Los funcionamientos y formas de las gráficas en los libros de texto: una práctica institucional en el bachillerato

The Functionings and Forms of Graphs in Textbooks: An Institutional Practice in High School

Francisco Cordero Osorio¹, Claudia Cen Che² y Liliana Suárez Téllez³

¹ Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav–IPN), México, D.F.; fcordero@cinvestav.mx

² Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav–IPN), México, D.F.; ccen@cinvestav.mx

Recepción: Febrero 10, 2009.
Aceptación: Enero 29, 2010.

RESUMEN

En este artículo damos a conocer un marco de referencia, con base en la teoría socioepistemológica, sobre los usos de las gráficas que generan las prácticas institucionales en el bachillerato. Mostramos que los funcionamientos y formas de las gráficas mantienen una relación dialéctica, incluso en los libros de texto, y se van resignificando para dar lugar a otros funcionamientos y formas gráficas, lo cual expresa el desarrollo del uso de la gráfica en tres aspectos: los métodos de uso de la graficación, las comprensiones de las gráficas y su funcionalidad.

PALABRAS CLAVE: Práctica institucional, resignificación, funcionamiento, forma.

ABSTRACT

KEY WORDS: Institutional practice, redefining, functioning, form.

RESUMO

Neste artigo damos a conhecer um quadro de referência, com base na teoria sócio–epistemológica, sobre os usos dos gráficos que geram as práticas institucionais no ensino secundário. Mostramos que as funcionalidades e formas dos gráficos mantêm uma relação dialéctica, incluindo nos livros de texto, e se vão re–significando para dar lugar a outras representações e formas gráficas, o que expressa o desenvolvimento da aplicação do gráfico em três aspectos: os métodos de uso da graficação, as compreensões dos gráficos e a sua funcionalidade.

PALAVRAS CHAVE: Prática institucional, re–significação, funcionalidade, forma.

RÉSUMÉ

En se basant sur la théorie socio–épistémologique, cet article définit le cadre référentiel relatif aux utilisations des graphiques qui résultent des pratiques institutionnelles au lycée. Notre texte démontre que les fonctionnements et les formes des graphiques maintiennent une relation dialectique, y compris dans les ouvrages scolaires, et que cela va jusqu'à leur redéfinition. En conséquence, l'analyse de l'utilisation des graphiques se fait sous trois angles : les méthodes d'utilisation de la representation graphique, les compréhensions des graphiques y leur fonctionnalité.

MOTS CLÉS: Pratique institutionnelle, redéfinition, fonctionnement, forme.

1. INTRODUCCIÓN

El universo de gráficas de funciones que integra cualquier programa curricular de bachillerato, como veremos más adelante, es enorme; incluso, a priori, podría ser suficiente para la experiencia escolar de un estudiante. Sin embargo, dicha experiencia está normada por las prácticas institucionales que se manifiestan en el discurso matemático escolar del libro de texto, en los objetivos de los programas y en las interpretaciones de los docentes.

El presente artículo trata de entender la función de ese universo de gráficas en las prácticas institucionales. Para ello, analizamos los usos de las gráficas en los libros de texto y en las experiencias escolares de los estudiantes con base en la teoría socioepistemológica (TS), debido a que provee un marco funcional sobre el desarrollo del uso de las gráficas que señala una relación dialéctica entre el funcionamiento de la gráfica y su forma en situaciones específicas (Buendía & Cordero, 2005).

La metodología ocupada para lograr tal cometido fue analizar los programas de estudio que incluye el bachillerato del Instituto Politécnico Nacional (IPN), a fin de conocer el estatus epistemológico de las gráficas y el momento donde aparecen curricularmente. Esto nos condujo a revisar los libros de texto sugeridos como principales en el marco de los contenidos curriculares del grado escolar, y así caracterizar el uso de la gráfica en su funcionamiento y forma. Con base en el análisis a los programas de estudio y la revisión de los libros de texto encontramos seis usos de gráfica: distribución de puntos, comportamiento geométrico, análisis de la curva, cálculo de área, cálculo de volumen y análisis de información. de este modo planteamos escenarios de la recta, de la parábola y de la curva sinusoidal para dar evidencia sobre el desarrollo de los usos de las gráficas en el sistema didáctico.

Además, para rendir cuentas de las prácticas institucionales consideramos el episodio de una resignificación de la parábola llevada a cabo por estudiantes universitarios. Identificamos algunos usos de las gráficas y sus desarrollos en los argumentos dentro de una situación específica.

2. LA PROBLEMÁTICA

La matemática se ha constituido socialmente en ámbitos no escolares y su introducción en el sistema de enseñanza obliga a tomar una serie de modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento (Cantoral, 2003), por lo cual habrán de buscarse aproximaciones educativas que permitan adaptar los saberes a las prácticas culturales que ocurren en el seno de la escuela.

Ahora bien, la problemática que subyace a las aproximaciones educativas ocupadas consiste en la tendencia a centrar los objetos matemáticos para referirse al conocimiento matemático escolar (Cordero, 2001; Confrey & Costa, 1996). El dominio matemático obliga a explicar la matemática desde la matemática misma y, en consecuencia, soslaya a lo humano y a los sentidos de todo el saber matemático. Se trata, entonces, de identificar o construir aquellos marcos o prácticas de referencia en los que se manifieste el uso del conocimiento matemático; es decir, donde sucede su funcionamiento y su forma orgánica en la situación específica. Ahí aparecerán elementos que no corresponden a las justificaciones razonadas que norman alguna estructura lógica, sino que atañen a la utilidad del participante en la situación específica. Es por eso que no nos importa el estudio del conocimiento matemático, sino el estudio de la función del conocimiento matemático. Para el caso que nos ocupa en esta investigación, no estudiamos las gráficas de las funciones como un desarrollo representacional del concepto de función, sino el desarrollo del uso de las gráficas de las funciones en las prácticas institucionales.

