Uso de modelos de regresión para interpolar espacialmente la precipitación media mensual en la cuenca del río Conchos*

Using regression models for spatially interpolated monthly average rainfall in the Conchos River Basin

Daniel Núñez López^1,2,§, Eduardo Javier Treviño Garza¹, Víctor Manuel Reyes Gómez², Carlos Alfonso Muñoz Robles³, Oscar Alberto Aguirre Calderón¹ y Javier Jiménez Pérez¹

¹ Facultad de Ciencias Forestales. Universidad Autónoma de Nuevo León. Carretera Nacional, km 145. C. P. 67700 Linares, Nuevo Léon, México. (eduardo.trevinogr@uanl.mx; oscar.aguirrrecl@uanl.mx; javier.jimenezp@uanl.mx).

² Instituto de Ecología A.C. Carretera Chihuahua-Ojinaga, km 33.3. C. P. 32910, Cd. Aldama, Chihuahua, México. (victor.reyes@inecol.edu).

* Recibido: julio de 2013
Aceptado: enero de 2014

Resumen

En el presente estudio se analizaron datos mensuales de precipitación provenientes de 110 estaciones climáticas ubicadas al interior y en los alrededores de la Cuenca del Río Conchos (CRC) con el propósito de representar fiablemente la distribución espacial de la precipitación media mensual (PMM) para cada mes del año. Con la información de 60% de estaciones seleccionadas aleatoriamente, se ajustaron modelos de regresión lineal múltiple (MRLM) por pasos para predecir la PMM en función de la elevación del relieve, la proximidad de zonas marítimas y la localización geográfica de las estaciones. Los MRLM se utilizaron para interpolar espacialmente la PMM, obteniéndose mapas mensuales que fueron calibrados en función de los residuales. Pruebas de validación estadística se llevaron a cabo antes y después de la calibración espacial, utilizando el restante 40% de estaciones no consideradas en el proceso de ajuste de modelos. La proporción de varianza atribuible a las variables predictivas de los MRLM que comprenden el periodo de verano (junio a septiembre) osciló entre 71 y 76%, en tanto que para los modelos del periodo invernal (diciembre y enero) se mantuvo cercana a 50%. Las pruebas de validación estadística mostraron mejoras significativas en la fiabilidad después de calibrar los mapas de PMM, resultando los meses comprendidos entre mayo y septiembre, así como del periodo noviembre a enero, como los mapas más confiables para representar espacialmente la PMM.

Palabras clave: Cuenca del río Conchos, eficiencia de modelos, fiabilidad.

Abstract

Key words: Conchos River Basin, modeling efficiency, reliability.

Introducción

La descripción espacial y temporal de variables climáticas es de gran utilidad para comprender el funcionamiento de procesos bio-físicos. La precipitación es una de las principales variables climáticas requeridas para la estimación de balances hídricos, recargas de frontera en la modelación de flujos de agua subterránea, evaluar procesos de erosión así como para definir las condiciones climáticas actuales. Sin embargo, la representación espacial fiable de la precipitación, es particularmente difícil en zonas montañosas con escasa disponibilidad de estaciones climáticas en donde el efecto orográfico es grande (Hevesi et al, 1992; Huade et al, 2005).

Diversos métodos estadísticos han sido desarrollados para predecir la distribución espacial de variables climáticas que difieren en su concepto y formulación matemática. Métodos de interpolación locales como polígonos de Thiessen e inverso de distancia ponderada (IDW) han sido de los mas frecuentemente utilizados en la predicción climática y desarrollo cartográfico (New et al, 2000; Vicente-Serrano et al., 2003), al igual que procedimientos geo-estadísticos como Kriging, co-Kriging y Spline (Vicente-Serrano et al, 2003; Apaydin et al, 2004; Hong et al, 2005).

Estudios como los de Dirks et al, (1998) y Michaud y Sorooshian (1994) sugieren que cuando existe una alta densidad de estaciones climáticas, no existen diferencias significativas al interpolar datos de precipitación con los métodos de IDW y el de Kriging. En México, a pesar de la importancia que representa la información climática para la toma de decisiones, han sido pocos los esfuerzos realizados para evaluar la bondad de métodos de interpolación de datos climáticos, destaca el análisis comparativo desarrollado por Díaz et al. (2008) en el que evalúan cuatro métodos de interpolación para representar espacialmente la precipitación particularmente en la región de sotavento y barlovento del Golfo de México, concluyen que el método thin plate smoothing spline fue el de mayor eficiencia.

