Makespan Minimization for The Identical Machine Parallel Shop with Sequence Dependent Setup Times Using a Genetic Algorithm

Salazar-Hornig E.¹ y Medina-S. J. C.²

¹ Facultad de Ingeniería Universidad de Concepción, Concepción, Chile. Correo: esalazar@udec.cl

² Facultad de Administración y Negocios Universidad de las Américas, Santiago, Chile. Correo: jmedinas@udla.cl

Resumen

Se presenta un algoritmo genético para la programación de trabajos en un sistema de máquinas paralelas idénticas, con tiempos de preparación dependientes de la secuencia, con el objetivo de minimizar el makespan (C_max). El algoritmo genético se compara con otros métodos heurísticos sobre un conjunto de problemas de prueba generados aleatoriamente. Posteriormente se introduce un procedimiento de mejora en el proceso evolutivo del algoritmo genético que mejora significativamente su desempeño.

Descriptores: máquinas paralelas idénticas, algoritmos genéticos, heurísticas.

Abstract

A genetic algorithm for the parallel shop with identical machines scheduling problem with sequence dependent setup times and makespan (C_max) minimization is presented. The genetic algorithm is compared with other heuristic methods using a randomly generated test problem set. A local improvement procedure in the evolutionary process of the genetic algorithm is introduced, which significantly improves its performance.

Keywords: identical parallel machines, genetic algorithms, heuristics.

Introducción

En todo sistema de producción las necesidades de los clientes se traducen en órdenes de producción que se liberan y "transforman" en trabajos con fecha de entrega asociada. La programación de producción que asigna estos trabajos a recursos productivos limitados, debe realizarse de manera detallada y eficiente para permitir un mejor control de las operaciones dentro del sistema productivo y constituir una ventaja competitiva difícil de imitar.

Los diferentes productos requieren en su fabricación distintas operaciones, las cuales se realizan en un orden y configuración productiva determinada, que depende del tipo de producto, el volumen de producción, la variedad de productos que se producen en el sistema, etcétera.

El taller de máquinas paralelas consiste en un sistema de m máquinas dispuestas en paralelo (multicapacidad), que procesan trabajos que requieren una operación, la cual puede realizarse en cualesquiera de las m máquinas.

Para resolver la programación de un taller de máquinas paralelas existen diferentes métodos exactos y heurísticos, constructivos o de mejora. La heurística LPT (Baker, 1974; Baker y Trietsch, 2009; Blazewicz et al., 1996; Pinedo, 2008) es una de las heurísticas clásicas de buen desempeño que resuelve el problema sin tiempos de preparación dependientes de la secuencia y minimización de makespan.

Esta heurística puede adaptarse para resolver el caso de tiempos de preparación dependientes de la secuencia (ver estudio experimental).

Se han tratado diferentes problemas de máquinas paralelas idénticas con setup aplicando diferentes metaheurísticas y métodos de búsqueda local. Mendes et al. (2002) plantean un algoritmo que combina tabu search y algoritmos meméticos para minimizar C_max. Radhakrishnan y Ventura (2000) tratan el problema de minimizar la suma total de la prontitud y tardanza a través de un algoritmo simulated annealing que incorpora una heurística de búsqueda local para construir la solución inicial. Lin y Liao (2004) tratan el problema de minimizar C_max sujeto al tiempo mínimo total de flujo basado en un método de programación matemática.

Anglani et al. (2005) plantean un modelo fuzzy de programación matemática que considera la imprecisión en los tiempos de proceso, balanceando los costos de setup con la satisfacción de la demanda. Behnamian et al. (2009) proponen un algoritmo híbrido para minimizar C_max utilizando ant colony optimization, simulated annealing y variable neighborhood search.

En este trabajo se trata el problema del taller de máquinas paralelas idénticas con tiempos de preparación dependientes de la secuencia, que consiste en resolver la programación de trabajos en un sistema de capacidad múltiple con m máquinas que realizan operaciones iguales, dispuestas en paralelo y n trabajos a procesar en una, y sólo una, de las máquinas. El concepto de máquinas idénticas significa que cada trabajo puede ser procesado en cada una de las máquinas con igual tiempo de proceso. El tiempo de preparación en el que se incurre al procesar un trabajo en una máquina depende del trabajo previamente procesado en la misma. Este tipo de configuración está presente en diferentes ambientes de manufactura como en la industria textil, industria de la madera, etcétera.

