Evaluación de ecuaciones de factor de fricción explícito para tuberías

Evaluation of explicit friction factor equations for pipes

Alejandro Isaías Anaya-Durand,¹ Guillermo Israel Cauich-Segovia, Oliver Funabazama-Bárcenas² y Víctor Alfonso Gracia-Medrano-Bravo*

* Facultad de Química, Universidad Nacional Autónoma de México. Teléfonos: 044-55 5503 5898; 044-55 1032 7490. Correos electrónicos: (1) ofunaba@hotmail.com; (2) aanayadurand@hotmail.com

Fecha de recepción: 18 de enero de 2013.
Fecha de aceptación: 23 de diciembre de 2013.

Resumen

Dentro de la Ingeniería Química existen muchas situaciones que involucran fluidos en movimiento, y para poder resolverlas se deben considerar las causas del movimiento. Respecto a lo anterior, existe una fuerza que impide el movimiento del fluido, la cual es denominada fricción. La evaluación de este término viene de un análisis extenso de todas las fuerzas que causan un esfuerzo sobre un elemento diferencial de volumen en el seno del fluido. El objetivo de este artículo es evaluar diferentes modelos matemáticos que describan, mediante una forma explícita, el factor de fricción para un fluido en una tubería. Esto se realizó mediante la comparación de valores numéricos de dichos factores respecto a la ecuación de Colebrook-White y el número de Kármán. Como es bien sabido, no existe un modelo perfecto que permita describir este tipo de fenómeno; sin embargo, se espera proveer de conocimientos al lector, tal que le permita escoger por sí mismo el modelo más apropiado según la situación que se le presente.

Palabras clave: factor de fricción, factor de fricción de Darcy, ecuación de Colebrook-White, caída de presión en tuberías.

Abstract

Within Chemical Engineering, there are a lot of problems involving fluids in motion, and for their solution we must consider the causes of the movement. In this case there is a force that stops fluid from moving, called friction. The evaluation of this term comes from and extended analysis of all the forces that cause stress on a differential element of volume in the bulk of the fluid. The objective of this paper is to evaluate different mathematical models that describe in an explicit form the friction factor of a fluid in a pipe. We acomplish this by comparing the numerical values against the Colebrook-White equation and the Kármán number. Needless to say there is not a perfect model to describe this kind of phenomena. But we hope to expand the knowledge of the reader, and let him to choose the best model depending on the situation.

Introducción

El flujo de fluidos es una parte crucial para realizar operaciones en las plantas industriales, especialmente en el sector de la industria química. Dentro de la dinámica de éstos, siempre ocurre fricción de los mismos con la tubería y en diferentes accesorios, ocasionando pérdidas de presión en el flujo a lo largo de su trayectoria. Es importante conocer esta caída de presión para una apropiada operación del proceso a realizar, por ello se han efectuado diferentes estudios para la evaluación de ellas. Las pérdidas de presión pueden determinarse a través de un balance de energía mecánica, según la ecuación (1), la cual es una derivación del Teorema de Bernoulli para flujos incompresibles.

En la ecuación (2), conocida como ecuación de Darcy-Weisbach, se requiere conocer un factor f', llamado factor de fricción de Darcy, el cual es una variable adimensional y depende tanto del número de Reynolds (Re, el cual a su vez es un factor adimensional que relaciona las fuerzas dinámicas del fluido), y la rugosidad relativa de la tubería (∈/D), la cual es un indicador de las imperfecciones del material de la misma tubería.

donde

Cuando el fluido es enviado a condiciones de flujo laminar (Re ≤ 2100), el factor de fricción solo depende del número de Reynolds y se calcula a partir de la ecuación de Hagen-Poiseuille:

Esta ecuación está basada en estudios experimentales en tuberías comerciales e incluye consideraciones teóricas de los trabajos de von Karman y Prandlt, misma que el propio Lewis F. Moody (1944) afirmó que arrojaban resultados satisfactorios, ya que contempla tuberías lisas y rugosas, de la cual se origina el conocido Diagrama de Moody para obtener de manera gráfica factores de fricción. Lo anterior convierte a la correlación de CW en una ecuación estándar y la más aceptada para la estimación del factor de fricción a régimen turbulento y para rugosidad relativa (0 < ∈/D < 0.05). Sin embargo, como se observa en la ecuación (4), el factor de fricción se encuentra implícito en ella, impidiendo su despeje y complicando su utilización, para lo cual se requiere del uso de métodos numéricos.

