Optimum economic growth and population growth: a better Ramsey model version

Elvio Accinelli y Juan Gabriel Brida

Universidad Autónoma Metropolitana/Universidad Libre de Bolzano.

Resumen

Es usual en teoría del crecimiento económico asumir que la población crece exponencialmente. Esta hipótesis sólo es plausible en un periodo inicial, pero no puede mantenerse indefinidamente, pues implicaría que la población del planeta puede ser arbitrariamente grande. Este trabajo analiza el modelo de crecimiento económico óptimo de Ramsey sustituyendo la ley de crecimiento poblacional exponencial por la ecuación logística. Se demuestra que en este caso los valores de equilibrio de largo periodo coinciden con los del modelo clásico de Ramsey con tasa de crecimiento poblacional nula y se analiza la estabilidad del equilibrio.

Abstract

Usually standard economic growth theory assumes that population grows exponentially. This hypothesis is realistic only for an initial period, but it can not be valid indefinitely because, population growing exponentially can be arbitrarily large. In this paper we reformulate the Ramsey model of optimal economic growth by substituting the exponential population growth law by the logistic equation. We show that in this case the long run steady states values coincide with those of the original Ramsey model with zero population growth rate and we analyze the stability of the equilibrium.

Key words: population growth, Ramsey model.

Introducción

En el modelo de crecimiento óptimo de Ramsey (Ramsey, 1928; Cass, 1965, y Koopmans, 1965) la población L crece a una tasa constante n > 0. Esto implica que L crece exponencialmente y para cada condición inicial L(0) = Lo, el nivel de la población al tiempo t es L(t) = Lo e^nt. Este sencillo modelo exponencial representa fielmente el crecimiento poblacional solamente en el periodo inicial, pues creciendo exponencialmente la fuerza de trabajo crecería al infinito cuando el tiempo tiende al infinito, lo que claramente es insostenible. El modelo exponencial no se ajusta a las reducciones en el crecimiento de la población debidas a la competencia por los recursos ambientales como comida y territorio. Ya en 1838, Verhulst sostuvo que una población estable debe llegar a un nivel de saturación característico, usualmente llamado capacidad de carga del ambiente, que define una cota superior del crecimiento. En los trabajos de Daily et al. (1992) y Arrow et al. (1995), el lector puede encontrar información detallada acerca del concepto de capacidad de carga de algunos métodos para calcular la capacidad de carga de la Tierra y aplicaciones en teoría del crecimiento económico. Con una población mundial de más de seis mil millones de personas, los expertos en crecimiento poblacional indican que hemos entrado en una zona donde se pueden ver claramente límites en la capacidad de carga del planeta (Day, 1996; Brown, 1984). Esto nos define el primer hecho estilizado del crecimiento de la población: la capacidad de carga del planeta define una cota superior del tamaño de la población que no puede ser superada.

Otra regularidad empírica en el crecimiento poblacional es que las tasas de crecimiento de la población han comenzado a disminuir notoriamente en las últimas décadas y sus valores son cercanos a cero. Incluso se han observado regiones del planeta con tasas de crecimiento de la población negativas durante largos periodos de tiempo.

Entre los años 2000 y 2005, la población mundial creció actualmente a razón de 1.31 por ciento, por año, cifra considerablemente más baja que 1.71 por ciento en los dos decenios previos. Las proyecciones de la variante media en materia de fecundidad efectuadas por las Naciones Unidas indican que la tasa de crecimiento de la población seguirá decreciendo hasta 0.3%, pronosticado para el quinqueño 2045-2050 (World Population Prospects, 2002). Esto nos define el segundo hecho estilizado del crecimiento de la población: la tasa de crecimiento de la población es decreciente y tiende a ser nula.

