La estructura lógica de la teoría clásica de las finanzas

Adolfo García de la Sienra¹,*

Instituto de Filosofía, Facultad de Economía, Universidad Veracruzana, E–mail: asienrag@gmail.com.

Fecha de recepción: 28/09/2009
Aceptación: 10/05/2010

Resumen

En este artículo se presenta de manera completa, rigurosa y compacta, la teoría clásica de las finanzas (TF). No pretende introducir teoremas novedosos, sino sólo entretejerlos usando un método que nunca ha sido utilizado en la demostración de representaciones de utilidad: el teorema de Tarski (1957) sobre puntos fijos de retículos. Define explícitamente los conceptos típicos aplicados en la teoría y práctica de las finanzas a partir de la noción filosóficamente fundamental de la racionalidad: el concepto de preferencia. La contribución del trabajo consiste en presentar de manera compacta, ordenada, rigurosa y abstracta, las definiciones y teoremas fundamentales, así como en proveer demostraciones novedosas de éstos. El trabajo culmina ofreciendo una explicación general del conocido concepto de portafolio aprovechando el desarrollo abstracto que le precede. Es de esperarse que el trabajo tenga una utilidad didáctica en la enseñanza de la TF.

Palabras clave: metodología de la economía, finanzas, utilidad esperada, riesgo, portafolios.

Clasificación JEL: B41, D81, G11

Abstract

In the present paper classical financial theory (TF) is presented in a complete, rigorous and compact way. It does not intend to introduce novel theorems, but only to interweave them using a method that has never been used in the demonstration of utility representations: Tarski's (1957) theorem on fixed points of lattices. It defines explicitly the typical concepts applied in financial theory and practice, starting with the philosophically fundamental notion of rationality: the concept of preference. The contribution of the paper consists of presenting the fundamental concepts and theorems in a compact, orderly, rigorous and abstract way, as well as in providing novel proofs of the latter. The paper ends by offering a general explanation of the well–known concept of portfolio, taking advantage of the preceding abstract development. Hopefully, this work will be useful in the teaching of TF.

Motivación

Después de presentar con bastante detalle los fundamentos de la TF, procedo a definir los conceptos relevantes para las finanzas y a explicar los detalles metodológicos de su aplicación.

Fundamentos

El concepto fundamental de la TF es el de preferencia regular (a veces llamada "racional"), el cual se introduce en la siguiente definición.

DEFINICIÓN 1 es una estructura de preferencia regular syss existen P y tales que

Decimos que una relación de preferencia que satisface las condiciones (2)–(5) de la definición 1 es regular. La siguiente definición introduce las relaciones que vienen lógicamente asociadas a .

DEFINICIÓN 2 Sea una estructura de preferencia regular. Definimos los siguientes conceptos:

(1) Si p,q P, decimos que p es estrictamente preferido a q y escribimos p q syss no es el caso que qp. Decimos que es la parte asimétrica de .

(2) Si p, q P, decimos que p es indiferente a q y escribimos p ~ q syss q p y p q .

La relación es calificada como asimétrica porque efectivamente lo es. Ello se demuestra más abajo (véase el lema 1).

DEFINICIÓN 3 es una estructura de preferencia estricta syss existen P y tales que

El siguiente lema es inmediato y solamente recoge las propiedades elementales de la relación de preferencia estricta.

LEMA 1 Sea una estructura de preferencia estricta. Entonces:

Demostración: Supóngase que p q. Esto significa que p q pero no q p. Si q p tendríamos que q p pero no p q. Pero esto es incompatible con lo primero.

Si fuera reflexiva, tendríamos p p y, por la asimetría de , inferiríamos que no es el caso que p p , obteniendo una contradicción.

Supóngase que p q y q r. Si p, como p q implica p q, tendríamos r q, por la transitividad de . Pero ello contradice q r.

Mostraré por inducción sobre la longitud de las secuencias la aciclicidad de . Es inmediato, por la asimetría de , que si p_l p₂ entonces no es el caso que p₂ p_l. Supóngase que la proposición vale para n–1 y considérese la secuencia p₁ p₂... p_n–1 p_n. Si p_n p₁, tendríamos por transitividad que p p contrariamente a la hipótesis.

