Related Techniques to Flood Frequency Analysis in Watersheds with Urban Development

Campos-Aranda D.F.

Profesor jubilado de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí, México Correo: campos_aranda@hotmail.com

Información del artículo: recibido: mayo de 2011 ]]> Aceptado: julio de 2011

Resumen

El análisis de frecuencia de crecientes (AFC) convencional considera que los gastos máximos anuales son eventos independientes, aleatorios y generados por un proceso estocástico estacionario con respecto al tiempo. Estas consideraciones generalmente no son válidas cuando se procesan registros de crecientes urbanas, debido a que cambios en el grado de urbanización de las cuencas afectan la magnitud de los gastos de las crecientes. El propósito de este trabajo es describir las técnicas asociadas al AFC, que son aplicables a registros o muestras con efectos importantes de la urbanización, es decir no homogéneos. Existen tres enfoques posibles: 1) determinación del periodo homogéneo del registro y su AFC, 2) identificación y remoción de la tendencia en la muestra y AFC subsecuente con los residuos y 3) ajuste del registro a una condición homogénea usando algún índice de urbanización. Estas técnicas se describen en detalle y se expone una aplicación. Las conclusiones destacan la importancia de estas técnicas en el futuro cercano, en muchas cuencas aledañas a las ciudades.

Descriptores: urbanización, homogeneidad, tendencia, distribución GVE.

Abstract

Conventional flood frequency analysis (FFA) assumes that the annual maximum flows are independent, random events and that the stochastic process generating these events is stationary with respect to time. These assumptions are often invalid when analyzing urban flood data, because changes in the degree of urbanization in the watersheds affect the magnitude of flood flows. The purpose of this work is to describe techniques related to FFA that are applicable in records with important effects of urbanization, that is non-homogeneous. There are three possible approaches: (1) determination of the homogeneous period of the record and its FFA, (2) identification and removal of the trend in the record and subsequent FFA of the residuals and (3) adjustment of the record to a homogeneous condition by using a particular urbanization index. These techniques are described in detail and a numerical application is presented. The conclusions point out the importance of these techniques in the near future, applied to watersheds nearby the cities.

Keywords: urbanization, homogeneity, trend, GEV distribution.

De manera general, la respuesta hidrológica de una cuenca puede alterarse drásticamente debido a cambios ocurridos en ella, los cuales están asociados, por ejemplo, a las obras hidráulicas de aprovechamiento o de control. Recientemente, el crecimiento de las áreas urbanas dentro de las cuencas, ha originado también efectos significativos en su respuesta, los cuales están relacionados con las consecuencias de la urbanización: mayor escurrimiento y menor tiempo de respuesta, en resumen, crecientes o avenidas máximas más severas.

Por otra parte, el análisis probabilístico de los registros de gastos máximos anuales es la técnica básica para la obtención de las crecientes de diseño, las cuales permiten el dimensionamiento o la revisión hidrológica de las obras hidráulicas.

Este análisis requiere que los datos citados sean independientes, aleatorios y generados por un proceso estocástico estacionario con respecto al tiempo. Tales propiedades generalmente no están presentes en un registro procedente de una cuenca que ha sufrido cambios locales, o bien, desarrollo urbano.

El objetivo de este trabajo consiste en describir con detalle y ejemplificar numéricamente las técnicas que son aplicables en el análisis de frecuencia de crecientes (AFC) de registros, que han perdido su homogeneidad debido a una expansión del área urbana en la cuenca que aforan.

Procedimientos de análisis

Enfoques para el AFC y su aplicabilidad

McCuen & Thomas (1990) han establecido tres enfoques para procesar registros de crecientes o gastos máximos anuales procedentes de cuencas que han experimentado un crecimiento urbano dentro de ellas y que por ello son no homogéneos. El primero se basa en la determinación del periodo homogéneo del registro, si es que existe y su posterior AFC. El segundo consiste en la detección y remoción de la tendencia del registro, con el subsecuente AFC con los residuos. En el tercer enfoque se ajustan o corrigen los gastos máximos anuales para volverlos homogéneos con respecto a una cierta condición, lo anterior con base en algún índice de urbanización. El procedimiento de cada enfoque se detalla después del estudio de la homogeneidad del registro hidrométrico.

