Semiqualitative Methodology to Reasoning about Dynamic Systems
J. A. Ortega1, R. M. Gasca1, J. Torres1, M. Toro1, L. González1, F. Velasco1, C. Angulo2
1 Universidad de Sevilla. Av. Reina Mercedes s/n 41012 – Sevilla (Spain) e–mail: ortega@lsi.us.es
2 Universidad Politécnica de Cataluña.
Artículo recibido en enero 25, 2000 ]]> Aceptado en noviembre 05, 2004
Resumen
En este artículo se propone una metodología para razonar sobre los modelos semicualitativos construidos para sistemas dinámicos con conocimiento cualitativo y cuantitativo. La información cualitativa de estos sistemas puede componerse de: operadores cualitativos, etiquetas cualitativas, funciones de bandas y funciones continuas cualitativas. Se presenta un formalismo para incorporar esta información a los modelos. La metodología propuesta permite estudiar no sólo del régimen estacionario, ampliamente estudiado en la literatura, sino que además posibilita realizar un estudio del régimen transitorio de los sistemas. Se presenta también un estudio teórico sobre la validez de las conclusiones obtenidas la metodología. Los comportamientos del sistema se pueden obtener automáticamente aplicando algoritmos de clustering y se expresan mediante un conjunto de reglas jerárquicas obtenidas mediante algoritmos genéticos. La metodología se ha aplicado a un par de modelos, siendo uno el modelo de dos estanques interconectados y otro un modelo de crecimiento logístico donde se ha incorporado un retraso en el bucle de realimentación.
Palabras clave: Modelos semicualitativos, Representación del conocimiento, Razonamiento cualitativo.
Abstract
In this article a methodology to reason over semiqualitative models built for dinamic systems with qualitative and quantitative knowledge is proposed. The qualitative information of these systems can be composed of: qualitative operators, qualitative labels, bands functions and qualitative continuous functions. A formalism to incorporate this information to the models is presented. The proposed methodology allows to study not just about the stationary regime, widely studied in the literature, but also it makes possible to carry out a study of the transitory regime of the systems. It also presents a theoretical study about the validity of the conclusions obtained in the methodology. The behaviours of the system can be obtained automatically applying clustering algorithms and are expressed through a set of hierarchical rules obtained from genetics algorithms. The methodology has been applied to a couple of models, one of them is the interconnected pools model and the other a logistical growing model where a delay in the feedback curls has been incorporated.
Keywords: Semiqualitative models, Knowledge representation, Qualitative reasoning.
]]> DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF
Apéndice A
En este apéndice se demuestra el siguiente teorema:
Teorema: Sea p la probabilidad de que una trayectoria r verifique una propiedad Q, el número de trayectorias, y α el grado de confianza. La probabilidad p verifica que:
Demostración:
La esperanza matemática E[x] de una variable aleatoria x se define como
Realizando manipulación simbólica y sustituyendo la suma geométrica por su valor se obtiene
]]>
Por otro lado, y aplicando la desigualdad de Chevyshev
sustituyendo el sumatorio por su valor
por lo tanto se obtiene que
sustituyendo E[x] por su valor obtenido en (26), y si se aplica (14),
operando de manera simbólica, se demuestra el teorema
]]>
En la bibliografía existen otras aproximaciones para intentar justificar la idoneidad de aplicar el método de Monte Carlo a la hora de simular un conjunto de sistemas que evolucionan en el tiempo. En (Lagoa y Barmish, 2001) se realiza una aproximación intentando demostrar la selección que se hace, sin embargo, focalizándolo en consideraciones sobre la robustez de la distribución de Monte Carlo que se selecciona. En nuestro caso, demostramos que nuestra aproximación es independiente del modelo de selección que se haya elegido para aplicar el método de selección de valores, esto es, la distribución particular elegida.