3. LA INVESTIGACIÓN

El objeto de esta investigación es el uso de las gráficas y su desarrollo en el bachillerato como la práctica institucional que normaría el sentido yfuncionalidad de la matemática. Esa práctica se encuentra presente en el ámbito escolar, pero no de forma explícita. Podríamos decir que la obscurece el hecho de que, en general, no hay una asignatura que trate exclusivamente las gráficas de las funciones, sino siempre están referidas al concepto de función.

Hay investigaciones en la matemática educativa que explican a la gráfica como una representación del concepto de función o como un proceso para construir el objeto función, que utilizan perspectivas semióticas o cognitivas (Duval, 1988; Dubinsky & Harel, 1992); sin embargo, existen pocos estudios que expliquen los usos de las gráficas y sus desarrollos. En algún sentido, sabemos su construcción, pero no su uso.

Ahora bien, la importancia de realizar estudios sobre el uso del conocimiento matemático consiste en que nos ofrecen indicadores para formular marcos de referencia que hagan una matemática funcional en la escuela (Cordero, et al, 2009; Cordero, 2008; Suárez, 2008; Rosado, 2004; Domínguez, 2003; Campos, 2003).

4. LA TEORÍA SOCIOEPISTEMOLÓGICA

La perspectiva socioepistemológica no mira a los conceptos y sus diferentes estructuraciones de manera aislada, sino atiende a las prácticas que producen o favorecen la necesidad de tales conceptos. Es decir, intenta crear un modelo que refiera la construcción social del conocimiento matemático y poner al descubierto sus causas reales: el reto es formular epistemologías sobre las prácticas sociales que generan el conocimiento matemático (Cantoral & Farfán, 2003).

Para lograr tal cometido, se reconoce al humano haciendo matemáticas en vez del producto hecho por el humano. Considerar la producción matemática implica explicar la matemática desde la matemática misma; en cambio, reparar en el humano haciendo matemáticas obliga a mirar otros dominios científicos y prácticas de referencia donde se resignifica el conocimiento matemático. La perspectiva teórica asume a las prácticas sociales como las acciones de un grupo social que tiene significados propios e intención, ubicado en un contexto histórico o actual, que actúa de acuerdo con ideologías predominantes y utiliza a la matemática como herramienta para construir conocimiento (Cordero, 2001). Una vez identificadas las prácticas sociales que dieron y dan cuenta del conocimiento matemático necesitan ser reinterpretadas para integrarse al sistema didáctico, donde precisan de la intencionalidad (de producción, en el sistema didáctico) para que se desarrollen en las condiciones del sistema.

El marco teórico trata a los fenómenos de producción y difusión del conocimiento desde una perspectiva múltiple, al incorporar el estudio de las interacciones entre la epistemología del conocimiento, la dimensión sociocultural del saber, los procesos cognitivos que le son asociados y los mecanismos de institucionalización por vía de la enseñanza (Cantoral & Farfán, 2004). Las cuatro componentes de la construcción del conocimiento las miramos de manera sistémica, ya que identificamos la dimensión social considerando a la graficación como práctica institucional, la epistemológica distingue los usos de la gráfica y los ubica en escenarios particulares, sin mirar los conceptos u objetos matemáticos preestablecidos (la gráfica como representación del concepto de función), la cognitiva asume al conocimiento como una serie de procesos sustentados por mecanismos que se han desarrollado en el seno de las prácticas institucionales, mientras que la didáctica se ocupa de la difusión del conocimiento a través del discurso matemático escolar, examinando sus implicaciones didácticas y las resignificaciones del conocimiento matemático.

5. LA GRAFICACIÓN COMO PRÁCTICA INSTITUCIONAL

La institucionalización consiste en distinguir al saber como un producto material continuo, donde lo continuo refleja su permanencia en la vida que es transformada por el conocimiento y, a su vez el conocimiento es modificado. Este continuo no se destruye porque hay ciertas formas de actuar impuestas o sugeridas desde fuera del individuo que son encarnadas en sucesos individuales, donde las formas son las instituciones (Durkheim, 1982). Así, la institucionalización es un proceso puramente social que ya no es propio del individuo, sino del grupo humano a la que pertenece (Covián, 2005). En la investigación ubicamos a la gráfica en un nuevo estatus y asumimos el uso de las gráficas como una práctica institucional, puesto que ha permanecido en el discurso matemático escolar y se ha ido transformando para establecerse tal como lo conocemos en la actualidad. El estatus hace relevante, epistemológicamente hablando, el desarrollo del uso de las gráficas, donde las gráficas se resignifican al debatir entre sus funcionamientos y formas dentro de la situación específica. En los próximos apartados veremos tres ejemplos de funcionamientos y formas del uso de las gráficas.