Finalmente, sean p, q, r elementos de P y supóngase que p q.Si r ~ q, se tiene p r; si r ~ p, se tiene r q. Si r no es indiferente ni a p ni a q, sólo hay tres posibilidades: rpq, prq y pqr. En el primer caso se tiene r q, en el segundo tanto p r como r q, y en el tercero p r.

La motivación económica para introducir es la de comparar diferentes "loterías" sobre un cierto conjunto de "premios". El concepto de lotería se define, de manera precisa, como una distribución simple de probabilidad.

DEFINICIÓN 4 Sea X un conjunto no vacío. Una distribución simple de probabilidad sobre X es una función p: S [o, l], donde S es un subconjunto finito de X, tal que p(x) > 0 para todo x S, y p(x) = 1. El conjunto S es llamado el soporte de p y denotado como 'sop(p)'. Si p y q son dos distribuciones simples de probabilidad sobre X y α [0,l], la combinación convexa αp + (1–α)q de p y q se define como la función r definida sobre T = sop(p) sop(q) que asigna a x T el número αp(x) + (1 – α)q(x), en el entendido de que p(x) = 0 si x sop(p) y q(x) = 0 si x sop(q).

LEMA 2 Si p y q son distribuciones simples de probabilidad sobre X, la combinación convexa r = αp + (1– α)q de p y q(0 ≤ α ≤ l) también es una distribución simple de probabilidad sobre X con T = sop(p)sop(q)como soporte. En otras palabras, el conjunto P de todas las distribuciones simples de probabilidad sobre un conjunto no vacío X es convexo.

Demostración: Sean p y q distribuciones simples de probabilidad sobre X y sea r = αp + (1 – α)q la combinación convexa de p y q (0 ≤ α ≤ l). Sea T = sop(p)sop(q). Claramente, T es un subconjunto finito de X. Si x T,p(x) > 0 o q (x) > 0. Si α= 0,r(x) = q(x)> 0. Si α = 1,r(x) = p(x)>0.En cualquier otro caso, αp(x)>0 y , (l–α)q(x)>0 de manera que r(x) = αp(x) + (1 – α)q(x)>0.

Al establecer la convexidad del conjunto de las distribuciones simples de probabilidad sobre un conjunto X, el lema 2 nos permite introducir la siguiente definición.

DEFINICIÓN 5 es una P estructura de Von Neumann–Morgenstern syss existen X, P y y tales que

Los elementos de P son llamados loterías. Para cualquier x X, δ_xes la lotería que asigna el premio x con probabilidad 1. Si existe un premio b máximamente preferido en X y uno mínimamente preferido w,δ_b, es la lotería máximamente preferida y δ_w la menos deseable. En tal caso se tiene, para cualquier p P,δ_b pδ_w . δ_b y δ_w son llamadas las loterías extremas y cualquier combinación convexa de ellas una combinación extrema. En todo caso, el axioma 6 de la definición 5 garantiza que la estructura es no trivial al exigir que haya al menos dos loterías que no sean indiferentes entre sí.

LEMA 3 Para todo p,q P con p q y todo α,β (0,1): αp + {1–α)qβp + {1–β)q syss α>β.

Demostración: Supóngase que α > β y sea γ = β / α. Claramente, 0 < γ < 1 y tenemos, dado que p q,

Por ende, por el mismo axioma,

Supóngase ahora que αp + (1 – α) q βp + (1 – β) q. Si β= α,

Si β > α, por virtud del primer resultado,

En ambos casos contradiciendo la asimetría de .

LEMA 4 Para toda p,q,r P: si p r q, existe precisamente un α [o,1] tal que r ~ ap + (1– α)q.

Demostración: Si r ~ p , la aserción vale con α = 1; si r ~ q , escójase α = 0. Sean, pues, p r q, , y . Nótese que estos conjuntos son no vacíos por el axioma 5 de la definición 5. Mostraremos que α= ínf= sup no es elemento ni de ni de . Esto implica que r ~ αp + (l – α) q, pues de lo contrario tendríamos αp + {1–α)qr o r αp + (l–α)q, siendo que lo primero implica α y lo segundo α .

Sea β, pues, cualquier elemento de , de modo que βp + (1– β)q r q.

