Extreme temperatures in the city of Monterrey N. L. México

José G. Ríos–Alejandro¹

¹ ITESM Campus Monterrey. Departamento de Matemáticas. Ave. Eugenio Garza Sada Núm. 2501, Monterrey, N. L. C. P. 64849. MÉXICO. Correo–e: jrios@itesm.mx (*Autor para correspondencia)

Recibido: 8 de junio, 2010 ]]> Aceptado: 22 de septiembre, 2010

RESUMEN

Considerando como variable aleatoria a la temperatura más baja del año en la Cd. de Monterrey N.L. México, ésta se modela con la distribución de Gumbel, se estiman sus parámetros así como algunos niveles de retorno. Sea x la temperatura mínima del año. En la teoría de valores extremos, el riesgo se evalúa con x_p donde la probabilidad de que (en un período) x sea menor a x_p , es igual a p . De manera que 1/p es el número promedio de periodos (años) que transcurren hasta que la temperatura mínima anual es menor a x_p. Se estima x_p para algunos valores de p, información que se considera importante para el tomador de decisiones. Se aplican metodologías de: regresión lineal, máxima verosimilitud y bayesiana.

Palabras clave: Valores extremos, distribución Gumbel, nivel de retorno.

ABSTRACT

Considered as a random variable, the lowest temperature of the year in the city of Monterrey, N.L, Mexico is modeled with the Gumbel distribution. Its parameters and some return levels are estimated. Let x be the minimum temperature of the year. In extreme value theory, risk is assessed with x_p where the probability that (in a period) x is less than x_p ¡s equal to p, so that 1/p is the average number of periods (years) that elapse until the annual minimum temperature is less than x_p. In addition, x_p is estimated for some values of p, information which is considered important for decision makers. Linear regression, maximum likelihood and Bayesian methodologies are applied.

Key words: Extreme values, Gumbel distribution, return level.

Actualmente la humanidad es más susceptible a desastres naturales como consecuencia del crecimiento de la población y la globalización. Es probable que en el futuro ocurran severos desastres naturales que podrían matar a más de 10,000 personas, Huppert y Sparks (2006). Entre los desastres naturales recientes podemos mencionar al huracán Katrina, el tsunami asiático, el terremoto de Haití.

La evaluación del riesgo probabilístico de estos eventos extremos es una fase importante en la serie de acciones que deben tomarse para tratar de minimizar los daños, (Smolka 2006). La teoría de valores extremos se ha aplicado exitosamente en la estimación de riesgos de situaciones extremas. Katz, et al., 2005, presentan una exposición de la teoría y su aplicación en paleoecología. Walshaw y Anderson 2000, la aplican para modelar ráfagas extremas de viento. Coles y Pericchi 2003, modelan máximas mediciones anuales de lluvia en Venezuela. Coles y Walshaw 1994, modelan extremas velocidades de viento en función de su dirección.

El presente estudio tiene por objetivo aplicar la teoría de valores extremos para modelar las temperaturas mínimas anuales (°C) en la Cd. de Monterrey, y tratar de estimar los riesgos de temperaturas extremas en invierno a través de sus valores y períodos de retorno. Las bajas temperaturas son un factor de riesgo para la población. El estado de Nuevo León, México, invierte recursos en atención a gente por el frío, por ejemplo en 2010 se atendieron 229 personas en albergues por causa del frío, de los cuales el 60 % fueron de la zona metropolitana de la ciudad de Monterrey y murieron tres personas (El Norte, México; 10 de enero 2010, Sección Local:1). Se aplican metodologías de: regresión lineal, máxima verosimilitud y bayesiana.

MATERIALES Y MÉTODOS

Se contó con una base de datos de las temperaturas diarias de Monterrey, facilitada por el Sistema Integral de Monitoreo Ambiental del estado de Nuevo León. La temperatura se registró cada hora en cuatro sitios de la ciudad, desde el año 1993 hasta el año 2009. De cada uno de estos 17 años, se seleccionó la temperatura más baja del año (mínima extrema), que son los valores que se presentan en el Cuadro 1 (Limón¹, 2010).

Se aplica la metodología de valores extremos (valores máximos por período), pero no se pierde generalidad ya que se pueden modelar los valores mínimos por período (al año) mediante la transformación –x. Se evaluó el ajuste de los datos a la distribución Gumbel cuya función de distribución acumulada es,

con –∞ < µ < +∞, σ > 0. Se estimaron sus parámetros (vía máxima verosimilitud y regresión lineal) así como sus intervalos de confianza (Coles 2001; Casella y Berger 2002).

con 0 < p < 1. No es difícil probar que para la distribución Gumbel x_p = µ + σ (–ln[–ln(l–p)]). Es decir, la probabilidad de que el valor de x_p sea excedido en un período es p, o bien, se espera que el valor de x_p sea excedido en promedio una vez cada 1/p períodos (a 1/p se le llama período de retorno), (Coles 2001). Se obtienen intervalos de confianza para x_p mediante el método delta.

