico o no-lineal (Lima et al., 2003). En particular de una región, la variación en los promedios del clima pueden ocurrir debido a pequeños cambios en el periodo, que es observable o bien cuando la ocurrencia de eventos extremos logran alterar esos promedios.

Por otro lado, la ocurrencia de eventos extremos (Wang y Zhou, 2005; Da-Quan et al., 2008; Kveton y Zák, 2008) incrementan el grado de aleatoriedad e incertidumbre del clima y por consiguiente es difícil implementar acciones de cualquier tipo, que tiendan a mitigar los efectos de una posible alteración en los patrones climatológicos. Ante un eminente cambio en las tendencias de los estadísticos que describen las series de tiempo de información climática en las últimas décadas, es necesario caracterizar adecuadamente las bases de datos, con el propósito de aumentar el grado de predicción de las variables involucradas. Una de las variables climatológicas de importancia es la precipitación pluvial. La predicción de la precipitación es útil, porque de ella dependen la mayoría de los procesos que regulan la vida en nuestro planeta.

Tradicionalmente las herramientas utilizadas en la predicción de la precipitación, están basadas en el uso de promedios, así como en otras medidas del grado de dispersión de los datos con respecto a la media, los cuales se calcularon utilizando los momentos estadísticos de segundo y tercer (desviación estándar y varianza, respectivamente) y en algunos de ellos son utilizadas probabilidades condicionadas. Los modelos para la generación de información climatológica como el ClimGen y WGen (Richardson y Wright, 1984; Nelson, 2003; respectivamente) requieren de la base de datos este tipo de estadísticos.

Desde la década de los 50's se han desarrollado nuevos conceptos y métodos en el análisis de series de tiempo. Aunado a lo anterior, la geometría fractal ha sido una importante herramienta en la toma de decisiones en lo relacionado con el manejo de los recursos hídricos (Salomão et al., 2009). La dimensión fractal nos permite medir que tantas veces la complejidad está siendo repetida en cada escala y para una serie de tiempo, ayuda a explicar o describir la relación de los incrementos (Breslin y Belward, 1999); una manera de calcular la dimensión fractal es a través del exponente de Hurst.

El objetivo de este estudio es presentar un método alternativo al convencional, para analizar una serie de tiempo con información pluviométrica, con el propósito de explicar el grado de aleatoriedad de la misma, desde un punto de vista multiescalar en tiempo.

MATERIALES Y MÉTODOS

Estación climatológica "Las Vigas"

En el estado de Veracruz, la estación meteorológica "Las Vigas", es representativa de la región conocida como Las Vigas de Ramírez y se encuentra ubicada en la zona centro, con las coordenadas 19º 3 8' latitud norte y 97° 06' longitud oeste, a una altura de 2 484 msnm. En este lugar el clima representativo es templado-húmedo-regular con una temperatura promedio anual de 1 074 mm, registrándose en promedio 97 días con lluvia al año; la temperatura promedio anual es de 25.8 °C. Su suelo es de tipo Andosol y Litosol, el primero se ha formado a partir de cenizas volcánicas y el segundo caracterizado por tener una profundidad menor de 10 cm.

Características de la serie de tiempo de precipitación

Los datos pluviométricos fueron obtenidos de las estaciones meteorológicas de la Comisión Nacional del Agua (CONAGUA) en el territorio nacional. La base de datos de la estación meteorológica "Las Vigas" está conformada por datos diarios. La longitud de la serie de tiempo de la estación es de 85 años (1922- 2007). La distribución del promedio mensual de la información de la serie de tiempo de precipitación pluvial para ésta estación reportada por Díaz et al. (2006) se presenta en la Figura 1.

Generación de los archivos multiescalares en tiempo

A partir de la base de datos diaria de 1922 a 2007, se generaron archivos o series de tiempo a diferentes escalas. La base de datos original corresponde a la escala de valores diaria; totalizando para este periodo de tiempo 31 412 datos. Para la escala decenal se constituyeron archivos por cada decena del año; es decir, el primer archivo decenal correspondió a aquellos valores de precipitación que ocurrieron en los primeros diez días del mes de enero, de cada uno de los 85 años contabilizando para esta escala 860 datos.

