Aproximación empírica a la solución bivariada de avenidas de diseño en embalses sin hidrometría

Empirical approach to the bivariate solution for flood desing in reservoirs without hydrometrical data

Daniel F. Campos–Aranda*

Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí. Genaro Codina # 240. 78280. San Luis Potosí, San Luis Potosí. *Autor responsable: (campos_aranda@hotmail.com).

Resumen

La estimación de avenidas de diseño, conjuntando información hidrométrica de gastos máximos anuales y sus correspondientes volúmenes de su hidrograma (V), ha sido resuelta en México a través del análisis probabilístico bivariado. Las soluciones de este procedimiento aplicado a 15 presas existentes y una en proyecto, se analizaron para buscar un patrón de comportamiento estadístico y formular una aproximación empírica, la cual no requiere de la información citada. De acuerdo con este enfoque el hidrograma de la avenida de diseño tiene un gasto pico (Qp) con un periodo de retorno de 275 años, estimado con base en métodos regionales, su tiempo al pico (Tp) es igual al tiempo de concentración de la cuenca y su forma y volumen (V) están definidos por un hidrograma sintético tipo Gamma con 3.975 como parámetro de forma. El contraste entre los elementos (Qp, Tp y V) de la aproximación empírica y los de la solución bivariada conduce a errores relativos máximos por defecto en el Qp no superiores al 21 %, los cuales no se trasladan al error relativo del V. Se realizaron dos aplicaciones numéricas, la primera en una presa con cuenca pequeña y sin datos hidrométricos y la segunda en un embalse en construcción con cuenca grande aforada. Se muestra que el procedimiento desarrollado es bastante simple y exacto, teniendo una importancia trascendente en la revisión de la seguridad hidrológica de miles de presas que no cuentan con información hidrométrica y que por sus características de ubicación, capacidad y antigüedad de diseño son estructuras hidráulicas peligrosas.

Palabras clave: seguridad hidrológica, hidrogramas de diseño, tiempo de concentración, hidrogramas Gamma, presa Las Ánimas, proyecto El Zapotillo.

Abstract

The estimation of design floods, putting together hydrometric information of annual maximum flows and their corresponding volumes in their hydrographs (V), has been resolved in México through the bivariate probabilistic analysis. The solutions of this procedure applied to 15 existing dams and one in draft were analyzed looking for a pattern of statistical behavior and formulating an empirical approach that does not require the above information. According to this approach, the hydrograph of the design flood has a peak flow (Qp) with a return period of 275 years, an estimation based on regional methods. Its peak time (Tp) is equal to the time of concentration of the basin and its shape and volume (V) are defined by a synthetic Gamma type hydrograph with 3.975 as shape parameter. The contrast between the elements (Qp, Tp and V) of the empirical approach and the bivariate solution leads to maximum relative errors by default in Qp not over 21 %, which do not transfer to the relative error of V. Two numerical applications were performed; the first in a small watershed dam with no hydrometric data, and the second in a reservoir under construction with a large gauged basin. The procedure developed is shown to be quite simple and accurate, of the utmost importance when checking the hydrological safety of thousands of dams that have no hydrometric information, and because of their characteristics of location, capacity and design age are dangerous hydraulic structures.

Key words: hydrological safety, design hydrographs, time of concentration, Gamma hydrographs, Las Animas dam, El Zapotillo project.

Introducción

En México, el problema de estimar el hidrograma de la avenida de diseño fue resuelto probabilísticamente usando la información de gastos máximos anuales y sus respectivos volúmenes del hidrograma que generaron tales avenidas (Aldama y Ramírez, 1999). Para tal solución se usó el análisis de frecuencias conjunto de gastos y volúmenes máximos anuales, es decir, una solución bivariada (Ramírez y Aldama, 2000 y Aldama et al, 2006). Este procedimiento fue desarrollado para el diseño o la revisión de vertedores de presas que cuentan con la información hidrométrica citada; estima el hidrograma de la avenida cuyo periodo de retorno conjunto de gasto máximo y volumen es de 10 000 años.