El tiempo de proceso de cada trabajo está fijo y existen tiempos de preparación de máquinas que dependen del orden en el que se procesan los trabajos en cada una. El objetivo considerado en este trabajo es minimizar el makespan (C_max), que consiste en minimizar el intervalo de tiempo entre el inicio del procesamiento del primer trabajo (tiempo de referencia 0) y el tiempo de terminación del procesamiento del último trabajo, es decir, el intervalo de tiempo en el que se procesa completamente la totalidad de los trabajos (órdenes de producción). Se consideran los siguientes supuestos:

1. Cada trabajo debe ser procesado en una, y sólo una, máquina k, k = 1, 2,..., m.

2. El tiempo de proceso del trabajo i, independiente de la máquina, está dado por p_i (i = 1,..., n).

3. Los tiempos de preparación (setup) para procesar el trabajo j después del trabajo i, independiente de la máquina, está dado por s_ij (i = 1,..., n; j = 1,..., n), donde s_ii representa la preparación inicial cuando el trabajo i es el primer trabajo procesado en una máquina.

4. Cada máquina puede procesar sólo un trabajo a la vez.

5. El proceso de un trabajo en una máquina no se puede interrumpir (nonpreemption).

6. Todos los trabajos son independientes entre sí y se encuentran disponibles en el instante inicial.

]]> 7. Las máquinas operan sin fallas en el horizonte de programación.

8. El objetivo es minimizar C_max.

Bajo la notación introducida por Graham et al. (1979) el problema de máquinas paralelas caracterizado por los supuestos mencionados se denota por Pm / s_ij / C_max, y es un conocido problema NP-Hard (Blazewicz et al., 1996; Pinedo, 2008), lo que hace impracticable la obtención de la solución óptima para problemas de mediano a gran tamaño.

En este trabajo se resuelve el problema Pm / s_i; / C_max mediante un algoritmo genético, comparándolo con otras heurísticas. La relevancia de los problemas de programación con tiempos y/o costos de preparación dependientes de la secuencia, queda de manifiesto en una amplia gama de configuraciones productivas (Allahverdi et al, 2008).

Un esquema simple para resolver la programación para este problema es definir un ordenamiento de los trabajos de acuerdo a un criterio determinado, y luego continuar de acuerdo al procedimiento de asignación de trabajos presentado en la figura 1.

A modo de ilustración, consideremos un problema de 2 máquinas paralelas idénticas y 6 trabajos a programar, cuyos parámetros se presentan en las tablas 1 y 2.

Utilizaremos la regla LPT (largest processing time) para generar la Lista Trabajos inicial del procedimiento de Asignación de Trabajos de la figura 1. La lista obtenida ordena los trabajos de mayor a menor tiempo de proceso, resultando: 4 - 2 - 5 - 1 - 6 - 3, para luego asignarlos a las máquinas de acuerdo al procedimiento de la figura 1. Este procedimiento de asignación genera la programación que se muestra en la carta Gantt de la figura 2.

Para el trabajo 4, tanto en la máquina 1 (M1) como en la máquina 2 (M2) el tiempo de terminación es 0 (disponibilidad de máquina) + 4 (setup inicial) + 15 (tiempo de proceso) = 19; se asigna a M1 utilizando el criterio de desempate al asignar a la máquina de menor índice. Luego el trabajo 2 se asigna a M2 terminando en el tiempo 0 + 6 + 12 = 18 (en M1 habría finalizado en el tiempo 19 + 8 + 12 = 39). A continuación, el trabajo 5 se asigna a M2 con tiempo de terminación 18 + 2 + 10 = 30 (en M1 habría finalizado en el tiempo 19 + 6 + 10 = 35) y así hasta obtener una programación con C_max = 48 (el trabajo 3, último trabajo que se procesa, termina en el tiempo 48).

Algoritmo genético

Los algoritmos genéticos fueron introducidos por Holland (1975), utilizan un lenguaje de genética natural modelando, en forma artificial, mecanismos de la evolución natural aplicados a la optimización de problemas. Asocian el concepto de individuo a una solución factible del problema y el de población a un conjunto de individuos (soluciones factibles). Los individuos están formados por genes (elementos ordenados en una sucesión lineal), que se evalúan a través de una función de aptitud denominada fitness, que corresponde a una medida de la calidad del individuo como solución del problema (Goldberg, 1989; Davis, 1991 y Michalewicz, 1999). Otros enfoques evolutivos actuales e inspirados en procesos de la naturaleza, extendidos también a más de un objetivo pueden revisarse en Coello et al. (2010). La figura 3 muestra una estructura general de un algoritmo genético.

