Memoria sobre la emergencia de las funciones elípticas

Memory about the elliptic functions's emergence

Leonardo Solanilla*, Ana Celi Tamayo**, Gabriel Antonio Pareja***

* Universidad del Tolima, Ibagué Colombia. leonsolc@ut.edu.co

** Universidad de Medellín, Colombia. actamayo@udem.edu.co

Resumen

En este artículo respondemos algunos interrogantes que nos hemos formulado sobre y en torno a la emergencia histórica de las funciones elípticas en la primera mitad del siglo XIX. En primer lugar, queremos determinar las fuerzas más relevantes que producían tensiones en la disciplina durante la época considerada. Para ello, vamos a proponer una hipótesis explicativa del vuelco en la esfera del pensamiento matemático que resultó cuando se prefirieron las funciones en lugar de las integrales elípticas. Esta hipótesis se arraiga en el estado del "Análisis" y el "Álgebra" durante la época de la emergencia. Luego mostraremos que las construcciones de Abel y Jacobi de las funciones elípticas soportan nuestra hipótesis de trabajo. Por último, delineamos algunas conclusiones referentes a nuestras reflexiones.

Palabras clave: Integrales y funciones elípticas, Historia de las Matemáticas, Abel, Jacobi, Teoría de Galois.

Abstract

In this article we answer some questions that we have made on and around the historical emergence of elliptic functions in the first half of the nineteenth century. First, we want to determine the most relevant forces that produced tensions in the discipline during the period considered. To do this, we propose an explanatory hypothesis on the overturning in the field of mathematical thinking that resulted when the functions were preferred instead of the elliptic integrals. This hypothesis is rooted in the state of "Analysis" and "Algebra" during the emergence time. Then we show that the constructions of Abel and Jacobi for the elliptic functions support our working hypothesis. Finally, we outline some conclusions concerning our reflections.

Key words: Elliptic functions and integral, Mathematics History, Abel, Jacobi, Galois theory.

Neste artigo, respondemos algumas interrogantes que formulamos a respeito da emergência histórica das funções elípticas na primeira metade do século XIX. Em primeiro lugar, queremos determinar as forças mais relevantes que produziam tensões na disciplina durante a época considerada. Para isso, vamos propor uma hipótese explicativa sobre o giro na esfera do pensamento matemático, o qual sucedeu quando foram preferidas as funções em lugar das integrais elípticas. Essa hipótese se centra no estado da "Análise" e da "Álgebra" durante a época da emergência. A seguir mostraremos que as construções de Abel e Jacobi sobre as funções elípticas suportam a nossa hipótese de trabalho. Por último, delinearemos algumas conclusões referentes às nossas reflexões.

Palavras chave: Integrais e funções elípticas, História da Matemática, Abel, Jacobi, Teoria de Galois.

Résumé

Dans ce mémoire nous répondons à certaines questions que nous avons posées sur et autour de l'émergence historique des fonctions elliptiques dans la première moitié du XIXe siècle. Tout d'abord, nous voulons déterminer les forces qui ont produit les tensions les plus importantes dans la discipline au cours de la période en question. Avec cela, nous proposons une hypothèse expliquant le changement dans le domaine de la pensée mathématique qui a abouti à des fonctions de préférence au lieu d'intégrales elliptiques. Cette hypothèse est enracinée dans l'état de l'analyse et l'algèbre à l'époque de l'émergence. Tout de suite nous montrerons que les constructions d'Abel et de Jacobi supportent notre hypothèse de travail. Enfin, nous esquissons quelques conclusions sur nos réflexions.

Mots clés: Intégrales et fonctions elliptiques, Histoire des mathématiques, Abel, Jacobi, Théorie de Galois.

1. INTRODUCCIÓN

¿Por qué estudiar hoy en día la historia de las integrales y las funciones elípticas? Los matemáticos responderán seguramente que muchos problemas de las Matemáticas contemporáneas hallan en la teoría de las funciones elípticas los ingredientes esenciales para su solución. Los historiadores de las Matemáticas encuentran fácilmente una explicación en el estatuto de su disciplina. Los interesados en la formación de nuevos matemáticos, posiblemente coincidirán con Recalde (2010), quien afirma con justa razón que:

Si se toma como punto de partida la premisa de que las matemáticas son mucho más que un discurso formal o conjunto de técnicas muy útiles para el desarrollo de la ciencia y la tecnología, y si reconocemos, ante todo, las matemáticas como una actividad humana de razonamiento, cuyo propósito es contribuir a la explicación del mundo junto con otras actividades intelectuales, es claro que debemos propugnar por una formación que vaya más allá de los procesos algorítmicos. Esta demanda de preparación de matemáticos que tengan una visión integral del edificio matemático y que comprendan las razones de ser de este edificio como construcción de pensamiento en condiciones sociales y culturales históricamente determinadas. (p. xxxi)

Con esta triple visión (disciplinar, histórica y educativa) en mente, hemos emprendido el estudio de algunos textos originales de Abel y Jacobi, en los que las funciones elípticas emergen históricamente de las integrales elípticas. Además, ¿qué significa comprender una teoría matemática? Ciertamente no basta con el estado actual de la teoría. Las matemáticas se aprenden siempre desde una perspectiva hermenéutica y, quizás por ello, el estado contemporáneo de una teoría nos la presenta como algo totalmente acabado, casi que petrificado. Por esto, la salida a este problema de comprensión yace del lado de la historia, que revela la verdadera vena heurística de la investigación matemática. En particular, la emergencia de las funciones elípticas es muy cercana a la emergencia de la Variable Compleja como disciplina matemática. Así lo deja ver el reciente trabajo de Bottazzini y Gray (2013) que lleva el sugerente título de Hidden Harmony — Geometric Fantasies, The Rise of Complex Function Theory. En un marco más general, nuestras reflexiones pueden reportar algún provecho a aquellos interesados en la historia del, hoy llamado, Análisis Matemático.