El objetivo fundamental del presente estudio fue buscar un patrón de comportamiento estadístico y realizar un análisis crítico a los resultados obtenidos en las 16 soluciones bivariadas elaboradas por Aldama et al. (2006), para revisar 15 presas importantes y una en proyecto en México. Ya identificadas las características estadísticas, se formuló y contrastó un procedimiento para el diseño o la revisión de vertedores, preferentemente de presas pequeñas y medianas, el cual no requiere información hidrométrica en el sitio del proyecto, pero sí regionalmente exclusivamente sobre gastos máximos anuales. La aproximación empírica desarrollada se aplicó en dos presas del país, para revisar su seguridad hidrológica.

La base de datos de la CONAGUA registra un total de 4 800 presas construidas en México (Oliva, 1999). La mayoría de estas presas aprovechan los escurrimientos de cuencas rurales pequeñas y medianas y por tanto no cuentan con datos de aforo. Sin embargo, muchas de dichas presas pueden ser consideradas peligrosas por su ubicación, mientras que otras quizás han sufrido modificaciones (Del Razo, 1999) y requieren una revisión urgente de su seguridad hidrológica. Lo anterior destaca la enorme importancia de contar con un procedimiento simple para estimar los hidrogramas que permiten revisar la seguridad hidrológica, los cuales reproducen las condiciones críticas a las que conduce la solución bivariada.

MATERIALES Y MÉTODOS

Información hidrométrica utilizada

Corresponde a la disponible sobre gastos máximos anuales y sus correspondientes volúmenes en 16 presas importantes de México (Aldama et al, 2006). Las características de esta información están en el Cuadro 1, cuyo orden de presentación es progresivo con la magnitud de cuenca en km². El total de parejas de datos de gasto–volumen procesados fue 620. En las últimas cuatro columnas del Cuadro 1 se presentan los elementos básicos de la solución bivariada obtenidos por Aldama et al. (2006), que corresponde a un periodo de retorno conjunto de 10 000 años.

Procesamiento probabilistico univariado

Periodos de tetofno del gasto máximo de la solución bivariada

La primera búsqueda del comportamiento de la solución bivariada consistió en obtener el periodo de retorno (Tr) del gasto máximo (columna 6 del Cuadro 1) como evento univariado, al comparar éste con las predicciones respectivas del Cuadro 2. Así, para la presa Madín el gasto pico de la solución bivariada fue de 530 m³ •s^–1, al cual le corresponde un Tr de 544.8 años y para el embalse El Infiernillo, con un gasto máximo de 49 225 m³ •s^–1 corresponde un Tr de 360.3 años. Los demás resultados están en la columna 2 del Cuadro 3, con sus valores extremos y centrales en los últimos renglones.

Estimación de un tiempo al pico representativo

El hidrograma de tormenta aislada tiene una rama ascendente que termina en el gasto máximo o pico (Qp), en una duración llamada tiempo al pico (Tp) y una rama descendente llamada de recesión; la suma de ambos lapsos es el tiempo base (Tb). El área bajo el hidrograma es el volumen (V) de la avenida.

La segunda parte de la búsqueda de un comportamiento estadístico en la solución bivariada comienza determinando el Tp de cada pareja de datos de gasto–volumen anuales, considerando el modelo de hidrograma triangular propuesto por el U. S. Soil Conservation Service, cuyo tiempo de recesión es 1.667 veces el Tp (Snider, 1972); por lo cual:

donde, V es el volumen del hidrograma en m³, Qp es el gasto pico en m³ •s^–1 y Tp es el tiempo al pico en segundos.

En cada una de las 16 series formadas por los Tp calculados, tantos como número de parejas de gasto–volumen anuales en cada presa (columna 3, Cuadro 1), se ajustó la distribución Pearson tipo III de dos parámetros también conocida como modelo Gamma (Campos, 2005), para obtener la moda (Mo) y la mediana poblacional. Los resultados están en el Cuadro 4, conjuntamente con otros valores extremos y relaciones muéstrales.

Contraste del tiempo al pico de la solución bivariada

Hidrogramas tipo Gamma

Multiplicando por el volumen del hidrograma (V) a la función de densidad de probabilidad de la distribución Pearson tipo III, se puede representar un hidrograma de tormenta aislada, cuya expresión es (Croley, 1980):

donde, q(t) es el gasto (m³ •s^–1) en cualquier tiempo t en segundos; V es el volumen (m³), γ es el parámetro de forma β el de escala, ambos positivos, el primero adimensional y el segundo con unidades de tiempo (segundos); Γ(•) es la función Gamma, la cual se puede evaluar con la aproximación de Stirling (Davis, 1972):

La derivada de la ecuación 2 igualada a cero, es decir, en el Tp conduce a:

ecuación que corresponde a la moda según esta distribución. La adopción del hidrograma Gamma para representar a las crecientes de diseño es arbitraria y conveniente, pero igual lo es cualquier otra parametrización desarrollada y utilizada como las propuestas por Ramírez y Aldama (2000).

