Elastic-plastic Contact between Rough Surfaces with Gauss and Exponential Distribution

Sánchez-Rodríguez A.¹ Echeverría-Villagómez J.S.² Lesso-Arroyo R.³ García-Rodríguez F.J.⁴ Salas-Zuñiga R.⁵

¹ Centro de Ingeniería y Desarrollo Industrial (CIDESI) Correo: asanchez@itc.mx

² Instituto Tecnológico de Celaya Correo: salecke@cenam.mx

³ Departamento de Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico de Celaya Correo: rlesso@itc.mx

⁵ Centro de Desarrollo de Tecnología (CIDET) Correo: mide2004@prodigy.net.mx, Cenit2005@prodigy.net.mx

Información del artículo: recibido: junio de 2009
Reevaluado: febrero de 2011
Aceptado: junio de 2011

Resumen

Para modelar el contacto elastoplástico de superficies rugosas se analiza la función de distribución probabilística exponencial de la altura de las asperidades propuesta por Greenwood y Williamson (1966) como una aproximación de la distribución de Gauss, y se encuentra que es poco precisa para la mayoría de los casos. Se aplica la función de distribución probabilística exponencial modificada propuesta por Polycarpou y Etsión (1999) al modelo reciente de contacto elastoplástico de Kogut y Etsion (2004), con el propósito de simplificar los cálculos para obtener los parámetros de contacto: área real, carga normal y presión media, mediante subrutinas de solución del método cuadrado de Simpson mostrando que producen resultados aproximados con un mínimo error de 2.2%. Los resultados muestran que es posible simplificar la modelación y simulación de casos de contacto más complejos y la determinación de otros parámetros de contacto.

Descriptores: distribución Gauss, distribución exponencial, asperidades, contacto elastoplástico.

Abstract

In order to model the elastic-plastic contact between rough surfaces, the exponential probabilistic distribution function of asperity heights, proposed by Greenwood and Williamson (1966), is analyzed as an approach of the Gaussian distribution function, and it is found to be impractical in most studied cases. The exponential probabilistic distribution modified function proposed by Polycarpou and Etsion (1999) is applied to the recent model of elastic-plastic contact of Kogut and Etsion (2004), to facilitate the calculations in obtaining the contact parameters (real area, normal load and mean pressure) using Simpson square method subroutines showing results with a minimum error in the order of 2.2%. The results show that it is possible to simplify the modeling and simulation of more complex contact cases and the determination of other parameters of contact.

Keywords: Gauss distribution, exponential distribution, asperities, elasto-plastic contact.

Introducción

El contacto elastoplástico entre dos superficies rugosas puede ser representado por una superficie rugosa y una lisa; que a su vez, parte de una esfera deformable y un plano rígido (Kougt y Etsion, 3003). Esta aproximación es un punto de partida para aplicaciones en aquellos componentes que entran en contacto superficial rugoso como: rodamientos, engranes y juntas homocinéticas, entre otras.

Hasta ahora, el tema de la topografía superficial sigue siendo de gran interés para varios investigadores como parte importante de mecánica del contacto, las interacciones superficiales y la fricción. Cuando dos superficies se unen, los contactos suceden en pequeñas áreas (Polycarpou y Etsion, 1999), debido a la rugosidad de ambas superficies. Al sumar todas esas pequeñas áreas se obtiene el área real de contacto de las superficies. La deformación comienza en donde sucede el contacto y puede ser elástica, elastoplástica o plástica, dependiendo de la presión nominal que sucede en el área real, la rugosidad superficial y las propiedades del material (Kogut y Etsion, 2004).

Varios investigadores han propuesto modelos de rugosidad superficial, partiendo de la suposición de una forma geométrica simple de las asperidades en la superficie con una distribución de probabilidad para los diferentes parámetros de las asperidades consideradas. El más común es el trabajo de Greenwood y Williamson (1966), donde consideran que la forma de la punta de las asperidades es esférica y de radio constante, y la altura de las asperidades está definida por una función probabilística de Gauss.

Greenwood y Williamson (1966), propusieron una función exponencial que se aleja grandemente de los valores obtenidos por la función probabilística de Gauss y, sobre todo, de las pruebas experimentales; haciendo una revisión y análisis de algunas publicaciones se encontraron dos funciones exponenciales modificadas propuestas por Polycarpou (1999), que contemplan parámetros adicionales. Se utilizaron estas funciones en la determinación de los parámetros de contacto y se encontró en una de ellas una mejor aproximación con valores de error de 2.2, esto ayudó grandemente al cálculo simplificado y programado para la obtención de los parámetros de contacto como: área, carga normal, presión media, entre otros. También se logró la reducción de tiempo de corrida a la mitad; lo que antes se obtenía en 4 o 5 minutos se logró reducir a 2 o 3 minutos. Los resultados muestran que es posible simplificar la modelación y simulación de casos de contacto más complejos y la obtención de otros parámetros de contacto.