La escala mensual se conformó con los valores de precipitación registrados para cada mes de cada año; así, el archivo del mes de enero agrupó los datos de precipitación diaria del mes de enero de 1922, hasta los valores registrados en el mes de enero de 2007 (2 666 datos) y finalmente la escala anual, está constituida por los valores de precipitación registrada cada año, abarcando de esta manera el total de valores de la serie de tiempo original. Estos mismos archivos se guardaron como series de tiempo con la extensión *.ts, para calcular la dimensión fractal y el coeficiente de Hurst utilizando los métodos de referencia de ondoletas (D_w) y del rango re-escalado (D_R/S) diseñados para el análisis de los patrones auto-afines con el programa comercial Benoit® (Benoit, 1997).

Obtención de parámetros fractales Método de ondoletas (D_w)

El método de ondoletas analiza las variaciones localizadas del coeficiente de Hurst, relacionando los datos mediante la descomposición de la traza (serie de tiempo) en tres armónicas dentro del espacio frecuencia-tiempo. Esta descomposición es útil para determinar los tipos de variabilidad que dominan en una serie de datos, así como su dinámica en tiempo. El método es válido para el análisis de las trazas auto-afines, donde la varianza no es constante con el incremento del tamaño de la ventana. La forma de la ondoleta se determina a tiempos espaciados y cuantificando como varía o permanece constante en el tiempo.

El algoritmo considera n transformadas de ondoleta, cada una con su propio y diferente coeficiente de escalado (a_i); donde S₁, S₂........S_n son las desviaciones estándar a partir de cero de los coeficientes de escalamiento respectivo (a_i).

La tasa de variación de las desviaciones estándar G₁, G₂.......G_n-1 se define como:

El valor promedio de G_i se estima a partir de la ecuación:

El coeficiente de Hurst se calcula como:

Donde: f= función heurística, que se usa para aproximar el coeficiente de Hurst por G_promedio para las trazas estocásticas auto-afines (Benoit, 1997). De manera práctica el coeficiente de Hurst es relacionado con la dimensión fractal (D) de la siguiente manera (Carbone et al., 2004).

Método del rango re-escalado (R/S)

Al considerar un intervalo de una traza o serie de tiempo, es posible obtener dos parámetros: el rango de variación de la variable (R_(w)) y la desviación estándar (S_(w)). El primero de ellos es medido con respecto a la tendencia dentro del intervalo. Esta tendencia es estimada simplemente como la unión entre el primero y el último valor dentro del intervalo. El segundo parámetro es la desviación estándar de la primera derivada delta y de los valores de y dentro del intervalo. Las primeras diferencias entre y' se definen como las diferencias entre los valores de y en algún punto x y otro, ubicado en una posición (x-dx) previa sobre el eje x:

Donde: delta x(dx) es el intervalo de muestreo; es decir, el intervalo entre los dos valores consecutivos de x que se están considerando. Una medida confiable de S_(w) requiere que los datos se calculen con un intervalo de muestreo dx constante, porque se busca que las diferencias esperadas entre los valores consecutivos de y sean una función del tipo ley de potencia con la distancia (w) que los separa.

Donde: w= longitud de ventana o intervalo de análisis de los datos y los paréntesis anguladas <R(_w)> denotan el promedio de un número considerado de valores de R(_w). En la práctica, para una determinada longitud de ventana w, uno subdivide la serie de tiempo analizada un número de intervalos de longitud w, mide R(_w) y S_(w) en cada intervalo, y calcula primero para cada ventana R(_w)/S_(w) y posteriormente la tasa promedio de <R(_w)/S_(w)>.