5.1. El uso de las gráficas en la situación de la linealidad del polinomio

La linealidad del polinomio (Rosado, 2004) es un argumento que permite identificar la parte lineal de un polinomio, ax + b, en la recta tangente a la curva del mismo polinomio, haciendo el cruce con el eje Y en x = 0. Una vez constituido el argumento, se puede hacer el esbozo de gráficas de polinomios. Esta propiedad crea un nuevo funcionamiento que permite generar un comportamiento tendencial de la gráfica, resignificando a la derivada. El procedimiento canónico al graficar una función y trazar la recta tangente en un punto se invierte, con lo que se identifica la linealidad del polinomio: primero se traza la recta (parte lineal del polinomio) y después se traza la curva para buscar el comportamiento tendencial del polinomio en relación con la recta trazada. Tal procedimiento debate contra el trazo de la recta tangente, cuyaforma es una secuencia de conceptos: dibujar la gráfica de la función, señalar un punto sobre la gráfica y trazar la recta tangente en ese punto (Rosado, 2004; Cordero, 2004).

5.2. El uso de las gráficas en Oresme. El modo en que las cosas varían

La modelación–graficación (Suárez & Cordero, 2008) es un argumento que permite trabajar aspectos de variación y cambio a través de gráficas o figuras. En el libro de üresme titulado Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum¹ (Oresme, 1968) usa la matemática de la época, la geometría y las proporciones para estudiar el modo en el que las cosas varían. El uso de las figuras no está anclada a la representación analítica, que históricamente es posterior, ni dependía de la asociación de puntos respecto a coordenadas rectilíneas; su funcionamiento y forma estaba basada en la posibilidad de representar diferentes grados de intensidad de una cualidad por medio de segmentos y diferentes cambios por medio de figuras. ün segmento de la mitad de otro representaba un grado menor de una cualidad, exactamente de la mitad. Un triángulo rectángulo representaba la variación desde el grado más alto (o cero) de forma proporcional hasta un grado cero (o más alto). De esta manera, las figuras tenían propiedades que eran intrínsecas a la cualidad misma, como la proporcionalidad.

5.3. El uso de las gráficas en Euler. La propiedad asintótica de las funciones

Euler (1748), en su libro Introducción al análisis del infinito, ofrece un uso de las gráficas para determinar que las propiedades analíticas de las funciones son intrínsecas a las curvas: el funcionamiento de la gráfica consiste en caracterizar el comportamiento de la curva mediante las formas de las ramas que la componen. Así, Euler usa las gráficas como curvas compuestas de ramas con comportamiento y forma. En ese sentido, la asintoticidad es un comportamiento al infinito intrínseco de las ramas de ciertas curvas, lo cual alude a que el comportamiento al infinito tiene forma y, en consecuencia, pudiera ayudar a resignificar a la línea recta asíntota como asíntotas curvilíneas. Dicho estatus epistemológico de lo asintótico es importante porque en el discurso matemático escolar advierte del privilegio de la asíntota de una función como una recta (Domínguez, 2003).

Conferir a la investigación el desarrollo de usos de la gráfica implica en forma directa tratar el empleo del conocimiento en una situación específica, donde la resignificación manifiesta no sólo el uso del conocimiento, sino también su desarrollo que norma la práctica social; ambas se oponen al desarrollo conceptual del conocimiento. Los usos dependen de la situación específica, por lo cual tiene sentido formular que las gráficas tienen una función orgánica (funcionamiento) en la situación expresada de alguna forma, y como dependen de la situación viven una relación dialéctica entre los funcionamientos y formas de las gráficas (Cordero, 2008).

A continuación, convenimos en describir cómo van apareciendo las gráficas en el currículo del bachillerato desde una perspectiva de desarrollo de conceptos, a fin de lograr un contraste con las categorías de usos y su desarrollo de las gráficas para apreciar ciertas ventajas que atienden a la problemática en cuestión.

6. LAS GRÁFICAS EN EL CURRÍCULO DEL BACHILLERATO

Para describir cómo se presentan las gráficas en el bachillerato tecnológico bivalente del Instituto Politécnico Nacional en el área físico–matemáticas se realizaron dos etapas. La primera fue revisar el programa de estudios de los seis semestres de matemáticas para identificar el momento en que curricularmente se presenta la gráfica. La segunda consistió en una revisión de los libros de texto sugeridos en los programas de estudio para tener un indicador del discurso matemático escolar de las gráficas.

A continuación delineamos el contenido esencial de cada uno de los programas de estudio, ya que permite apreciar el papel que desempeña la gráfica de la función.

Semestre 1, Álgebra: El objetivo general del curso se enfoca en el dominio de modelos algebraicos lineales y cuadráticos a través del uso de los lenguajes simbólico y gráfico. Para ello, se resuelven ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita. La solución del sistema de ecuaciones por el método gráfico se obtiene a partir de una tabla y un intervalo de valores previamente establecido, con lo que se trazará la gráfica. Se hace hincapié en que al utilizar la resolución gráfica para las ecuaciones o sistemas de ecuaciones éstas se transforman en funciones y, por tanto, las incógnitas se transforman en variables. En este semestre también se hace un primer acercamiento a las funciones polinomiales y racionales, donde su representación gráfica permite observar su comportamiento (IPN, 1995).

Semestre 2, Geometría y Trigonometría: El objetivo general del curso es el desarrollo de habilidades del pensamiento como el razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración. Se busca relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría. En geometría se abordan conceptos, postulados y teoremas de la geometría euclidiana, así como la noción intuitiva de función, concepto de función exponencial y logarítmica, sus propiedades, cambios de base y resolución de las ecuaciones exponencial y logarítmica con una variable. En trigonometría se establecen los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas y su relación entre ellas. La representación de las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas se da a través de la tabulación con valores previamente establecidos (IPN, 1995).