Las técnicas anteriores se pueden aplicar exclusivamente a registros de crecientes que han perdido la homogeneidad por desarrollo urbano en la cuenca, cuya urbanización reduce la infiltración y el tiempo de concentración. Las rectificaciones y canalizaciones tienen efectos similares, cuyo impacto puede apreciarse a corto y mediano plazo y por ello deben ser tomadas en cuenta conjuntamente con la urbanización para estimar el grado de desarrollo urbano que tiene la cuenca. Los estanques de detención utilizados en las zonas urbanas para mitigar los efectos de la impermeabilización del suelo, así como las presas rompe-picos y las de control, tienen efectos contrarios a la urbanización, no modificando el volumen del escurrimiento pero redistribuyéndolo en el tiempo. Por lo anterior, las técnicas que se describen posteriormente no son aplicables a cuencas con efectos importantes de obras de almacenamiento y/o control.

Estudio de la homogeneidad

Antes de abordar alguno de los tres enfoques disponibles para el AFC, en registros que quizás son no homogéneos debido al impacto de la urbanización en su cuenca, resulta necesario el estudio de su homogeneidad bajo las tres fases siguientes: identificación, detección y corrección.

Fase de identificación

Al igual que en todo AFC, la primera tarea por realizar es la recopilación de la información hidrométrica disponible en el sitio de interés y en sus alrededores. Además de la información física relativa a la cuenca, la cual incluirá como mínimo:

1) tamaño de la cuenca, en km²,

2) información básica sobre el desarrollo urbano ocurrido, por ejemplo año de inicio y terminación, magnitud o porcentaje de la cuenca afectada y

3) cambios futuros factibles.

La técnica básica de la fase de identificación consiste en dibujar el registro hidrométrico como serie cronológica y observar su comportamiento. Estudiando la información sobre el desarrollo urbano ocurrido se podrá definir cuál es el registro posiblemente no homogéneo y cuál el homogéneo, si éste existe.

en las cuales, x_i son los gastos máximos anuales de la muestra o registro que se procesa.

Fase de detección

Esta fase implica dos etapas:

1) probar la no homogeneidad del tramo de registro bajo estudio y

2) verificar que estadísticamente la tendencia es significativa.

Para realizar la primera etapa se puede aplicar el test de las secuencias, cuyo procedimiento consiste en definir la mediana de la serie que se analiza, después se marca en la serie original con A si el dato es mayor y con B si es menor; las secuencias o sucesión (u) de valores de A o B se contabilizan y se concluye que la serie es homogénea si u está en el intervalo que indica la tabla 1 (Thom, 1971) de acuerdo con el tamaño de la muestra (n). Si se obtiene un valor alto de u la no homogeneidad se puede deber a un exceso de oscilación de la serie, en cambio, si u es reducido puede haber tendencia o cambio en la media.

Para verificar la presencia de la tendencia existen variadas pruebas estadísticas entre ellas la de Kendall y la del coeficiente de correlación serial de orden 1 (r₁). La prueba de Kendall, también llamada de la correlación de rangos, es muy efectiva si la tendencia es de tipo lineal o se aproxima a ésta, está basada en el número proporcional de observaciones subsecuentes, las cuales exceden a un valor particular. El procedimiento consiste en determinar el número p, en el registro de tamaño n, de todos los pares de observaciones (x_i , x_j; con i = 1 a n-1 y j = i+1 a n) en que x_j es mayor que x, enseguida se evalúan las estadísticas siguientes (Kottegoda, 1980):

siendo x_i cada elemento del registro o gasto máximo anual cuyo número es n. Cuando r₁ no excede su valor crítico siguiente, la serie es aleatoria, es decir está libre de tendencia:

En la expresión anterior, Z es la variable normal estandarizada. Cuando r₁ resultó positivo Z = 1.645 y se toma el signo positivo en la ecuación; cuando r₁ fue negativo, Z = 1.964 y se utiliza el signo negativo (WMO, 1971).