La población inicial de soluciones (P₀) se determina de manera aleatoria y el proceso de selección durante el proceso evolutivo se realiza de acuerdo con una distribución de probabilidades, que determina que un individuo tiene una probabilidad de ser seleccionado proporcional a su fitness (Michalewicz, 1999). Esto significa que en el proceso de selección los individuos de mejor fitness tienen mayor probabilidad de ser seleccionados.

El algoritmo genético definido utiliza individuos con estructura de cromosoma de n elementos, que representa una lista ordenada de los trabajos a programar. El individuo es evaluado obteniendo el makespan de la asignación de trabajos a las máquinas de acuerdo al procedimiento indicado en la figura 1. Se utilizó esta estructura del cromosoma, dado que el algoritmo genético se comparó con otras heurísticas que generan la programación basada en una secuencia de trabajos; el mismo argumento anterior explica también el por qué tampoco se adoptó incluir elitismo en el proceso de evolución.

Para el problema de programar un conjunto de 6 trabajos, como en el ejemplo de la sección 2, la secuencia: 4 - 2 - 5 - 1 - 6 - 3 representa un individuo, que define una lista ordenada de trabajos asignados a las 2 máquinas del ejemplo, siguiendo el procedimiento de la figura 1, lo que produce la programación con C_max = 48 presentada en la figura 2. El valor del makespan igual a 48 que origina la mencionada secuencia corresponde al valor del individuo. Como se trata de un problema de minimización, un individuo representa una mejor solución mientras este valor sea menor (individuo de mejor fitness).

Se utilizan los operadores genéticos PMX propuestos por Goldberg y Lingle (1985) (Michalewicz, 1999) como operador de cruzamiento y swap (o exchange) como operador de mutación. Estos operadores son clásicos y frecuentemente se utilizan en la literatura en problemas de secuenciación. El operador PMX selecciona de manera aleatoria dos posiciones copiando la sub-secuencia central de dos padres en dos descendientes (hijos). Las posiciones restantes de los hijos se llenan con los trabajos aún no asignados en la misma posición del padre que no aportó la subsecuencia central al hijo, esto es, si el trabajo no se encuentra en la subsecuencia central permanece en la misma posición, en caso contrario, se reemplaza por el trabajo que está en la misma posición de la subsecuencia central traspasada al otro hijo. El operador swap intercambia dos trabajos de un individuo en forma aleatoria.

Para el ejemplo de la sección 2, la figura 4 muestra el cruzamiento de dos individuos (padres) de una población con makespan 58 y 45, respectivamente, aplicando el operador de cruzamiento PMX seleccionando en forma aleatoria la subsecuencia que incluye las posiciones 3 a 5, proceso que genera dos hijos, ambos con makespan de 47.

Para el mismo ejemplo, la figura 5 muestra la mutación del hijo 1 intercambiando las posiciones 2 y 6, proceso que genera el mutante con makespan 46.

Este problema tiene estructura similar a una variante del problema del vendedor viajero asimétrico ATSP (asymmetric traveling salesman problem), en el que un vendedor que debe visitar n ciudades con distancias asimétricas entre ellas (esto es d_ij ≠ d_ji), minimizando el total de la distancia recorrida sin retornar a la ciudad de origen.

Los trabajos se asocian a las ciudades y los tiempos de setup s_ij se asocian a las distancias d_ij (note que d_ij ≠ d_ji dado que se tienen tiempos de preparación dependientes de la secuencia s_ij ≠ s_ji), así, minimizar la distancia total recorrida por el vendedor se asocia con minimizar la suma total de setups, que es equivalente a minimizar C_max.

Por lo anterior, se aplica para su resolución una adaptación de una heurística greedy clásica aplicada al problema del vendedor viajero, denominada heurística del mejor vecino (nearest neighbor heuristic), que construye una secuencia de ciudades a visitar, de manera que estando en una ciudad, el vendedor escoge la ciudad más cercana aún no visitada. El procedimiento aplicado en este trabajo se indica en la figura 6.