Semestre 3, Geometría Analítica: El objetivo general del curso es la introducción al estudio de los sistemas de coordenadas y métodos de la geometría analítica. Para ello, se estudian tanto las relaciones entre la representación gráfica y algebraica como los lugares geométricos de la recta, la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola, al igual que sus propiedades y rasgos relevantes. En el caso de la recta y la parábola se trazan varias ecuaciones en un mismo sistema coordenado para que el estudiante se de cuenta del papel que desempeñan los parámetros de una ecuación. También se presentan ejemplos de ecuaciones paramétricas en que se trazan punto a punto sus trayectorias, como la cicloide, las cicloides alargada y acortada, la hipocicloide y la epicicloide. De igual forma, se presenta al estudiante el trazado de curvas en coordenadas polares como las espirales y rosas, entre otras figuras, con la finalidad de que enriquezca el universo de formas geométricas al que está acostumbrado y se familiarice con este tipo de coordenadas (IPN, 1995).

Semestre 5, Cálculo Integral: En este curso se continúa con el estudio de las funciones, sus gráficas, comportamiento, propiedades y aplicaciones. Se destaca la relación entre la integral y la derivada a través de procesos gráficos, numéricos y algebraicos. También se determinan las áreas de regiones limitadas por gráficas de funciones mediante rectángulos inscritos y circunscritos. Para el cálculo de volumen se desarrolla la idea de sólido de revolución por el método del disco o capas y el cálculo de la longitud de arco. Para lo anterior, se ocupan los distintos métodos de integración (IPN, 1996).

Semestre 6, Probabilidad y Estadística: El objetivo del curso es permitir al alumno que no sólo se introduzca en el estudio de los fenómenos aleatorios, su interpretación, importancia, tratamiento y aplicación, sino también en el uso de técnicas de muestreo para el análisis e interpretación de datos numéricos y la apropiación de las reglas para el cálculo de probabilidades y distribuciones de probabilidad. Se estudia la toma de datos y su representación por medio de histogramas, diagramas de barras y polígono de frecuencias, entre otros, así como las distribuciones normal y binomial para la toma de decisiones, la representación gráfica que puede tener una toma de datos y la lectura e interpretación de la representación gráfica. (IPN, 1996).

El programa descrito alude que en el bachillerato la gráfica es la herramienta para comprender el concepto de función. Con auxilio de la gráfica se señala el dominio y el rango de funciones y se ilustra la dependencia entre variables, de modo que también se establezca la contraparte: cuándo una gráfica no es la representación de una función. El uso de la gráfica también comprueba o ilustra la solución de sistemas de ecuaciones, observa cualitativamente el comportamiento de la función y permite representar cálculos como el área y el volumen; es decir, la gráfica es tipificada como el instrumento que ayudará a desarrollar el concepto de función y a establecer sus propiedades según las secuencias semestrales que sugiere el programa.

La segunda etapa consistió en revisar los libros de textos sugeridos en los programas de estudios, a los que consideramos como el medio de difusión de la producción matemática y el marco de referencia que genera el discurso matemático manifestado en la práctica del profesor y el estudiante (Flores, 2005; Cordero & Flores, 2007). Como resultado de la revisión hecha a los libros de texto, hallamos un universo amplio de gráficas de funciones por las que transita el estudiante a lo largo de sus estudios de bachillerato. La gama de gráficas es impresionantemente vasta. Por su importancia construimos la Tabla I² con la finalidad de visualizar, en conjunto, el universo de gráficas mediante el cual el discurso matemático escolar vive durante seis semestres.

La lectura a la tabla I puede ser vertical u horizontal: la primera nos hace apreciar el bagaje gráfico por cada semestre y la segunda el tránsito de gráficas entre semestres. Todo ello sucede en tres años, lo cual significa que el discurso matemático escolar está permeado de gráficas de las funciones en el bachillerato; éstas son referidas para representar algún concepto matemático o alguna mecanización de operaciones.

En un a priori, podríamos decir que el estudiante de bachillerato debería ampliar su dominio del concepto de función al vivir con tal gama de gráficas en sus cursos de matemáticas. Sabemos que, en general, desafortunadamente no es el caso, pues para que los alumnos universitarios grafiquen una función cuadrática requieren de hacer una tabla numérica para dar valores a la variable independiente y calcular el valor de la variable dependiente, sin esperar en el dibujo de la gráfica una forma conocida o familiar de la función correspondiente (Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez & Garza, 2000).

La gama de gráficas (tabla I) es ineludible en el bachillerato; lo que se debe cuestionar es por qué no conlleva un conocimiento matemático confiable o más fortalecido para el estudiante. Esto confirma que el conocimiento es tratado en el bachillerato como utilitario, pero no resulta funcional (Cordero, 2008). Desde nuestra perspectiva socioepistemológica, buscamos un significado al universo de gráficas del bachillerato para que se favorezca el desarrollo de una matemática funcional³.

En el siguiente apartado discutimos el uso de las gráficas con respecto a sus funcionamientos y formas.

Se identificaron los distintos momentos en que aparece la gráfica durante el bachillerato y se enfocó la atención en las distintas situaciones donde se utilizaba la gráfica. Eso condujo a entender el funcionamiento que desempeñaba en esa situación y, a la vez, cada funcionamiento ofreció una forma específica para ser abordado. La relación funcionamiento y forma, como ya lo dijimos, es dialéctica, ya que ambos elementos dan origen a un uso de gráfica. Es decir, los funcionamientos y formas de las gráficas debaten entre sí y se van reorganizando para dar lugar a otros funcionamientos y formas gráficas, lo cual significa que la gráfica se resignifica. La resignificación es interpretada como la construcción del conocimiento mismo en la organización del grupo humano, normado por lo institucional, que se manifiesta en el uso del conocimiento dentro de una situación específica (Cordero, 2005; 2008).