Métodos globales de interpolación que permiten el procesamiento de datos topográficos y geográficos han sido ampliamente utilizados en diversas partes del mundo para generar mapas de precipitación (Hevesi et al, 1992;Agnew y Palutikof, 2000; Ninyerola et al, 2000; Daly et al, 2002, Brown y Comrie, 2002). Éstos métodos se basan en el uso de modelos estadísticos multivariados que permiten evaluar las relaciones de los datos climáticos con las variables geográficas y topográficas de las estaciones climáticas y su correlación espacial (Ninyerola et al, 2000; Brown y Comrie, 2002). Actualmente, la combinación de modelos de regresión con métodos geo-estadísticos hace posible el desarrollo de cartografía climática con predicciones precisas y mínima varianza espacial (Vicente-Serrano et al, 2003).

En el norte de México, la distribución de la precipitación se encuentra fuertemente influenciada por diversos patrones de circulación atmosférica de escala global como la Oscilación del Sur y la ocurrencia del fenómeno El Niño (Magaña et al, 2003), de escala regional como el sistema del Monzón de Norteamérica (Douglas et al, 1994; Reyes et al, 1994), y localmente, los rasgos geográficos y orográficos también tienen efectos importantes en la distribución espacial de la precipitación (García, 2003).

La Cuenca del Río Conchos (CRC) es una de las más importantes de la Región Río Bravo y del norte de México. La presión sobre el uso del agua al interior de la cuenca por los sectores agrícola, doméstico e industrial se ha intensificado en los últimos años, situación que se ha complicado debido a la ocurrencia de eventos de sequía. Aunado a esto, existe una presión de carácter internacional debida a la necesidad de cumplir con el Tratado Internacional de 1944 (Kelly, 2001) en el cual se establece que México debe entregar anualmente a EE.UU. 432 millones m³ de agua al cauce Río Bravo/Grande. De no cumplir con esta cuota, el adeudo se acumula para el siguiente ciclo de cinco años, con aguas procedentes de la CRC, principal afluente mexicano del río Bravo/Grande (Velasco et al., 2004).

Materiales y métodos

Área de estudio

La CRC se sitúa entre los 104° 20' y 107° 55' de longitud oeste, y los 26° 05' y 29° 55' de latitud norte (Figura 1). La CRC se distribuye en una superficie aproximada de 67 800 km² que representa alrededor de 14% de la superficie total de la Cuenca del Río Bravo del lado mexicano (Kelly, 2001).

El régimen de precipitación que ocurre en la CRC se caracteriza por la presencia de un periodo de lluvias abundantes claramente establecido entre junio y septiembre, siendo julio y agosto los meses más húmedos. La precipitación acumulada del periodo húmedo representa aproximadamente 74% de la precipitación total anual captada en la cuenca (CNA, 2003).

Metodología

En el presente estudio se recopilaron series históricas de precipitación mensual provenientes de las estaciones climatológicas administradas por la Comisión Nacional del Agua (CONAGUA) y el Servicio Meteorológico Nacional (SMN), que se encuentran distribuidas al interior y en las proximidades de la CRC. Preferentemente se consideró el uso de las estaciones que cumplieran con un periodo común de datos con al menos de 35 años de continuidad (1970 - 2004); sin embargo, y debido a la calidad de la información disponible, el número de estaciones que cuentan con este periodo en su historial es muy reducido y siendo verdaderamente estricto, podrían quedar excluidas estaciones que a pesar de tener ligeras ausencias de datos, son de gran valor por ubicarse en zonas donde no existen estaciones climáticas.

De manera práctica, es difícil poder utilizar un período común a todas las estaciones, ya que una cantidad importante de éstas tienen periodos extremadamente cortos en sus registros o bien lagunas de datos faltantes de información. Con el propósito de incluir el mayor numero de estaciones posibles para la realización del presente estudio, se seleccionaron estaciones que contaron con al menos 85% de los registros mensuales de precipitación durante el periodo comprendido de 1970 a 2004. En total se seleccionaron 110 estaciones climatológicas (Figura 1) a partir de las cuales, se determinaron los datos faltantes mediante el desarrollo de análisis de regresión entre estaciones con datos completos e incompletos de acuerdo a lo sugerido por Young (1992) y Wanielista et al. (1997). Finalmente, considerando el periodo de 1970 a 2004, para cada estación climatológica, se calculó la PMM correspondiente a cada mes del año, y con auxilio de un sistema de información geográfica (SIG), se obtuvo la distancia Euclidiana respecto a las zonas marítimas, así como el valor de altitud sobre el nivel del mar apoyándose de un modelo digital de elevaciones (MDE) con resolución espacial de 90 m (INEGI, 2003).