No obstante, años después (mediados de 1970) de la publicación de la correlación de CW se han propuestos diversos modelos matemáticos que permiten obtener el valor del factor de fricción mediante ecuaciones explícitas.

Cabe mencionar que para la zona de transición entre régimen laminar y turbulento no existe una correlación confiable para determinar el valor de factor de fricción, ya que depende de varios factores como cambios de sección, de dirección del flujo y obstrucciones tales como válvulas corriente arriba de la zona considerada. Por ello, se recomienda, en caso de ser requerido, basarse en el Diagrama de Moody.

Justificación y objetivo

La aplicación de métodos numéricos para encontrar el valor del factor de fricción se puede volver una tarea muy tediosa, y aún más cuando ésta tiene que ser calculada en repetidas ocasiones durante la realización de problemas académicos o incluso en la evaluación de proyectos industriales. Por ello, el objetivo del trabajo es presentar una compilación de ecuaciones explícitas para el cálculo de factor de fricción, así como la comparación de las mismas respecto a la ecuación de Colebrook-White en el régimen turbulento, que permita seleccionar alguna de ellas como una ecuación práctica y sencilla para la determinación de dicho factor de fricción.

Correlaciones halladas en la literatura

Evaluación y discusión de las correlaciones

Cada una de las correlaciones antes presentadas fue evaluada y comparada respecto a su desviación con la ecuación de CW (universalmente aceptada). La desviación se calculó de la siguiente manera:

donde VCW y VCE son los valores obtenidos por la ecuación de CW y la correlación en estudio, respectivamente.

Los valores del factor de fricción por la ecuación de CW fueron obtenidos usando el método numérico de Newton-Raphson, el cual se basa en realizar iteraciones hasta la convergencia del valor del factor de fricción mediante un algoritmo diseñado por dichos autores. Para lo anterior, se consideró un valor arbitrario de rugosidad relativa ∈/D = 0.001, para todos cálculos, y considerando únicamente como variable el número de Reynolds, Re.

El estudio se basa en dos aspectos fundamentales: la desviación del valor obtenido por las correlaciones en el régimen turbulento y la simplicidad y practicidad de la misma. Respecto del flujo turbulento, se realizó una subdivisión de éste, a saber, inicios del régimen turbulento (4 x 10³ < Re ≤ 1 x 10⁵) y completa turbulencia (1 x 10⁵ < Re ≤ 1 x 10⁸). Esto con el fin de poder apreciar mejor el comportamiento de las correlaciones en dichas secciones, puesto que en la industria generalmente se usan factores de fricción a total turbulencia.

Inicios del régimen turbulento

Considerando la simplicidad de las correlaciones anteriores, la de Round es sin lugar a dudas, la más sencilla y práctica, aunado a que es la que menor desviación presenta respecto a la de CW. Así, la correlación de Round es la sugerida para utilizarse en el caso de encontrarse en los inicios del régimen turbulento.

Completa turbulencia

Esta región es la más frecuente en las situaciones presentes en la industria, por lo cual las correlaciones deben poseer una muy baja desviación para ser realmente útil. Del estudio se puede comentar lo siguiente: la correlación de Round aproxima mejor para 1 x 10⁵ < Re < 5 x 10⁵ con un valor máximo de desviación del 11.4%; la de Altshul (2) para 5 x 105 < Re < 3 x 10⁶ con un 7.8% de desviación máxima. Sin embargo, para Re > 3 x 10⁶ ambas correlaciones poseen valores demasiados altos de desviación, por lo cual no pueden ser consideradas representativas de toda la región de total turbulencia, aunque podrían ser consideradas en caso de encontrarse en un flujo a dichas condiciones. No obstante, existen otras correlaciones que poseen una mejor aproximación capaz de resolver esta situación [figura 2a].

