Visual Control for Unicycle-Like Mobile Robots Formation Under the Leader-Follower Scheme

Bugarin-Carlos Eusebio¹, Aguilar-Bustos Ana Yaveni²

¹ División de Estudios de Posgrado e Investigación, Instituto Tecnológico de Ensenada, B.C.. Correo: eusebio@hotmail.com

² División de Estudios de Posgrado e Investigación, Instituto Tecnológico de Ensenada, B.C.. Correo: yaveni@hotmail.com

Información del artículo: recibido: abril de 2013
Reevaluado: mayo de 2013
Aceptado: septiembre de 2013

Resumen

El presente trabajo describe una propuesta de control visual para la formación de robots móviles tipo uniciclo bajo el esquema líder-seguidor. Se considera una sola cámara fija observando el espacio de trabajo de los robots que, en términos de la información procesada, puede ser compartida tanto por el robot líder como por el robot seguidor. Lo anterior permitiría que la realización de esta propuesta puede llevarse a cabo por estrategias de control centralizadas o descentralizadas. Para efectos de simplificar el análisis, también se considera que el plano de imagen es paralelo al plano de movimiento de los robots. El objetivo de formación se establece directamente en coordenadas de imagen y el controlador visual propuesto no depende explícitamente de los parámetros (extrínsecos o intrínsecos) del sistema de visión; lo que en conjunto corresponde a la contribución principal de este artículo. Por último, también como parte importante de este trabajo, para validar la teoría propuesta se detallan experimentos satisfactorios utilizando un sistema de visión de tiempo real y alta velocidad.

Descriptores: formación de robots, control visual, robots uniciclo, control de robots, validación experimental.

Abstract

Keywords: robot formation, visual control, unicycle robots, robot control, experimental validation.

Introducción

El problema de formación de robots consiste en establecer el movimiento de un grupo de robots para que, de una manera coordinada o colaborativa, lleven a cabo una tarea específica (Das et al., 2002). Recientemente este problema ha atraído significativamente la atención de la comunidad científica, ya sea por el reto de sus espacios de trabajo no estructurados o por las aplicaciones complejas que se pueden resolver. Existen ciertas tareas que son difíciles de lograr por un solo robot o que son más eficientes si se llevan a cabo mediante la coordinación de un grupo de robots. Entre los ejemplos de esas tareas tenemos: vigilancia, búsqueda de objetos, exploración, rescate y transportación de objetos; las cuales pueden realizarse en ambientes diversos utilizando robots móviles terrestres, aéreos, espaciales, marinos o submarinos.

En la literatura se mencionan diversos métodos para resolver el problema de formación de robots; destacándose los "basados en comportamiento" (Balch y Arkin, 1998; Lawton et al., 2003; Antonelli et al., 2006) en donde, precisamente, diferentes comportamientos, como mantener una formación o seguir un objetivo, se imponen a cada robot (en este método el control de formación exacto es difícil de garantizar); los de "estructura virtual" (Tan y Lewis, 1997; Belta y Kumar, 2002) que consideran al grupo de robots como una sola estructura rígida virtual (aquí es necesaria una comunicación interrobots muy amplia); y los de "líder-seguidor" (Desai et al., 2001; Monteiro et al., 2004; Shao et al., 2005; Consolini et al., 2006) en donde uno o varios robots se designan como los líderes de la formación y el resto como los seguidores, a los cuales se les especifica la postura (posición y orientación) deseada relativa al o los líderes. Este último método es de particular interés debido a su simplicidad y modularidad (Consolini et al., 2006).

Ahora bien, debido a que el espacio de trabajo en este problema de formación de robots es difícil de estructurar se hace necesaria la incorporación de sensores exteroceptivos (además de los propioceptivos o internos de cada robot) que midan de alguna manera tanto el entorno de interacción como las posturas de los demás robots en la formación. Esta situación se ha resuelto utilizando sistemas de posicionamiento global (GPSs), sistemas RADAR (mediante ondas de radio electromagnéticas), sistemas LIDAR (a través de detección láser) o mediante sistemas de visión (Benhimane et al., 2005; Mehta et al., 2006). Sin embargo, dados los recientes avances tecnológicos, los sistemas de visión están siendo cada vez más utilizados.