Fase de corrección

Identificada y detectada la tendencia, se debe buscar una ecuación de regresión que la represente, que puede ser lineal o polinomial, es decir, curva (McCuen & Thomas, 1990); se pueden utilizar los gastos de las crecientes anuales o sus logaritmos, pero la variable independiente será el tiempo en años, con uno para el primer dato y n para el último año del tramo en análisis. Esta tendencia se resta a los datos y se realiza un AFC con tales residuos. Después se corrigen las predicciones obtenidas por la tendencia máxima obtenida al final del tramo en análisis y por último, se realiza la transformación inversa, si se trabajó con logaritmos, caso común en registros de crecientes (Campos, 2011).

Método de corrección por factores de ajuste

Un registro no homogéneo de crecientes puede corregirse utilizando factores de ajuste, los cuales son función del grado de urbanización y de la probabilidad asociada a cada gasto, ya que los eventos frecuentes o de magnitud reducida son más afectados que las crecientes extremas, las cuales ocurren con la cuenca muy saturada y son originadas por tormentas severas pero esporádicas. Lo anterior se muestra en la figura 1 (McCuen, 1998) para porcentajes de urbanización de hasta 60%. El método consiste en los cuatro pasos siguientes (McCuen y Thomas, 1990; McCuen, 1998):

Paso 2. Se ordenan de menor a mayor los n gastos del tramo de muestra por corregir y se les asigna un número de orden m (uno para el menor y n para el mayor), para estimar su probabilidad de no excedencia con la fórmula de Weibull (Benson, 1962):

Paso 3. Para cada gasto del tramo de registro, con base en su probabilidad de no excedencia y su porcentaje de urbanización correspondiente se obtiene en la figura 1 su factor de ajuste (f₁). Al dividir el gasto entre f₁ se estima su valor correspondiente a cero urbaniza (Q_cu).

Paso 4. Se asigna un número de orden a los gastos Q_cu calculados, para obtener su probabilidad de no excedencia (ecuación 6) y poder estimar el factor de ajuste (f₂) que corresponde al porcentaje de urbanización, para la cual se corrige el registro. Entonces cada gasto ajustado (Q_cu) será igual a:

Aplicación numérica

Descripción general y datos

Conviene aclarar que no fue posible conseguir un registro hidrométrico en la República Mexicana que dispusiera de los datos físicos que han impactado su cuenca debido a la urbanización y por ello se utilizó la estación hidrométrica Pond Creek cerca Louisville, Kentucky, USA, que fue procesada por McCuen & Thomas (1990), tiene un área de cuenca de 165.7 km² y un registro de gastos máximos anuales de 38 datos en el periodo de 1945-1988, el cual se expone en la tabla 2. De 1945 a 1968, su porcentaje de área impermeable pasó de 2.5 a 13.0% y el grado de canalización se incrementó de 21.3 a 55.2%. Estos índices se combinaron para estimar los porcentajes de desarrollo urbano en la cuenca, el cual varió de 11 a 35%. McCuen y Thomas (1990) estimaron que el grado de canalización aporta del orden de 40% al desarrollo urbano.

Análisis sobre la homogeneidad

Sabiendo que la urbanización en la cuenca finalizó en 1968, se deberá analizar el registro previo a tal año para identificar, detectar y corregir su impacto. En la tabla 2 también se muestran los promedios móviles de orden 7, calculados en el tramo de registro bajo análisis, en la figura 2 se dibujaron conjuntamente con el registro de 24 valores. Se observa que a partir de 1953 y hasta 1965 que termina la curva de suavizado, existe una tendencia ascendente en las crecientes. Esto termina la fase de identificación de la no homogeneidad.