Por el axioma 5 de la definición 5, existe un γ (0,l) tal que

Sea β' = βγ. Como γ > 0, tenemos que β' [0,l]; como γ <l, β' < β.

Además,

de modo que β' . Esto muestra que para todo elemento de siempre existe uno más pequeño que también está en . Un argumento análogo muestra que para todo β siempre existe un β' mayor que también está en .

Por virtud del lema 4, cada p P es indiferente precisamente a una combinación extrema. En lo subsiguiente, φ : PP será la función que asigna a cada p P la combinación extrema φ(p) que es indiferente a p.

LEMA 5 Para todo p,q P y α [0,l] : αp + (l–α)q ~ αφ(p) + (l–α)φ(q).

Demostración: Sea f : [0.1][0,1] la función definida por la siguiente condición:

lo cual implica, nuevamente por el lema 3, f(α) = α' > β' = f(β) .

Para un α arbitrario, pero fjo, consideremos sendas secuencias convergentes de puntos de [0,1]. Una, (_k) decreciente y aproximándose a a como límite por arriba (o sea, α< _k, para todo k); la otra, (_k) creciente y aproximándose a α por abajo (o sea, _k, < α para todo k). Consideremos ahora las secuencias de intervalos

[_k,α] , [α,_k]

Como cualquiera de estos subintervalos es un retículo completamente ordenado y completo (con respecto a la relación de orden usual entre números reales), y f es creciente, el teorema de Tarski (1957) implica que en cada uno de estos intervalos hay puntos fijos

es decir, puntos tales que _k= f(_k) y _k = f(_k) . Luego, para estos puntos,

Si a es _k o _k para algún k, ya terminamos. De lo contrario, considérense los intervalos

Sean . Es fácil ver que I es no vacío, ya que al menos αp + (1 – α)q está en I. Análogamente, J tampoco es vacío porque al menos αφ(p) + (1 – α)φ(q) es elemento de J. Además, tanto I como J son clases de indiferencia. En efecto, si r I tenemos, para cualquier k,

Por lo tanto, por el lema 4, existe precisamente un β_k tal que

Si r + αp + (1–α) q, tenemos dos posibles casos: (i) r αp + (1 – α)q o (ii) r αp + (1 – α)q . En el primer caso, por virtud del lema 3, tenemos θ_k> α; en el segundo, θ_k<α. Así, o bien existe un n > 0 tal que θ_k > ₁ para toda l > n ; o bien existe un n > 0 tal que θ_k < ₁, para toda l > n. En el primer caso tenemos, para cualquiera de esos l,

En el segundo caso tenemos

Por consiguiente, r~θ_kp + (1–θ_k)q ₁+(1–₁)qr.

Un argumento análogo muestra que

Sin embargo, I = J porque I_k = J_k para todo k, de manera que

LEMA 6 Si p,q,r P,α [0,l] y p~ q entonces αp + (1–α) r ~αq + (1–α)r.

Demostración: Si p ~ q, φ(q) = φ(p) y, por el lema 5,

de donde se sigue que

Para cada premio x X, sea u(x) el número en [0,1] tal que

Sea u: x la función definida por esta condición. Está claro que la utilidad del premio x no es más que el número α tal que

Si no hubiere un premio mejor, o uno peor, o ambas cosas; o si tomáramos otras loterías como punto de referencia para definir la utilidad de los premios, habría que ampliar la definición del siguiente modo.

DEFINICIÓN 6 Sean δ_b y δ_w loterías cualesquiera, con δ_b δ_w. Hacemos u(b) = 1 y u(w) = 0 . Para cualquier x X, si δ_bδ_xδ_w, hacemos u(x) = α si

Si δ_x y δ_b, sabemos por el lema 4 que existe precisamente un α (0, l) tal que

En este caso hacemos u ( x ) = 1 / α. Finalmente, si δ_w δ_x, también por el lema 4 sabemos que existe un α (0,1) tal que

En este caso hacemos u(x) = –α / (l – α). De este modo queda definida la función de utilidad u: X .

Como en la aplicación que nos concierne es razonable suponer que siempre hay un premio máximo y uno mínimo (pues ni las ganancias ni las pérdidas financieras pueden ser infinitas), habré de restringir las demostraciones subsecuentes al caso en que existen un premio mejor y uno peor.