Con el fin de contextualizar el estado de la disciplina en la época que nos interesa (comienzos del siglo XIX), es importante conocer algunos elementos del devenir histórico de las integrales elípticas. Estas datan del siglo XVII, prácticamente de la misma época en que emergía el Cálculo infinitesimal. Su motivación hay que buscarla en algunos problemas geométricos que encontraron respuestas en el lenguaje del Cálculo: rectificación de arcos, división de curvas en partes proporcionales o iguales y búsqueda de expresiones para el arco de una curva en términos del arco de otra (Tamayo, 2005). Dicha colección desordenada de problemas develó propiedades interesantes en dicho corpus de integrales. Ciertamente, la segunda mitad del siglo XVII y la primera mitad del XVIII fueron testigo de la aparición de muchas integrales que no se podían resolver por los métodos conocidos de solución. Sin embargo, en aquella época no se podía hablar propiamente de un "tipo" de integral elíptica, ya que no existía una teoría general para su estudio (Pareja, Solanilla y Tamayo, 2010). Algunos matemáticos, entre los que se cuentan los hermanos Bernoulli, se dieron a la tarea de estudiar curvas como la elipse y la lemniscata, entre otras, cuyas longitudes de arco no se pueden expresar por funciones racionales o funciones transcendentes conocidas —trigonométricas, exponencial y logarítmica— (Tamayo, 2005). La teoría toma nuevas fuerzas cuando el conde de Fagnano, hacia 1715, utiliza un método más elaborado que precisa de la determinación de soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias que se presentan en la solución del problema de dividir la lemniscata en dos, tres y cinco partes iguales (Tamayo, 2005; Hernández y Palacio, 2009; Pareja et al., 2010). A mediados del siglo XVIII, Euler y Lagrange generalizan el trabajo de Fagnano alrededor de una teoría unificada que se centra en la solución a cierta ecuación diferencial fundamental (Pareja et al., 2010). Dicha ecuación se trata brevemente en la próxima sección. Pero hay que tener cuidado al respecto, si bien se puede decir que su motivación sigue siendo geométrica, sus resultados dependen cada vez más de propiedades más y más "analítico - transcendentes", en concreto, propiedades de la solución a dicha ecuación fundamental. Euler, por ejemplo, escribió a lo largo de su vida alrededor de veintidós artículos sobre integrales elípticas —de acuerdo con http://eulerarchive.maa.org/— y, si bien es cierto que en sus comienzos se interesó particularmente por la rectificación de la elipse, la mayoría de su producción está centrada en el estudio de la ecuación diferencial fundamental, que aplica una y otra vez a varios tipos de problemas "geométricos".

Esta búsqueda de métodos más "sofisticados y abstractos" nos conduce a una definición más precisa de los conceptos. Para la época de la gran producción de Abel y Jacobi, la década de 1820 a 1830, los matemáticos seguían interesados en la resolución de problemas geométricos. Basta recordar el célebre teorema de Abel sobre la lemniscata y la enorme influencia de la geometría griega en la enseñanza. Sin embargo, sus métodos de estudio eran más elaborados que aquellos del siglo XVIII. Había problemas que se dejaban tratar mediante un número finito de operaciones aritméticas (álgebra, en el sentido del Islam medieval), otros que exigían el uso de sumas o productos infinitos y fracciones continuas (transcendentes, en el lenguaje del cálculo infinitesimal de la Edad Moderna). Para simplificar la presentación, incluimos en este último grupo de problemas a los que se podían modelar mediante ecuaciones diferenciales o Cálculo de Variaciones (lo cual tiene sentido). En la frontera entre estos dos ámbitos, se situaban aquellos problemas combinatorios de "convergencia", los cuales buscaban determinar condiciones suficientes para que los procesos infinitos se comportaran, en la medida de lo posible, como los procesos con operaciones aritméticas finitas. Con el fin de usar nombres propios de la época, nos referiremos, de aquí en adelante, a estos problemas y a sus métodos de solución con los adjetivos algebraico, transcendente y combinatorio, respectivamente. Nos abstendremos, en lo posible, de usar el adjetivo analítico en el sentido generalmente aceptado en la actualidad (formalización del Cálculo).

A propósito, la metodología usada en este artículo se enfoca en la lectura de los textos matemáticos originales y no en referencias secundarias, que, a menudo, desvían la atención hacia las anécdotas y confunden al lector interesado en la historia y la enseñanza de las matemáticas. Así, por ejemplo, cuando hablamos de la cercanía intelectual de Jacobi y Legendre, estamos respaldados por los adjetivos laudatorios que el primero usa para referirse al segundo, en los Fundamenta Nova de 1829. De todos modos, cuando se haga necesaria una referencia secundaria, la fuente bibliográfica que soporta la afirmación quedará siempre clara para el lector.

En la primera sección del artículo examinamos las condiciones o tensiones en la esfera del pensamiento matemático que existían en la época de la producción de Abel y Jacobi. Ellas comprenden, en primer lugar, los trabajos de Euler y Lagrange sobre el tema junto con la obra descomunal de Legendre. De manera central, aunque menos directa, estas tensiones abarcan también los métodos algebraicos y la naciente teoría de las funciones complejas. Nuestra presentación es sucinta y reconocemos que, aunque cada uno de estos temas merece un estudio más detallado, nuestro deber es centrarnos en las funciones elípticas. La segunda sección está dedicada a proponer una hipótesis explicativa sobre la naturaleza de la emergencia de las funciones elípticas. En la tercera sección presentamos las construcciones de Abel y Jacobi, junto con nuestros argumentos a favor de la hipótesis de trabajo. Para finalizar, se esbozan las conclusiones del estudio.

2. CONDICIONES DE LA EMERGENCIA

En esta sección analizamos, en orden de importancia, algunas circunstancias que permitieron o favorecieron la emergencia histórica de las funciones elípticas. Ellas pueden entenderse como las fuerzas o tensiones en la esfera del pensamiento matemático que influenciaron dichos desarrollos.

