Mathematics motivated by physics: the electrostatic potential is the Coulomb integral transform of the electric charge density
L. Medinaª and E. Ley Kooa,b
ª Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria, México D.F., 04510, México, e–mail: lumg@fciencias.unam.mx,
b Instituto de Física, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 20–364, 01000 México D.F., Mexico, e–mail: eleykoo@fisica.unam.mx
Recibido el 19 de octubre de 2007 ]]> Aceptado el 11 de marzo de 2007
Abstract
This article illustrates a practical way to connect and coordinate the teaching and learning of physics and mathematics. The starting point is the electrostatic potential, which is obtained in any introductory course of electromagnetism from the Coulomb potential and the superposition principle for any charge distribution. The necessity to develop solutions to the Laplace and Poisson differential equations is also recognized, identifying the Coulomb potential as the generating function of harmonic functions. Correspondingly, the convenience of expressing the electrostatic potential in terms of its multipole expansion in spherical coordinates, or as integral transforms based on harmonic functions in different coordinate systems, is also established. These connections provide a motivation for teachers and students to acquire the necessary mathematics as a basic tool in the study of electromagnetic theory, optics and quantum mechanics.
Keywords: Electrostatics; Laplace and Poisson equations; spherical and circular cylindrical Harmonic functions.
Resumen
Este artículo ilustra una manera práctica de conectar y coordinar la enseñanza y aprendizaje de la física y las matemáticas. El punto de partida es el potencial electroestático que se obtiene en el curso introductorio de electromagnetismo a partir del potencial de Coulomb y del principio de superposición para cualquier distribución de carga. También se reconoce la necesidad de construir soluciones de las ecuaciones diferenciales de Laplace y de Poisson, identificando al potencial de Coulomb como una función generadora de funciones armónicas. Correspondientemente, también se reconoce la conveniencia de expresar al potencial electroestático en términos de su desarrollo multipolar en coordenadas esféricas, o de transformadas integrales basadas en funciones armónicas en diferentes sistemas de coordenadas. Estas conexiones proporcionan una motivación para maestros y alumnos para adquirir las matemáticas necesarias como una herramienta básica en el estudio de la teoría electromagnética, la óptica y mecánica cuántica.
Descriptores: Electroestática; ecuaciones diferenciales de Laplace y de Poisson; funciones armónicas esféricas y cilindricas circulares.
]]> PACS:41.20.Cv1
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Acknowledgement
One of the authors (E.L.K.) on sabbatical leave at the University of Wisconsin–Milwaukee with support from DGAPA–UNAM wishes to thank Professor Hans Volkmer of the School of Mathematical Sciences for his hospitality.
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