Se aplica también inferencia bayesiana, donde a través de cadenas de Markov–Montecarlo (CMM) se generan 1000 valores simulados de las distribuciones a posteriori ƒ(µ | x) y ƒ(σ| x), se corrió de manera independiente una CMM para µ y otra para ln(σ). Se consideró como distribución a priori a la distribución normal (0, 1), para ambos µ y ln(σ). Como regla de probabilidad q(µ_i+1 |µ_i) se utilizó la distribución normal (0,0.4²) y para q(_i+1 | _¡) se utilizó la distribución normal (0,0.01²) donde = lnσ, (Coles 2001, Gilks et al 1996).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

La Figura 1 muestra la función de autocorrelación de los datos (–temperatura mínima), de la cual se infiere que las temperaturas mínimas anuales son independientes. Usando el paquete Minitab (Minitab 15) se obtuvo la estimación de máxima verosimilitud de los parámetros de la distribución Gumbel donde, = –0.9142 y =1.509 que se exhibe en la Figura 2, de donde se infiere que los datos se ajustan a la distribución Gumbel.

Una primera estimación de estos parámetros por intervalo de confianza es mediante un ajuste de regresión lineal para [–(ln(–ln(l–p))), x_p] donde β₀ = µ Y β₁ = σ, tal que para x_(i) se estima p con la ecuación = (i–0.5) l n. Las estimaciones puntuales son = –0.8868 y = 1.4940. Los intervalos de confianza del 95% son –1.0579 < µ < –0.7156 y 1.3650 σ < 1.6231, el Cuadro 2 muestra estos resultados ajustando una regresión lineal en Excel. Se estimaron los niveles de retorno y su intervalo de predicción del 95 %, los resultados se presentan en al Cuadro 3. Por ejemplo, para p = 0.4 se estima que x₀₄ = 0.1168 , luego la temperatura es –0.1168 (nivel de retorno), lo cual se puede interpretar diciendo que en un año se tiene una probabilidad de 0.4 que la temperatura mínima sea menor a –0.1168 °C. También se puede decir que en el largo plazo, en promedio cada 1/0.4 = 2.5 años (período de retorno) la temperatura mínima será menor a –0.1168 °C. Por ejemplo, se estima que x_{0 05} = 3.55, luego en un año se tiene una probabilidad de 5 % de que la temperatura mínima sea menor a –3.55 °C con un período de retorno de 20 años. Las últimas dos columnas son los extremos de los intervalos de predicción del 95 % para los niveles de retorno. De manera similar se interpreta el resto de los resultados.

Aplicando la aproximación normal del estimador de máxima verosimilitud se tiene que la matriz estimada de covarianzas de (, ) es,

Aplicando el método delta se obtienen los intervalos de confianza del 95% para los niveles de retorno x_p. El Cuadro 4 muestra los resultados, se interpreta igual que los resultados del Cuadro 3.

De la inferencia bayesiana, promediando los mil valores simulados de µ y σ se obtienen sus estimaciones puntuales obteniendo, = –1.1339 y = 1.5055. Mediante percentiles se obtienen los intervalos de credibilidad del 95 % quedando, –2.244< µ < –0.3539 y 1.1617 < σ < 1.8471. De los mil pares simulados (µ, σ), se obtuvieron 1,000 valores simulados de niveles de retorno x_p. Su promedio es la estimación puntual X_p y mediante percentiles se obtuvieron intervalos de credibilidad del 95 %, los resultados se presentan en el Cuadro 5. El segundo renglón "años", es el período de retorno 1/p , el tercer renglón es la estimación puntual del nivel de retorno y los dos últimos renglones son los límites del intervalo de credibilidad del 95 % para x_p.

Tratando de colaborar en la estimación de riesgos de temperaturas mínimas extremas en la Cd. de Monterrey, se aplicó la teoría estadística de los valores extremos, encontrando un buen ajuste de los datos (temperatura mínima anual) a la distribución Gumbel. El riesgo se estimó a través de los niveles de retorno. Se trabajó con: ajuste de regresión lineal simple a los datos, máxima verosimilitud, método delta e inferencia bayesiana.

La mejor precisión en los intervalos para µ y σ ya se obtuvo con el método de la regresión lineal simple, la razón es el excelente ajuste (R² = 98.9 %). También la mejor precisión en los intervalos de los niveles de retorno se obtuvo con el método de regresión lineal simple. En general, la peor precisión en la estimación lo tuvo el método de máxima verosimilitud, la explicación de ello es la muestra pequeña (17 datos).

Se infiere que prácticamente 40 % es la probabilidad de tener una temperatura mínima anual por debajo de cero °C, razón por la cual cada año se debe tener recursos para auxiliar a la población en este aspecto. En fenómenos extremadamente raros, se estima una probabilidad de 1 % de que la temperatura mínima anual sea por debajo de 6 °C bajo cero, es decir, se estima que ocurre en promedio cada 100 años.

Con la información disponible, se infiere que las temperaturas mínimas anuales en la ciudad de Monterrey, N. L., México son independientes y se ajustan bien a la distribución Gumbel. Se estiman algunos niveles y periodos de retorno tratando con ello de contribuir a la medición de riesgos climatológicos. Se aplicaron los métodos de: regresión lineal, máxima verosimilitud y bayesiano. En general, la mejor precisión se logró con el método de regresión lineal.

LITERATURA CITADA

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