Así, nuestro foco de atención fue identificar cuáles son las situaciones específicas que están presentes en el bachillerato y cómo es abordada la gráfica. En ese sentido, la gráfica va asociada a situaciones de acción u operaciones algebraicas en determinados momentos: conocer la forma gráfica de una función, su interpretación geométrica, su asociación curva–expresión algebraica para comprender sus transformaciones, análisis global de la curva, cálculo del área y volumen bajo la curva. Una situación particular donde no interviene la función es la recopilación de datos, o la interpretación de ellos.

Por la naturaleza de cada situación, los usos que aparecen tienen funciones específicas que conllevan formas específicas. El uso tiene inherentes al binomio funcionamiento y forma. El uso de la gráfica lo ubicamos como el papel que desempeña en la situación y se manifiesta por sus funcionamientos y formas. Así, el funcionamiento son las ejecuciones, acciones u operaciones que desempeña la gráfica en la situación, mientras que la forma son las clases de esas ejecuciones, acciones u operaciones (Cordero & Flores, 2007).

En el bachillerato identificamos seis usos de gráfica, según la situación que se presente.

El uso distribución de puntos surge cuando la situación atañe al conocimiento de la forma gráfica de una función. Se presenta mediante formas como tablas con valores previamente establecidos, gráficas y ecuaciones con funcionamientos como la ubicación de puntos, el desplazamiento en el plano cartesiano, la variación de los puntos parael trazado de curvas continuas o no. Esto se muestraen lasgráficas de la tabla I de Álgebra (1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6), de Geometría y Trigonometría (2.1, 2.2), de Geometría Analítica (3.1, 3.7) y de Cálculo Diferencial (4.1).

El uso comportamiento geométrico (Campos, 2003; Flores, 2005; Cordero & Flores, 2007) surge cuando la situación alude a la interpretación geométrica de una función o asociación curva–expresión algebraica, con la finalidad de comprender cómo se dan las trasformaciones de las funciones. Este uso se presenta a través de funcionamientos como la obtención de nuevas gráficas de funciones a partir de una ya conocida con formas tales como la traslación horizontal o vertical, el estiramiento o la reflexión de la gráfica. Esto se ilustra en las gráficas de los cursos de Geometría y Trigonometría y Geometría Analítica (2.3, 2.4, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 y 3.7).

El uso análisis de la curva aparece cuando la situación está dirigida hacia la curva, específicamente a su variación; es decir, hace un análisis global de la curva. Dicho uso se presenta con funcionamientos como el análisis del comportamiento —ya sea creciente o decreciente— en los intervalos de la función para ubicar los puntos máximos y mínimos, los puntos de inflexión (si los hay) y la concavidad de la curva en ciertos intervalos. Las formas en que se presenta lo anterior es mediante una tabla de variación y los criterios de la primera y segunda derivada, que refieren las gráficas del curso de Cálculo Diferencial (4.2, 4.3, 4.4. 4.5 y 4.6).

El uso cálculo de áreas y volúmenes surge cuando la situación se centra en hallar el área o volumen de una figura limitada por funciones. Aquí se percibe que para los cálculos anteriores el foco de atención no está en la gráfica misma, sino en la unidad de análisis que describe la o las gráficas para establecer la función a integrar y realizar el cálculo respectivo. El funcionamiento de la gráfica sirve para definir la superficie del área o bien la superficie a rotar para el cálculo del área y el volumen, mientras que la forma del funcionamiento se da a través de la integración, como aparece en las gráficas de Cálculo Integral (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 y 5.6).

El uso análisis de información (Flores, 2005; Cordero & Flores, 2007) se manifiesta cuando la situación recopila datos o bien los interpreta. Este uso incluye formas como tablas, gráficas de barras, poligonales, histogramas y la curva normal, cuyos funcionamientos son para el análisis de información. Si bien en la curva normal se trata el área de una región, no se enfoca en el cálculo del área de la curva, sino más bien en la aplicación de una fórmula y el uso de una tabla de valores, donde el resultado que se obtiene es representado en la curva con el fin de hacer el análisis de información pertinente. Esto puede apreciarse en las gráficas del curso de Probabilidad y Estadística (6.1, 6.2, 6.3 y 6.4).

– Semestre 1. Distribución de puntos
– Semestre 2. Distribución de puntos y comportamiento geométrico
– Semestre 3. Distribución de puntos y comportamiento geométrico
– Semestre 4. Distribución de puntos y análisis de la curva
– Semestre 5. Comportamiento geométrico, análisis de la curva, cálculo de área y cálculo de volumen
– Semestre 6. Análisis de información.

Los usos de la gráfica expuestos anteriormente son categorías donde los funcionamientos y formas debaten entre sí, lo cual permite que se vayan transformando y modificando. Esto conlleva un desarrollo de usos, un concepto que significa que hay una resignificación de la gráfica porque se forman construcciones, se hacen distinciones entre ellas, se ponen en juego clases de actividades y usos del conocimiento donde no sólo se da un lenguaje de herramientas, sino también se desarrolla (Cordero, 2008). Para ejemplificar lo anterior, se plantean los escenarios de la recta, la curva sinusoidal y la parábola.