En Campos (2008b) se puede consultar el procedimiento de Croley (1980) que permite obtener los valores de γ y β de cada hidrograma, cuando se conocen Qp, Tp y V.

Con base en el procedimiento de Croley (1980), se procesaron los 16 datos de gasto pico y volumen de la solución bivariada, utilizando como tiempo al pico (Tp) el valor de la moda (Mo) del Cuadro 4. Los resultados obtenidos para los parámetros de forma y escala están en las dos últimas columnas del Cuadro 3. Se observa una forma de hidrograma similar en la mayoría de los 16 casos procesados, representada por un parámetro de forma (γ) del orden de 3.975 y mostrando diferencias extremas sutiles exclusivamente en las presas Madín y Josefa Ortiz de Domínguez.

Tendencia y anomalías detectadas en la solución bivariada

Una primera inspección a los periodos de retorno del gasto pico (Qp) de la solución bivariada (columna 2, Cuadro 3) indicaría que son muy reducidos; sin embargo cuando se revisa el cociente entre el Qp y el gasto máximo observado (columna 5, Cuadro 1), se encuentra que varía únicamente de 1.327 a 2.597 con una moda de 1.849, según valores de la columna 3 del Cuadro 3; es decir, este cociente es bastante reducido, ratificando la tendencia de los resultados.

La aplicación de la ecuación 1 para estimar el Tp permite detectar parejas de valores gasto–volumen anuales que pudieran ser datos erróneos. Por ejemplo, en la presa Josefa Ortiz de Domínguez en los años 1968 y 1969 los datos de gasto (m³ •s^–1) y volumen (Mm³) son: 73.79–95.91 y 105.90–129.45, los cuales conducen a valores del Tp de 270.8 h y 254.7 h; estas magnitudes se apartan notablemente del resto de estimaciones del Tp las cuales varían de 7.3 a 44.6 h. Tales datos fueron eliminados de los análisis del Cuadro 4. En cambio, al ser incluidos en la solución bivariada conducen a estimaciones muy elevadas del Tp (columna 4, Cuadro 3).

La anomalía más relevante se observa en la presa Adolfo López Mateos (Humaya), en la cual las estimaciones del Tp con base en la ecuación 1 conducen a valores que fluctúan de 33.5 a 352.8 h, con una moda de 72.8 h. Por lo anterior, se considera que la adopción de un valor del Tp=9.75 h en la solución bivariada está fuera de la realidad, es decir, de lo factible de ocurrir en una cuenca de 10 972 km² para que genere un gasto pico de 12 270 m³ •s^–1. El caso contrario ocurre en la presa Ignacio Allende, donde las estimaciones del Tp con la ecuación 1 fluctúan de 2.2 a 51.7 h, con una moda de 12.8 h; entonces la selección de un Tp = 30.0 h en la solución bivariada, puede ser considerada elevada según los valores empíricos citados.

Aproximación empírica propuesta

Los análisis críticos realizados con los resultados de la solución bivariada se tomaron en cuenta al formular la aproximación numérica detallada a continuación, por ejemplo al adoptar como Tp del hidrograma que se estima, el tiempo de concentración de la cuenca bajo estudio y al deducir su volumen, una vez establecido su gasto pico. El procedimiento se basa en los resultados de los contrastes descritos (Cuadros 3 y 4) y es aplicable a cuencas sin información hidrométrica de gastos–volúmenes, de manera que su secuencia es la siguiente:

Paso 1. Los métodos regionales de estimación de crecientes han demostrado su eficacia y exactitud (Escalante y Reyes, 2000; Campos, 2006); por ello se estima la avenida de periodo de retorno 275 años (Q₂₇₅), con los procedimientos aplicables al proyecto o presa en revisión. Esta creciente representa a los valores medianos y a la media aritmética de la columna 2 del Cuadro 3.

Paso 2. Con base en las características físicas de la cuenca, es decir, área, longitud y desnivel totales del colector principal, así como con la pendiente promedio del mismo, se estima según diversas fórmulas empíricas (Témez, 1978; Heras, 1979) el S tiempo de concentración (Tc), el cual en una primera aproximación en cuencas pequeñas y medianas se puede considerar igual a su tiempo al pico promedio (Tp).