El uso de un sistema de visión para determinar el movimiento de un sistema robótico se denomina control visual o servo-visual (visual servoing) desde la propuesta original de Hill y Park (1979). Básicamente, existen dos alternativas para el control visual: la "basada en posición", en donde la sucesión de imágenes se emplea para reconstruir el espacio tridimensional de trabajo; y la "basada en imagen", en la cual el objetivo de control se da directamente en el espacio de imagen; de manera que en esta última alternativa se incrementa la posibilidad de no depender explícitamente de los parámetros extrínsecos (los que tienen que ver con la postura de la o las cámaras) o intrínsecos (los que tiene que ver con la estructura interna de la o las cámaras) del sistema de visión (Hutchinson et al., 1996).

En el presente trabajo se describe la propuesta de un controlador visual basado en imagen para la formación de dos robots móviles bajo el esquema líder-seguidor. Los robots considerados corresponden a los robots móviles terrestres tipo uniciclo, los cuales se caracterizan por tener dos ruedas convencionales con actuadores independientes y una tercera rueda sin actuador para mantener su equilibrio horizontal. Esto los convierte en sistemas no-holonómicos que presentan ciertas propiedades interesantes; por ejemplo, el sistema linealizado es no-controlable, por lo que los métodos lineales de análisis y diseño no pueden aplicarse; tampoco existe una ley de control continua que incluya solo retroalimentación de estados capaz de estabilizar el sistema a un estado de equilibrio (Brockett, 1983). Trabajos relacionados con el objetivo de control de postura de un robot móvil mediante el control visual los podemos ver en Hashimoto y Noritsugu (1997), Conticelli et al. (1999), Mariottini et al. (2004), Fang et al. (2005) y López-Nicolás et al. (2006).

En particular, sobre el control visual con el objetivo de formación de robots móviles bajo el esquema líder-seguidor, se pueden mencionar las propuestas de Renaud et al. (2004), Benhimane et al. (2005), Soria et al. (2006) y Min et al. (2009); las cuales emplean la alternativa basada en posición con cámara montada y con la necesidad del conocimiento total o parcial de los parámetros del sistema de visión. En Das et al. (2002) y Roberti et al. (2011) se proponen controladores con las mismas condiciones anteriores, pero utilizando sistemas de visión catadióptricos, básicamente para ampliar el campo de visión. En Dani et al. (2009) se describe un trabajo también basado en posición y con cámara montada, pero eliminando totalmente la necesidad del conocimiento de los parámetros del sistema de visión.

Formulación

En este apartado se describe la formulación de la propuesta del controlador visual para la formación de robots uniciclos en el esquema líder-seguidor.

Modelo de imagen

Considere la vista de planta del sistema robótico mostrada en la figura 2¹. Observe que se han colocado diversos marcos coordenados (compare las figuras 1 y 2): Σ_C el marco de la cámara con origen en el centro de la lente, Σ_W el marco de mundo fijo en algún lugar del espacio de trabajo a una altura conveniente, Σ_Ol el marco del líder y Σ_Os el marco del seguidor (estos dos últimos marcos con origen en el centro del eje que une sus dos ruedas a una altura convenientemente nula). Note que los ejes "3" de cada marco son paralelos (debido a la postura de la cámara utilizada), por lo que los planos W₁ – W₂, C₁ – C₂, O_l1 – O_l2 y O_s1 – O_s2 también son paralelos (tanto O_l1 como O_s1 apuntan en la dirección de movimiento de cada uniciclo respectivo); sin embargo, puede existir rotación entre cada uno de estos planos.

