0 and β > 0) are satisfied, then there are sets of three eigenvalues with similar energy. An interesting behavior is found when one impenetrable wall is fixed and the other is moved to different positions. In summary, the number of local minima that the potential has in the confined region determines a two- or three-fold degeneracy.]]>
0 y β > 0) se satisfacen, entonces habrá un conjunto de tres valores propios con energía similar. Se encuentra un comportamiento interesante cuando una de las paredes se mantiene fija y la otra se mueve a diferentes posiciones. El número de mínimos locales que tiene el potencial en la región de confinamiento determina una degeneración doble o triple.]]>
Energy eigenvalues for free and confined triple–well potentials
N. Aquinoª, J. Garzab, G. Campoyc, A. Velad
ª Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana–Iztapalapa, Michoacán y Purísima S/N, Apartado Postal 55–534, México D.F., 09340, México, e–mail: naa@xanum.uam.mx.
b Universidad Autónoma Metropolitana–Iztapalapa, Departamento de Química, Michoacán yPurísima S/N, Apartado Postal 55–534, Mexíco D.F., 09340, México.
c Universidad de Sonora, Departamento de Investigación en Física, Apartado Postal A–88, 83000 Hermosillo, Sonora.
]]> d Departamento de Química, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, México D.F. 07360, México.
Recibido el 28 de junio de 2010
Aceptado el 4 de noviembre de 2010
Abstract
Some confined and unconfined (free) one–dimensional triple–well potentials are analyzed with two different numerical approaches. Confinement is achieved by enclosing the potential between two impenetrable walls. The unconfined (free) system is recovered as the positions of the walls move to infinity. The numerical solutions of the Schrodinger equation for the symmetric and asymmetric potentials without confinement, are comparable in precision with those obtained anaylitically. For the symmetric triple–well potentials, V (x) = αx2 — βx4 + x6, it is found that there are sets of two or three quasi–degenerate eigenvalues depending on the parameters a and ¡3. A heuristic analysis shows that if the conditions α= (β2 /4) ± 1 (with α > 0 and β > 0) are satisfied, then there are sets of three eigenvalues with similar energy. An interesting behavior is found when one impenetrable wall is fixed and the other is moved to different positions. In summary, the number of local minima that the potential has in the confined region determines a two– or three–fold degeneracy.
Keywords: One–dimensional triple–well potentials; energy eigenvalues and eigenfunctions; confined quantum systems.
Resumen
]]> Analizamos algunos potenciales unidimensionales de triple pozo, libres y confinados, mediante dos métodos numéricos. El confinamiento se realiza encajonando al potencial entre dos paredes impenetrables. El sistema libre se recobra cuando las posiciones de las paredes se mueven a infinito. Las soluciones de la ecuación de Schrodinger, para estos potenciales simétricos y asimétricos libres de confinamiento, que se obtienen mediante los métodos numéricos de este trabajo son comparables en presición con los resultados analíticos. Para potenciales simétricos de triple pozo, V (x) = αx2 — βx4 + x6, se encuentran conjuntos de dos o tres valores propios casi degenerados dependiendo de los valores de a y 3. Un análisis heurístico muestra que si las condiciones α= (β2 /4) ± 1 (con α> 0 y β > 0) se satisfacen, entonces habrá un conjunto de tres valores propios con energía similar. Se encuentra un comportamiento interesante cuando una de las paredes se mantiene fija y la otra se mueve a diferentes posiciones. El número de mínimos locales que tiene el potencial en la región de confinamiento determina una degeneración doble o triple.Descriptores: Potenciales unidimensionales con triple pozo; energías y funciones propias; sistemas cuánticos confinados.