Revisión bibliográfica

El modelo de contacto básico "modelo basado en las asperidades", fue desarrollado por Greenwood y Williamson (GW) (1966). Este modelo ha sido la referencia de varios desarrollos para entender el comportamiento mecánico del contacto entre superficies metálicas rugosas. Desde el punto de vista estadístico, el contacto de algunas de las asperidades sobrepasará el límite elástico, aún para pequeñas cargas que comienzan a deformarse plásticamente (Pullen y Williamson, 1972).

Conforme la carga se incrementa, el número de asperidades que se deforman plásticamente, también se incrementa y el área correspondiente del modelo de GW (1966) se calcula según la teoría de Herte, para la deformación elástica. Este modelo descarta la presencia de conservación del volumen en las regiones deformadas plásticamente (Mendenlson, 1968). El modelo básico de las asperidades de GW (1966), se extendió para superficies curvas por Greenwood y Tripp (GT) (1967), aún cuando GW ya habían hecho ciertos análisis, GT (1970-71) introdujeron dos superficies rugosas con asperidades desalineadas. Por otro lado, Hisakado (1974) consideró el radio variable de los picos de las asperidades.

Bush et al. (1975) analizaron el contacto con asperidades de forma elíptica paraboloide, Mc Cool (1986) consideró superficies anisotrópicas. Sin embargo, en todos estos modelos se despreció la conservación del volumen para las asperidades deformadas plásticamente. Francis (1977), reconoció el problema de la deformación plástica y estudió el rango de deformación de un micro-contacto al usar "funciones de conectivi-dad continua", previamente determinadas en forma empírica por indentación esférica. Ishigaki et al. (1979) consideraron el problema de la deformación plástica.

Nayak (1971) presentó "un modelo de proceso aleatorio" bidimensional de una superficie rugosa y después con ello analizó el contacto plástico de superficies rugosas. Este modelo fue estimulado por las observaciones de Pullen y Williamson (PW) (1972), en el que el volumen es conservado por un incremento uniforme del contacto superficial, bajo ciertas restricciones específicas y cargas. El trabajo realizado por Kougut y Etsion (2002) contempla un modelo por elemento finito elástico-plástico de una esfera deformable y un plano rígido, como lo había trabajado Chang et al. (1987) para extenderlo más tarde al análisis del contacto en superficies rugosas.

Todos estos modelos determinan las expresiones del área de contacto, la carga normal de contacto y la presión media adimensional, considerando una distribución estadística de la altura de las asperidades y la altura de las superficies de Gauss. Otros estudios sobre el contacto de superficies rugosas incluyen la aplicación realizada en manejo de partículas (Vu Quoc et al., 2000), otros se basan en el contacto de una asperidad esférica (Bhushan, 1996), y en un modelo estadístico de múltiples asperidades de contacto (Bhusan, 1998).

Zhao et al. (2000) usaron una manipulación matemática para la transición lisa de las expresiones de la carga de contacto y el área de contacto entre el régimen de deformación elástica y plástica. Kuchasrski et al. (1994), resolvieron el problema de una esfera deformada por el método de elemento finito y desarrollaron expresiones proporcionales empíricas para la carga de contacto y el área de contacto. Así, otros trabajos sobre el contacto han sido realizados por elemento finito por Hardy et al. (1971), Kral et al. (1993), y Giannakopoulos (2000). Los resultados proporcionados por Mesarovic y Fleck (2000) para una esfera presionada por una placa y considerada como un espacio medio terminaron en el régimen plástico.

Contacto elastoplástico en superficies rugosas con transición

La dureza H está relacionada con la resistencia a la cedencia Y por H = 2.8Y (Tabor, 1981). El coeficiente de dureza K, está relacionado con la razón de Poisson v, descrita por Chang et al. (1987) como K = 0.454+0.41v y E es el módulo de elasticidad equivalente de los dos cuerpos en contacto evaluado conforme a Herte (1881). Las zonas elástica, elastoplástica (con dos subregiones) y plástica fueron detalladamente determinadas mediante el método elemento finito en el trabajo de Etsion y Kogut (2003), donde el contacto se modeló mediante una asperidad representada por un cuarto de esfera, por la simetría y una placa considerada por una línea.