Este proceso se repite para un número de las longitudes de ventana seleccionada por el algoritmo de manera automática y el logaritmo de R(_w)/S_(w) es graficado versus los logaritmos de w. Si la traza es auto-afín, la gráfica debe seguir una línea recta cuya pendiente es igual al coeficiente de Hurst (H). La dimensión fractal de la traza, se calcula a partir de la relación arriba mencionada entre el coeficiente de Hurst y la dimensión fractal.

El coeficiente de Hurst

El coeficiente de Hurst mide la intensidad de dependencia entre los datos y de acuerdo con su magnitud, la serie de tiempo se clasifica como persitente (0.5< H≤ 1), lo que se interpreta que existe dependencia entre un evento y los ocurridos anteriormente; cuando se clasifica la serie de tiempo como antipersistente (0≤H< 0.5), se puede decir que la serie está caracterizada por una tendencia a ser caótica o que sus valores tienen alta volatilidad.

En el caso de que H= 0.5 se concluye que la serie de tiempo es aleatoria y los datos no son correlacionados entre sí; es decir, donde los valores futuros de la serie no son influenciados por lo que ocurre en el presente (Palomas, 2002). Este último caso modela el ruido blanco, la distribución Gaussiana normal o el movimiento Browniano clásico. Los dos casos anteriores describen los movimientos Brownianos fraccionarios. El valor de H permite definir si el comportamiento de datos de la precipitación es persistente o anti-persistente (Burgos y Pérez, 1999; Miranda et al., 2004) y en función de esto hablar del tipo de correlación (positiva o negativa) entre los eventos.

Como parte complementaria al análisis de la información pluviométrica, se obtuvieron los estadísticos básicos que miden la tendencia central (promedio), la dispersión (desviación estándar y coeficiente de variación), así como el coeficiente de asimetría o sesgo y el grado de apuntamiento o curtosis de la serie de tiempo de lluvia.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

El comportamiento temporal de la precipitación en la estación Las Vigas, que caracteriza el patrón estructural para el periodo 1922-2007, se presenta de manera gráfica en la Figura 2. Se observa que la ocurrencia de 15 de eventos de precipitación mayores a 150 mm día-¹; los cuales tienden a desaparecer en la última cuarta parte de la gráfica. En el rango de eventos de 50 a 150 mm día^-1 tienen el mismo comportamiento sólo que a partir de la segunda mitad de la serie de tiempo.

Los eventos cuyos registros oscilaron entre 0 a 50 mm día-¹, tuvieron un patrón estructural constante a través de toda la serie de tiempo; con una pequeña excepción al final, en la que se observa una ligera tendencia a disminuir el número de eventos de precipitación en esta categoría. Esta distribución espacial de los datos dentro de la gráfica bidimensional es importante para definir su dimensión fractal; es decir, el espacio que los datos ocupan el área dentro del espacio bidimensional del gráfico.

Análisis multiescalar en tiempo

El análisis fractal de la serie de tiempo de precipitación de la estación meteorológica "Las Vigas" en el estado de Veracruz a una escala de tiempo diaria, resultó en una caracterización de la misma como anti-persistente, de acuerdo con los métodos de referencia utilizados (H_R/S= 0.26 y H_w= 0.22); es decir, se calcularon valores del exponente Hurst menores a 0.5, lo que indica que los valores de precipitación diaria no ocurren de una manera totalmente aleatoria o con memoria positiva a largo plazo.

Estos resultados concuerdan con lo reportado por Salomão et al. (2009), quienes utilizaron el método del rango re-escalado (R/S) para calcular los valores del exponente de Hurst, para series de registros pluviométricos a una escala diaria; los cuales fluctuaron entre 0.28 a 0.76. Los autores mencionados clasificaron sus resultados en función de la fisiografía del terreno, y encontraron que para planicies con ambientes húmedos o secos la tendencia de las series de tiempo de precipitación se caracteriza por ser anti-persistente. De igual manera, Rehman y El-Gebeily (2009) calcularon el exponente de Hurst por el método de ondoletas, encontrando para las once estaciones de estudio y para un periodo de registros diarios un comportamiento anti-persistente, ya que el valor de H fue menor de 0.5 para todas las estaciones.