LEMA 7 Para todo p P, p es indiferente a la lotería que da el premio

b con probabilidad u(x) p(x) y el premio w con probabilidad

1 – u(x)p(x)

Demostración: La demostración es por inducción sobre la cardinalidad de sop(p) = {x}, p(x) = 1 = δ_x(x) y

Luego,

Defínase la función

p₁: {x₁,...,x_n} [0,1]

por la condición

Entonces p₁ es un nueva distribución simple de probabilidad sobre X con soporte {x₁,...,x_n} . De hecho, p = αp₁ +{l – α) y tenemos, por el lema 5,

Supóngase, como hipótesis inductiva, que

Ahora bien,

El siguiente es el resultado principal de este trabajo.

TEOREMA 1 (TEOREMA DE REPRESENTACIÓN) Sea

una estructura de Von Neumann–Morgenstern. Entonces existe una función u: X tal que

Si u' es cualquier otra función tal, entonces existen constantes α > 0 y β tales que u' = αu + β.

Demostración: La función u arriba definida satisface esta condición. En efecto, como

la equivalencia se sigue inmediatamente por el lema 3.

Si u' es otra función que satisface el enunciado del teorema de representación, sea β = u'(w) y sea α el número tal que

Mas en general, si u(x) = λ,

TEOREMA 2 Para todo x, y X: δ_x δ_y siempre que x > y syss u es estrictamente creciente.

Demostración: Supóngase que δ_x δ_y y que x > y. Entonces

de modo que u(x) >u(y) por el lema 3.

Una vez que hemos demostrado su existencia, podemos definir el valor esperado de cualquier lotería.

DEFINICIÓN 7 El valor esperado de la lotería p, E(p), se define como

Teoría clásica de las finanzas

De aquí en adelante vamos a aplicar a las finanzas la teoría desarrollada hasta el momento. El conjunto X será concebido ahora como un intervalo de cantidades de dinero (intervalo cerrado de números reales), con una cantidad máxima b y una mínima w. Como X es convexo, X es cerrado bajo combinaciones convexas finitas; es decir, si x_l,...,x_n son cantidades de dinero y α₁,...,α_n son números entre 0 y 1 tales que Σⁿ_k=1α_k = 1 , entonces Σⁿ_k=1α_kx_k X. ² En particular, si p es una lotería cualquiera, y normalizamos la función de utilidad de manera que sus valores sean elementos de X, la suma es una combinación convexa de puntos de X y, por lo tanto, también es un elemento de X, de manera que E(p) X para toda lotería p. Así, la lotería δ_E(p), , es la lotería que asigna probabilidad uno al premio E(p ) = .

Es posible indagar si el agente prefiere recibir con seguridad la cantidad de dinero Σⁿ_k=1α_kx_ka obtener una de las cantidades x_k con probabilidad α_k. Por ejemplo, es posible indagar si prefiere recibir $190.00 en vez del derecho a participar en una lotería en la que puede recibir $1,000.00, con probabilidad de 0.1, o $1.00 con probabilidad de 0.9. Si prefiere tomar los $190.00 en vez de entrar al sorteo, diremos que tiene aversión al riesgo. Esto motiva la definición de agente averso al riesgo en términos de preferencias sobre ciertas loterías; a saber, entre , y la lotería combinada P = Σⁿ_k=1α_kδ_k. Con esta motivación introducimos formalmente la siguiente definición.

DEFINICIÓN 8 La relación de preferencia es aversa al riesgo syss, para toda combinación convexa Σⁿ_k=1α_kx_k de puntos de X,

es propensa al riesgo syss, para toda combinación convexa Σⁿ_k=1α_kx_kde puntos de X,

Es neutral al riesgo syss, no es ni aversa ni propensa al riesgo.

La aversión al riesgo está asociada con una característica de la función de utilidad que se conoce como "concavidad". Recuérdese que una función u es estrictamente cóncava syss u(αx) + (1 – αx') > αu(x) + (1–α)u(x') siempre que x ≠ x'. Tenemos el siguiente resultado.

TEOREMA 3 La relación de preferencia es aversa al riesgo syss, la función de utilidad u es estrictamente cóncava.