Durante la carga, el área de contacto y la carga de contacto de cada una de las asperidades, depende sólo de la interferencia ωo, suponiendo que no existe interacción entre las asperidades. La dependencia de y con co debería estar determinada por el modo de deformación de la asperidad, el cual podría ser elástico, plástico o elastoplástico. El área y la carga de contacto total se obtienen al sumar las contribuciones de cada una de las asperidades como lo mostraron Greenwood y Williamson (1966):

donde:

η = la densidad de areal,

A_n = área normal,

d = separación de la superficie plana y el plano medio de la altura de las asperidades y

φ(z) = función de distribución probabilística.

La solución de Hertz para el contacto elástico de una esfera y un plano proporciona la carga de contacto P_e y el área de contacto A_e, para ω ≤ ω_c, en la forma:

Donde P_c y A_c son la carga normal y el área de contacto, respectivamente en la interferencia crítica ω = ω_c. P y A quedan normalizadas por P_c y A_c, respectivamente, para obtener la función de la interferencia adimensional ω/ω_c. Estas funciones son independientes de las propiedades del material y del radio de la esfera.

Usando las ecuaciones (1), (4) y (5), la presión media p_e = 3/2 P_e/A_e según Hertz (1881) para ω ≤ ω_c es:

donde p_e es la presión de contacto media y p_c la presión de contacto normal en ω = ω_c.

La solución del problema fue mediante una semiesfera deformable y se modeló como un cuarto de disco suponiendo una simetría de revolución. El plano rígido se modeló como una línea y el material de la esfera se supuso con comportamiento elástico perfectamente plástico similar a tensión y compresión. Para generalizar la solución presente y eliminar la necesidad de una entrada específica, los resultados numéricos, se normalizaron con respecto al valor crítico correspondiente en la iniciación de la falla, ω_c , de manera similar que en las ecuaciones anteriores. La normalización de la presión de contacto medio p_m, se realizó con respecto a la resistencia a la cedencia del material, Y, de la esfera del material.

La validez de esta normalización se probó resolviendo el problema con varios materiales diferentes en el rango de 100 < E/Y < 1000, v = 0.3, y la esfera de radio en el rango 0.1 mm < R < 10 mm. Los resultados adimensionales P/P_c , A/A_c. y p_m/Y contra la interferencia adimensional ω/ω_c fueron siempre los mismos, a pesar de la selección de las propiedades del material y el radio de esfera.

El modelo numérico se verificó primero con los resultados analíticos de la solución de Hertz, en el régimen elástico para ω < ω_c. La verificación incluye la carga, el radio del área de contacto y la distribución de esfuerzos en el área de contacto, a lo largo del eje de simetría. La diferencia entre los resultados numéricos y analíticos siempre fue menor de 2.8%. Otra verificación fue con el modelo de Kogut y Etsion (2003), en el régimen elástico plástico (para 1 < ω/ω_c < 110), al incrementar la densidad del mallado. Las más grandes diferencias en la carga y el área de contacto fueron de 1 y 3%, respectivamente.

Kogut y Etsion (2003), encontraron que la superficie de la esfera de la región de contacto es dividida en tres subregiones:

I) Una subregión elástica circular interna, extendiéndose radialmente del centro del contacto hasta el filo del núcleo elástico.

II) Una subregión intermedia anular, entre el filo del núcleo elástico y el frente más externo de la región plástica.

III) Una subregión elástica posterior (figura 2).

Kogut y Etsion (2003), encontraron que el régimen de contacto elástico plástico de una asperidad, se extendía en el rango de 1 ≤ ωo/ω_c ≤ 110 con una transición ω/ω_c = 6, es decir, se divide en dos subregiones. Los parámetros adimensionales de contacto de área, carga normal y presión media presentados en las ecuaciones (4), (5) y (8), respectivamente, pueden expresarse en la forma:

Las constantes a, b, d y e son valores que se determinaron por un análisis de elemento finito en las diferentes zonas de deformación elástico, elastoplástico (con las dos subregiones de transición) y plástico como se muestran en la tabla 1, éstas se basan en la suposición de que el material es elástico perfectamente plástico (Kogut y Etsion, 2003).