En seguida se calcula y dibuja el hidrograma respectivo a través de la ecuación 2, el cual define la avenida de diseño, según la aproximación empírica propuesta. En la Figura 1 se muestran los hidrogramas estimados para las presas Madín y Belisario Domínguez.

Paso 4. El tránsito o paso de esta avenida de diseño por el embalse, al ser evacuada por el vertedor y además controlada por éste cuando tiene compuertas, define la elevación conocida como NAME o nivel de aguas máximas extraordinarias, misma que permite establecer el nivel mínimo de la corona de la cortina de la presa al sumarle el Bordo Libre (Springall, 1970), que es la altura de cortina que absorbe el oleaje que produce el viento, para que el agua no desborde sobre de ella ya que pudiera causar daños originando un riesgo de falla. Entonces, una presa será segura hidrológicamente si durante su proceso de revisión la nueva avenida de diseño define un NAME inferior al de proyecto, o al que tiene actualmente; en caso contrario, es insegura.

Contraste de la aproximación empírica

En el Cuadro 5 se presentan los resultados de la aproximación empírica propuesta, aplicada en las 16 presas analizadas, así como sus correspondientes errores relativos (E. R.) con respecto a los valores de la solución bivariada. Esta medida cuantitativa de contraste tiene la expresión general siguiente:

donde el error relativo se expresa en porcentaje y presenta un valor negativo cuando el elemento (Q₂₇₅, V, Tp y Tb) de la aproximación empírica (AE) resultó menor que la magnitud respectiva (Q, V, Tp y Tb) de la solución bivariada (SB); en cambio, cuando conduzca a un valor positivo indica que el elemento estimado resultó superior al de la solución bivariada.

La estimación del Q₂₇₅ se realizó con base en los resultados del Cuadro 2. El tiempo al pico de la aproximación empírica (Tp_AE) es la moda (Mo) del Cuadro 4; en cambio, el volumen asociado (V) se calcula como se indicó en el Paso 3. Debido a que el hidrograma Gamma tiene un decaimiento muy suave hacia el final, el Tb_AE se calculó con la ecuación 2 para el 0.5 % del Q₂₇₅. Los valores de la aproximación empírica y sus respectivos errores relativos según la ecuación 6 se muestran en el Cuadro 5.

Errores negativos del gasto pico, volumen y tiempo base

La discusión sobre los resultados de la aproximación empírica propuesta debe enfocarse, por seguridad, exclusivamente en las magnitudes de los elementos de la solución bivariada que no logran igualar, es decir, que conducen a estimaciones inferiores. Para el gasto pico, se observa en el Cuadro 6 que ocurre en las presas Madín, Abelardo L. Rodríguez, Ignacio Allende, Adolfo Ruiz Cortines, Belisario Domínguez, La Boquilla y Adolfo López Mateos (El Infiernillo). Los gastos pico de la solución bivariada en estas presas mostraron los periodos de retorno más grandes como evento univariado (columna 2, Cuadro 3). Conviene destacar que las diferencias máximas entre los valores de la aproximación empírica y los de la solución bivariada no exceden 21 % como error relativo, esto en sólo tres de las siete presas mencionadas.

Además, en tres de las siete presas citadas (Cuadro 5), el error relativo respecto al volumen del hidrograma es positivo, es decir que la avenida de diseño estimada con la aproximación empírica muestra un volumen mayor que el encontrado en la solución bivariada. En otras tres presas este error es muy reducido y sólo en la presa Ignacio Allende tal volumen resultó deficiente, lo cual se debe a la adopción de un Tp = 12.8 h, contra el aceptado en la solución bivariada de 30.0 h.

Con respecto al volumen del hidrograma, en el Cuadro 5 se observan sólo tres errores relativos negativos importantes, en las presas Josefa Ortiz de Domínguez, La Parota y Plutarco Elias Calles; esto es nuevamente debido a la adopción de un Tp = Mo menor al de la solución bivariada. Los valores del Tp de la aproximación empírica y de la solución bivariada son, en cada presa citada: 13–2–47–5, 30.9–45–1 y 32.6–52.9 h. Como consecuencia lógica, únicamente en los tres embalses anteriores y en la presa Ignacio Allende, el Tb de la aproximación empírica resultó inferior al de la solución bivariada.