Con base en la estrategia de control visual o servo-visual utilizada, considere como objetos de interés (Hutchinson et al., 1996) dos discos (de radios arbitrarios, pero con la condición de que sus centroides puedan ser procesados por el sistema de visión) localizados sobre los robots móviles (figura 2): el disco a_l del líder con centro x_Ola = [l_O   0]^T [m], el disco b_l del líder con centro en x_Olb = [0   0]^T [m] (los subíndices Ol denotan que son vectores de posición respecto al marco Σ_Ol) y los discos a_s y b_s del seguidor puestos de manera similar, es decir, con x_Osa = [l_O   0]^T [m] y x_Osb = [0   0]^T [m] (los subíndices Os denotan que son vectores de posición respecto al marco Σ_Os), donde la distancia l_O > 0 es una constante.

Ahora bien, el modelo de imagen considerado para el mapeo hacia el plano de imagen y₁ – y₂ es el que corresponde al obtenido mediante trasformaciones y proyección de perspectiva con lente delgada, dado por (Kelly y Reyes, 2000):

donde x_C = [x_C1   x_C2   x_C3]^T es el punto correspondiente con coordenadas tridimensionales respecto al marco Σ_C de la cámara, α_C es el factor de conversión de metros a píxeles (considerándose el mismo factor de conversión tanto para y₁ como para y₂), λ_C es la distancia focal de la lente y [u_C   v_C]^T es el vector que incluye el centro de la imagen y las posibles desalineaciones entre el eje óptico de la cámara y su arreglo de sensores fotosensibles. Observe que y₁ siempre es paralelo y apunta en la misma dirección que C₁ (lo mismo sucede con y₂ y C₂; consulte la figura 2).

La transformación de coordenadas entre el marco del mundo y el marco de la cámara se puede realizar mediante

donde  x_W = [x_W1   x_W2   x_W3]^T es el punto tridimensional correspondiente respecto a Σ_W, es el vector de posición del origen de Σ_C respecto a Σ_W y

es la matriz de rotación de Σ_C respecto a Σ_W (π [rad] alrededor de W₁ y ø [rad] alrededor de W₃, por la probable rotación "desconocida" pero constante entre los planos W₁ – W₂ y C₁ – C₂.

Modelo de los uniciclos

El robot líder y el robot seguidor considerados corresponden a los que se componen de dos ruedas convencionales con actuadores independientes y una tercer rueda sin actuador para mantener su equilibrio horizontal y que poseen el siguiente modelo cinemático (Canudas de Wit et al., 1996; Dixon et al., 2001):

donde l y s son subíndices para denotar correspondencia con el robot líder o con el robot seguidor, respectivamente. El vector x_Wi = [x_Wi1   x_Wi2   0]^T denota la posición del robot uniciclo i (el punto medio del eje que une las dos ruedas a una altura convenientemente nula, ver figuras 1 y 2, y θ_i la orientación del uniciclo i, ambos respecto a Σ_W. Las componentes del vector de entrada u_i = [u_i1   u_i2]^T son la magnitud de la velocidad lineal (a lo largo de O_i1) y angular (alrededor de O_i3) del robot i, respectivamente.

Variables de formación

Las variables de formación serán las referencias mediante las que se establecerá formalmente el objetivo de formación de los robots uniciclo, estas variables de formación estarán dadas directamente en coordenadas de imagen. Para esto, considere como variables de formación a ρ y α, donde (figura 2)

es la distancia en píxeles entre las proyecciones en el plano de imagen de los centroides de los discos a de los robots líder y seguidor, y α la orientación de la formación. Obsérvese en la figura 2 que

donde γ es un ángulo auxiliar, ψ_l = θ_l – ø es la orientación del uniciclo líder en el plano de imagen y

es el ángulo formado entre el eje y₁ y la línea formada por y_al y y_as (para la cálculo de las variables α, β y ψ_l se recomienda utilizar la función atan2, ver por ejemplo Spong et al. (2006) y tener especial cuidado para que α, β, ψ_l ∈ ℜ de manera que no se les limite a ± π [rad]).

Controlador

En esta sección se detallan el modelo a controlar y el diseño del controlador visual para la formación de uniciclos además de su prueba de estabilidad.