Demostración: Supóngase que es aversa al riesgo y considérese la combinación αx + (l – α) x',x ≠ x'. Por hipótesis,

Luego, por el teorema de representación,

De aquí se desprende, nuevamente por el teorema de representación, que

La consecuencia metodológica de este resultado es que si el administrador financiero percibe que su cliente es averso al riesgo, entonces debe utilizar una función de utilidad cóncava para modelar sus preferencias.

Puede resultar útil saber que el grado de disposición a jugar cualquier lotería podría medirse en términos de ganancias seguras si cada lotería tuviese un equivalente cierto en el siguiente sentido.

DEFINICIÓN 9 Un equivalente cierto de una lotería p es todo premio x tal que δ_x ~ p .

Si cierta condición es satisfecha, es posible garantizar que toda lotería tiene un único equivalente cierto.

TEOREMA 4 Si X es un intervalo de , y u es continua, entonces toda lotería p tiene por lo menos un equivalente cierto. Si u es estrictamente creciente, toda p tiene como máximo un equivalente cierto.

Demostración: Supóngase que u es continua en X. Como X es un intervalo cerrado, la imagen de X, que es X mismo, también lo es. Como E(p) es una combinación convexa de puntos de X, E (p) X . Por lo tanto, hay un punto x en X tal que u(x) = E(p) . Así, E(δ_x) = u(x) = E(p) de donde se deduce que δ_x ~ p. Es obvio que si u es estrictamente creciente sólo puede haber un equivalente cierto.

Un obvio corolario de este teorema es que si es aversa al riesgo, entonces cada lotería tiene precisamente un equivalente cierto.

Aplicaciones de la teoría

La TF modela las carteras como loterías y propone la regla de maximizar la utilidad esperada para la toma de decisiones financieras. Más concretamente, supóngase que el agente está frente a una situación típica: Hay en el mercado de activos financieros un bono con tasa de rendimiento fija r y con un precio en el momento inicial (tiempo t = 0) de Pb₀ . Hay también µ, acciones de empresas a = 1,..., µ que ofrecen rendimientos que dependen de las circunstancias que prevalezcan ("estados de la naturaleza"). Puede haber v estados de la naturaleza s = l,...,v . Cada acción a ofrece un vector de pagos posibles (x_a1 ,...,x_αv ) siendo el pago a_s el que ofrece la acción a si ocurre el estado s.

La probabilidad de que el pago a_s tenga lugar, pues, es igual a la probabilidad π_s de que ocurra el estado de la naturaleza s. El precio inicial (en t = 0) de la acción a es p_b0 , de manera que el vector de precios en el tiempo t = 0 es p₀ = (p₁₀ ,...,p_v0 ,p_b0 ). Un portafolio se modela como un vector de bonos y acciones z = (z_a,z_b) donde

Suponemos que el agente posee una cierta cantidad de dinero w₀ que está dispuesto a invertir. Su problema es elegir la cartera que le brinde los máximos beneficios a su inversión. Con esta suma de dinero, el agente puede adquirir cualquier cartera en el conjunto factible

Si el agente adquiriera la cartera z = (z_a,z_b) F y tuviera lugar el estado s, recibiría como pago la suma

sujeto a z F

Si el administrador elige una función de utilidad cóncava (lo cual usualmente deberá ser el caso, pues los agentes tienden a ser aversos al riesgo), este problema se resuelve con el método de los lagrangianos, mediante la resolución de condiciones de primer orden.

Bibliografía

Luce, R. D y H. Raiffa (1957). Games and Decisions, Wiley, Nueva York.         [ Links ]

Nikaido, H. (1968). Convex Structures and Economic Theory, Academic Press, Nueva York.         [ Links ]

Takayama, A. (1985). Mathematical Economics, Cambridge University Press, Cambridge.         [ Links ]

Tarski, A. (1957). "A Lattice–Theoretical Fixpoint Theorem and its Applications", Pacific Journal of Mathematics, vol. 5, pp. 285—309.         [ Links ]

Von Neumann, J. y O. Morgenstern (1947). Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, Princeton, Mass.         [ Links ]

Notas

* Agradezco los comentarios de los árbitros anónimos.

² Cfr. Nikaido 1968, teorema 2.1, p 17.