2.1. La herencia de Euler y Lagrange

Las integrales elípticas habían conocido un primer cenit en manos de estos extraordinarios pensadores del siglo XVIII. Comencemos por recordar aquí el §. 26 en De integratione aequationis differentialis mdx (Euler, 1761):

De aquí y de esta manera, concluimos que la ecuación diferencial

tiene como ecuación integral completa a

La demostración resulta ser una verificación de la tesis por diferenciación. En verdad, Euler no tenía una prueba directa de este hecho. Así lo deja ver, años más tarde, en el tímido Lemma I del artíoüo Demonstratio theorematis et solutio problematis in actis erud. Lipsiensibuspropositorum (Euler, 1761):

Si dos variables x, y dependen una de la otra según la relación

0 = α + β (xx + yy) + 2γxy + δxxyy

la suma y la diferencia de las fórmulas integrales

será igual a una constante.ⁱⁱ (p.129)

Para la solución directa de la ecuación diferencial fue necesario esperar a Lagrange (1868), quien retoma el problema en su artículo Sur l'integration de quelques equations différentielles dont les indéterminées sont séparées, mais dont chaque membre enparticulier n'estpoint intégrable. Su propósito es probar el resultado anterior de Euler rjor un método directo de ecuaciones diferenciales, distinto a la simple comprobación:

Estas ecuaciones están comprendidas en la siguiente fórmula

]]> cuya integral se expresa en general por la ecuación

La demostración de este hecho fundamental es larga y tediosa. Se puede leer en el original de Lagrange (+68), en el libro de Bellachi (1894) o en la interpretación moderna de Pareja et al. (2010). En este último, el asunto se simplifica grandemente al tomar la ecuación diferencial en la forma canónica de Legendre:

donde k denota el módulo jacobiano de la integral. Con estas útiles, aunque algo tramposas desde el punto de vista de la historia, simplificaciones se encuentra la solución general

La constante C se determina a partir de una condición inicial (x_o ,y_o )

A partir de la teoría de Euler y Lagrange, se establece la propiedad más importante de las integrales elípticas. Para entenderla mejor, usamos otra vez la notación de Legendre

En la variable φ con (Bellachi, 1894) señala que

la ecuación diferencial toma la forma

cuya integral transcendente es, según la notación de Legendre,

donde μ representa el valor de Φ para Φ' = 0. La amplitud μ se obtiene de la relación mediante las sustituciones anteriores por la fórmula

Ésta es la célebre fórmula de adición de la primera especie, la propiedad a la que nos referíamos anteriormente. De manera alternativa, en Pareja et al. (2010), se resume diciendo que

]]> Para que se verifique la fórmula de adición

es necesario y suficiente que se cumpla la identidad de Lagrange

2.2 Los Excercices y el Traité de Legendre

El segundo gran logro de las integrales elípticas, que ha inf luido en la emergencia de las funciones elípticas, proviene de los estudios de A. M. Legendre. El conocido Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique (Legendre, 1825) realiza una recopilación de las investigaciones que el estudioso francés había publicado en el primer tomo de Exercices de calcul intégral (Legendre, 1811). No se debe confundirse por el título del Traité ya que es un trabajo sobre integrales, no sobre funciones elípticas. El título tiene razón en que la obra tiene pretensiones de tratado y, así, abarca todo el conocimiento sobre las integrales elípticas que se tenía en su época. No vamos a referirnos aquí a todo su contenido, solamente a lo indispensable para los logros de Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829). Nos referimos a la materia de los cinco primeros capítulos, en los que se encuentran formas canónicas o especies para las integrales elípticas. Esta reducción del problema a tres especies de integrales básicas constituye para nosotros la taxonomía de Legendre. El propósito del autor es claro, basta leer como comienza la obra (Legendre, 1825):

]]>

CAPÍTULO PRIMERO

Idea general de los distintos tipos de transcendentes contenidos en la fórmula integral

1. Designamos con P una función racional cualquiera de x, y con R el radical

Luego de mostrar que las potencias impares del radical se pueden omitir sin pérdida de generalidad, Legendre (1825) encuentra que la parte transcendente (ni circular ni logarítmica, puesto que estos casos son conocidos) de una integral elíptica tiene la forma

Las cantidades A', B', C', son constantes y, por lo tanto, lo que importan son las formas de las integrales. Cada uno de estos sumandos integrales constituye una especie básica. Si estudiamos estos tres tipos de integrales, comprenderemos todas las integrales elípticas (Legendre, 1825):

15. Con esto, las funciones o transcendentes elípticas comprendidas en la fórmula H, se dividirán en tres especies:

La primera y la más simple se representa por la fórmula; ∫ dΦ/Δ;

La segunda es el arco de la elipse, medido a partir del semieje menor, y cuya expresión es; E = ∫ ΔdΦ;

La tercera y última especie se representa por ∫ dΦ/((1 + n sin²Φ)Δ) ella contiene, además del módulo c común a las otras dos especies, un parámetro n que, según se quiera puede ser positivo o negativo, real o complejo.^vi (p. 18)

En lo que sigue consideraremos, únicamente y para simplificar la presentación, integrales elípticas de la primera especie.

Hay otro tipo de condiciones de la emergencia que no provienen directamente del campo de las integrales elípticas. Ellas tienen que ver con el desarrollo de otros campos de las Matemáticas, que estaban conociendo también nuevos esplendores. En concreto, nos referimos a ciertos estudios algebraicos (en el sentido explicado en la Introducción) y a la teoría de las funciones complejas (como se le llamaba, y aún a veces se le llama, en la literatura alemana).

En primer lugar, queremos mencionar las Réflexions sur la résolution algébrique des équations de Lagrange (1869). En la versión final de este artículo, el autor considera inicialmente los métodos renacentistas de solución de las ecuaciones de tercero y cuarto grado. Luego enfrenta la resolución de las ecuaciones de quinto grado y de grados ulteriores (Lagrange, 1869):

El problema de la resolución de las ecuaciones de grados superiores al cuarto pertenece a esa clase de problemas que no se ha podido resolver, ni tampoco se ha podido demostrar su imposibilidad.^vii (section troisième)

Luego, obtiene sus conclusiones sobre los métodos que ha examinado. Lo interesante es que la complejidad del problema lo conduce a estudiar las propiedades de las raíces de las ecuaciones, en particular, las que tienen que ver con sus permutaciones. Para ilustrar este punto, citamos el pasaje donde expresa los coeficientes de una ecuación en términos de las funciones simétricas elementales evaluadas en las raíces (Lagrange, 1869):

89. Supondremos, como en la Sección anterior, que la ecuación propuesta está representada, en general, por

]]> y que sus μ raíces se designan por x^', x'', x^''', x^iv, ··· x^(μ)

Con ello se tendrá, debido a la naturaleza de las ecuaciones, que

Y queda claro que estas funciones de x^', x'', x^''', x^iv , ···, mediante las que se expresan las cantidades m, n, p, ···, serán todas necesariamente de la forma ƒ[(x^', x'', x^''', x^iv , ··· )], y en consecuencia dichas funciones serán todas similares, lo que constituye una propiedad fundamental de estas ecuaciones.^viii (p. 359).