En una escala decenal, la relación lineal entre los parámetros fractales y los estadísticos de la serie de tiempo en una escala decenal se presentan en el Cuadro 1. Se encontró una mejor asociación del exponente de Hurst extraído de la serie de tiempo de precipitación, por el método de referencia de rango re-escalado (H_R/S) con los estadísticos de la misma. Se observa que aunque el método de rango re-escalado, utiliza de inversamente proporcional la desviación estándar (ecuación 6), para estimar el exponente de Hurst, no existe una asociación significativa de este estadístico (r= - 0.2) con los valores de exponente H_R/S.

Sin embargo, cuando la desviación estándar es utilizada para calcular el coeficiente de variación y de asimetría, se mejora la relación lineal con los valores decenales del exponente de Hurst. En menor proporción se observa el mismo comportamiento, cuando el exponente de Hurst es estimado por el método de ondoletas (H_w).

El comportamiento temporal de los valores del exponente Hurst extraídos por los métodos de referencia, utilizados a una escala decenal se presenta en la Figura 3. El comportamiento de este parámetro fractal, se ajusto a un modelo polinomial de sexto orden, cuya línea de tendencia y el coeficiente de determinación R² se presentan en la misma figura. De acuerdo con las gráficas en esta figura, se observa que el exponente de Hurst extraído por el método de ondoletas (H_w= 0.2, como promedio decenal) fue más preciso que el método del rango re-escalado (H_R/S= 0.25, como promedio decenal), para detectar la anti-persistencia o volatilidad del comportamiento temporal de los valores del exponente Hurst.

En el periodo de inicio a final del año, se detectó que el exponente de Hurst calculado por el método de ondoletas (Figura 3b), es menor en la etapa más seca del año e inclusive se observa una segunda época de bajos valores (decenas 25 a 27 que corresponden al mes de septiembre). En otras investigaciones realizadas en esta misma escala de tiempo (Burgos y Pérez, 1999) encontraron un valor del exponente H muy similar (H= 0.21) a los encontrados en este estudio. Los autores referidos estimaron el valor del exponente mediante un programa basado en que el valor esperado de (S_n)², está relacionado de manera lineal con el valor de H; de esta manera para diferentes valores de n, el valor de la pendiente de la línea de regresión entre log n y log (S_n)², corresponde al valor del exponente H.

Es importante señalar que el comportamiento temporal a través del año de los valores del exponente de Hurst es opuesto, dependiendo del método utilizado. La tendencia de los valores del exponente de Hurst para el periodo de la decena 7 a 21 en la Figura 3a es descendente; mientras que en la Figura 3b la tendencia de los valores es en sentido contrario. Este comportamiento puede ser aprovechado por el investigador, ya que dependiendo del grado de precisión o enfoque de interés.

Sí el propósito es determinar el máximo nivel de volatilidad de la serie de tiempo, se deberá escoger el método con el cual el valor del exponente de Hurst sea más bajo o cercano a cero; pero si el objetivo es documentar el grado de aleatoriedad, se deberá seleccionar el método de referencia con el cual el valor del exponente de Hurst se aproxime o sea igual a 0.5. Para lograr consensar un mismo resultado del valor del exponente de Hurst con los dos métodos aquí utilizados, es factible la necesidad de calibrarlos previamente vía una estandarización o transformación de la base de datos (Cuadro 2).

A través de los resultados obtenidos por los métodos de referencia, como el rango re-escalado y ondoletas, se puede apreciar que a esta escala temporal, la información de la serie de tiempo de precipitación de la estación "Las Vigas", tiene un comportamiento antipersistente; es decir, no tiene memoria a largo plazo. En la Figura 4b se detecta que los eventos de lluvia que ocurren en los meses previos y al final de la época de lluvia, son totalmente independientes o no dependen de los ocurridos con anterioridad, como sí puede ocurrir cuando de presentan eventos dentro de la época lluviosa del año.