El escenario de la recta. El discurso matemático escolar trata con la recta en la tercera unidad del primer semestre, donde el uso de la gráfica concierne a la distribución de puntos (ver gráfica 1.1), mientras que funcionamiento se centra en la ubicación de puntos para el trazado de la recta a través de la forma tabular. Una vez que se reconoce cómo es la ecuación y la forma de la recta, este uso evoluciona para dar lugar al comportamiento geométrico (ver gráfica 3.3), cuyo funcionamiento es la asociación gráfica–expresión algebraica, y se presenta mediante las formas de la transformación de funciones (traslación horizontal y vertical, estiramientos y reflexión). Aquí el estudiante de algún modo puede inferir la posición de la recta, que posteriormente se usa para calcular el área y el volumen (ver gráficas 5.4 y 5.6); el funcionamiento de la gráfica radica en definir el área que genera la superficie del área a calcular, y sus formas surgen a través de la integración. El desarrollo del uso consiste en distribuir puntos, luego en establecer comportamientos geométricos y finalmente en calcular superficies.

El escenario de la parábola. La primera vez que se presea la parabola es en la cuarto unidad del curso de Álgebra. El uso de la gráfica concierne a la distribución de puntos (ver gráfica 1.6); la forma de conocer la parábola es mediante una tabla de valores previamente establecidos y la ubicación de puntos en el plano cartesiano, donde el funcionamiento consiste en unir los puntos contiguos para el bosquejo de la curva en cuestión. Este uso dará lugar al comportamiento geométrico (ver gráfica 3.6), cuyo funcionamiento es la asociación gráfica–expresión algebraica y el reconocimiento de los elementos que intervienen (vértice, focos y directriz) con formas como trasformaciones, traslados horizontales y verticales, la contracción o estiramiento. Hasta el momento el estudiante puede, de alguna manera, conocer las distintas posiciones y elementos que tiene una parábola, así como su representación en el plano cartesiano; sin embargo, puede conocer más de ella.

En el curso de Cálculo Diferencial se presenta el uso análisis de la curva (ver gráfica 4.3), donde el funcionamiento se centra en identificar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, al igual que sus concavidades, si presenta máximos o mínimos a través de formas como los criterios de la primera y segunda derivada. Se concluye con el uso cálculo de área y volumen (ver gráficas 5.2 y 5.7) en el curso de Cálculo Integral, donde el funcionamiento de la gráfica define la superficie del área o bien la superficie a rotar para el cálculo del área y del volumen, respectivamente, y asume su forma por medio de la integración. El desarrollo del uso se expresa en la distribución de puntos, los comportamientos geométricos y el análisis de curvas, así como en el cálculo de superficies y volúmenes.

Los escenarios anteriores son ejemplos de cómo se desarrolla el uso de las gráficas en el discurso matemático escolar. Al enfocar la atención en el uso de la gráfica se destaca su resignificación a través de situaciones específicas expresadas de alguna forma. En resumen, los tres escenarios (gráficas 1.1, 1.6 y 2.2) representan el uso distribución de puntos, y se ocupa la tabulación para distribuirlos en el plano, unirlos y obtener la forma de la gráfica. Las gráficas 2.3, 3.3 y 3.6 ilustran el uso comportamiento geométrico, donde se presenta la relación entre una ecuación y su representación gráfica. Las gráficas 4.3 y 4.6 conciernen al uso análisis de la curva, donde se analiza su comportamiento creciente o decreciente, así como los máximos, mínimos y puntos de inflexión. Por su parte, las gráficas 5.2 y 5.4 presentan el uso cálculo de área y las 5.6 y 5.7 el uso cálculo de volumen. Lo anterior muestra que la gráfica evoluciona como herramienta a la par de las formas de hacer de los estudiantes.

El trato con el desarrollo de usos de la gráfica no sólo manifiesta el uso del conocimiento (resignificación) sino también su desarrollo, que norma la práctica institucional.

El análisis hecho a los programas de estudio proporciona el marco de referencia en torno al uso de las gráficas que incluye el Diagrama 1, el cual representa el desarrollo de uso de las gráficas. Así, el primer uso es la distribución de puntos, que surge en el primer semestre y también aparece en el segundo, tercero y cuarto. Después surge el uso comportamiento geométrico en el segundo semestre y tercer semestre, y a continuación va el uso análisis de la curva en el cuarto semestre, finalizando con los usos cálculo de área y de volumen en el quinto semestre. Los cinco usos de gráfica siguen una secuenciación del cálculo. En el último semestre aparece el uso análisis de la información, que está disociado de los otros.

8. LA FUNCIONALIDAD DE LAS CATEGORÍAS DE USO

8.1. Situación: Los argumentos de transformación de la parábola

La Actividad II (ver anexo) pretende que a través de argumentos geométricos el estudiante primero halle un conjunto de puntos M dadas ciertas condiciones. La definición del lugar geométrico de la parábola es implícita y después, con base en el contexto geométrico, se elabora una tabla de valores para ajustar los puntos M a una curva. Con ello se obtiene el grado de especificidad de la parábola; es decir, sólo se trata de la curva parábola.

Los usos de la gráfica identificados en la actividad corresponden a la distribución de puntos y comportamiento geométrico.

Extracto de la entrevista. Respuestas de los estudiantes.

Entrevistador: Entonces, los puntos M que están proponiendo son los que están sobre el eje x. [Figura dos–1]. Ahora, qué pasa si queremos calcular puntos M, pero que no estén sobre la recta (salvo el origen), y consideremos que la distancia de un punto a una recta es aquella que cae perpendicular a la recta y es la mínima. Por tanto, ¿cómo encuentro ahora los valores de M?

Estudiante 1: Existen elementos en donde hay unas funciones que siguen la distancia de cierto punto, la distancia de aquí a nuestra recta y para un punto, para que sean iguales. Hay un elemento que lo cumple; por ejemplo la parábola. Más bien, la parábola lo cumple.

