On the figure eight orbit of the three-body problem

E. Piña* and P. Lonngi**

* Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa, Apartado Postal 55 534, México, D. F., 09340 México, e-mail: pge@xanum.uam.mx

** Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa, Apartado Postal 55 534, México, D. F., 09340 México, e-mail: plov@xanum.uam.mx

Recibido el 6 de marzo de 2003. ]]> Aceptado el 31 de marzo de 2003.

Abstract

A new solution to the three-body problem interacting through gravitational forces with equal masses and zero angular momentum, has been recently discovered. This is a periodic symmetric orbit where the particles follow a figure eight trajectory in the plane. They alternate between six isosceles-aligned positions and six isosceles triangle positions in a periodic orbit composed by twelve equivalent segments. The condition of zero angular momentum is considered assuming that the three masses can be equal or different, yielding in both cases the same final expression for the kinetic energy. We found that the property of this orbit of having isosceles configurations, is a general feature to be found in any orbit of the equal-mass case, associated with an increase of π/6 in one angle of our set of coordinates. The figure-eight solution is determined by expanding two of our coordinates in a Fourier series of that angle, by using the Jacobi-Maupertuis principle as opposed to the standard Lagrangian action. The time and the angle conjugated to the angular momentum are also expressed in terms of that same angle.

Keywords: Three-body problem; zero angular momentum; equal-mass case; figure-eight orbit; Jacobi's action.

Resumen

Recientemente se descubrió una solución nueva del problema de tres cuerpos que interaccionan mediante fuerzas gravitacionales entre masas iguales y con momento angular cero. Se trata de una órbita simétrica periódica, en la cual las partículas siguen la misma trayectoria con forma de ocho en el plano. Hay una alternancia entre seis posiciones isósceles alineadas y seis posiciones triangulares isósceles en la órbita, compuesta por doce segmentos equivalentes. La condición de momento angular cero se considera con el supuesto de que las tres masas pueden ser iguales o diferentes, dando lugar en ambos casos a la misma expresión final para la energía cinética. Encontramos que la propiedad de esta órbita de tener configuraciones isósceles, es una característica general que se encuentra en cualquier órbita del caso de masas iguales, asociada con un incremento de π/6 en un ángulo de nuestro conjunto de coordenadas. La trayectoria con forma de ocho se obtiene mediante la expresión de dos de nuestras coordenadas como una serie de Fourier de dicho ángulo, haciendo uso del principio de Jacobi-Maupertuis en lugar de la acción estándar de Lagrange. El tiempo y el ángulo conjugado al momento angular se encuentran también en términos del mismo ángulo.

Palabras clave: Problema de tres cuerpos; momento angular nulo; caso de masas iguales; órbita con forma de ocho; forma de Jacobi del principio de Maupertuis.

PACS: 45.10.-b; 45.10.Db;45.50.Jf

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