Con respecto a los resultados de la escala anual en la Figura 5, se observa la variación en tiempo de los valores del exponente de Hurst a una escala anual. Contrario a lo que pudiera esperarse a una escala anual, se encontró que las series de tiempo en esta estación meteorológica, contienen una amplia variabilidad durante el año. La información resultante muestra que de manera genérica, la tendencia de la información pluviométrica es antipersistente (Figura 5a); sin embargo, cuando el valor anual del exponente de Hurst es extraído por el método de ondoletas, se detectaron algunos años en los cuales la precipitación ocurrió de una manera aleatoria (Figura 5b).

En esta misma figura la línea de tendencia de los valores graficados, aunque no existe un buen ajuste, claramente nos indica un fenómeno de ciclicidad a través del periodo observado (1922 a 2007). El comportamiento antipersistente que caracteriza a esta estación es atribuible más a un posible efecto de la situación fisiográfica (zona de transición), que a un efecto del tipo de precipitación (comúnmente llamados "nortes").

En una zona de transición varios factores como el viento y su velocidad, cambios en altitud y fisiografía, son determinantes para generar inestabilidad en el patrón estructural de los registros pluviométricos de la región de Las Vigas de Ramírez. Contrario a estos resultados, Pérez et al. (2009) reportan valores del exponente de Hurst calculados por el método del rango re-escalado (R/S), que caracterizan las series de tiempo estudiadas como persistentes (0< H< 0.5), atribuyendo lo anterior a que los incrementos de los valores de precipitación dentro del periodo de muestreo se fortalecen como transcurre el tiempo.

En otro estudio, Amaro et al. (2004) se utilizó el método del rango re-escalado (R/S) y se encontró que en series de tiempo a una escala anual, los valores de precipitación se ajustaron a una distribución fractal. Aunque solo dos de las diez series de tiempo evaluadas presentaron valores del exponente H, para el resto este parámetro fractal osciló entre 0.55 a 0.81; por lo que se documenta que las series estudiadas presentan persistencia a largo plazo.

Esta capacidad de los métodos de referencia de la teoría fractal de extraer propiedades de las series de tiempo, puede ser utilizada o aprovechada en otros modelos de generación de series sintéticas o bien como un factor de ajuste entre los valores observados y simulados, por los modelos que actualmente son utilizados; principalmente cuando no se observa el fenómeno de invarianza al escalado espacial o temporal. La generación de estos modelos "híbridos" debe ser validada aún más cuando se presenta en la actualidad, un incremento en el grado de incertidumbre en la predicción de variables climáticas.

Invarianza al escalado en tiempo

Como una propiedad importante y distintiva de los objetos fractales, es que a pesar de cambiar la escala de medición, éstos conservan sus propiedades estructurales. En el caso de la serie de tiempo estudiada, en el Cuadro 3 se observa que los parámetros fractales extraídos de la misma, son similares entre a diferentes escalas de tiempo y entre métodos (con excepción del valor de H_w a una escala mensual).

La aportación de los resultados calculados y observados en el Cuadro 3, es que existe la posibilidad extrapolar información pluviométrica entre diferentes escalas de tiempo, para esta estación meteorológica en particular, debido que el patrón estructural de cada una de ellas es similar o tiene el mismo comportamiento fractal; espacialmente sí el exponente de Hurst es extraído por el método del rango re-escalado (R/S).

CONCLUSIONES

De acuerdo a los parámetros fractales (exponente de Hurst), se presenta un fenómeno de invarianza al escalado en tiempo de esta serie de tiempo, cuando es utilizado el método de referencia rango de re-escalado (H_R/S).

Es necesario presentar información generada por un modelo "híbrido" de esta variable, en la cual se utilice el valor del exponente de Hurst, como un parámetro adicional a los estadísticos básicos y comparar el grado de precisión en la predicción pluviométrica, al utilizar un generador de series de tiempo "híbrido" y el comúnmente utilizado o convencional.

LITERATURA CITADA

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