Entrevistador: ¿Qué conocen de la parábola?

Entrevistador: Recuerdan cómo se llama ese punto.

Estudiante 2: La recta se llama directriz.

...

Entrevistador: Podrían ustedes con argumentos quizá geométricos poder encontrar el valor que le corresponde a x = 1/2. Ustedes conocen que esta distancia es de

Estudiante 1: Hay una forma, utilizando el teorema de Pitágoras, porque yo sé que de aquí para acá mide y de aquí para acá también mide , entonces ya tendríamos el primer punto que tiene de coordenadas (, ) [Figura dos–2].

Estudiante 2: Lo que ya podemos saber con estos dos puntos es que la parábola abre hacia arriba y ya tenemos el vértice.

Entrevistador: ¿Qué pasaría ahora para el siguiente punto de la tabla?

Nota: Retoman lo geométrico (aplicando el teorema de Pitágoras) y después de realizar los cálculos [Figura dos–3].

Estudiante 1: El 1 lo manda al 1.

Entrevistador: Por ejemplo el 2, ¿adónde lo mandaría?

Estudiante 2: A 4.

Entrevistador: ¿Cuál será la relación? Recuerden que dijeron que es una parábola.

Estudiante 1: Entonces sería f (x) = x ² [Figura dos–3].

El uso comportamiento geométrico se observa cuando los alumnos reflexionan la instrucción de la actividad y advierten que se trata de una propiedad de la parábola. Explican su comportamiento geométrico, e incluso antes de afirmar que se trata de una parábola el Estudiante 1 menciona "existen elementos en donde", con lo que alude a los elementos propios de la curva, el foco y la directriz. En otras palabras, reconocieron los elementos que conforman a la parábola y el papel que juegan, atendieron a su comportamiento al cuestionarse si la parábola abría hacia arriba o abajo e identificaron su vértice.

8.2. Situación: Los argumentos de transformación de la parábola

La Actividad V (ver anexo) pone en juego de manera simultánea los elementos considerados para resignificar la parábola según los signos de los parámetros A, B y C de la expresión f (x) = Ax² + Bx + C. Intencionalmente se confrontan las concepciones locales y globales de la función parábola, cuya función y forma ayudarán a resignificarla según los signos de los parámetros A, B y C. Los usos de la gráfica identificados en la actividad son comportamiento geométrico y análisis de la curva.

Extracto de la entrevista. Respuestas de los estudiantes:

Estudiante 1: En este caso ya habíamos dicho que nuestro primer parámetro A cambiaba la concavidad... No, si A es negativo la concavidad era hacia abajo, así que por ahorita... B habíamos encontrado que abría la parábola, B la abría o la cerraba, y C la movía.

Entrevistador: Pero en este caso va enfocada la pregunta más a los signos. ...

Estudiante 2: En este caso yo pienso que el C lo que está haciendo es la altura que tiene la parábola respecto al eje x.

Entrevistador: En este caso, ¿qué signo tiene C?

Estudiante 1: C nos daría la altura de la parábola.

Estudiante 2: Respecto al eje x.

Estudiante 1: La parábola está arriba del eje x; si es negativo está abajo del eje x, su vértice.

Estudiante 2: El de la actividad sería positivo; el parámetro C nos dice el punto donde va a cortar al eje la parábola.

Estudiante 2: Β de hecho es la traslación de la parábola.

Entrevistador: Cuando B = 0, ¿por dónde está pasando?

Estudiante 1: Por el origen.

Entrevistador: Quiere decir que este término se hace cero. Cuando los valores son negativos, ¿hacia dónde se está subiendo la parábola?

Estudiante 1: Hacia el eje positivo. Es que ese es el problema, como que está haciendo un movimiento..., como que sigue una trayectoria de otra parábola .

Entrevistador: Qué tal si hacemos lo siguiente. Por ejemplo, f (x) = x² + 3x. Si trabajamos con f (x) = x² + Bx y hacemos B = 0 se cancela el término (3x) y estoy pasando por el origen. Si me enfoco al término lineal 3x, ¿qué cosa ven de especial aquí?

Estudiante 2: El término 3x es una recta.

El uso comportamiento geométrico se observó cuando los estudiantes variaron los parámetros de la función dada para la interpretación geométrica de la función, y obtuvieron nuevas funciones a partir de una ya conocida, mirando los patrones de comportamiento para atender al signo de los parámetros pedidos.

El uso análisis de la curva ocurrió, a pesar de no hacerse explícito el análisis de la curva de acuerdo con los criterios de la derivada de una función, ya que los estudiantes atendieron a su comportamiento. El uso mencionado se observa al momento de hallar el signo que le corresponde al coeficiente B porque los alumnos lo variaron y observaron que la gráfica se trasladaba; sin embargo, no podían decir cómo se trasladaba, e incluso afirmaron: "como que sigue la trayectoria de otra parábola'". Al afirmar que seguía una "trayectoria" intuían que se comportaba como una recta en un intervalo cercano a cero; de hecho, al continuar variando el parámetro B pudieron concluir que "la parábola sigue a la recta", con lo cual entendieron que la parábola cerca de valores cercanos a cero se comporta como su parte lineal. Es decir, pudieron rendir cuentas sobre la linealidad del polinomio e intrínsecamente estaban hablando de la derivada de la función en un intervalo cercano a cero; asimismo, explicaron de alguna manera al crecimiento o decrecimiento de la función en dicho intervalo. El episodio anterior indica que los usos no sólo dependen de una situación específica, sino también dan lugar a otros usos de gráfica, la cual evoluciona como herramienta a la par de las formas de hacer de los estudiantes.

