Numerical solution of the wave equation on particular space–times using CMC slices and scri–fixing conformal compactification

A. Cruz–Osorioª, A. González–Juárez^b, F.S. Guzmánª, and F.D. Lora–Clavijoª

ª Instituto de Física y Matemáticas, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Edificio C–3, Cd. Universitaria, 58040 Morelia, Michoacan México.

^b Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autónoma de Puebla, Apartado Postal 1152 Puebla, 72001, Pue., Mexico.

Recibido el 8 de junio de 2010 ]]> Aceptado el 14 de octubre de 2010

Abstract

In this paper we present the numerical solution of the conformally invariant wave equation on top of a fixed background space–time corresponding to two different cases: i) 1+1 Minkowski space–time in Cartesian coordinates and ii) Schwarzschild space–time. In both cases we use hyperboloidal constant mean curvature slices and scri–fixing conformal compactification, and solve the wave equation on the conformal space–time. In the case of the Schwarzschild space–time we study the quasinormal mode oscillations and the late–time polynomial tail decay exponents corresponding to a mass–less scalar field. We also present general formulas to construct hyperboloidal constant mean curvature slicings of spherically symmetric, static, space–times in spherical coordinates.

Keywords: Relativistic wave equations; numerical relativity; black holes.

Resumen

En este trabajo presentamos la solución numérica de la ecuación de onda conformalmente invariante para dos casos diferentes de espacio–tiempo fijo: i) espacio–tiempo de Minkowski 1+1 en coordenadas catesianas y ii) el espacio–tiempo de Schwarzschild. En ambos casos el espacio–tiempo se describe con hipersuperficies de curvatura espacial media constante y compactificación conforme que contiene al futuro infinito nulo, y se resuelve la ecuación de onda en un espacio–tiempo conforme. En el caso del espacio–tiempo de Schwarzschild, se estudian las oscilaciones cuasinormales y los exponentes del decaimiento asintótico temporal polinomial correspondientes a un campo escalar sin masa. También se presentan las fórmulas generales para construir hipersuperficies hiperboloides con curvatura media constante para un éspacio–tiempo con simetría esférica, estático y en coordenadas esféricas.

Descriptores: Ecuaciones de onda relativistas; relatividad numérica; hoyos negros.

DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF

Acknowledgments

We thank Anil Zenginoglu for providing important clues on the scri–fixing conformal compactification. This research is partly supported by grants CIC–UMSNH–4.9 and CONACyT 106466.

References

1. O. Sarbach, J. Phys. Conf. Ser. 91 (2007) 012005. arXiv:0708.4266v1 [gr–qc]         [ Links ].

2. H. Bondi, M.G.J. Burg, and A.W.K. Metzner, Proc. Royal Soc. London A 269 (1962) 21.         [ Links ]

3. R.K. Sachs, Proc. Royal Soc. London A 270 (1962) 103.         [ Links ]

4. J. Frauendiener, Liv. Rev. Phys. 7 (2004) 1.         [ Links ]

5. H. Friedrich, Comm. Math. Phys. 91 (1983) 445.         [ Links ]

6. J.M. Stewart and H. Friedrich, Proc. R. Soc. A. (1982) 384.         [ Links ]

7. C. Reisswig, N.T. Bishop, D. Pollney, and B. Szilagyi, arXiv:0907.2637v2 [gr–qc]         [ Links ].

8. J.A. González, F.S. Guzmán, and O. Sarbach, Phys. Rev. D. 80 (2009) 024023.         [ Links ]

9. A. Zenginoglu, D. Nunez, and S. Husa, Class.Quant.Grav. 26 (2009) 035009. arXiv:0810.1929v1 [gr–qc]         [ Links ].

10. A. Zenginoglu, Class. Quant. Grav. 27 (2010) 045015.         [ Links ]

11. A. Zenginoglu and M. Tiglio, Phys. Rev. D 80 (2009) 024044. arXiv:0906.3342v2 [gr–qc]         [ Links ]

12. A. Zenginoglu, Class. Quantum Grav. 25 (2008) 145002.         [ Links ]

13. D.R. Brill, J.M. Cavalho, and J.A. Isenberg, J. Math. Phys. 21 (1980) 2789.         [ Links ]

14. R.M. Wald, General Relativity (The University of Chicago Press, USA 1984).         [ Links ]

15. E. Malec and N.O. Murchadha, Phys. Rev. D. 68 (2003) 124019.         [ Links ]

16. P. Diener, Class. Quant. Grav. 20 (2003) 4901. arXiv:grqc/0305039v1        [ Links ]

17. R.H. Price, Phys. Rev. D 5 (1972) 890.         [ Links ]

18. C. Gundlach, R.H. Price, and J. Pullin, Phys. Rev. D 49 (1994) 883.         [ Links ]

19. A. Zenginoglu, Class. Quantum Grav. 25 (2008) 175013.         [ Links ]

20. E.W. Leaver, Proc. R Soc Lond A 402 (1985) 285;         [ Links ] E.W. Leaver, Phys. Rev. D. 45 (1992)        [ Links ]

21. P. Bizon and A. Zenginoglu, Nonlinearity 22 (2009) 2473.         [ Links ]

22. F.D. Lora–Clavijo, A. Cruz–Osorio, and F.S. Guzmán, Phys. Rev. D 82 (2010) 023005. arXiv:1007.1162v1 [gr–qc]         [ Links ].