Para aplicar el test de las secuencias se obtiene una mediana de 62.150 m³/s, la cual define únicamente dos secuencias, una de valores menores que ella al inicio del registro hasta 1956 y la otra con magnitudes mayores. Según la tabla 1 el número de secuencias u debe estar entre 9 y 16, por lo cual el registro es no homogéneo quizás debido a tendencia dado que u resultó muy bajo. Durante el desarrollo de la prueba de Kendall se obtuvieron los valores siguientes: p = 213, T = 0.5434783, Var(T) = 0.0213655, PK = 3.72066 > 1.960, por lo tanto existe tendencia. En cambio, en la aplicación de la ecuación 4 se obtuvieron los valores siguientes:

Como la ecuación 5 define un valor crítico de 0.292, el registro tiene persistencia y por lo tanto tendencia. La fase de detección concluye demostrando la existencia estadística de tendencia en el tramo de muestra analizado (1945 a 1968).

Para abordar la fase de corrección se trabajó con los logaritmos decimales de los gastos como variable dependiente y como variable independiente el número de año (x), variando de uno a 24. Se ajustó un modelo lineal y se obtuvo la expresión:

cuyo coeficiente de correlación resultó de 0.717, el cual puede considerarse aceptable dado que se está trabajando con gastos máximos anuales, cuya dispersión propia es grande; además al inicio del registro no existe tendencia.

Primer enfoque del AFC (periodo homogéneo)

Establecida la fecha en que concluyó el desarrollo urbano dentro de la cuenca, el resto del registro se puede considerar homogéneo, en el caso analizado de 1969 a 1988. Para tomar en cuenta el evento máximo del registro total, que ocurrió en 1964, se consideró como registro homogéneo el lapso o periodo de 1964 a 1988, siendo entonces n = 25. El ajuste de la distribución general de valores extremos (GVE) por el método de momentos L (Hosking y Wallis, 1997; Campos, 2001), conduce a los parámetros de ubicación, escala y forma siguientes: u = 86.36584, a = 22.74655 y k = -0.16915; con las predicciones mostradas en la tabla 3.

Segundo enfoque del AFC (análisis de residuos)

Para cada uno de los 24 gastos del tramo de registro (1945-1968) que resultó no homogéneo, se obtiene su logaritmo decimal y se le resta su tendencia correspondiente, estimada con la ecuación 8. Esto conduce a los residuos buscados (res_i), por ejemplo para el primero y último valores se tiene:

Q₁ = 57. 3 m³/s. res₁ = 1.758155 - [1.516728 + 0.02346515 (1)] = 0.217962

Q₂₄ = 123.2 m³/s. res₂₄ = 2.090611 - [1.516728 + 0.02346515 (24)] = 0.010721

El ajuste de la distribución GVE por momentos L a los 24 residuos (u = -0.0440304, a = 0.1556448, k = 0.3985666) conduce a unas predicciones que habrá que corregir sumándoles la tendencia logarítmica final en los 24 años, es decir 2.079890 y por último, hacer la transformación inversa para llegar al gasto de la creciente de diseño según este enfoque. Las predicciones obtenidas se muestran en la tabla 3.

En la tabla 4 se presentan los cálculos realizados para corregir el tramo de registro que resultó no homogéneo, mediante los factores de ajuste (ecuación 7). El análisis probabilístico del registro corregido se realiza bajo dos planteamientos:

1) con los gastos ajustados, última columna de la tabla 4 y

2) conjuntando tales datos y el registro homogéneo (1969-1988, tabla 2), es decir 44 años. Las predicciones obtenidas a través del ajuste de la distribución GVE por momentos L en ambos casos, se muestra en la tabla 3, cuyos parámetros fueron: u = 62.54473, α = 24.83484, k = -0.18215 y u = 72.06246, α = 25.56927, k = -0.05880, respectivamente.