1. La población es estrictamente creciente y acotada por la capacidad de carga del planeta L_∞:

2. La tasa de crecimiento de la población decrece a 0:

Existen en la literatura muchos ejemplos de modelos de crecimiento poblacional que verifican estas propiedades básicas. El más conocido es la ley logística, introducida por Verhulst (1838) como una extensión del modelo exponencial (Schtickzelle, 1981). La ecuación logística también se conoce como ley de Verhulst-Pearl, toda vez que fue Pearl (1920) quien la popularizó, usándola para describir los datos del crecimiento de la población de Estados Unidos desde 1790 a 1920. En los trabajos de Leach (1981) y Coke (1986), el lector puede encontrar una revisión detallada acerca del modelo logístico y de su uso para describir la dinámica de poblaciones humanas.

La curva logística es la solución del problema:

Y entonces tenemos que:

De aquí se observa que esta función verifica que L(t) > 0, ∀t > 0y lim_t-∞ L(t) = L_∞. La tasa de crecimiento de la ecuación logística es:

que es una función de t decreciente a 0.

Más adelante introducimos el modelo clásico de Ramsey y posteriormente lo modificaremos, cambiando la función exponencial de crecimiento de la población por la ley logística. En ambos casos hacemos un análisis de los estados estacionarios del modelo. Finalmente, en la última sección presentamos algunas conclusiones y posibles extensiones del trabajo. Este trabajo se entiende como una continuación de los ejercicios precedentes: Mingari y Ritelli (2003), Brida y Limas (2005), Accinelli y Brida (2005), Brida et al. (2006) y Brida (2006), donde se hace un análisis del clásico modelo de crecimiento económico de Solow, que en el caso particular de la ley de crecimiento de la población es de tipo logístico y está representada por la ley de Bertalanffy o sigue la ecuación de Richards.

El modelo de Ramsey

Consideremos primeramente el modelo clásico de Ramsey en tiempo continuo, que es la base de gran parte de la literatura en crecimiento económico óptimo. Empezamos definiendo las variables que intervienen en el modelo. Denotamos mediante Y = Y(t) el ingreso, K(t) es el stock de capital, C = C(t) es el consumo e I = I(t) es la inversión, y suponemos que el ingreso se divide en consumo e inversión:

Y que la variación del stock de capital iguala la inversión menos la depreciación 8K(t):

Si L = L(t) es la fuerza de trabajo (identificada con la población), asumimos que crece a una tasa constante n > 0. En tiempo t continuo es natural definir esta tasa de crecimiento como:

lo que implica que la fuerza de trabajo L crece exponencialmente y para cada condición inicial L(0) = Lo , el nivel de la fuerza de trabajo al tiempo t es:

Si y = (Y/L), k = (K/L) y c = (C/L) son el ingreso, capital y consumo per cápita, tenemos que:

Supongamos que tenemos una función de producción en forma intensiva f que expresa el ingreso, y como función del capital k (y = fk)), que verifica las propiedades usuales:

Entonces, sustituyendo en (1), obtenemos:

Supongamos que u(c) denota la utilidad del consumo per cápita c y, como es usual, suponemos que u'(c) >0 y u"(c) < 0. Si denotamos mediante k(0 ) = ko y mediante L(0) = Lo los valores iniciales en t = 0 del capital per cápita y la población, el problema a resolver es el de maximizar la utilidad (descontada por un factor p) sujeto a la ecuación (2); esto es:

La solución óptima del problema

El principio de maximización de Pontriaguin permite la resolución del programa de optimización definido por (3). El hamiltoniano de este problema es:

que tiene las siguientes condiciones de primer orden:

Estas pueden ser expresadas como:

Los supuestos considerados en el modelo hacen que una solución del programa (3) lo sea si y sólo si es solución del sistema de ecuaciones definido por las condiciones de primer orden. Asi como están expresadas, estas ecuaciones no son fáciles de interpretar y resolver, Es por esto que haremos algunas modificaciones para obtener un sistema de dos ecuaciones diferenciales en términos de la variable de estado k y de la variable de control c. Derivando la condición u'(c) = λ respecto a t, tenemos que:

y por lo tanto es:

y como u'(c) = λ podemos expresarla como:

Pero como σ(c) = -(cu"(c)/u'(c)) es la medida de adversión al riesgo relativo de Arrow-Pratt (ver Pratt, 1964), entonces es:

Entonces el modelo está representado por el sistema de ecuaciones diferenciales:

Los equilibrios (o estado estacionario) del sistema son las soluciones de:

Los valores de c y k que se obtengan como solución de las ecuaciones anteriores representan el estado estacionario, es decir, un estado en el que el consumo percápita y el capital percápita se mantendrán constantes. Excluyendo las soluciones triviales que se obtienen de considerar c = 0 o k = 0, se deduce que el modelo tiene como equilibrio la pareja que verifica

Sabemos que f' (k) > 0 y f" (k) < 0, para todo k > 0 y esto implica que c y k son funciones decrecientes de n; esto es, cuanto más grande es la tasa de crecimiento de la población, menor es el consumo y el capital per cápita de equilibrio y los máximos valores se obtienen para n = 0.

Estabilidad de la solución

Para estudiar la estabilidad del modelo, podemos utilizar la linearización de la función:

y el polinomio característico de esta matriz es:

que, siendo tiene dos raíces reales: una positivay la otra negativa. Esto implica que el estado estacionario es un punto de silla y, por lo tanto, un equilibrio inestable. Por lo tanto, sólo para determinado tipo de condiciones iniciales en el capital y en el consumo (las que se ubiquen sobre el camino de ensilladura) podrán las trayectorias óptimas alcanzar el estado estacionario.

El modelo de Ramsey con ley logística de crecimiento de la población

En lo que sigue vamos a modificar el modelo de la sección anterior cambiando la ley de crecimiento exponencial de la población:

mediante la ley logística:

y manteniendo inalteradas las demás componentes del modelo. En este caso es:

y entonces ahora el problema a resolver es el de maximizar la utilidad (descontada por un factor ρ) sujeto a las ecuaciónes (2) y (4); i.e.:

El hamiltoniano de este problema se puede expresar como:

que tiene las siguientes condiciones de primer orden:

Usando como en la sección anterior que u'(c) = λ y que u''(c) = λ tenemos que:

Sustituyendo ó(c) = -(cu"(c)/u'(c)) en la ecuación anterior obtenemos:

Entonces el modelo está representado por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

Los equilibrios del modelo son las soluciones del sistema:

Excluyendo las soluciones triviales que se obtienen de considerar c = 0, k = 0 o L = 0, tenemos que el modelo tiene como equilibrio la terna que verifica:

Obsérvese que los valores de equilibrio de capital y consumo para el estado estacionario de este modelo no dependen ni de la tasa de crecimiento de la población ni de los coeficientes de la ley logística, y coinciden con los valores de equilibrios del modelo de Ramsey clásico con tasa de crecimiento n = 0. De esto se deduce que los valores de equilibrio del modelo con ley logística son mayores que los valores del modelo clásico. Podemos entonces inferir que en un cierto sentido el modelo de Ramsey con crecimiento logístico de la población mejora el modelo clásico.

alrededor de este punto. La matriz jacobiana de la aproximación lineal es:

y el polinomio característico de esta matriz es:

que, siendo tiene tres raíces reales: una positiva y la dos negativas. Esto implica que el estado estacionario es un punto de silla y por lo tanto un equilibrio inestable.

Conclusiones

En teoría del crecimiento económico se asume normalmente que el crecimiento de la población es exponencial, lo que es claramente poco real. Una hipótesis más real es suponer que la población sigue la ley de crecimiento logístico y en este trabajo hemos asumido esto. Luego, hemos demostrado que el modelo con ley logística tiene un único equilibrio (no trivial) que es inestable, como en el caso del modelo con ley exponencial. Además, el equilibrio del modelo modificado no depende de la tasa de crecimiento de la población ni de ninguno de los parámetros de la ley logística, y sus valores de consumo y capital per cápita son mayores que los del modelo clásico, cualquiera sea la tasa constante n > 0 de crecimiento de la población. En este sentido, podemo decir que el modelo que presentamos en este trabajo mejora los resultados del modelo original.