Este hecho junto con el llamado teorema fundamental de las funciones simétricas jugará un papel crucial en las Recherches de Abel (1827, 1828). Para que esta presentación quede completa, incluimos el teorema fundamental en la versión contemporánea de Hadlock (1978):

TEOREMA 9. Todo polinomio simétrico P sobre F en x₁, x₁, ···, x_n puede escribirse como un polinomio Q sobre F en las funciones simétricas elementales. Si P tiene coeficientes enteros, lo propio vale para Q. El grado
de Q es menor o igual al grado de P.^ix (p. 42)

El otro trabajo que queremos analizar es el de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss (1801). Esta obra fundamental contiene la definición de las clases módulo, las congruencias de primer y segundo grado y los residuos de las potencias, entre otros temas novedosos para la época de su publicación. De central importancia para la investigación de Abel (1827, 1828) es la sección séptima, que lleva el título de Deaequationibus, circuli sectiones definientibus Allí se anuncian los alcances de la Teoría de los transcendentes elípticos (Gauss, 1801):

Los principios de la teoría que vamos a explicar de hecho se extienden mucho más allá de lo que indicaremos. Por ello, pueden ser aplicados no solamente a las funciones circulares sino también a otras funciones transcendentales, por ejemplo, a aquellas que dependen de la integral y también a varios tipos de congruencias. Ya que, sin embargo, estamos preparando un gran trabajo sobres esas funciones...^x (Section septima)

Pronto veremos que tanto la teoría de las congruencias, como la división de las secciones de una circunferencia tuvieron una influencia decisiva en Abel (1827, 1828). Por demás, los desarrollos de Gauss constituyen uno de los más fructíferos puntos de encuentro entre las esferas de lo algebraico y lo transcendente.

Los matemáticos actuales agregarán, sin duda, en este punto que el estado del pensamiento algebraico al que queremos referirnos encierra la génesis de la moderna Teoría de Grupos, con lo cual nosotros coincidimos, ya que Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829) descubrieron que sus funciones elípticas tienen dos periodos independientes. Ciertamente, el grupo abeliano que generan dichos periodos constituye hoy la parte imprescindible de una estructura de módulo sobre los enteros, que podemos asociar a un toro. Este hecho, con las notaciones propias de la época, es usado reiteradamente en los Fundamenta Nova de Jacobi (1829).

Los asuntos algebraicos a los que nos referimos han sido tratados, con mayor detalle y presentando variados ejemplos, en Pareja, Solanilla y Tamayo (2013).

2.4 La teoría de las funciones complejas

Cuando iniciamos la investigación, dábamos por cierto que esta naciente teoría había jugado un papel dominante en la emergencia de las funciones elípticas. Para nuestra sorpresa, su papel no fue tan protagónico como pensábamos y así, esta ingenua hipótesis inicial reveló muy pronto su falsedad: el descubrimiento o emergencia de un concepto matemático no tiene por qué relacionarse con la forma como se presenta en los libros de texto contemporáneos¹. En verdad, si bien Euler (1707-1783) y Gauss (1777-1855) ya tenían ciertos conocimientos del tema, ha sido Cauchy a quien el destino reservó el honor de establecer los grandes teoremas de la disciplina en los años 1814-1825. Quien lea los textos originales de Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829), puede observar que la influencia de estos trabajos de Cauchy sobre las primeras teorías de las funciones elípticas fue mínima. Acaso, la sola mención de que es posible definir intégrales définies, prises entre des limites imaginaires basta para leer sin dificultades las Recherches y los Fundamenta Nova. Leamos algunos apartes del comienzo de Cauchy (1825), donde se da ya la definición de integral de línea compleja:

]]> ... Así pues, para abarcar con la misma definición a las integrales tomadas entre límites y a las integrales tomadas entre límites complejos, conviene usar la notación

para denotar el límite (o uno de los límites) a los que converge la suma. Para obtener dos sucesiones de este tipo, basta suponer

donde Φ(t), χ(t) son dos funciones continuas de una nueva variable t, siempre crecientes o decrecientes desde t=t_o hasta t=T, y tales que cumplen las condiciones

... Así se tendrá

]]> La terminología que usa Cauchy para referirse a lo que hoy llamamos funciones analíticas (fonction monodrome, fonction monogène, fonction synectique) suena extraña al lector contemporáneo, aunque evoca propiedades fundamentales de tales funciones. Dichos términos o expresiones dominaron el estudio de las funciones complejas en Francia durante todo el siglo XIX, tal como es patente en el popular texto de Briot y Bouquet (1859). La disertación de Riemann de 1851, es decir, los Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe, no estaban todavía disponibles en 1827. Tampoco se esperaban las obras de Liouville o Weierstrass. El lector interesado en la historia de la Variable Compleja puede referirse al libro de Remmert (1991).

Sobre la teoría de funciones, en general, tampoco parece haber influido significativamente en el nacimiento de la noción de función elíptica. En efecto, el asunto de las discontinuidades de las funciones elípticas se limita a ciertos polos². Como referencia para este tema, se pueden leer las cuatro primeras secciones del primer capítulo del libro de Recalde (2010) sobre las funciones de Baire. En ellas se explican las clasificaciones de funciones de Euler y Cauchy junto con la relación entre la integral de Riemann y la representación de funciones.

3. HIPÓTESIS DE TRABAJO

La consideración de las fuerzas o tensiones descritas en la sección anterior y el examen de los trabajos pioneros de Abel (1827, 1828) y de Jacobi (1829) nos han sugerido la siguiente hipótesis explicativa de la emergencia de las funciones elípticas: salvo por algunos elementos muy básicos de la integración en el plano complejo, las funciones elípticas surgieron de los transcendentes elípticos reales del siglo XVIII, bajo una fuerte influencia de las nuevas ideas que renovaban el paisaje del Álgebra en la primera mitad del siglo XIX.