Obtención y ajuste de los MRLM

Con el propósito de predecir espacialmente la PMM histórica de la CRC, para cada uno de los meses del año se ajustó un MRLM como (1). Del total de las estaciones climatológicas en estudio, se seleccionaron en forma aleatoria 60% para la obtención y ajuste del MRLM (1) de manera separada para cada mes del año.

PMM_i = [β₀+ β₁LON + β₂LAT + β₃ELEV + β₄DEM + ε (1)

Donde: PMM_i representa el valor de respuesta de la precipitación media mensual en milímetros del iésimo mes, LON, LAT, ELEV y DEM denotan respectivamente, las variables independientes longitud, latitud (representadas en el sistema de coordenadas Cónica Conforme Lambert), elevación sobre el nivel medio del mar (metros) y la distancia Euclidiana a la zonas marítimas (metros). Las constantes β₀, β₁, β₂, β₃, y β₄ son parámetros que se estiman en el proceso de ajuste del modelo.

El término ε representa el error aleatorio del MRLM; se asume que los errores del modelo ε son independientes e idénticamente ajustados a una distribución normal de media 0 y varianza constante σ², analíticamente se expresa como ε~iidN(0,σ²). Para verificar dichos supuestos se aplicaron respectivamente las siguientes pruebas estadísticas Durbin-Watson y Kolmogorov-Smirnov descritas ampliamente por Marquínez et al. (2003); en tanto que la homogeneidad de la varianza fue evaluada de manera gráfica, verificando la inexistencia de algún un patrón sistemático o tendencia entre los errores y las predicciones del modelo tal y como lo sugiere Hession y Moore (2011).

El proceso de ajuste se llevó a cabo utilizando el procedimiento de mínimos cuadrados por pasos con selección de variables hacia delante "forward stepwise". El método permite incluir todas las variables independientes en un simple paso y descartar en pasos subsecuentes las variables que no cumplan con el nivel de significancia estadística esperado (p< 0.05). Cada vez que una variable es removida de la función, el modelo es reajustado y el valor de R² resultante, explica la varianza global, mayores detalles del proceso son descritos por Marquínez et al. (2003) y Hession y Moore (2011).

Interpolación espacial y calibración de la PMM

La interpolación espacial se llevó a cabo utilizando el programa Arc/Info 9.2^®. La ecuación de cada MRLM fue resuelta mediante la sumatoria algebraica del valor de la constante del modelo B₀ y los productos de las variables independientes con sus correspondientes coeficientes de regresión (₀, ₁ , ₂, ₃, y ₄). En otras palabras, en cada MRLM mensual se sustituyeron los valores de coordenadas geográficas representadas en el sistema de coordenadas métrico: cónica conforme Lambert, de elevación del relieve con la información proveniente del MDE y de la proximidad de las zonas de costa.

Los valores predichos por los MRLM fueron comparados con los observados en 60% de estaciones, obteniéndose el error residual para cada estación climática. Los valores residuales se interpolaron espacialmente empleando la técnica spline, con un valor de 400 en el parámetro de tensión, tal y como lo sugiere Vicente-Serrano et al. (2003). Las matrices de valores residuales resultantes se integraron espacialmente a los valores de PMM interpolados con los MRLM con propósitos de calibración.

Validación estadística de las interpolaciones

La capacidad predictiva de cada MRLM fue evaluada confrontando los valores de PMM predichos por los modelos, con los observados en el restante 40% de estaciones climatológicas que no fueron incluidas en los procesos de ajuste. Asimismo y con el propósito de determinar si la fiabilidad de cada MRLM mejoró o al menos se mantuvo igual después del proceso de calibración, se consideraron como criterios de validación antes y después del proceso de calibración: la prueba de eficiencia de modelos EF, interpretada como la proporción de la varianza que es explicada por el modelo (Nash and Sutclie, 1970) y el valor porcentual del error medio absoluto (%EMA), como una medida de la precisión.

Donde: y_i es el valor de PMM observada en el 40% de estaciones no consideradas en el ajuste, ŷ es el valor de precipitación estimado por el MRLM, es la precipitación media observada y n es el número de observaciones. La prueba EF es un indicador que permite evaluar la fiabilidad de modelos; valores de EF cercanos a uno indican que las predicciones son relativamente cercanas a la perfección, mientras que valores próximos a cero o negativos indica ajustes inadecuados, por lo que no deben ser recomendados (Nash and Sutclie, 1970; Krause et al, 2005; Bellocchi et al, 2009).

