Hermitian operators and boundary conditions

M. Maya–Mendieta^a, J. Oliveros–Oliveros^a, E. Teniza–Tetlalmatzi^a and J. Vargas–Ubera^b

^a Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.

^b Colegio de Ciencia y Tecnología, Universidad Autónoma de la Ciudad de México.

Recibido el 14 de noviembre de 2011. ]]> Aceptado el 13 de diciembre de 2011.

Abstract

The case of the hermeticity of the operators representing the physical observable has received considerable attention in recent years. In this paper we work with a method developed by Morsy and Ata [1] for obtaining Hermitian differential operators independently of the values of the boundary conditions on wave functions. Once obtained these operators, called intrinsically Hermitic operators, we build the Hamiltonian for the harmonic oscillator, hydrogen atom and the potential well of infinite walls. In the first two cases we use the factorization method of ladder operators (also intrinsically Hermitic) and show that results obtained with conventional operators, based on the annulation ofthe wave functions on the boundaries, are preserved. For the infinite well we show that the version of the Hamiltonian intrinsically Hermitic provides a solution to a paradox that appears in a particular wave function.

Keywords: Boundary conditions; Dirac delta function.

Resumen

El caso de la hermiticidad de los operadores que representan a los observables ha recibido una atención considerable en los últimos años. En este trabajo tratamos con un método desarrollado por Morsy y Ata [1] para obtener operadores diferenciales hermíticos independientemente de los valores en la frontera que se impongan sobre las funciones de onda. Una vez obtenidos estos operadores, llamados intrínsecamente hermíticos, construimos hamiltonianos para el oscilador armónico, el átomo de hidrógeno y el pozo de potencial de paredes infinitas. En los dos primeros casos utilizamos el método de factorización con operadores de escalera (tambien intrínsecamente hermíticos) y mostramos que se preservan los resultados obtenidos con los operadores convencionales que se basan en la anulación de las funciones de onda en las fronteras. En el caso del pozo infinito mostramos que la version intrínsecamente hermítica del hamiltoniano proporciona una solución a una paradoja que se presenta en una función de onda particular.

Descriptores: Condiciones de frontera no nulas.

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