Al referir nos a los elementos básicos queremos abarcar solamente los fundamentos de la integración compleja. En otras palabras, afirmamos que no hubo inf luencia alguna de los grandes teoremas integrales de la Variable Compleja, tal como la conocemos hoy. No hay evidencia de que las primeras construcciones de las funciones elípticas recurrieran al Teorema o a la Fórmula Integral de Cauchy, ni mucho menos a sus consecuencias inmediatas, como el célebre Teorema de Liouville. Cuando hablamos de los transcendentes elípticos reales del siglo XVIII queremos significar el esplendor que habían alcanzado las integrales elípticas en las manos de Euler, Lagrange y tantos otros pensadores (ecuación diferencial fundamental). Además, en este nombre queremos incluir el Teorema Fundamental del Cálculo, los métodos de integración tradicionales que incluyen las funciones circulares y las logarítmicas, así como el uso sistemático de las ecuaciones diferenciales para formular problemas y el desarrollo de técnicas para encontrar soluciones a dichas ecuaciones. Las nuevas ideas algebraicas de las que hablamos ya han sido mencionadas en la sección anterior. Ellas comprenden el estudio de las permutaciones de las raíces de las ecuaciones algebraicas, el éxito de Gauss al resolver el problema de la construcción de los polígonos regulares y la invariancia de ciertas expresiones bajo lo que hoy en día llamamos la "acción de un grupo".

Llamamos la atención sobre el hecho de que la hipótesis de arriba no es, en modo alguno, trivial. La teoría contemporánea de las funciones elípticas es un capítulo más de la Variable Compleja y se sustenta sobre sus grandes teoremas. Cf., por ejemplo, Lang (1987) y Akhiezer (1970 / 1990).

4. CONSTRUCCIONES DE ABEL Y JACOBI

A continuación examinamos la construcción de las funciones elípticas en los dos primeros recuentos sistemáticos de la disciplina. Ellos se deben respectivamente a Abel (1827, 1828) y a Jacobi (1829). Ponemos particular atención en la validez de nuestra hipótesis de trabajo.

4.1 Las Recherches de Abel

Hay dos ideas que gobiernan la primera parte (§I al §V) de las Recherches sur les fonctions elliptiques de Abel (1827-1828), a saber: la construcción de las f unciones elípticas y la división de las curvas cuyas longitudes de arco son elípticas, en particular, la lemniscata.

4.1.1 Construcción de las funciones

donde C², e² > 0. La manera contemporánea de estudiar esta integral, para z compleja, sería como una función por medio del Teorema Integral de Cauchy y sus consecuencias. Sin embargo, esta integral presenta algunos problemas en el eje real del plano complejo, similares a aquellos de la función arco-seno circular. Por ello y, tal vez, por su experiencia con las funciones circulares y lemniscáticas, Abel propone que el objeto correcto es la función inversa de la integral. Luego, prueba que efectivamente la inversa es la manera correcta de estudiar las cuestiones elípticas.

En primer lugar, construye la inversa φ en el eje real. En el inter valo [−1/c, 1/c], la integral es, en términos actuales, biyectiva y se puede definir su inversa. Luego se puede extender a toda la recta como una función par de periodo

La función resultante es diferenciable en todo el eje real con derivada

Este paso, en el que la integral misma exige una integración imaginaria, es crucial.

El siguiente paso crucial es la extensión a todo el plano complejo. Esto se realiza de forma muy elegante: se exige que la fórmula de adición (que ya se cumple en los ejes real e imaginario) se cumpla también en todo el plano. Así pues, se debe tener

En particular,

Por la forma como fue construida, la función φ (que va del plano complejo al plano extendido o esfera de Riemann, es decir, se adjunta el infinito) resulta tener dos periodos ortogonales, uno real y otro puramente imaginario. Ellos son, precisamente, los periodos en el eje real e imaginario que hemos mencionado más arriba, a saber: . Con más generalidad, se verifica que

para todas los valores enteros de m, n.

En consecuencia, una función elíptica queda determinada totalmente por sus valores en una región fundamental R, que por facilidad se puede tomar como un rectángulo "semiabierto" cuyos lados son tan largos como los periodos. Este hecho anuncia ya que la definición propia de una función elíptica debe hacerse en un toro.

En relación con los ceros y los polos de φ, Abel (1827, 1828) prueba que

y que

4.1.2 División de las curvas

Para la división de los arcos elípticos de una curva en partes iguales, Abel comienza por establecer los valores de φ en los múltiplos enteros de un argumento. Ciertamente,

cuando n, es par. Aquí, φ' es la derivada de φ y r_n (φ²(z)) es una función racional del cuadrado de la función elíptica. Cuando n es impar,

donde s_n también es una función racional. La demostración de estas dos expresiones se basa simplemente en la aplicación reiterada de la fórmula de adición.

A continuación, se realiza una simplificación del problema: no es necesario considerara todos los enteros, si no sólo a los números primos. Esto es una consecuencia evidente de las fórmulas de adición. Abel (1827) retoma entonces el problema de determinar los valores de φ(z⁄p), p primo, para un valor dado de φ(z). El caso p = 2 (bisección) se resuelve fácilmente con la sola fórmula para el argumento doble

Más aún, en este caso las expresiones resultantes de φ(z⁄2) involucran únicamente raíces cuadradas y operaciones de cuerpo, o sea, esta cantidad es construible con regla y compás. El caso correspondiente a un primo impar p es mucho más complicado y demanda la construcción de varias e ingeniosas funciones auxiliares, amén de la consabida doble periodicidad y la utilísima fórmula de adición. Abel usa también un ingrediente algebraico crucial al que nos hemos referido párrafos atrás: el teorema fundamental de las f unciones simétricas. Este resultado provee el vínculo necesario entre las propiedades de las funciones elípticas y la solución de la ecuación bajo consideración. En fin, al final del procedimiento queda claro, para el lector de hoy, que los valores de φ(z⁄p), p primo e impar, son construibles a partir de φ(z) mediante radicales y operaciones de campo. En esta oportunidad, sin embargo, las raíces no son siempre cuadradas y así, no se puede concluir que estos valores sean construibles con regla y compás. Desde el punto de vista de la moderna teoría de Galois, la demostración de Abel se puede reconstruir para producir una "torre de cuerpos" que dé razón de la constructibilidad por radicales (Murcia y Saldaña, 2011).