Calidad de ajuste de MRLM

Como puede observarse en el Cuadro 1 los coeficientes de determinación de los MRLM oscilaron entre 0.18 y 0.76, siendo los modelos de los meses que comprenden el periodo de verano (junio-septiembre) los que mejor explicaron la varianza de la precipitación (entre 71 y 76%), en tanto que en los modelos del periodo de invierno (dic y ene) la varianza explicada se mantuvo cercana a 50%. Los modelos de los meses que comprenden el periodo seco (febrero-mayo) así como los de octubre y noviembre, mostraron la mayor incertidumbre dado que no explicaron más de 46% de la varianza de la precipitación. Éstos resultados son consistentes con lo encontrado por Ninyerola et al. (2000) y Diodato (2005) quienes reportaron valores de R² comprendidos entre 0.32 y 0.75.

La PMM correspondiente a los meses del verano mostró una relación estadísticamente significativa con la elevación del terreno en la CRC y la proximidad de las zonas de costa. La significancia positiva de la elevación del relieve en los MRLM del periodo húmedo indica que los valores de PMM aumentan conforme la elevación del terreno de la cuenca; en tanto que la proximidad de las zona de costa muestra una relación inversa con la PMM, de tal manera que las zonas más alejadas de la línea de costa presentan los mas bajos valores de PMM. La longitud geográfica por su parte, mostró significativa estadística negativa durante los meses secos del año, lo cual indica que la precipitación aumenta conforme los valores de longitud disminuyen en dirección hacia el oeste; mientras que la latitud geográfica tiene significancia estadística durante los meses de septiembre, octubre diciembre y enero con una tendencia poco clara que indica que la precipitación es menor en latitudes mas próximas al norte de la cuenca.

Las pruebas estadísticas de Kolmogorov-Smirnov revelaron con un nivel de significancia de 0.05, que con excepción de los meses de febrero y marzo, los valores residuales del resto de los MRLM se distribuyen normalmente, cumpliendo así con el supuesto de normalidad de residuos. Asimismo, y considerando un nivel de significancia de 0.05, un valor de n= 66 y un total de 4 regresores incluidos en el modelo (1), se determinó que los límites inferior (d_L) y superior (d_U) que permiten estimar los valores críticos para evaluar la presencia o ausencia de auto-correlación a través de la prueba estadística Durbin-Watson (d) fueron d_L= 1.47 y d_U 1.73. De acuerdo con Goldbenger (1962), la inexistencia de auto-correlación se establece cuando: d_U < d < (4 - d_U); para el presente análisis quedaría los límites quedaron establecidos en: 1.73 < d < 2.27. De acuerdo con los resultados obtenidos puede mencionare que con excepción de febrero y mayo, los valores de la prueba estadística Durbin-Watson (d) obtenidos en el ajuste del resto de los modelos se mantuvieron entre 1.79 y 2.08, lo cual confirma la inexistencia de auto-correlación.

Interpolación espacial

La interpolación espacial de los valores residuales permitió identificar las zonas en donde las estimaciones de la PMM fueron menos eficientes. Las zonas con tonalidades claras que se observan en la Figura 2a, indican que los valores de PMM predichos por los MRLM son muy próximos a los valores observados; mientras que las zonas en tonos intensos muestran las anomalías de los modelos; intensidades hacia el color azul representan sub-estimaciones, mientras que intensidades hacia el color rojo corresponden a sobre-estimaciones.

Fiabilidad de las interpolaciones

Las pruebas de validación aplicadas a los MRLM previo al proceso de calibración se presentan en el Cuadro 2, en donde puede observarse que los MRLM correspondientes a los meses de julio y agosto mostraron los más bajos valores porcentuales del error medio absoluto (16 y 17.2% respectivamente) así como los mas altos valores de la prueba de eficiencia EF (0.72 y 0.63 respectivamente) por consecuencia, fueron los que mejor capacidad demostraron para predecir la PMM. Los MRLM correspondientes a los meses de mayo, junio y septiembre mostraron un rango de valores porcentuales del error medio absoluto comprendidos entre 20.9 y 25.2% y valores de eficiencia EF de 0.36 a 0.47; mientras que los modelos del periodo invernal: noviembre, diciembre y enero, presentaron un rango de valores de EF comprendidos entre 0.11 y 0.28, y errores medios porcentuales por encima de 30%. El resto de los MRLM: febrero, marzo y abril mostraron la mayor incertidumbre en las predicciones.