Modelo a controlar

El modelo a controlar corresponderá a la dinámica desarrollada por dos señales de error relacionadas con las variables de formación (4) y (5). En esta búsqueda, definimos el siguiente vector de error

donde ρ_d y α_d son la distancia (en píxeles) y la orientación deseadas (y constantes) de la formación, respectivamente. De manera que la derivada respecto al tiempo de (7) resulta

por lo que es necesario derivar respecto al tiempo (4) y (5). Antes de encontrar las derivadas temporales, primero observe que un punto x_Oi respecto al marco Σ_Oi (con i = {l, s}) puede transformarse hacia el marco Σ_W mediante

donde el vector  denota el vector de posición del origen de Σ_Oi respecto a Σ_W y

representa la matriz de rotación (en función de θ_i) del marco Σ_Oi respecto a  Σ_W. De esta manera, utilizando (2), (3) y (9) se encuentra que la derivada temporal de (1) es

donde ψ_i = θ_i – ø es la orientación del robot i en el plano de imagen.

Ahora, siguiendo la metodología propuesta en Bugarin y Kelly (2008), para simplificar (10) definimos , de modo que utilizando (1), (2) y (9) se puede llegar a lo siguiente

puesto que x_Cai3 = x_Cbi3. En consecuencia, despejando sen(ψ_i) y cos(ψ_i) de (11) se puede simplificar (10) para la variación respecto al tiempo de y_ai, llegando al siguiente resultado

es decir, con las condiciones especificadas, la variación respecto al tiempo de y_ai no depende de los parámetros (intrínsecos o extrínsecos) de la cámara. Finalmente, después de derivar respecto al tiempo (4) y (5) utilizando (12), el modelo a controlar (8) se simplifica a

donde

con . Cabe destacar que el determinante de B(y; l_O) es igual a , en donde tanto  (la distancia en píxeles entre los centroides de los discos a_s y b_s del robot seguidor) como l_O son constantes, por lo que si ρ ≠ 0 entonces existe la inversa de B(y; l_O).

El objetivo del control de formación queda formalmente establecido en relación a (7) mediante

es decir, se desea que las variables de formación, especificadas directamente en coordenadas de imagen, lleguen asintóticamente a un valor constante deseado.

Por hipótesis supóngase que existe la inversa de B(y; l_O), entonces para resolver el objetivo de control (14) recién descrito, el presente trabajo propone el siguiente controlador visual para el robot seguidor

donde K = K^T > 0 es una matriz de ganancia. Note que este controlador no depende de los parámetros (intrínsecos o extrínsecos) del sistema de visión y que puede ponerse en marcha completamente solo con mediciones directas en el plano de imagen. Asimismo, debe comentarse que se necesita la transmisión de las velocidades del líder al seguidor (trabajos recientes, como el de Dani et al., (2009), van en la dirección de estimar dichas velocidades para eliminar la necesidad de su transmisión; en el presente artículo esto se considera como un trabajo futuro) y del parámetro lO (el cual es un parámetro determinado por el propio usuario).

Para la prueba de estabilidad, se supone válida la existencia de la inversa de B(y; l_O), luego se sustituye la ley de control (15) en el modelo (13) para encontrar la ecuación de lazo cerrado del sistema robótico, la cual queda expresada por

De esta manera, puede observarse que la ecuación del sistema en lazo cerrado corresponde a un sistema lineal e invariante en el tiempo (o autónomo) y debido a que por diseño K = K^T > 0 el origen es su único punto de equilibrio con la propiedad de ser exponencialmente estable de manera global (vea por ejemplo Khalil (2001)); de esta manera se demuestra que el objetivo de control (14) es satisfecho. Con esto también se demuestra que al tender los errores exponencialmente a cero, ρ tiende exponencialmente a ρ_d, de manera que si la condición inicial para ρ(0) ≠ 0 y ρ_d > 0 entonces ρ(t) ≠ 0 ∀t > 0; lo que implica que la suposición inicial de que la inversa de B(y; l_O) existe es válida.