El §V de las Recherches de Abel (1827, 1828) termina con la aplicación de toda la teoría mencionada en el párrafo anterior al problema de la división de la lemniscata, es decir, a la inquietud que Gauss (1801) había sembrado en la sección séptima de sus Disquisitiones (ver más arriba). En efecto, Abel logra demostrar su célebre teorema sobre la lemniscata (Abel, 1827-1828):

<< Es posible dividir la circunferencia completa de la lemniscata en m partes iguales con sólo regla y compás, si m es de la forma 2ⁿ out 2ⁿ+1 , siendo este número primo; o bien si m es el producto de varios números de estas dos formas. >>

Este teorema es, como se ve, precisamente el mismo del señor Gauss sobre la circunferencia^xii (p. 314)

La historia de esta solución puede leerse en (Hernández y Palacio, 2009). Reiteramos que si nos atenemos a los originales mencionados en esta sección, la influencia de Gauss (1801) sobre Abel (1827, 1828) parece haber sido en cuestiones "algebraicas". Abel lo reconoce cada vez que prueba la constructibilidad de una cantidad. Las reflexiones de Gauss sobre los transcendentes elípticos estuvieron durante muchos años confinadas al secreto de su diario matemático (como muchas otras de sus invenciones).

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4.2 Los Fundamenta Nova de Jacobi

A continuación nos damos la licencia de organizar los resultados principales de la primera parte de los Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (Jacobi, 1829), con subtítulo De transformatione functionum ellipticarum tres subsecciones: transformaciones integrales (elípticas), construcción de las funciones (elípticas) y transformaciones funcionales (elípticas).

4.2.1 Transformaciones integrales

Comienza Jacobi (1829) el tratado con una reelaboración de algunos resultados del Traité (Legendre, 1825). De paso, digamos que en toda la obra, el alemán muestra gran admiración y respeto por los logros de Legendre. En concreto, se interesa con gran acierto y precisión en las funciones racionales reales y = y(x) cuya sustitución produce una transformación de formas diferenciales tal que

Jacobi prueba que dichas transformaciones existen y que, tomadas las debidas precauciones, la función w es constante. Más adelante, demuestra que hay transformaciones de este tipo que producen la forma canónica de Legendre para la primera especie, o sea, la forma diferencial de la derecha se simplifica a

En otras palabras, el problema se reduce a una mera transformación de módulos λ → k . Jacobi (1829) desarrolla toda una serie de proposiciones (de naturaleza predominantemente algebraica, si bien se refieren a cantidades transcendentes) que dan razón de todas las transformaciones posibles para un orden preestablecido de la función racional y(x) (dicho orden es el máximo de los grados de su numerador y denominador). En particular, Jacobi se detiene en las transformaciones de orden tres y cinco. Valga la pena mencionar aquí que las mentadas proposiciones se demuestran también por métodos algebraicos, en particular, se usa la invariancia de los resultados bajo ciertos grupos de sustituciones. Claro está, Jacobi (1829) no utiliza ni el nombre, ni la noción de grupo.

4.2.2 Construcción de las funciones

A continuación, Jacobi se da a la tarea de construir las funciones elípticas. Su construcción difiere en algunos puntos importantes de la de Abel (1827, 1828). El punto de partida es la integral elíptica de la primera especie en forma trigonométrica

que resulta de la sustitución x = sin Φ. La inversa de u se extiende como antes a toda la recta real. Jacobi llama a dicha inversa am u (amplitud de u). Un nombre especial merece la derivada

Las funciones elípticas son, para Jacobi (1829), las composiciones

sin am u, cos am u, ∆ am u, tan am u, ···

En seguida y sin demostración, Jacobi evoca (tal vez debemos decir exige) el cumplimiento de la fórmula de adición

donde Φ = am u y ψ = am v. Otras fórmulas similares se verifican para cos am u y ∆ am u. Entre otras muchas consecuencias interesantes, ellas producen que la función sin am u es periódica con periodo igual 4k, donde k = u(π⁄2). Se debe notar que todas las funciones elípticas de Jacobi (1829) se pueden construir a partir de ésta última. Son muchas las identidades que resultan de las fórmulas de adición (Jacobi, 1829), las cuales ponen de manifiesto el carácter algebraico (en especial, finito) de gran parte de lo que sigue.

En el momento de extender las funciones al plano complejo, Jacobi (1829) difiere de Abel (1827-1828). En efecto, el alemán usa la sustitución trigonométrica

sin Φ = i tan ψ.

Este cambio de variable, evidente al experto, está justificado por ]]>

donde es el módulo conjugado de k. Este hecho crucial permite definir

sin am (iu, k) = i tan am (u, k')

y las demás funciones elípticas en el eje imaginario. Notemos que ha sido necesario especificar los módulos respectivos como un argumento adicional de la función. De este modo, sin am (con módulo k) resulta ser periódica en este eje con periodo igual a 2k', donde

De nuevo, la extensión a todos los complejos se realiza por la fórmula de adición. La función resultante tiene, entonces, un periodo real 4k y un periodo imaginario 4k'i . Sin embargo, debemos aclarar que Jacobi sabía ya que los periodos no tenían que ser ortogonales, tal como lo deja la par te b) de la cita siguiente (Jacobi, 1829):

]]> De las fórmulas anteriores, que deben considerarse fundamentales para el análisis de las funciones elípticas, queda claro que:

a) Las funciones elípticas del argumento imaginario iv, módulo k se pueden transformar en otras reales de argumentos v, módulo De donde, en general, las funciones elípticas del argumento complejo u + iv, módulo k, se componen de dos funciones elípticas, una de argumento u, módulo k, y otra de argumento v, módulo k'.

b) Las funciones elípticas gozan de dos periodos, uno real, otro imaginario siempre y cuando el módulo k sea real. Cuando dicho módulo es complejo, cada uno de los dos periodos es complejo. A esto es lo que llamaremos principio de la doble periodicidad. Con lo cual, se realiza la periodicidad analítica en la mayor generalidad posible. Así, las funciones elípticas no sólo se deben contar entre las otras funciones transcendentes, las cuales pueden tener muchas o mayores elegantes propiedades, sino que también se han de distinguir por poseer ciertas propiedades en un grado perfecto y absoluto.^xiii (pp. 86-87)

Estos asuntos estarían en el ojo del huracán para los matemáticos posteriores a Jacobi, tanto que, aún hoy, constituyen el punto de partida para el estudio de las funciones elípticas.