Referencias
1. Adriaans P., y Zantinge D., "Data Mining" Addison Wesley Longman, 1996. [ Links ]
2. Agell N., Prats F., Sánchez M., Travé–Massuyès L., "A gateway from absolute to relative order of magnitude", The 14th International Workshop on Qualitative Reasoning, 2000, Morelia (México). [ Links ]
3. Aguilar J., Riquelme J., y Toro M., "Decision queue classifier for supervised learning using rotated hyperboxes", en Lecture Notes in Artificial Intelligence n° 1484, 1998, pp. 326–336. [ Links ]
4. Agrawal R., Lin K.I., Sawhney H.S., y Shim K., "Fast similarity search in presence of noise, scaling, and translation in time series databases", en The 21th VLDB Conference, 1995, Zurich (Switzerland). [ Links ]
5. Alefeld G. y Herzberger J., "Introduction to Interval Computations", Academic Press, New York. 1983. [ Links ]
6. Aracil J., Ponce E., Pizarro L., "Behavior patterns of logistic models with a delay", en Mathematics and computer in simulation 44, 1997, pp. 123–141. [ Links ]
7. Berleant D. y Kuipers B.J., "Qualitative and quantitative simulation: bridging the gap" en Artificial Intelligence 95, 1997, pp. 215–255. [ Links ]
8. Bonarini A. y G. Bontempi G., "Qua.SI.: Qualitative Simulation approach for fuzzy models", en Proceedings of ESM'94, Barcelona (España) 1994, pp. 420–424. [ Links ]
9. Bousson K. y Travé–Massuyès L., "Putting more numbers in the qualitative simulator CA–EN", en Proceedings of the 2nd International Conference on Intelligent Systems Engineering, 1994. [ Links ]
10. Corliss G.F., "Guaranteed error bounds for ordinary differential equations", en Theory of Numerics in Ordinary and Partial Differential Equations. Oxford University Press. 1995. [ Links ]
11. Ester M., Kriegel H.–P., Sander J., y Xu X., "A density–based algorithm for discovering clusters in large spatial database with noise", en International Conference on Knowledge Discovery in Databases and Data Mining (KDD–96), Portland (USA), 1996, pp. 226–231. [ Links ]
12. Fayyad U., Piatetsky–Shapiro G., y Smyth P. "The KDD process for extrating useful knowledge from volumes of data", en Communications of the ACM Vol 39 n° 11, 1996, pp. 27–34. [ Links ]
13. Gasca R.M., Toro M., Ortega J.A. "Propagación de restricciones integrando conocimiento cualitativo y cuantitativo", en Boletín de AEPIA núm 6, 1996, pp. 23–30. [ Links ]
14. Gasca R.M. "Razonamiento y Simulación en Sistemas que integran conocimiento cualitativo y cuantitativo". Ph.D. Thesis, Universidad de Sevilla (España), 1998. [ Links ]
15. Guha S., Rastogi R., y Shim K., "CURE: And efficient clustering algorithm for large databases", en Proceedings ACMSIGMOD International Conference Management of Data New York (USA), 1998, pp. 73–84. [ Links ]
16. Hickey T.J., "CLP(F) and Constrained ODEs". Technical Report 1994. [ Links ]
17. Karsky M., Dore J.–C., y Gueneau P., "Da la possibilité d'apparition de catastrophes différès", en Ecodecision n° 6, 1992. [ Links ]
18. Karypis G.; Han E.–H.; y Kumar V., "Chameleon: Hierarchical clustering using dynamic modeling" Computer n° 32 (8), pp. 68–75, 1999. [ Links ]
19. Kay H., "Refining imprecise models and their behaviors". Ph.D. Thesis University of Texas (USA), 1996. [ Links ]
20. Kuipers B.J., "Qualitative reasoning. Modeling and simulation with incomplete knowledge". The MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1994. [ Links ]
21. Lagoa C.M y Barmish B.R. "Distributionally Robust Monte Carlo Simulation: A Tutorial Survey" Technical Report EECS 01–01 Electrical Engineering and Computer Science Department Case Western Reserve University, 2001. [ Links ]
22. Mavrovouniotis M.L. y Stephanopoulos G., "Formal order–of–magnitude reasoning", en Readings in Qualitative Reasoning about Physical Systems, 1990, pp. 323–336. [ Links ]
23. Moore R.E., "Methods and Applications of Interval Analysis" SIAM Studies in Applied Mathematics Philadelphia, (PA) 1979. [ Links ]
24. Ortega J.A., Gasca R.M. y Toro M., "Automatización del análisis y simulación de modelos cualitativos mediante restricciones". Actas de la VII Conferencia Asociación Española para Inteligencia Artificial, pp. 85–94, Málaga (España), 1997. [ Links ]
25. Ortega J.A., Gasca R.M. y Toro M., "Including qualitative knowledge in semiqualitative dynamical systems", en Lecture Notes in Artificial Intelligence 1415, 1998, pp. 329–335. [ Links ]
26. Ortega J.A., Gasca R.M. y Toro M. "Obtaining semi–qualitative behaviors of dynamic systems by means of quantitative simulations". Workshop Model based systems and qualitative reasoning of the Thirtieth European Conference on Artificial Intelligence, Brigthon (UK), pp. 21–26, 1998. [ Links ]
27. Ortega J.A., Gasca R.M. y Toro M., "A semiqualitative methodology for reasoning about dynamic systems". The 13th International Workshop on Qualitative. Reasoning Loch Awe (Scotland), pp. 169–177,1999a. [ Links ]
28. Ortega J.A., Gasca R.M. y Toro M., "A new methodology for reasoning about semiqualitative dynamical systems". The 3rd IMACS / IEEE International Multiconference on: Circuits, Systems, Communications and Computers – Software and hardware for the 21th Century Athens (Greece), pp. 33–38, 1999b. [ Links ]
29. Ortega J.A., Gasca R.M. y Toro M., "Behavior patterns of semiqualitative dynamic systems by means of quantitative simulations", en The 16th International Joint Conference on Artificial Intelligence. Qualitative and model based reasoning for complex systems and their control, Estocolmo (Suecia), 1999, pp. 42–48. [ Links ]
30. Ortega J.A., "Patrones de comportamiento temporal en modelos semicualitativos con restricciones". Tesis doctoral, Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos, Universidad de Sevilla, 2000. [ Links ]
31. Travé–Massuyès, Dague Ph. y Guerrin F., "Le raisonement qualitativ pour les sciences de l'ingènieur". Hermes Ed. Paris 1997. [ Links ]
32. Vescovi M, Farquhar A., e Iwasaki Y. "Numerical interval simulation: combined qualitative and quantitative simulation to bound behaviors of non–monotonic systems" en Proceedings 14th International Joint Conference on Artificial Intelligence, 1995, pp. 1806–1812. [ Links ] ]]>