Validación experimental

Para validar la teoría propuesta, en este apartado se exponen experimentos desarrollados con dos robots uniciclo modelo YSR-A de la empresa Yujin. Dichos robots reciben las consignas de velocidad a través de un transmisor RF que se conecta a una computadora personal vía puerto serie. A esta misma computadora se le conecta (vía Camera Link), mediante una tarjeta videoprocesadora Leonardo de la empresa Arvoo, una cámara de video digital de alta velocidad modelo UF-1000CL de la empresa UNIQ. Sobre el sistema operativo RTLinux se desarrolla un sistema de control de tiempo real para el procesamiento de las imágenes y la ley de control, obteniéndose un periodo de muestreo estricto de 0.005 [s]. Cabe mencionar que el procesamiento de las imágenes se lleva a cabo mediante segmentación binaria y seguimiento de la característica de imagen (el centroide de los discos).

A continuación se detallan dos escenarios que corresponden a las siguientes variables de formación deseadas:

ρ_d=70 [píxeles] y α_d = 90°,

con la ganancia en el controlador

y con la distancia entre los centros de los discos objetivo l_O = 0.0375 [m]. Estos 4 valores son los únicos necesarios para la experimentación.

Ahora bien, solamente para efectos de comparación, se realizaron simulaciones correspondientes con los siguientes parámetros del sistema de visión: α_C = 72000 [píxeles/m], λ_C = 0.0075 [m], u_C = 160 [píxeles], v_C = 120 [píxeles], = [0   0   1.5]^T [m] y ø = 0 [rad].

Escenario 1

Este escenario 1 se experimentó con velocidades del líder nulas, es decir, con u_l = 0 y con las siguientes condiciones iniciales

Estas condiciones iniciales corresponden a (en píxeles) y_al(0) = [197.3   113.8]^T, y_bl(0) = [187.4   123.1]^T, y_as(0) = [176.7   20.0]^T, y_bs(0) = [190.3   20.5]^T, ρ(0) = 96.0 y α(0) = 59.05°.

La figura 3 muestra las gráficas comparativas entre lo simulado y lo experimentado para el escenario 1. La figura 3a presenta, en el plano de imagen, y_al mediante un círculo, y_bl a través de un punto (ambas correspondientes al robot líder que no se mueve con una orientación de 43.31°, figura 2) y la traza del movimiento de y_as, de manera que puede apreciarse (en el experimento) que conforme avanza el robot seguidor y_as se mueve de y_as(0) = [176.7   20.0]^T [píxeles] hasta y_as(3) = [149.6   62.1]^T [píxeles]. Esto corresponde a una ρ(3) ≈ 70.3 [píxeles] y a una α(3) ≈ 89.4°, valores muy cercanos a los deseados (en la simulación los errores son prácticamente nulos). Las figuras 3b, 3c y 3d ilustran la evolución contra el tiempo de las señales de control del robot seguidor, de la señal de error e_ρ y de la señal de error e_α, respectivamente. Como puede notarse, el desempeño es muy satisfactorio y las gráficas comparativas entre lo simulado y lo experimentado son muy similares.

Escenario 2
En el experimento del escenario 2 se le pide el siguiente vector de velocidades al robot líder: u_l = [0.05 m/s   0 rad/s]^T, partiendo de las condiciones iniciales expresadas a continuación:

Estas condiciones iniciales corresponden a (en píxeles) y_al(0) = [105.1   156.6]^T, y_bl(0) = [93.9   163.3]^T, y_as(0) = [51.1   56.4]^T, y_bs(0) = [39.4   49.6]^T, ρ(0) = 112.9 y α(0) = 83.89°.