4.2.3 Transformaciones funcionales

Si las funciones surgen de las inversas de las integrales, entonces las transformaciones integrales se deben poder llevar a las funciones. Tal parece haber sido el pensamiento iluminador de la investigación en la primera parte de los Fundamenta Nova. Ciertamente, la transformación integral k → λ de más arriba se deja inter pretar como la transformación que convierte sin am (u, k) en sin am (u⁄w , λ). Con esto, Jacobi (1829) retoma sus teoremas para las transformaciones integrales y demuestra que los polinomios (numerador y denominador) que definen la transformación racional y = y(x) se expresan de manera muy elegante y concisa en términos de las funciones elípticas. De hecho, todos los resultados sobre las transformaciones integrales encuentran una reformulación más limpia en términos de las funciones. Tal como antes, la demostración de estas proposiciones descansa en la existencia de cantidades invariantes bajo la acción de un "grupo de sustituciones". En el presente caso de las transformaciones funcionales, se trata del gr upo de translaciones que introduce la doble periodicidad de las funciones elípticas.

Recordemos, así mismo, que dichas transformaciones no son únicas. Para un orden fijo n, existen varias de ellas. Al entenderlas dentro del contexto de las funciones elípticas, las distintas transformaciones de un mismo orden quedan determinadas por la cantidad

Jacobi (1829) distingue las transformaciones correspondientes a estos dos valores de ω con del adjetivo de "reales" (primera y segunda respectivamente). Las páginas 102 a 107 de los Fundamenta Nova (en la edición de las obras de Jacobi) contienen muchos detalles sobre las transformaciones reales.

Lo más interesante de todo es, sin embargo, el hecho de que Jacobi se aplica al estudio de ciertas propiedades de la "estructura" de las transformaciones elípticas. Se trata de propiedades interesantísimas. En primer lugar, Jacobi (1829) demuestra que toda transformación k → λ posee una transformación "complementaria" k' → λ', es decir una=transformación que envía el módulo conjugado al módulo conjugado . Más tarde, demuestra igualmente que la transformación k → λ tiene una transformación "suplementaria" λ→ k . Actualmente, diríamos que tiene una inversa. Con ello, el lector contemporáneo intuye que a las transformaciones elípticas se les puede dar una estructura de grupo y que Jacobi está indagando la "estructura de dicho grupo".

Estos hallazgos son mucho más que hechos estéticos aislados o descubrimientos elegantes. La verdad es que son, además, muy útiles. Con ayuda de su teoría de las transformaciones suplementarias (o inversas, como decimos hoy), Jacobi (1829) prueba que toda la teoría desarrollada por Abel (1827, 1828) sobre la división de las longitudes de arco elípticas es una consecuencia de la teoría de las transformaciones funcionales elípticas. Éste y otros hechos similares revelan que los Fundamenta Nova encierran un propósito de dimensiones titánicas: la teoría de las transformaciones elípticas contendría la solución a todos los problemas elípticos.

Mencionemos también que la primera parte de Jacobi (1829) también es una gran reconciliación con los grandes logros de Legendre (1825), en particular, en lo relativo al estudio de las llamadas integrales elípticas completas. La amistad intelectual de estos dos maestros se muestra repetidamente en sus escritos. El estilo de Jacobi es parecido al de Legendre y el alemán lo reconoce sin pensarlo dos veces. En el §22 de los Fundamenta Nova, Jacobi no sólo alaba una demostración del francés, sino que lo llama summus in hac doctrina arbiter (Jacobi, 1829, p. 94; en los Gesammelte Werke). De otro lado, Legendre toma claramente partido en favor de Jacobi sobre la originalidad de sus funciones elípticas, tal como es patente en el estudio de Cooke (2005).

Además de todo esto, los Fundamenta Nova contienen un detallado estudio de las ecuaciones modulares, es decir, las ecuaciones algebraicas que relacionan los módulos k y λ . Son éstas ecuaciones polinómicas en dos indeterminadas cuyas soluciones abarcan todas las transformaciones elípticas de un orden dado.

La bibliografía y las traducciones de los Fundamenta Nova son escasas, tal vez porque fueron escritos en latín, tal vez porque pasaron de moda muy rápidamente. En el trabajo de Solanilla (2011) se han estudiado la mayor parte de los detalles matemáticos e históricos que contiene la primera parte de esta obra.

Si nos limitamos a la primera parte (Abel, 1827, 1828, §I al §V) y a la primera parte de Jacobi (1829), notaremos que las diferencias, si bien evidentes, no son crucialmente significativas. Con el fin de elucidar este punto, traemos la siguiente tabla de resumen:

Como se puede ver, Jacobi (1829) logra mayores niveles de generalidad y explica, como un caso particular, el gran teorema de Abel (1827, 1828) sobre la lemniscata. Sin embargo, para contemplar con mayor claridad el alcance de Jacobi, es necesario revisar las segundas partes de estas obras, donde sus autores abordan las representaciones de las funciones elípticas en series y productos infinitos, en cuanto ellas son f unciones transcendentes. Es cierto que ambos lograron expresiones significativas para tales series y productos, sin embargo, Jacobi toma de nuevo la ventaja al introducir la función Θ, que la posteridad ha bautizado con su nombre. Las funciones elípticas se expresan transcendentalmente como cocientes de ciertas variaciones de esta función, un hecho que marcó la investigación en el área durante el resto del siglo XIX.

Algunos historiadores han tratado de reconstruir la rivalidad de Abel y Jacobi, un hecho que parece no estar confirmado en fuentes escritas directas. La obra de Abel apareció primero y Jacobi parece haber sido siempre muy respetuoso de los logros de su colega. Más aún, hay evidencia que Jacobi explicó a Legendre algunas cosas que él no entendía en el novedoso lenguaje de Abel (Cooke, 2005).

5. A MANERA DE CONCLUSIÓN

En la esfera de los requerimientos de rigor se evidencia un cambio de sustancia y de estilo. Euler (1707-1783) y La grange (1736-1813) podrían calificarse propiamente como apodícticos. De otro lado, Abel (1827) y Jacobi (1829), sin dejar de ser demostrativos, pueden considerarse mucho más constructivos. Estas afirmaciones merecen explicaciones adicionales. El artículo de Euler (1756-57), que trata la ecuación diferencial fundamental, está organizado en parágrafos muy cortos al rededor de un theorema y su respectiva demonstratio. El trabajo de Euler (1761), en el que se trata la aplicación de la teoría de esta ecuación diferencial a la solución de problemas geométricos en la elipse, también está organizado en ideas breves pero no en parágrafos sino en una cadena lemas, corolarios, escolios, problemas y casos dispuestos alrededor de un teorema principal y su demostración. Los trabajos de Abel y Jacobi, por el contrario, buscan relatar la construcción de las funciones elípticas, como se ha delineado más arriba. No es que no sean demostrativos, pero, sin duda, dan menos importancia a la demostración (que enfrentan en otras de sus obras). Este cambio significativo es el síntoma de un vuelco en la manera de concebir las matemáticas en la Europa de los años 1820-1830. Para Euler, el problema de la existencia de los objetos matemáticos no es central: la solución a una ecuación diferencial es la prueba de que existe. Abel y Jacobi, por otro lado, parten de una especie de definición y se ven en la obligación de mostrar que tales objetos (funciones elípticas) existen y poseen importantes propiedades. Se trata de un cambio decisivo en la esfera del pensamiento: lo matemáticamente posible da paso a lo matemáticamente existente, en cuanto se puede construir.