Consideraciones adicionales para su aplicación práctica

La aproximación empírica desarrollada y contrastada se basa en las características estadísticas medias observadas en las soluciones bivariadas procesadas. Por tanto, puede ser complementada con condiciones de tipo extremo que consideren las dispersiones observadas, de manera que se pueden construir dos hidrogramas adicionales, uno más esbelto con un gasto pico más grande y otro aplanado pero de mayor volumen. El primero tendrá un gasto pico de un periodo de retorno de 550 años, el cual corresponde al máximo observado en el Cuadro 3 en las presas Madín y Adolfo Ruiz Cortines, pero su tiempo al pico será del 44 % de tiempo de concentración (Tc) estimado en la cuenca estudiada. Esto último proviene del Cuadro 4 y representa al valor mediano del cociente de los tiempos al pico mínimos observados entre el valor de la moda.

De manera similar se construye el hidrograma aplanado, con un gasto pico de periodo de retorno 150 años, valor que representa aproximadamente a los mínimos observados en el Cuadro 3 en las presas La Parota, Adolfo López Mateos (Humaya) y Luis Donaldo Colosio. Su tiempo al pico será de 3–71 veces el Te, según valor mediano del Cuadro 4 para el cociente de los tiempos al pico máximos entre la moda.

Este complemento formulado a la aproximación empírica para obtener dos avenidas de diseño extremas, permite realizar un análisis elemental de búsqueda de la elevación máxima en el embalse (NAME), al transitar los tres hidrogramas calculados, de manera similar a como se hace exhaustivamente en el análisis bivariado (Aldama et al., 2006).

En la aproximación empírica propuesta, una parte medular es la evaluación del tiempo de concentración de la cuenca, el cual equivale al tiempo pico. Por tanto, se sugiere abordar la estimación de este parámetro a través de los métodos del análisis regional, con el propósito de usar de la información disponible sobre gastos–volúmenes anuales en la zona geográfica donde está la presa o proyecto en estudio, procesándola como se indicó para llegar a los resultados del Cuadro 4. Por ejemplo, en el Cuadro 1 se observa que en el estado de Sinaloa hay cinco presas, de las cuales cuatro tienen condiciones geográficas similares en sus cuencas; en cambio la presa Luis Donaldo Colosio tiene una cuenca extremadamente montañosa que difiere de las demás. Entonces, al llevar a un gráfico de dispersión el área de cuenca (A) en km en las abscisas y en las ordenadas el valor de la moda (Cuadro 4) del tiempo al pico (Tp), se define una curva logarítmica cuyo coeficiente de determinación es 0.963, la cual permite estimaciones del Tp en cuencas sin aforos de esta región o zona geográfica del país; esta es:

Aplicaciones númericas

Presa Las Ánimas (su nombre oficial es Estudiante Ramiro Caballero Dorantes)

Se localiza (22° 36' N y 98° 41' O) en el municipio de Mante, estado de Tamaulipas, y su construcción concluyó a principios de 1976. Es un vaso lateral con capacidad de conservación de 570 millones m a la cota 51–70 m, abastecido por la presa derivadora Saca de Agua, ubicada sobre el Río Guayalejo de la Región Hidrológica No. 26 (Panuco), para el suministro del riego de 54 400 ha. La presa Las Ánimas tiene una cuenca propia de 488 km, su colector principal presenta un desarrollo de 38 km, con un desnivel total de 90 m, una pendiente media de 0.0018 y un tiempo de concentración estimado en 11 h. Las condiciones de suelo y su cobertura vegetal definen un número N de la curva de escurrimiento de 74. La información general e hidrológica anterior y otra que se usará después proviene de Castillo 1996 ^[1]

Al no existir registros hidrométricos disponibles en el cauce de la cuenca propia, ni en su zona geográfica aledaña, la estimación de las crecientes de diseño necesarias en la aproximación empírica presentada, se realizó con el método hidrológico del hidrograma unitario triangular (HUT) (Miller y Clark, 1966; Miller et al., 1977; Campos, 1991). La aplicación de este método comienza seleccionando una estación pluviográfica base, para obtener las 24 lluvias de diseño necesarias que tienen periodos de retorno de 150, 275 y 550 años y duraciones de 1 a 6 h en incrementos horarios y de 12 y 24 h. Como no hay una estación pluviográfica cercana, se usa una estación pluviométrica base según el siguiente procedimiento de estimación.

