Coupled spinors orthonormalization criterion in multiband systems

A. Mendoza–Alvarezª, J.J. Flores–Godoyª, G. Fernández–Anayaª, and L. Diago–Cisneros^a,b

ª Departamento de Física y Matemáticas, Universidad Iberoamericana, México, D.F., 01219, México.

^bDpto. de Física Aplicada, Facultad de Física. Univ. de La Habana, 10400, La Habana, Cuba.

Abstract

Some fundamental physical quantities are determined by solving the eigenvalue problem that comes from a system of N coupled second order linear differential equations. An uncommon scenario evolves from the second order derivatives that appear in most multiband Hamiltonians, which leads to wave function spaces with non orthogonal axes. This notorious property has often been ignored by many authors. In this paper we discuss a possible criterion for the orthonormalization of eigenspinors (N × 1) derived from the eigenvalue quadratic problem associated to the differential equation system. Such eigenspinors are taken as the basis on which the propagating wave modes system is built. When the norm of the new space is reformulated, the non–standard character of the weighted internal product comes to the forefront. This scheme has been successfully applied to the study of hole tunneling as it is described by the (4 × 4) Kohn Luttinger model.

Keywords: Quadratic eigenvalue problem; normalization; polynomial matricial equation.

Resumen

Varias magnitudes físicas fundamentales, son determinadas a través de la solución de problemas de autovalores, derivados de sistemas de N ecuaciones diferenciales lineales, acopladas y de segundo orden. Un escenario inusual, es el que evoluciona a partir de las derivadas de segundo orden, que aparecen, en la mayoría de los Hamilltonianos multibandas, lo cual conduce a espacios de Hilbert, de ejes no–ortogonales para la función de onda. Esta notoria propiedad, ha sido ignorada frecuentemente por muchos autores. En este artículo, discutimos un posible criterio de ortonormalización de los auto–espinores (N × 1), derivados del problema cuadrático de valores propios, asociado a la ecuación dianámica del sistema. Tales autoespinores, son tomados como base para expandir los modos propagantes a través de una heteroestructura. Cuando se reformula la norma del nuevo espacio, el cáracter no estándar del producto interno pesado –sobre el que descansa la nueva norma–, pasa a un primer plano. El presente esquema, ha sido aplicado con éxito, en el estudio del tunelaje de huecos, cuyo marco teórico es el modelo de dos bandas de Kohn–Luttinger (4 × 4).

Descriptores: Problema cuadrático de autovalores; normalización; ecuación polinomial matricial.

PACS: 73.23–b; 02.60.Lj

DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF

References

1. F. Tisseur and K. Meerbergen, SIAM Review 43 (2001) 235.         [ Links ]

2. L. Diago–Cisneros, H. Rodríguez–Coppola, R. Pérez–Álvarez, and P. Pereyra, Phys. Rev. B 74 (2006) 045308.         [ Links ]

3. L. Diago–Cisneros, G. Fernández–Anaya and G. Bonfanti–Escalera, Phys. Scr. 78 (2008) 035004.         [ Links ]

4. A. Bermúdez, R.G. Durán, R. Rodríguez and J. Solomin, SIAM J. Numer Anal. 38 (2000) 267.         [ Links ]

5. N. Datta, S. Elhay, and Y. Ram, Linear Alegebra App. 257 (1997) 29.         [ Links ]

6. S. Arias–Laso y L. Diago–Cisneros, Rev. Cub. Física 26 (2009) 197.         [ Links ]

7. W. Kohn and J.M. Luttinger, Phys. Rev. 97 (1955) 883.         [ Links ]

8. D.A. Broido and L.J. Sham, Phys. Rev. B 31 (1985) 888.         [ Links ]

9. L. Diago–Cisneros, P. Pereyra, H. Rodriguez–Coppola, and R. Pérez–Alvarez, Phys. Stat. Sol. 232 (2002) 125.         [ Links ]

10. P. Lancaster, "Lambda–Matrices and Vibrating Systems" (Editorial Pergamon Press, Oxford, UK, 1966).         [ Links ]

11 . I. Gohberg, P. Lancaster, and L. Rodman, "Matrix Polynomials" (Editorial Academic Press, New York, 1982).         [ Links ]

12. A.M. Malik, M.J. Godfrey, and P. Dawson, Phys. Rev. B 59 (1999) 2861.         [ Links ]

13. R. Pérez–Álvarez, C. Trallero–Herrero, and F. García–Moliner, European Journal of Physics 22 (2001) 275.         [ Links ]