Aunado a lo anterior, conviene referirse brevemente a la motivación geométrica de Euler. Sin duda conoció el trabajo de Fagnano y se interesó por ciertos problemas geométricos de las cónicas centrales. Sin embargo, muy pronto el análisis infinitesimal detrás de la ecuación diferencial fundamental encerró y ocultó dicha motivación geométrica original. Lo geométrico, en los artículos de Euler sobre las integrales elípticas, tiene siempre el tinte de lo geométrico - infinitesimal.

Quizás con mayor precisión, deberíamos decir que la respuesta última, que explica la nueva manera de ver los objetos de la matemática, ha de buscarse en las justificaciones que los matemáticos de la primera mitad del siglo XIX esgrimieron para defender sus nuevas formas de acción. Nos referimos concretamente al vuelco ocurrido en la década de 1820, que llevó a los matemáticos a exigirse mayor rigor en la conceptualización (Sørensen, 2010; Schubring, 2005).

En un plano más concreto y particular, dicho cambio de enfoque se manifestó en la preferencia por lo algebraico y en un escaso interés por indagar en las bases de las funciones elípticas dentro de la Variable Compleja (como ocurrió después). Ciertamente, creemos que el papel protagónico de las fórmulas de adición (y las identidades elípticas que de ellas se derivan) debe entenderse como un esfuerzo por lograr un mayor rigor teórico, un rigor "algebraico" o "canónico", en el sentido de que las demostraciones se automatizan grandemente en la práctica. Para ellos, el análisis de lo transcendente evade de alguna manera el "rigor algebraico". Una práctica que han heredado los textos contemporáneos de Álgebra y Topología. Otro aspecto del mismo fenómeno sería la despreocupación por, lo actualmente llamado, análisis complejo. En verdad, tanto Abel (1827, 1828) como Jacobi (1829) emplean las más de las veces métodos de la variable real (extendidos de alguna forma correcta) para tratar las funciones complejas. En particular, el punto de partida de sus construcciones en el plano complejo es siempre la definición de las funciones en los ejes real e imaginario.

Desde esta perspectiva, las descripciones historiográficas más comunes y predominantes sobre los aportes de Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829) a los fundamentos de las funciones elípticas parecen ingenuas y hasta intrascendentes. Nos referimos concretamente a ese lugar común tan recurrente sobre la genialidad abeliana - jacobiana de invertir las integrales elípticas. Desde el punto de vista del profundo cambio vivían las matemáticas, dicha anotación, tan generalmente proferida sobre la materia, casi que se desvanece.

Respecto al desplazamiento del objeto de conocimiento desde la integral hasta la función elíptica, se pueden proponer las siguientes hipótesis explicativas:

- La imposibilidad de definir una función diferenciable en todo el cuerpo de los reales cuando se usa la función asociada a la integral elíptica de la primera especie.

- La fuerza de una tradición que se remonta a la antigüedad griega. A grosso modo, de alguna manera es más natural para el pensamiento matemático occidental trabajar con la función seno que con su inversa.

]]> - La fórmula de adición toma una forma más sencilla y práctica en las f unciones elípticas. Ciertamente, la versión de dicha fórmula para las integrales tiene inicialmente sentido sólo para un intervalo real. Luego, se hace necesario precisar varias e intricadas instrucciones (congruencias, por ejemplo) para llevarla a toda la recta.

 - La Variable Compleja provee el marco propicio para resolver el asunto de los dos pares de raíces conjugadas del polinomio de grado cuarto que determina la función elíptica. En otras, palabras el plano complejo es el espacio ideal donde se pueden tener dos periodos linealmente independientes.

Para finalizar, las funciones elípticas contemporáneas son consecuentes de las de Abel (1827, 1828) y Jacobi (1829). Todavía es posible trazar su genealogía y encontrar rasgos similares entre unas y otras. Sin embargo, todo parece indicar que ellas deben su ser no sólo al arduo trabajo matemático, sino también a nuevas concepciones sobre el "deber ser" de las Matemáticas. El rigor clásico del siglo XVIII ya no era suficiente. Europa era otra. Las matemáticas "debían ser" algo más riguroso, estricto y formal. Había que proponer definiciones y mostrar que ellas no eran superfluas, ya que era posible construir objetos que las satisfacían. Lo que se puede construir, existe.

RECONOCIMIENTOS

Esta investigación ha sido financiada parcial mente por la Vicerrectoría de Investigaciones de la Universidad de Medellín y el Comité Central de Investigaciones de la Universidad del Tolima, Ibagué, Colombia. Los autores agradecen igualmente al Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad de Medellín y a la Facultad de Ciencias de la Universidad del Tolima por su valiosa colaboración para el desarrollo de esta investigación. Así mismo, los autores manifiestan sus sentimientos de gratitud a los revisores y al equipo editorial de RELIME.

Anexo

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Notas

¹ En la actualidad existen varias formas equivalentes de construir la Variable Compleja, las cuales se pueden clasificar según el concepto de partida que se quiera adoptar. Por ejemplo, se puede definir una función holomorfa como aquella que es diferenciable en el sentido complejo en un abierto dado (es decir, que es real diferenciable y cumple las ecuaciones de Cauchy Riemann en dicho abierto), o bien se puede definir una función analítica como aquella que es desarrollable en series de potencias en el abierto. Los dos conceptos resultan ser equivalentes y existen muchas ot ras maneras de caracterizar dichas funciones. Invitamos el lector a hojear el teorema de caracterización en Remmert (1991, pp. 236-237).

² El estudio de estas singularidades fue tratado posterior mente por Liouville (1809-1882) y Weierstrass (1815-1897).