En las proximidades de la cortina de la presa se ubica la estación pluviométrica Las Animas, con clave 28137 en el sistema ERIC III (IMTA, 2007) y un registro de lluvias diarias máximas anuales de 33 años desde 1972 a 2005, y falta el año 2003. El análisis probabilístico del registro citado, con base en diversas distribuciones de probabilidad condujo a errores estándar de ajuste (Kite, 1977) y predicciones bastante similares; por tanto, se adoptaron los resultados del modelo TERC (Campos, 2008a) recomendado para tal variable climática (Etoh et al., 1987). Las predicciones diarias asociadas a los periodos de retorno de 10, 25, 50, 150, 275 y 550 años, fueron 123.2, 146.5, 165.0, 196.1, 214.3 y 236.0 milímetros.

En el cuaderno de curvas isoyetas (SCT, 1990) se obtuvieron para el centro de gravedad de la cuenca propia, las lluvias de duración una hora y periodos de retorno de 10, 25 y 50 años; éstas fueron: 68, 78 y 83 milímetros. Con base en estos valores y los anteriormente citados, se evaluó el llamado cociente lluvia–duración (R) definido por Chen (1983) como:

La transformación de lluvias diarias a 24 h de duración se realiza multiplicando a las primeras por 1.13 (Weiss, 1964). El promedio de los tres cocientes R evaluados fue 0.468.

Para realizar la distribución en el tiempo de las lluvias de diseño se uso la ecuación de la envolvente mundial de lluvias máximas (WMO, 1973):

siendo P_D^Tr la precipitación en milímetros de duración D en horas y periodo de retorno Tr en años, y α y β los parámetros de ajuste, obtenidos como se detalla a continuación. Para cada Tr de diseño se transforma la lluvia diaria a 24 h y se obtiene la de 1 h al multiplicarla por el cociente R. Este valor equivale al parámetro α buscado, ya que D = 1. Se sustituyen en la ecuación 9 los valores siguientes: P₂₄^Tr,α y D=24 para despejar a β correspondiente a cada Tr. Por último, se aplica la expresión 9 con a y β evaluados en cada Tr para obtener las ocho lluvias de diseño buscadas.

Al aplicar el método del HUT, con los datos físicos citados de área de cuenca propia, tiempo de concentración, número N, grupo de suelos tipo C y las lluvias de diseño estimadas, se obtuvieron los gastos máximos mostrados en la columna 2 (Cuadro 6) requeridos por la aproximación empírica. Luego se aplicó la ecuación 4 para evaluar los parámetros de escala (β) de los hidrogramas de diseño, usando como tiempo al pico (Tp) el valor del tiempo de concentración estimado en 11 h, en el hidrograma medio (Tr=275 años), el 0.44 del Tp en el hidrograma esbelto (Tr = 55O años) y 3–71 veces el Tp en el aplanado (Tr=150 años). Se usa la ecuación 5 para estimar el volumen de cada hidrograma, según su valor de gasto pico, parámetro β, valor del Tp y un valor de γ = 3–975; los resultados se muestran en la columna 5 (Cuadro 6), en millones de m (Mm³).

La presa Las Animas tiene un vertedor de cresta libre de 300 m de longitud con coeficiente de descarga de 2.0 y su creciente de diseño establece un NAME a la cota 52.35 m, por lo cual la carga hidráulica es de 65 cm. Las características físicas del vaso han sido definidas por la expresión: V = 6.953•10^–8•H^9.289, donde V es el volumen almacenado en m a la cota H en m. El tránsito de los hidrogramas esbelto, medio y aplanado a través del programa REGUL (Campos, 1994), se realizó discretizando éstos en duraciones de 0.25, 0.50 y 2.0 h, con base en la ecuación 2. Los gastos máximos de descarga, la carga hidráulica generada y el porcentaje de regulación o cociente entre gastos máximos de salida y entrada se muestran en las tres últimas columnas del Cuadro 6.

El análisis de los resultados del Cuadro 6 indica que en la presa Las Ánimas las crecientes de gasto pico bajo y gran volumen son más peligrosas. En este caso el hidrograma aplanado invade en 34 cm el bordo libre, pues la carga hidráulica que genera es superior al diseño. Afortunadamente el bordo libre de esta presa es de 2.65 m, ya que la corona de la cortina llega a la cota 55.0 m. En resumen, la presa Las Animas se considera segura desde un punto de vista hidrológico.