Análisis de resultados y discusión

Antes de analizar los resultados concentrados en la tabla 3, conviene aclarar que se tienen otros métodos para identificar y probar no homogeneidad, por ejemplo el Test de Helmert entre los primeros y el de Spearman y Spearman-Conley entre los segundos (McCuen, 1998). Por otra parte, la corrección del registro por factores de ajuste (f₁, f₂), se realizó según una versión simplificada (tabla 4), la cual difiere del método propuesto por Mc-Cuen y Thomas (1990) y McCuen (1998), basado en la aplicación simultánea de los factores de ajuste y en iteraciones. Se considera aceptable la simplificación propuesta, dada la precisión que impone el uso de la figura 2.

En el inciso sobre la Fase de Identificación, se mencionó que debería recopilarse información hidrométrica cercana, ello tiene por objeto verificar en cuencas sin desarrollo urbano, que no existen tendencias debido a cambios climáticos regionales o a influencias macro-geográficas, que también estén afectando a la cuenca bajo estudio.

Otro aspecto importante sobre los resultados es el hecho de provenir únicamente de la aplicación de la distribución de probabilidades GVE, siendo interesante para verificar sus órdenes de magnitud y concluir las predicciones de diseño, la aplicación de otras distribuciones como son la log-Pearson tipo III y la logística generalizada.

Finalmente, con respecto a los resultados de la tabla 3, éstos se consideran confiables dada la similitud que presentan. Aunque no es posible recomendar unas predicciones, al considerar mejor una de las técnicas aplicadas, no resulta difícil concluir valores de diseño.

Conclusiones

Las técnicas descritas e ilustradas en este trabajo, constituyen las herramientas básicas del análisis probabilístico de crecientes (AFC) en registros o muestras que han perdido su homogeneidad debido a la urbanización ocurrida en la cuenca de captación.

Tales técnicas presentan tres enfoques posibles de análisis probabilístico:

1) determinación del periodo homogéneo del registro y su AFC respectivo,

2) identificación y remoción de la tendencia en la muestra y AFC subsecuente con los residuos y

3) ajuste del registro a una condición homogénea usando algún índice de urbanización.

En un futuro cercano, las cuencas con afectación por desarrollo urbano dentro de ellas, serán bastante comunes, sobre todo cuando se comiencen a aforar las corrientes y cauces importantes que drenan a las zonas urbanas, o que definen y dan origen a las planicies de inundación aledañas a las ciudades.

Se agradecen las observaciones y los comentarios de los árbitros anónimos A y B, respectivamente. Tales sugerencias al ser incorporadas, volvieron más explícito el trabajo y su alcance.

Referencias

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Este artículo se cita:

Citación Chicago

Campos-Aranda, Daniel Francisco. Técnicas asociadas al análisis de frecuencia de crecientes en cuencas con desarrollo urbano. Ingeniería Investigación y Tecnología, XIII, 03 (2012): 385-392.

Citación ISO 690

Campos-Aranda D.F. Técnicas asociadas al análisis de frecuencia de crecientes en cuencas con desarrollo urbano. Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XIII (número 3), julio-septiembre 2012: 385-392.

Semblanza del autor

Daniel Francisco Campos-Aranda. Obtuvo el título de ingeniero civil en diciembre de 1972 en la entonces Escuela de Ingeniería de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí. Durante el primer semestre de 1977, realizó en Madrid, España un diplomado en hidrología general y aplicada. Posteriormente, durante 1980-1981, llevó a cabo estudios de maestría en ingeniería en la especialidad de hidráulica en la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. En esta misma institución, inició (1984) y concluyó (1987) el doctorado en ingeniería con especialidad en aprovechamientos hidráulicos. Ha publicado artículos principalmente en revistas mexicanas de excelencia: 39 en Ingeniería Hidráulica en México, 13 en Agrociencia y 9 en Ingeniería. Investigación y Tecnología. En congresos internacionales y nacionales ha presentado 24 y 73 ponencias, respectivamente. Fue investigador nacional (nivel I: expediente 7273) desde el 1° de julio de 1991 hasta el 31 de diciembre del 2007. Actualmente es profesor jubilado de la UASLP, desde el 1° de febrero del 2003. En 2008 la AMH le otorgó el premio nacional "Francisco Torres H." a la práctica profesional de la hidráulica.