PACS: 03.65.Ge
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References
1. S.H. Park et al., Current Appl. Phys. 4 (2004) 607. [ Links ]
]]>2. Y.J. Sun, M. Yamamori, T. Egawa, and H. Ishikawa, Japanese J. Appl. Phys. Part2–Lett. and Express Lett. 43 (2004) L334. [ Links ]
3. Y.J. Sun, T. Egawa, and H. Ishikawa, J. Appl. Phys. 96 (2004) 2586. [ Links ]
4. S. Lee, M. Dobrowolska, J.K. Furdyna, and L.R. Ram–Mohan, Optical Materials 23 (2003) 79. [ Links ]
5. Q.K. Yang, J.X. Chen, and A.Z. Li, J. Crystal Growth 209 (2000) 8. [ Links ]
6. J.H. Park, S. Ozaki, N. Mori, and C. Hamaguchi, Superlattices and Microstructures 25 (1999) 445. [ Links ]
]]>7. D.H. Zhang and C.Y. Li, Superlattices and Microstructures 24 (1998) 119. [ Links ]
8. A. Hernandez–Cabrera and A. Ramos, J. Appl. Phys. 80 (1996) 1547. [ Links ]
9. N. Susa, IEEE J. Quantum Electronics 32 (1996) 20. [ Links ]
10. R. Balsa, M. Plo, J.G. Steve, and A.F. Pacheco, Phys. Rev. D 28 (1983) 1945. [ Links ]
11. R.M. Quick and H.G. Miller, Phys. Rev. D 31 (1985) 2682. [ Links ]
]]>12. K. Banerjee and S.P. Bhatnagar, Phys. Rev. D 18 (1978) 4767. [ Links ]
13. N. Aquino, J. Math. Chem. 18 (1995) 349. [ Links ]
14. J.D. Swalen and J.A. Ibers, J. Chem. Phys. 36 (1962) 1914. [ Links ]
15. W.S. Benedict and E.K. Plyer, Can. J. Phys. 35 (1957) 1235. [ Links ]
16. R.R. Newton and L.H. Thomas, J. Chem. Phys. 16 (1935) 36. [ Links ]
]]>17. J.L. Marín, G. Campoy, and R. Riera, J. Comput. Theor. Nanosci 3 (2006) 1. [ Links ]
18. M.R.M. Witwit, J. Comp. Phys. 123 (1996) 369. [ Links ]
19. R.N. Chaudhuri and M. Mondal, Phys. Rev. A. 7 (1991) 3241. [ Links ]
20. R.J. Damburg, R. Kh. Propin, and Yu. I. Ryabykh, Phys. Rev. A 41 (1990) 1218. [ Links ]
21. R. Jauregui and J. Recamier, Phys. Rev. A 46 (1992) 2240. [ Links ]
]]>22. M.K. Ali and W.P. Snider, J. Chem . Phys. 91 (1989) 300. [ Links ]
23. C.M. Bender and T.T. Wu, Phys. Rev. Lett. 21 (1968) 406; [ Links ] B. Simon, Ann. Phys. 58 (1970) 76. [ Links ]
24. W.F. Lu, C.K. Kim, and K. Nahm, J. Phys A: Math. Theor. 40 (2007) 14457. [ Links ]
25. A. Dasgupta, D. Roy, and R. Bhattacharya, J. Phys. A: Math. Theor. 40 (2007) 773. [ Links ]
26. N. Saad, R.L. Hall, and H. Ciftci, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 8477. [ Links ]
27. F.J. Gomez and J. Sesma, J. Phys. A: Math. Gen. 38 (2005) 3193. [ Links ]
28. G. Álvarez and C. Casares, J. Phys. A: Math. Gen. 33 (2000) 2499. [ Links ]
29. M. Znojil, J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 7419. [ Links ]
30. J. Schliemann and F.G. Mertsen, J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 5823. [ Links ]
31. F.M. Fernández and R. Guardiola, J. Phys. A: Math. Gen. 26 (1993) 7169. [ Links ]
32. R. Vargas, J. Garza, and A. Vela, Phys. Rev. E 53 (1996) 1954. [ Links ]
33. J. Garza, R. Vargas, and A. Vela, Phys. Rev. E 58 (1998) 3949. [ Links ]
34. J.F. Rivas–Silva, G. Campoy, and A. Palma, Int. J. Quantum Chem. XL (1991)405. [ Links ]
35. G. Campoy, N. Aquino, and V. Granados, J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 4903. [ Links ]
36. G. Campoy and N. Aquino, Int. J. Quantum Chem. 109 (2009) 1267. [ Links ]
37. H. Taseli, Int. J. Quantum Chem. 46 (1993) 319. [ Links ]
]]>