Pero, ¿qué significa haber encontrado los usos de las gráficas en bachillerato con estudiantes que propiamente no llevaron a cabo el programa descrito y ni los libros de texto analizados? Lejos de ofrecer una respuesta absoluta, pues no está al alcance de esta investigación, creemos que el ejercicio de haber analizado las actividades anteriores a la luz de los usos de las gráficas nos proporciona indicadores sobre la funcionalidad de las categorías de uso en situaciones específicas. Por un lado, los alumnos que participaron en la situación de transformación de la parábola construyeron argumentaciones en relación con el comportamiento tendencial de la parábola, donde se confrontaron las concepciones de curva y función (Campos, 2003). Por el otro, la argumentación es un marco compuesto intencionalmente de significados, procedimientos, procesos y objetos referentes a un contenido específico, que lleva a cabo el participante a través de algo "común" que no depende de él: los usos o el marco de usos de las gráficas que son generados por algo externo al alumno, pero se convierten en algo material (conocimiento). Lo externo al participante es la institución que viene a normar su argumentación.

En tal sentido, afirmamos con base en la visión socioepistemológica que la resignificación es la construcción del conocimiento mismo en la organización del grupo humano, el cual es normado por lo institucional (Cordero, 2005 & 2008); aquí, el uso del conocimiento se debate entre su función y su forma, de acuerdo con lo que organiza el grupo humano. Pudiéramos decir que el uso de las gráficas refleja la práctica institucional en el bachillerato, sin ignorar que hay otras prácticas de referencia que tendrán que hacer más robustas las categorías de usos de las gráficas.

9. A MANERA DE CONCLUSIÓN

En las secciones anteriores se dieron a conocer las evidencias sobre el uso de las gráficas en el bachillerato con base en el análisis a los libros de texto sugeridos en los programas de estudio; asimismo, se discutieron los aspectos teóricos–metodológicos centrales que fueron considerados en la presente investigación. Fue así como el estudio sobre el desarrollo del uso de las gráficas dejó entrever la importancia de la graficación normada por la práctica institucional, lo cual nos llevó a crear otro discurso que ofreciera los marcos o prácticas de referencia en que se resignificaban las gráficas. Entonces, al desarrollar los usos de la gráfica pudiera ser que se pongan al descubierto las causas reales del desarrollo social del concepto de función.

Ahora bien, el desarrollo sobre los usos de la gráfica deberá proveer datos acerca de tres aspectos: a) los métodos de uso de la graficación a través de sus prácticas institucionales; b) las comprensiones de las gráficas en tanto su funcionamiento y forma por la clase de actividades que generen sus prácticas institucionales; c) las similitudes que alternan con diferentes dominios y reflejan una resignificación funcional. La investigación ofrece indicadores de los tres aspectos que señalaremos enseguida, a manera de conclusión.

a) Los métodos de uso de la graficación a través de sus prácticas institucionales

b) Las comprensiones de las gráficas en tanto su funcionamiento y forma por la clase de actividades que generen sus prácticas institucionales

Pensamos que el tratar con el uso de las gráficas de acuerdo con su funcionamiento y forma responde a la funcionalidad del conocimiento matemático. En ese sentido, identificamos seis usos de la gráfica en bachillerato: distribución de puntos, comportamiento geométrico, análisis de la curva, cálculo de área, cálculo de volumen y análisis de información. Estas se resignificaron al debatir entre sus funcionamientos y formas gráficas, con el que se observó el desarrollo de los usos de la gráfica en una situación específica.

c) Las similitudes que alternan con diferentes dominios y reflejan una resignificación institucional

Nuestra investigación se centró en identificar los usos de la gráfica que se presentan en los libros de texto de matemáticas. Sin embargo, hay que destacar que el conocimiento matemático no sólo se construye o se ha construido en el dominio matemático, sino que se ha valido de otros ámbitos; por ende, hay otras prácticas de referencia que dan cuenta de la matemática. Esto quiere decir que debemos explorar otros dominios científicos con el fin de hallar evidencias sobre los usos de la gráfica que ahí se presentan y resaltar las similitudes que alternan entre ellas. Lo anterior nos permitirá crear un marco de referencia sobre los usos de las gráficas donde se resignifique el conocimiento matemático. Habrá que avanzar en esa dirección en investigaciones posteriores.

En el episodio analizado (ver sección 8) se pudo apreciar la funcionalidad de algunos usos de las gráficas. La funcionalidad consiste en que la categoría de usos los norma la práctica institucional de modo insoslayable y fortalece las argumentaciones gráficas de los estudiantes, un aspecto que habrá de considerarse en el rediseño del discurso matemático escolar.

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NOTAS

¹ M. Clagett, Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, A treatise on the uniformity and difformity of intensities known as Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum. University of Wisconsin Press, Madison 1968 (con traducción inglesa y comentarios).

² La fuente donde se obtuvieron las gráfica fueron: Para el Semestre 1, IPN (2004) y Gustafson (1996); para el Semestre 2, Swokowski (1998); para el Semestre 3, IPN (2003), Efimov (1969), Lehmann (1998) y Rider (1966); para los Semestres 4 y 5, Larson (1982) y Purcell (1992), y para el Semestre 6, Jonson (1976).

³ Matemática funcional quiere decir un conocimiento incorporado orgánicamente en el humano que lo transforma y que le transforma su realidad. Todo ello se opone al conocimiento utilitario (Cordero & Flores, 2007).