Para el ejemplo de la sección 2, el individuo 4 - 2 - 5 - 1 - 6 - 3 fue asignado mediante el procedimiento de asignación de la figura 1, obteniéndose una programación con C_max = 48 (figura 2). A M1 se asigna la secuencia de trabajos 4 - 1 - 3, mientras que a M2 se asigna la secuencia de trabajos 2 - 5 - 6, lo que produce tiempos de terminación de 48 y 41 en M1 y M2, respectivamente.

Así, para completar la evaluación del individuo 4 -2 - 5 - 1 - 6 - 3 se resuelven dos problemas de secuenciamiento de una máquina, uno (en M1) que considera sólo los trabajos 1, 3 y 4, y otro (en M2) que considera sólo los trabajos 2, 5 y 6. Resolviendo estos problemas mediante la heurística del mejor vecino se obtienen nuevos ordenamientos de trabajos en M1 y M2, como se ilustra en la figura 7.

La secuencia de trabajos 3 - 1 - 4 en M1, finaliza en M1 con tiempo 44, mientras que la secuencia de trabajos 6 - 5 - 2, finaliza en M2 con tiempo 39, por lo que el makespan resultante es 44, mejorando en este caso el makespan obtenido por el procedimiento de asignación.

Estudio experimental

Los métodos evaluados fueron los algoritmos genéticos AG (estándar con operador de cruzamiento PMX y operador de mutación swap) y AG+MV (AG incorporando la heurística del mejor vecino como algoritmo de mejora) presentados en la sección 3, LPT* (extensión de la Heurística LPT al problema de máquinas paralelas idénticas con setup) y SMC (simulación Montecarlo).

Heurística LPT*

La heurística LPT, aplicada con buenos resultados al problema de máquinas paralelas sin setup (Baker, 1974; Baker y Trietsch, 2009), se extiende en este trabajo al caso de máquinas paralelas idénticas con setup, denominándola heurística LPT*. La heurística LPT* redefine los tiempos de proceso de cada trabajo i estimando su tiempo de ocupación de máquina (pe_i) como la suma de su tiempo de proceso y el promedio de los tiempos de setup que puede tener cada trabajo, esto es:

En lugar de ordenar los trabajos de mayor a menor tiempo de proceso p_i como lo hace la heurística LPT, los trabajos se ordenan de mayor a menor tiempo estimado de ocupación de máquina pe, formando así la Lista Trabajos inicial para el procedimiento de Asignación de Trabajos de la figura 1.

Simulación Montecarlo

El método de simulación Montecarlo genera en forma (pseudo) aleatoria una muestra de tamaño N de secuencias de n trabajos; cada una de las N secuencias de la muestra se construye seleccionando con igual probabilidad el siguiente trabajo de entre los trabajos aún no seleccionados mediante un procedimiento de muestreo (pseudo) aleatorio. Cada secuencia de la muestra se evalúa mediante el procedimiento de asignación de trabajos de la figura 1, entregando como resultado del procedimiento de muestreo la secuencia de la muestra con menor makespan. En este trabajo se consideraron 10 réplicas (muestras) de tamaño N = 50.000 secuencias, cada una de n = 50 trabajos, entregando como solución la secuencia de menor makespan entre las 10 secuencias entregada por cada réplica.

La evaluación de los algoritmos se realizó utilizando instancias generadas en forma aleatoria de acuerdo a distribuciones de tiempos de proceso y de setup utilizadas en la literatura. Los tiempos de proceso de los trabajos se generaron de la distribución uniforme discreta entre 1 y 100 (p_i ~ UD[1,100]). Los tiempos de preparación dependientes de la secuencia de los trabajos se generaron de la distribución uniforme discreta entre 1 y 30 (s_ij ~ UD[1,30]). Se considera, por lo tanto, un entorno productivo donde los tiempos de preparación son esencialmente menores a los tiempos de proceso.

Se generaron 30 instancias de problemas de 5 máquinas (m = 5) y 50 trabajos (n = 50), esperando en promedio la asignación de 10 trabajos por máquina.

La evaluación de la heurística se realizó por medio de rutinas adaptadas del software SPS_Optimizer (Salazar, 2010), herramienta diseñada para la programación de operaciones.

Sol_Método es el valor del makespan obtenido con el método en estudio y MSC es la mejor solución conocida de la respectiva instancia.