Como se aprecia en la figura 2b, cuando Re > 8 x 10⁶, la correlación de Haaland resulta ser la que mejor aproxima, con una desviación menor que 1% (mínimo de 0.01% en Re = 5 x 10⁷ y 0.1% cuando Re tiende a 1 x 10⁸). Comportamientos similares se obtienen usando los modelos de Pavlov Manadilli, Zigrang-Sylvester y Swamee-Jain, principalmente, todas ellas con un porcentaje de desviación menor que 1% (mínimos de 0.10% cuando Re tiende a 1 x 10⁸).

Cabe destacar que de las correlaciones antes mencionadas, las más simples y sencillas de utilizar para cálculos son la de Pavlov y de la de Haaland, en ese orden. Al evaluar estos dos modelos para la totalidad de la región de completa turbulencia, se halló que la de Pavlov posee menor desviación que la de Haaland [figura 2a], por lo que la convierte en la mejor correlación para evaluar el factor de fricción en regímenes de completa turbulencia.

Ahora, ¿cuáles serían las aplicaciones prácticas de tener una buena correlación para calcular los valores de factores de fricción?

Cuando se trata de resolver problemas en los que intervienen flujos fluidos, comúnmente existen tres principales situaciones a determinar, como mencionan Anaya et al. (2005):

]]> 1) La caída de presión, cuando son conocidas la velocidad del fluido y el diámetro de la tubería.

2) La velocidad del fluido (que a su vez permite determinar el flujo del mismo), conocidas la caída de presión y el diámetro de la tubería.

3) El diámetro requerido de la tubería, conocidas la caída de presión y el flujo en ella.

Para poder acatar cada una de las situaciones anteriores en muchas ocasiones es necesario conocer el valor de factor de fricción para estimar de manera aceptable las pérdidas por fricción a lo largo de la tubería. Además de ello, existen otras situaciones donde se requiere dicho valor, como son en la estimación de pérdidas de presión en accesorios, cálculo de bombas, que de manera general influyen en estimado de costos ya sea de sistemas de tuberías y/o equipos, e inclusive en toma de decisiones de diseño de procesos, lo cual hace que verdaderamente una correlación sencilla y práctica para realizar cálculos rápidos.

A manera de ejemplo se presenta una situación en donde se requiere una toma de decisión a partir de la realización de un cálculo rápido con base en el uso de la correlación de Pavlov, comparándola con los resultados obtenidos con la ecuación de CW.

Solución

Calculando cada uno de los términos de la Ec. (1):

Calculando el número de Reynolds para obtener el régimen al cual se encuentra el flujo de agua:

Usando la ecuación de Pavlov (modelo 10, tabla 1)

[Desviación de 5.4%, Ec. CW: f'= 0.02075]

A partir de la Ec. (2)

[Usando el valor de a partir de Ec. CW ]

A partir de la Ec. (1) se obtiene la cabeza de la bomba (-W_f = H, Q = 0)

Finalmente se obtiene la potencia de la bomba con la Ec. (6)

[Usando el valor de a partir de f' Ec.CW, BHP = 233.63 HP]

Por tanto, para la planta industrial se requiere utilizar la bomba de 250 HP, ya que la de 200 HP no posee la potencia necesaria para bombear el fluido hasta la caldera y la de 300 HP se encuentra "sobrada", es decir, puede usarse pero no se estaría aprovechando eficientemente la energía.

Como se observa, los resultados obtenidos según la co-relación de Pavlov son parecidos a los que se obtuvieron con la ecuación de CW, lo cual comprueba que la primera es una correlación lo suficientemente práctica para realizar cálculos sin tener una gran desviación.

Conclusiones

Del presente trabajo, se recomienda utilizar la correlación de Pavlov:

para realizar cálculos en la determinación de caídas de presión, sea en problemas académicos como en situaciones reales que requieren de una rápida resolución sin escatimar precisión respecto al valor obtenido por la ecuación de Colebrook-White.

Ésta se caracterizó por tener un valor máximo de 34.4% de desviación (en la región de transición) y un mínimo de 0.08% (en la región de completa turbulencia), y además de ser simple y práctica para realizar cálculos rápidos cuando se requiera, misma que resulta ser apropiada para el rango de 2 x 10³ < Re < 1 x 10⁸ y ∈/D < 0.05).