Proyecto en construcción El Zapotillo, Jalisco

Es una presa de almacenamiento con capacidad de conservación de 911 Mm³, que se construye sobre Río Verde, afluente del Río Santiago en la Región Hidrológica No. 12 Parcial, para abastecer agua potable a la ciudad de León, estado de Guanajuato, y zona conurbada del norte de Guadalajara, estado de Jalisco. Toda la información general e hidrológica mencionada posteriormente, procede de la página de la Comisión Nacional del Agua (www.conagua.gob) en los conceptos de "Bases de Licitación" de noviembre de 2008 y "Proyectos Emblemáticos". Las coordenadas del proyecto son 21° 08' 20" N y 102° 48' 31" O, su área de cuenca es 17 617 km , su longitud de colector principal es aproximadamente 320 km, con una pendiente media de 0.0031, por lo que se calcula 54 h de tiempo de concentración, al aceptar una velocidad promedio para la onda de la creciente de 6 km•h^–1 (Heras, 1979).

Aguas abajo de la presa El Zapotillo, también sobre el Río Verde, se localiza la estación hidrométrica La Cuña, cuya información procedente del sistema BANDAS (IMTA, 2003) es la siguiente: clave 12504, área drenada 19 097 km², registro de 52 años de gastos máximos anuales en el periodo 1947–2002 (faltan los años 1983 a 1985, y el año 1989). Después de corregir el registro citado por un factor de 0.9225, obtenido al relacionar el área de cuenca del proyecto entre la de la estación de aforos, se procesó probabilísticamente ajustando diversas funciones de distribución. Se aceptó la que condujo al menor error estándar de ajuste (Kite, 1977), que fue el modelo General de Valores Extremos con un valor de 94 m³ •s^–1 y las predicciones (Qp) relativas a los periodos de retorno (Tr) de 550, 275 y 150 años, requeridas por la aproximación empírica propuesta, mostradas en la segunda columna del Cuadro 7.

Luego se usó la ecuación 4 para obtener los valores del parámetro de escala (β) (cuarta columna, Cuadro 7), con el parámetro de forma y=3.975 que define la aproximación empírica y el 0.44 y 3.71 del tiempo al pico (Tp), el cual se acepta igual al tiempo de concentración (54 h). Después se determinan los volúmenes (V) que tendrá cada hidrograma de diseño, mediante la ecuación 5 al usar γ =3.975 y cada uno de los valores de gasto pico, Tp y β mostrados en el Cuadro 7; los resultados están la quinta columna del Cuadro 7. Con base en la ecuación 2 se obtienen los gastos (m³ •s^–1) que tendrá cada hidrograma de diseño, según el incremento de tiempo adoptado y sus valores característicos de γ = 3.975, Tp, β y V. Para los hidrogramas esbelto, medio y aplanado los incrementos adoptados fueron 30 min, 1 h y 3 h.

La presa El Zapotillo tendrá un vertedor de excedencias ubicado en el cuerpo de la cortina de concreto rodillado, de 132 m de longitud de cresta, con un coeficiente de descarga de 2.0 y una elevación en la cota 1650 m. Las características físicas del vaso están regidas por la ecuación V=2.1189•10^–4•H^5.8055, en la cual V está en m³ y H es la elevación (m) considerando la cota cero a la elevación 1500 m. Los resultados de los tránsitos por el vaso de los hidrogramas de diseño al usar el programa REGUL (Campos, 1994), en gasto máximo de descarga, carga hidráulica generada sobre el vertedor y porcentaje de regularización, se muestran en las tres últimas columnas del Cuadro 7.

Las aplicaciones numéricas descritas muestran el manejo de la información hidrológica disponible, para realizar las estimaciones necesarias en la aproximación empírica desarrollada.

CONCLUSIONES

El análisis de los resultados del Cuadro 5 indica que la aproximación empírica desarrollada es un procedimiento aproximado y confiable.

Otra ventaja de la aproximación empírica propuesta consiste en requerir evaluaciones del gasto máximo con periodos de retorno bajos, como son 150, 275 y 550 años, cuya estimación siempre será más confiable y exacta que las correspondientes a intervalos de recurrencia de 1000 o 10 000 años.

LITERATURA CITADA

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NOTA