Los resultados del makespan obtenidos por cada algoritmo en cada instancia se muestran en la tabla 4 (columnas GA, LPT*, SMC y AG+MV). En la figura 8 se grafican estos resultados, en el eje horizontal se tienen las 30 instancias y en el eje vertical el valor del makespan.

En éste se aprecia que el algoritmo LPT* presenta el desempeño más bajo (prácticamente en todos los problemas su gráfica está por sobre la de todos los otros métodos), mientras que los algoritmos AG y SMC presentan un rendimiento muy similar (las soluciones de estos métodos prácticamente se superponen). De la tabla 4 se obtiene que GA es mejor en el 63.33% (19 sobre 30) y LPT* en 50% (15 sobre 30) de las instancias, existiendo 4 instancias en las cuales estos algoritmos obtienen igual resultado.

Lo que se destaca en la figura 8 es el buen rendimiento que logra AG+MV, mejorando significativamente su desempeño respecto de AG, obteniendo la mejor solución en 100% de las instancias evaluadas. Por este motivo se realiza la comparación de todos los algoritmos con respecto a las soluciones obtenidas por AG+MV, detallando en la tabla 4 las diferencias porcentuales %MSC por instancia para cada método (columnas %AG, %LPT* y %SMC).

La tabla 3 resume las diferencias porcentuales promedio de los algoritmos AG, LPT* y SMC con respecto a AG+MV, lo que se interpreta de la siguiente forma: en promedio las soluciones del algoritmo AG+MV son, respectivamente, 8.18%, 14.41% y 8.39% mejores soluciones que los algoritmos AG, LPT* y SMC.

También en la tabla 3 se verifica el similar comportamiento promedio entre los algoritmos AG y SMC con una leve ventaja de AG sobre SMC, presentando también poca variabilidad. La última columna de la tabla 4 (columna %AG/SMC) muestra la desviación porcentual de la diferencia absoluta entre AG y SMC por instancia, la que en promedio indica una desviación de 0.55% con una máxima diferencia de 1.49% en una instancia.

La incorporación del algoritmo de mejora en el algoritmo genético estándar, mejora en torno a 8% la calidad de las soluciones obtenidas, cuadruplicando el costo en tiempo CPU. Los algoritmos AG y SMC obtienen similares resultados, pero este último lo hace en un quinto del tiempo del primero. Por otro lado, el tiempo computacional del algoritmo LPT* es prácticamente despreciable obteniendo soluciones que son sólo alrededor de 5% peor que los algoritmos AG y SMC, y se alejan en promedio aproximadamente un 13.5% del algoritmo AG+MV.

Conclusiones

Se utilizó un algoritmo genético estándar para resolver el problema de programación de trabajos en el sistema de máquinas paralelas idénticas con tiempos de preparación dependientes de la secuencia, al que se le introdujo la heurística del mejor vecino como algoritmo de mejora, que optimiza la asignación de los trabajos resolviendo un problema independiente de minimización de makespan en cada máquina.

Al introducir el algoritmo de mejora, el aumento en el desempeño del algoritmo genético es significativo, mejorando en promedio las soluciones obtenidas con el algoritmo genético estándar en cerca de un 8%, superando a todos los otros algoritmos en todas las instancias; sin embargo, su tiempo computacional es 4 veces mayor.

El algoritmo genético estándar y la simulación Montecarlo presentan un rendimiento similar, pero no una ventaja significativa por parte del algoritmo genético, ya que este último utiliza 5 veces más de tiempo computacional que la simulación Montecarlo.

El algoritmo LPT* es el algoritmo que presenta el rendimiento más bajo entre los algoritmos considerados, siendo el que obtiene la peor solución en todas las instancias evaluadas, sin embargo, su tiempo computacional es prácticamente despreciable, alejándose sólo alrededor de 5% del algoritmo genético estándar y simulación Montecarlo, y cerca de 13.5% del algoritmo genético con la mejora.

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Semblanza de los autores

Eduardo Salazar-Hornig. Es ingeniero matemático por la Universidad de Concepción (1984), obtuvo el grado de magíster en investigación de operaciones en la RWTH University of Aachen, Alemania en 1992. Su línea de investigación incluye sistemas de producción, planificación y programación de producción y simulación. Es profesor de tiempo completo en el Departamento de Ingeniería Industrial y Programa de Magíster en Ingeniería Industrial de la Universidad de Concepción, Chile.