La figura 4a describe la traza, del experimento y de lo simulado, en el plano de imagen de la evolución tanto de y_as como de y_al; en el experimento y_as parte de y_as(0) = [51.1   56.4]^T [píxeles] y termina en y_as(7) = [169.5   24.0]^T [píxeles] en tanto que y_al inicia en y_al(0) = [105.1   155.6]^T [píxeles] y termina en y_al(7) = [210.5   81.0]^T. Esto corresponde a una ρ(7) ≈ 70.1 [píxeles] y a una α(7) ≈ 90.5°, los cuales son valores bastante aproximados a los deseados (nuevamente, en la simulación los errores son prácticamente nulos). Cabe destacar que el desempeño experimental es bastante satisfactorio y muy similar a lo simulado. Sin embargo, nótese que existen pequeñas diferencias entre lo simulado y lo experimentado en las trazas de y_al (que corresponden al robot líder); lo anterior se debe a que el robot líder se mueve en lazo abierto y no se compensan las posibles perturbaciones presentes (derrapes, deslizamientos o desperfectos en el camino no modelados). También hay diferencias, al inicio del experimento respecto a lo simulado, en la traza de y_as, las cuales también se deben a los posibles derrapes, deslizamientos y desperfectos en el camino, pero que ahora sí están compensadas por el controlador. Lo anterior se puede ver en la figura 4b que gráfica la evolución respecto al tiempo de las señales de control y en donde se observa un sobreimpulso en la señal de control u_s2l para solventar dichas situaciones. Las figuras 4c y 4d ilustran la evolución contra el tiempo de los errores de formación. En forma general se puede decir que el desempeño del sistema robótico con el controlador visual propuesto es muy satisfactorio, resaltándose que las gráficas en comparación (experimentos con simulaciones) son muy similares.

Conclusiones

Se describió la propuesta de un control visual para la formación de robots móviles tipo uniciclo bajo el esquema líder-seguidor que no depende de los parámetros (intrínsecos o extrínsecos) del sistema de visión. Para este efecto, se consideró una sola cámara fija observando el espacio de trabajo de los robots que, en términos de la información procesada, se puede compartir tanto por el robot líder como por el robot seguidor. Lo anterior permite que la implementación de esta propuesta pueda llevarse a cabo por estrategias de control centralizadas o descentralizadas. Ahora bien, el objetivo de control de formación se establece directamente en coordenadas de imagen. Cabe hacer notar que el controlador (además de mediciones en el espacio de imagen) solamente requiere el conocimiento de las velocidades del robot líder y de un parámetro establecido por el propio usuario; ambos requerimientos pudieran estimarse (ver por ejemplo, Dani et al., (2009)) o solventarse por alguna ley de adaptación (lo que se considera como un trabajo futuro, para efectos de este documento). Finalmente, también como parte importante de este trabajo, se detallan experimentos satisfactorios utilizando un sistema de visión de tiempo real y alta velocidad para validar la teoría propuesta con un periodo de muestreo estricto de 0.005 [s].

Agradecimientos

Se agradece el apoyo de CONACYT México (Proyecto 166654), PROMEP, DGEST y al Instituto Tecnológico de Ensenada.

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Este artículo se cita:

Citación estilo Chicago
Bugarin-Carlos, Eusebio, Ana Yaveni Aguilar-Bustos. Control visual para la formación de robots móviles tipo uniciclo bajo el esquema líder-seguidor. Ingeniería Investigación y Tecnología, XV, 04 (2014): 593-602.

Citación estilo ISO 690
Bugarin-Carlos E., Aguilar-Bustos A.Y. Control visual para la formación de robots móviles tipo uniciclo bajo el esquema líder-seguidor. Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XV (número 4), octubre-diciembre 2014: 593-602.

Eusebio Bugarin-Carlos. Recibió el título de ingeniería en el Instituto Tecnológico de Tijuana (ITT) en 1995. Luego, en 1998, obtuvo el título de maestría en ciencias en ingeniería eléctrica por el Instituto Tecnológico de La Laguna (ITL) y, posteriormente, en 2009 el grado de doctor en ciencias en electrónica y telecomunicaciones por el Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE). Actualmente es profesor-investigador en el Instituto Tecnológico de Ensenada y sus áreas de interés incluyen control de robots, formación de robots y visión artificial.

Ana Yaveni Aguilar-Bustos. En 1995 obtuvo el título de ingeniería por el Instituto Tecnológico de Tijuana (ITT). Después, recibió tanto el título de maestría en ciencias en electrónica y telecomunicaciones (en 1998) como el grado de doctor en ciencias en electrónica y telecomunicaciones (en 2006) en el Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE). Actualmente es profesor-investigador en el Instituto Tecnológico de Ensenada y sus principales áreas de interés son sistemas no-lineales, sistemas complejos y caos.