Referencias

Anaya-Durand, A.; García-Quezada, C.; Garrido-Martínez, D.; Islas-Flores, O.; Jiménez-Colín, K.; Rodriguez-Escobar, J. J., Solución de problemas de flujo de fluidos, utilizando gráfica modificada de Moody, Educación Química, 16(4), 582-585, 2005.         [ Links ]

Barr, D. I., Solutions of the Colebrook-White function for resistance to uniform turbulent flow, Proc. Inst. Civil Engrs., 2 (71), 529, 1981.         [ Links ]

Camaraza, Y.; Landa, J.; López, D.; García, O., Ecuación explícita para el cálculo de factores de fricción en la zona de transición del régimen turbulento, Tecnología Química, XXX(1), 76-83, 2010.         [ Links ]

Chen, N. H., An explicit equation for friction factor in pipe, Ind. Eng. Chem. Fundam., 18 (3), 296, 1979.         [ Links ]

Churchill, S. W., Friction factor equations spans all fluid-flow regimes, Chem. Eng., 84 (24), 91, 1977.         [ Links ]

Coban, M. T., Error analysis of non-iterative friction factor formulas relative to Colebrook-White equation for the calculation of pressure drop in pipes, Journal of Naval Science and Engineering, 8(1), 1-13, 2012.         [ Links ]

Crane, Flujo de Fluidos en Válvulas, Accesorios y Tuberías, México: McGraw Hill, 1987.         [ Links ]

Filonenko, G. K., Hydraulic Resistance in Pipes, Teploenergetika, 4, 15-21, 1954.         [ Links ]

Haaland, S. E., Simple and explicit formulas for the friction-factor in turbulent pipe flow, Trans. ASME, JFE 105,89, 1983.         [ Links ]

Ideljchik, I. E., Handbook of Hydraulic Resistances (pp. 5092), Moscow, Russia: Mashinostroenie, 1975.         [ Links ]

Konakov, K.V., Dok. Akad. Nack SSRK, 25(5), 14-24, 1950.         [ Links ]

Levenspiel, O., Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, Barcelona, España: Reverté, 1993.         [ Links ]

Manadilli, G., Replace implicit equations with signomial functions, Chem. Eng., 104 (8), 129, 1997.         [ Links ]

Moody, L. F., Friction factor for pipe flow, Transacctions of the American Society of Mechanical Engineers, 66, 671-678, 1944.         [ Links ]

Mott, R., Mecánica de Fluidos Aplicada. Naucalpan, México: Pearson-Prentice Hall, 1996.         [ Links ]

Olujic, Z., Compute friction factor fast for flow in pipes, Chemical Engineering, 88(25), 91-93, 1981.         [ Links ]

Ramakrishna, A.; Kumar, B., Friction factor for turbulent pipe flow, consultada por última vez en diciembre 28, 2012, de la URL http://eprints.iisc.ernet.in/9587/1/Friction_Factor_for_Turbulent_Pipe_Flow.pdf.         [ Links ]

Romeo, E., Royo, C., Monzón, A., Improved explicit equations for estimation of the friction factor in rough and smooth pipes, Chemical Engineering Journal, 86(3), 369-374, 2002.         [ Links ]

Round, G. F., An explicit approximation for the friction-factor Reynolds number relation for rough and smooth pipes, Can. J. Chem. Eng. 58 (1), 122, 1980.         [ Links ]

Shacham, M., An explicit equation for friction factor in pipe, Ind. Eng. Chem. Fundam., 19(2), 228-230, 1980.         [ Links ]

Swamee, P. K.; Jain, A. K., Explicit equation for pipe flow problems, J.Hydr. Div., ASCE, 102(5), 657-664, 1976.         [ Links ]

Wilkes, J., Bike, S., Fluid Mechanics for Chemical Engineers. New Jersey, USA: Prentice Hall, 1999.         [ Links ]

Zigrang, D. J., Sylvester, N. D., Explicit approximations to the Colebrook's friction factor, AIChEJ, 28(3), 514, 1982.         [ Links ]