Posteriormente, las constantes se usaron para el cálculo de los parámetros área A* y carga P* de contacto adimensional entre dos superficies rugosas, en las zonas de deformación elástico, elastoplástico (con las dos subregiones de transición) y plástico mostradas en cada porción de las siguientes ecuaciones como:

donde:

ß = RA_n,

R es el radio de las asperidades,

A_n es el área nominal de la superficie,

I_e es la forma general del integrando para A,

y se tiene entonces:

donde I^b es la forma general del integrando para P, y se tiene entonces:

Funciones de distribución de altura de las asperidades

Además propusieron una distribución estadística exponencial de la altura de las asperidades para simplificar el análisis de las ecuaciones anteriores, como:

Resultando muy robusta y alejada de los valores calculados para los parámetros de contacto. Polycarpou y Etsion (2004) encontraron también que la distribución exponencial que propusieron Greenwood y Williamson (1966) es inadecuada para la mayoría de los casos. Ellos mismos sugirieron una aproximación exponencial que garantiza algo muy cercano a la distribución de Gauss para determinar el área normal, la carga normal y el número de asperidades en contacto, aplicada en el contacto elastoplástico propuesto por Chang et al. (1987).

Como la suposición de la distribución de Gauss representa cierto proceso aleatorio para el caso de la altura de las asperidades bastante adecuado, Polycarpou y Etsion se dieron a la tarea de encontrar los coeficientes para la función exponencial modificada, para aproximar la función de distribución de Gauss, al menos en el rango de interés del análisis de contacto. Esto se realizó mediante la aproximación de mínimos cuadrados directamente sobre la función de densidad probabilistica, resultando:

En seguida, se presentan las simulaciones para obtener los parámetros de contacto normal (área real, carga normal y presión media) para compararse junto con los valores obtenidos por Kogut y Etsion (2003).

Análisis de resultados

Para las simulaciones de carga normal contra separación adimensional (distancia entre el plano medio de la altura de las asperidades y la superficie lisa), se usaron integrales que se resolvieron numéricamente empleando el software MatLab, con la subrutina de solución del método cuadrado de Simpson. La figura 3 muestra los resultados de variación de separación adimensional contra carga normal adimensional, para funciones de distribución de altura de las superficies de Gauss, la simple exponencial de Greenwood y Williamson (1966), exponencial modificada 1, exponencial modificada 2 y según las ecuaciones (15), (16), (17) y (18), respectivamente.

Se consideraron los valores originales usados por Kogut y Etsion (2003) muy parecidos a los usados por Greengood y Williamson (1966) y Chang et al. (1987), en donde η = 0.004 x 10¹², R = 110 x 10^-6, σ_a = 100 x 10^-9, H = 7 x 10⁹, v = 0.3, E_1,2 = 207 x 109 y Ψ = 0.5; y la variación de valores de separación adimensional en el rango de 0 a 4 con incrementos de 0.1.

Como se muestra en la gráfica de la figura 3, los valores de separación disminuyen conforme la carga normal aumenta, la línea que más se aproxima a la distribución de Gauss es la exponencial modificada 2, los valores de la exponencial modificada 1 se disparan conforme aumenta la separación, en el caso de la función la exponencial simple propuesta por Greenwood y Williamson (1966), los valores están demasiado alejados.

Si se comparan los resultados de la función distribución de Gauss punto por punto y se grafican, podrá observarse en la figura 4 las funciones resultantes del error de aproximación con las distribuciones exponencial simple, exponencial modificada 1 y exponencial modificada 2. Efectivamente el error se dispara en la exponencial simple. Estas comparaciones se realizaron en el rango de separación de 0-4, resultando errores bajos insignificantes para el caso de las funciones de distribución modificadas propuestas, sobre todo, para la exponencial modificada 2.

Detallando un poco más los resultados, la gráfica de la figura 5 muestra la función de error de aproximación de la exponencial modificada 2 con la función de distribución de Gauss, donde los errores máximos alcanzan valores absolutos de 2.2 y se mantienen muy parecidos en el rango de valores de la separación entre 1 y 2.5, para valores mayores de 3 se incrementan significativamente.

Al igual que Polycarpou y Etsion (1999), se compararon resultados para la distribución de Gauss de las superficies contra la exponencial modificada 1 y 2 y la simple, propuesta por Greenwoood y Williamson (1966). La que más se acercó a los valores obtenidos por la distribución de Gauss fue la exponencial modificada 2 para determinar la carga de contacto en contacto elastoplástico propuesta por Kogut y Etsion (2004), la aproximación fue hasta de 12% y disminuye conforme aumenta la separación.

De manera parecida al caso anterior, se realizó el análisis de variación del área de contacto normal contra la carga normal de contacto adimensional, comparando los valores obtenidos de la función de distribución de Gauss, contra la exponencial simple, la exponencial modificada 1 y la exponencial modificada 2. Se observa que la carga es proporcional al área, excepto para la distribución de Gauss de la altura de las superficies, y que la función de distribución exponencial modificada 2 se aproxima bastante bien a los valores de la distribución de Gauss e iguala en algunos valores del rango de 10^-4 a 10^-3.

