An analysis on the inversion of polynomials

M.F. González-Cardel and R. Díaz-Uribe

Centro de Ciencias Aplicadas y el Desarrollo Tecnológico, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 70-186, 04510 México D.F., México, e-mail: mario@aleph.cinstrum.unam.mx, rufino@aleph.cinstrum.unam.mx

Recibido el 15 de diciembre de 2005; ]]> aceptado el 29 de marzo de 2006

Abstract

In this work the application and the intervals of validity of an inverse polynomial, according to the method proposed by Arfken [1] for the inversionⁱ of series, is analyzed. It is shown that, for the inverse polynomial there exists a restricted domain whose longitude depends on the magnitude of the acceptable error when the inverse polynomial is used to approximate the inverse function of the original polynomial. A method for calculating the error of the approximation and its use in determining the restricted domain is described and is fully developed up to the third order. In addition, five examples are presented where the inversion of a polynomial is applied in solving different problems encountered in basic courses on physics and mathematics. Furthermore, expressions for the eighth and ninth coefficients of a ninth-degree inverse polynomial, which are not encountered explicitly in other known references, are deduced.

Keywords: Invertion of polynomial; equation solving; intervals of validity.

Resumen

En este trabajo se analiza la aplicación y los intervalos de validez de un polinomio inverso, según el método propuesto por Arfken [1] para la inversión de series. Se muestra que existe un dominio restringido cuya longitud depende de la magnitud del error aceptable; esto se ejemplifica por simplicidad con un polinomio de tercer grado, aunque el procedimiento es aplicable a polinomios de cualquier grado. Se deduce una expresión para determinar el error del polinomio inverso; así mismo, se presentan cinco ejemplos, con diferentes grados de dificultad, donde se aplica la inversión polinomial para resolver diversos problemas que pueden presentarse en física y matemáticas. Se deducen las expresiones para los coeficientes octavo y noveno de un polinomio inverso de grado nueve, las cuales no se encuentran explícitamente en otras referencias conocidas.

Descriptores: Inversión polinomial; solución de ecuaciones; intervalo de validez.

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Acknowledgements

This investigation was sponsored by Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología under the project 37077-E.

References

1. G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists (Academic Press, New York, 1981).         [ Links ]

2. M. Spivak, Calculus, W.A. Benjamin, Inc. (New York 1978).         [ Links ]

3. P. Henrici, Applied and computational complex analysis, (Ed. John Wiley, New York, 1974) p.12.         [ Links ]

4. J.E. Thompson, Algebra for the practical man, D. Van Nostrand Company, Inc. (New York EUA, 1968).         [ Links ]

5. M.A. Hall and B.A. Knight, Higher Algebra (Macmillan and Con., Ltd., Londres, UK, 1982).         [ Links ]

6. C. Coulston Gillispie, Dictionary of Scientific Biography (Charles Scribner's Sons, New York, USA, 1981) Vol. 5.         [ Links ]

7. V.O. Panteleeva and C.M. González, Métodos Numéricos (Ediciones Instituto de Investigación de Tecnología Educativa de la Universidad Tecnológica de México S. C., México, 2002) p. 85, 177, 288.         [ Links ]

8. D. Halliday and R. Resnick, Physics (part II) (John Wiley & sons, inc., USA, 1980).         [ Links ]

9. B.H. Dwight, Tables of Integrals and other mathematical data, 4^a. Edición (The Macmillan Company, 1961, USA.) p.15, 136.         [ Links ]

10. M. Alonso and E.J. Finn, Fundamental University Physics, Volume III, Quantum and Statistical Physics (Addison-Wesley Publishing Company, Massachusetts, E.U.A., 1968).         [ Links ]

11. Wolfram Research Inc., Mathematica V 5.0.         [ Links ]