Las pruebas de validación aplicadas a los modelos después del proceso de calibración, mostraron mejorías significativas prácticamente en todos los MRLM, que se manifestaron con reducciones en los valores del error medio absoluto e incrementos en los valores de eficiencia. Por ejemplo, los modelos de los meses del periodo invernal mostraron mejorías notables que se reflejan con un incremento en el rango de valores de EF (entre 0.56 y 0.82), y errores porcentuales por debajo de 23.5.

En términos generales las pruebas de validación estadística obtenidas posterior al proceso de calibración indican que los modelos de los meses comprendidos entre mayo y septiembre (EF> 0.63 y %EMA < 18.2%) así como los del periodo invernal (noviembre-enero) resultaron confiables (EF> 0.56 y %EMA < 23.5%) para representar espacialmente la correspondiente PMM en la CRC. Los modelos de febrero y marzo a pesar de haber mostrado ligeras mejorías después del proceso de calibración, continúan presentando incertidumbre en las predicciones; en tanto que los meses de abril y octubre, en definitiva los valores de eficiencia indicaron que no pueden ser recomendados para representar espacialmente la PMM.

Discusión

La distribución espacial de la PMM que ocurre durante el periodo de verano en la cuenca del río Conchos (CRC) mostró una relación estrecha con la elevación del relieve y la proximidad de las zonas de costa de las estaciones climatológicas (Cuadro 1); éstas variables lograron explicar al menos 64% de la varianza espacial en la distribución de la PMM. La relación entre la elevación y los altos valores de precipitación durante los meses del verano podría ser explicada por el efecto orográfico que producen las montañas en la zona de barlovento, en donde las masas de aire húmedo provenientes del mar son forzadas a ascender por las barreras montañosas hasta alcanzar su nivel de condensación y precipitación (Maderey y Jiménez, 2005).

La precipitación que ocurre entre los meses que comprenden el periodo de junio a septiembre presenta los máximos valores en las zonas de mayor altitud de la CRC y tienden a decrecer conforme la altitud del relieve disminuye en dirección al río Bravo y la distancia de las zonas de costa aumenta (Figura 2b). Este patrón de distribución concuerda con lo señalado por Brito-Castillo et al. (2010) y Douglas et al. (1993), quienes sugieren que el origen de las precipitaciones de los meses del verano están influenciadas en gran medida por el sistema atmosférico regional conocido como Monzón del suroeste de Norteamérica (Reyes et al, 1994) o Monzón mexicano (Douglas et al, 1993) que se caracteriza por la formación de un centro de baja presión en Sonora y Arizona, el cual modula el flujo de humedad sobre el Golfo de California y produce una gran convergencia y vorticidad ciclónica sobre la Sierra Madre Occidental (Reyes et al, 1994).

Resultados similares fueron obtenidos por Ninyerola et al. (2000) y Agnew y Palutikof (2000), quienes derivaron coberturas geográficas de precipitación y temperatura mediante MRLM corregidos considerando como variables predictoras factores geográficos y topográficos, y de manera similar al presente estudio, determinaron que la variable elevación tiene significancia estadística positiva en la contribución de los MRLM.

Conclusiones

La interpolación espacial de la PMM mediante el uso de MRLM calibrados con los valores residuales, permitió la obtención de coberturas continuas de PMM estadísticamente confiables para los meses de los periodos: mayo a septiembre y, noviembre a enero en la CRC. En futuros estudios podría evaluarse el efecto de incorporar otras variables predictivas al MRLM como: humedad relativa, cobertura de nubes, dirección de vientos dominantes y la condición del vigor de la cubierta vegetal; lo cual podría contribuir en mejorar la fiabilidad de los modelos desarrollados para meses de febrero, marzo y abril que mostraron claras inconsistencias en la interpolación espacial de la PMM.

La principal contribución del presente estudio radica en la generación de coberturas continuas de PMM de alta resolución espacial y estadísticamente fiables, tal y como lo demostraron las pruebas de validación (Cuadro 2). Los mapas producidos podrían ser utilizados como variables de entrada en modelos desarrollados para evaluar las variaciones espaciales y temporales de los procesos hidrológicos que ocurren en la CRC, así como en estudios de caracterización del clima de la región.

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