Las líneas de la figura 7 muestran la variación de la presión media contra la carga normal adimensional, para los valores presentados anteriormente, considerando también distribución de Gauss, la exponencial modificada 1, la exponencial modificada 2 y la exponencial simple.

La aproximación obtenida de la distribución exponencial modificada 2 es idéntica en cierto rango de valores, mientras que para la exponencial simple, se pierden por completo los valores obtenidos.

Se demostró que la función de distribución probabilística exponencial simple de la altura de las asperidades para modelar el contacto de superficies rugosas propuesta por Greenwood y Williamson (1966) es impráctica para la mayoría de las aplicaciones, ya que los valores de los parámetros de contacto de área real, carga normal y presión media varían grandemente con los obtenidos por la distribución probabilística de Gauss.

Los resultados muestran que las aproximaciones de distribución probabilistica exponencial modificada propuesta por Polycarpou y Etsion (1999), son idénticos a los obtenidos con el trabajo reciente realizado por Kogut y Etsion (2003) con la distribución probabilistica de Gauss, conteniendo errores mínimos.

Se realizaron las simulaciones con el software numérico de MatLab, usando las ecuaciones obtenidas por Kogut y Etsión (2003) para determinar los parámetros de contacto como área real, carga normal y presión media; mediante subrutinas de solución del método cuadrado de Simpson se encontró que efectivamente la distribución probabilística exponencial modificada de la altura de las asperidades propuesta por Polycarpou, simplificó mucho los cálculos y los resultados obtenidos.

Los resultados muestran que es posible simplificar la modelación y simulación de casos de contacto más complejos y la obtención de otros parámetros de contacto como la fuerza de adhesión y la carga tangencial en la interfase, para determinar los coeficientes de rozamiento estático y dinámico, según sea el caso; usando la distribución probabilística exponencial modificada de la altura de las asperidades para simplificar los cálculos y análisis de la mecánica del contacto.

Referencias

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Este artículo se cita:

Citación Chicago

Sánchez-Rodríguez, Álvaro, José Salvador Echeverría-Villagómez, Raúl Lesso-Arrollo, Francisco Javier García-Rodríguez, Roberto Salas-Zuñiga. Contacto elastoplástico entre superficies rugosas con distribución de Gauss y exponencial. Ingeniería Investigación y Tecnología, XIII, 03 (2012): 317-326.

Citación ISO 690

Sánchez-Rodríguez A., Echeverría-Villagómez J.S., Lesso-Arrollo R., García-Rodríguez F.J., Salas-Zuñiga R. Contacto elastoplástico entre superficies rugosas con distribución de Gauss y exponencial. Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XIII (número 3), julio-septiembre 2012: 317-326.

Semblanza de los autores

Alvaro Sánchez-Rodríguez. Recibió el grado de maestro en ingeniería mecánica por el Instituto Tecnológico de Celaya, Guanajuato, México. Es coordinador de la maestría en ingeniería mecánica en el Instituto Tecnológico de Celaya. Actualmente es profesor en el Departamento de Ingeniería Mecánica del Instituto Tecnológico de Celaya y candidato al doctorado en el campo de ingeniería del Centro de Ingeniería y Desarrollo Industrial (CIDESI) Qro., México. Ha publicado 12 artículos en congresos nacionales e internacionales.

Raúl Lesso-Arroyo. Recibió el grado de maestro en ingeniería mecánica por la Universidad de Guanajuato (FIMEE), Guanajuato, México. Actualmente es profesor en el Departamento de Ingeniería Mecánica del Instituto Tecnológico de Celaya. Ha publicado más 60 artículos en revistas y congresos nacionales e internacionales. Ha desarrollado más de 25 proyectos para empresas y centros de investigación.

Francisco Javier García-Rodríguez. Recibió el grado de maestro en materiales por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav), México. Trabaja como profesor en el Departamento de Mecánica del Instituto Tecnológico de Celaya. Es doctor en ingeniería de materiales por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav). Ha publicado más de 40 artículos en revistas nacionales e internacionales.

Roberto Salas-Zuñiga. Recibió el grado de maestro en ingeniería eléctrica por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav), México. Actualmente trabaja como consultor independiente y ha sido profesor en diversas instituciones como: ITEMS, UAQ, CINVESTV. Es doctor en el campo de la ingeniería eléctrica por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav).Ha publicado más de 30 artículos en revistas y congresos nacionales e internacionales.