En el equilibrio del modelo clásico, el consumo y la producción agregados (C y K) tienden a infinito cuando t crece, pues c y k son positivos y la población crece exponencialmente al infinito. Esta situación irreal tambien se mejora en el modelo con población logística, ya que en su equilibrio , el consumo y la producción agregados tienden a los valores finitos En ambos modelos el equilibrio es inestable, por lo que en definitiva será un planificador central el responsable de ubicar a la economía en el camino de ensilladura, el único que lleva al estado estacionario.

En las demostraciones presentadas en este trabajo podemos sustituir la ecuación logística con cualquier ecuación diferencial autónoma en la variable L que tenga soluciones que verifican las condiciones pedidas. Por lo tanto, el resultado vale, por ejemplo, cuando se toman como ley de crecimiento poblacional las ecuaciones de Richards (1959), Bertalanffy (1938) o Gompertz (1825). Una posible extensión de este trabajo podría ser la demostración de que el resultado obtenido es genérico; esto es, modificar el modelo de Ramsey sustituyendo la ley exponencial de crecimiento de la población con una ley cualquiera L(t) que verifique las siguientes propiedades:

• la población es estrictamente creciente y acotada por la capacidad de carga del planeta L_∞ : L(0) = Lo > 0; L(t) > 0, para todo t > 0 y lim_t→∞ L(t) = Lo

• la tasa de crecimiento de la población decrece a 0:

La conjetura es que se podría obtener un resultado similar al obtenido para el modelo de Solow en Brida (2006). Otra posible extensión del presente trabajo sería la búsqueda de la solución del sistema de ecuaciones (5) en forma cerrada. Para esto habría que hacer algunas hipótesis acerca de la forma de las funciones f(k) y σ(c).

Bibliografía

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Nota

* Los autores desean agradecer la ayuda financiera para la investigación otorgada por la Universidad de Bolzano proyecto Multiregime Dynamics in Economics y por el Conacyt proyecto número 42609; título Modelado matemático del cambio en economía.

Información sobre los autores

Elvio Accinelli. Es licenciado en Matemática por la Universidad de la República, Uruguay, y doctor en Ciencias por el IMPA, Brasil. A partir de enero 2006 es miembro del Sistema Nacional de Investigadores del Conacyt, nivel 2. Ha publicado el libro Elementos de la teoría de conjuntos y de la topología en la teoría del equilibrio general, México, 2005; y artículos en revistas especializadas: Structural stability in economies on banach's spaces, en coautoría con Martin Puchet Anyul, 2006. Líneas actuales de investigación: juegos evolutivos: dinámica de juegos evolutivos simétricos, aplicaciones de la teoría de catástrofe en economía, se intenta clasificar los diferentes tipos de variedades de equilibrios walrasianos, a partir de la clasificación de las singularidades, aplicaciones del análisis estocástico al equilibrio general, se trata de analizar economías en las que existen opciones, cuyos precios pueden modelarse como procesos estocásticos. Se ha desempeñado como profesor en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de la República, en Uruguay. Correo electrónico: elvio@correo.xoc.uam.mx.

Juan Gabriel Brida. Doctor en Economía por la Universidad de Siena. Es licenciado en Matemática por la Universidad de la República, Uruguay. Publicaciones recientes: A review on the notion of economic regime, 2006, en coautoría con Martin Puchet Anyul y Lionello F. Punzo; "The Ramsey model with logistic population growt", 2006. en coautoría con Elvio Accinelli, publicado en Economic Letters; "A bask learning cycle", 2006, en coautoría con Debora Di Caprio and Francisco J. Santos-Arteaga, publicado en Economics Letters. Actualmente tiene el cargo de Assistant Professor in Mathematics for Economics, School of Economics and Management, Free University of Bozen-Bolzano; también ha dictado cursos universitarios de macroeconomía y microeconomía en la Facultad de Economía de la Universidad de Siena. Correo electrónico: JuanGabriel.Brida@unibz.it.