14. L. Diago–Cisneros, H. Rodríguez–Coppola, and R. Pérez–Alvarez, P. Pereyra, arXiv:condmat/0410159v1, 6 Oct (2004).         [ Links ]

15. L.C. Andreani, A. Pasquarello, and F. Bassani, Phys. Rev. B 36 (1987) 5887.         [ Links ]

16. E.P. O'Reilly and G.P. Witchlow, Phys. Rev. B 34 (1986) 6030.         [ Links ]

17. G. Schechter, L.D. Shvartsman, and J.E. Golub, J. Appl. Phys. 78 (1995) 288.         [ Links ]

18. S.S. Nedorezov, Fiz. Tverd. Tela 12 (1970) 2269;         [ Links ] Sov. Phys. Solid State 12 (1971) 1814.         [ Links ]

19. J.N. Schulman and Yia–Chung Chang, Phys. Rev. B 31 (1985) 2056.         [ Links ]

20. Yia–Chung Chang and J.N. Schulman, Phys. Rev. B 31 (1985) 2069.         [ Links ]

21. U. Ekenberg, L.C. Andreani, and A. Pasquarello, Phys. Rev. B 46 (1992) 2625.         [ Links ]

22. Z. Ikonic and V. Milanovic, Phys. Rev. B 45 (1992) 8760.         [ Links ]

23. Z. Ikonic, V. Milanovic and D. Tjapkin, Phys. Rev. B 46 (1992) 4285.         [ Links ]

24. A.D. Sanchez and C.R. Proetto, J. Phys. Condens. Matter 7 2059 (1995).         [ Links ]

25. G. Goldoni and A. Fasolino, Phys. Rev. B 51 (1995) 9903.         [ Links ]

26. L. Diago–Cisneros, H. Rodríguez–Coppola, and R. Pérez–Álvarez, Rev. Mex. Fis. 46 (2000) 337.         [ Links ]

27. G. Goldoni and A. Fasolino, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2567.         [ Links ]

28. G. Goldoni and A. Fasolino, Surf. Sci. 305 (1994) 333.         [ Links ]

29. H.Goldstein, "Mecanica Clasica" (Editorial Reverte, Madrid, 1961) cap.2.         [ Links ]

30. P. Pereyra and E. Castillo, Phys. Rev. B 65 (2002) 205120.         [ Links ]

31. D.Z.–Y. Ting, E.T. Yu, and T.C. McGill, Phys. Rev. B 45 (1992) 3583.         [ Links ]

32. R. Wessel and M. Altarelli, Phys. Rev. B 39 (1989) 12802.         [ Links ]

33. A. Anzaldo, Ann. Phys. 7 (1998) 307. (private communication).         [ Links ]

34. E.E. Méndez, W.I. Wang, B. Ricco, and Leo Esaki, App. Phys. Lett. 47 (1985) 415.         [ Links ]

35. P.A. Mello, P. Pereyra, and N. Kumar Ann, . Phys. (N.Y.) 181 (1988) 290.         [ Links ]

36. L. Diago–Cisneros and H. Rodríguez–Coppola, J. Phys. Condens. Matter (in preparation, 2010).         [ Links ]

37. D. Dragoman and M. Dragoman, J. App. Phys. 93 (2003) 6133.         [ Links ]

38. T.E. Hartman, J. App. Phys. 33 (1962) 12.         [ Links ]

39. A. Kadigrobov, A. Lagoskin, R.I. Shekter, and M. Jonson, Phys. Rev. B 52 (1995) R8662.         [ Links ]

40. N.K. Allsop. J. Sánchez–Cañizares, R. Raimondi, and C.G. Lambert, J. Phys. Condens. Matter 8 (1996) L377.         [ Links ]

41. P. Pereyra, Physica E 17 (2003) 209.         [ Links ]

42. S. Arias–Laso and L. Diago–Cisneros, Proc. Symposium on Low Dimensional Systems (IMRE–CLAF–Alexander von Humboldt Foundation. Havana, June 2010). http://imre.oc.uh.cu/humboldt.         [ Links ]

43. A.P. Heberle, X.Q. Zhou, A. Tackeuchi, W.W. Rühle, and K. Köhler, Semicond. Sci. and Technol. 9 (1994) 519.         [ Links ]

44. P. Pereyra, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 1772.         [ Links ]