Funciones distancia asimétricas y no positivas definidas Parte I: Marco teórico

Asymmetric and non–positive definite distance functions Part I: Theoretical framework

H. Sánchez–Larios¹ y S.T. Guillén–Burguete²

¹ Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. E–mails: hsanchezl@ii.unam.mx

² Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. E–mails: sguillenb@ii.unam.mx

Recibido: enero de 2006
Aceptado: febrero de 2007

Resumen

Se propone un marco teórico para modelar funciones distancia generalizadas, las cuales pueden ser asimétricas y no positivas definidas. Se da una definición de longitud de arco asociada a una función distancia generalizada d. La función distancia d cumple la propiedad de identidad, pero a diferencia de las métricas, puede no satisfacer la desigualdad del triángulo, o las propiedades de simetría y definitoreidad. Mostramos que cada función distancia generalizada d induce ciertos arcos, que llamamos "d–inducidos", los cuales cumplen una ley de conservación de la distancia d y son una generalización de los segmentos de línea recta del espacio euclidiano. También se muestra que si d satisface la desigualdad del triángulo, entonces los arcos d–inducidos son arcos de mínima longitud respecto de la función distancia d, y en este caso, la función distancia d pueden modelarse como un problema de cálculo de variaciones.

Descriptores: Funciones distancia generalizadas, longitud de arco, desigualdad del triángulo, métrica de Finsler.

Abstract

We propose a theoretical framework for modeling generalized distance functions, which can be asymmetric and non–positive definite. We give a definition of arc length associated to a generalized distance function d. Our distance function d satisfies the identity property but, unlike metrics, may not satisfy the triangle inequality, or symmetry and definiteness properties. We show that each distance function d induces certain arcs, called "d–induced", which satisfy a conservation law of the distance d and are a generalization of the straight line segments of the Euclidean space. We also show that if d satisfies the triangle inequality, then the d–induced arcs are arcs of minimal length with respect to the distance function d, and in this case, the distance function d can be modeled as a problem of calculus of variations.

Introducción

Frecuentemente, no es posible recabar los datos de las "distancias" entre todos los pares ordenados de puntos de una región dada, por lo que es útil contar con funciones distancia.

En este trabajo, se propone una definición de función distancia (generalizada), la cual permite generalizar el concepto de longitud de arco, y este a su vez, permite deducir la existencia de ciertos arcos que cumplen una ley de conservación de la distancia.

Se da una definición de función distancia generalizada, como una función binaria que cumple la propiedad de identidad (la distancia de un punto consigo mismo es cero), es decir, una función distancia generalizada puede no satisfacer la desigualdad del triángulo, simetría y no negatividad, propiedades requeridas por las métricas. Se define la longitud de arco asociado a una función distancia generalizada d, como la integral de la derivada direccional unilateral F(x,v) de d a lo largo del arco. La función F representa la razón de cambio de la función distancia en un punto dado x en la dirección considerada v.

La propiedad de identidad es necesaria para que una función distancia d determine arcos "d–inducidos", los cuales cumplen un principio de conservación de la d–distancia. Se definirá "premétrica", como una función distancia d, que además de la propiedad de identidad, cumple la desigualdad del triángulo. Se muestra que los arcos d–inducidos por una premétrica son arcos de mínima longitud, con respecto a la función distancia d. Se explora el problema de modelar una función distancia d, cuya derivada direccional unilateral es una función F₀ (x,v) dada a priori, que llamamos función fundamental de d. En este problema, d se obtiene resolviendo un problema de cálculo de variaciones. Se muestra además que si F₀ es una función convexa en la dirección v, entonces F₀ coincide con la derivada direccional unilateral F(x,v) de d.

Función distancia generalizada y longitud de un arco

En esta sección se propone una definición de función distancia que puede no satisfacer la desigualdad del triángulo ni las condiciones de simetría y no negatividad, requeridas por las métricas. También una definición de longitud de arco asociada a una función distancia.

La función distancia generalizada d, o función distancia d, se define como una función binaria que cumple la propiedad de identidad (la distancia de un punto consigo mismo es cero,

Para definir la longitud de arco asociada con una función distancia generalizada d y obtener una expresión para determinarla, se dan las siguientes definiciones:

Un camino en es una función continua tal que x(a) = a y x(b) = b. La imagen orientada del camino x: se llama arco (orientado) de . En este trabajo, un arco significa un arco orientado. Un arco C(a,b) se dice ser arco clase C¹ si tiene una representación paramétrica clase C¹, cuya derivada es diferente de cero en su dominio.

El conjunto de todos los arcos clase C¹ en Rⁿ se denota por Ω. Por simplicidad, el conjunto de todos los arcos de clase C¹ que conectan a con b, y el conjunto de todas las representaciones paramétricas de estos arcos, se denotan por Ω_[a,b].

Una sucesión de puntos en Rⁿ de la forma

donde k > 1, se dice que es una sucesión en Rⁿ desde a hasta b. Los puntos a y b se llaman puntos extremos de la sucesión. El conjunto de todas las sucesiones en Rⁿ desde a hasta b se denota por P[a,b].

Para cada sucesión de puntos en Rⁿ,

la función distancia determina un número real que llamamos la d–longitud de la sucesión P y está definida como la suma de las distancias respecto de la función distancia d (suma de las d–distancias):

para toda

Consideramos una partición de un arco como una partición del arco en subarcos. Cada partición P de una arco C(a,b) determina una sucesión (a = x₀, x₁, x₂,..., x_k, x_k+1 = b) de puntos de C(a,b). Recíprocamente, cada sucesión (a = x₀, x₁, x₂,..., x_k, x_k+1 = b) de puntos de C(a,b) determina la partición P. Para simplificar, se denota también por P la sucesión de puntos de C(a,b) correspondiente a la partición P. La partición trivial de un arco C(a,b) es el conjunto {C(a,b)}, el cual está determinado por la sucesión (a= x₀, x₁= b). Un refinamiento de una partición P del arco C(a,b) es una partición Q de C(a,b), tal que, cada elemento de Q está contenido en un elemento de P. El conjunto de todas las particiones de C(a,b) se denota por P[C(a,b)]. Se define la d–longitud de una partición de C(a,b) como la d–longitud de la sucesión

Se define la longitud de arco asociada con la función distancia generalizada d de un arco C, o d–longitud de C, como un número real L tal que, para cada ε > 0, existe una partición P_ε de C tal que para todo refinamiento P de P_ε. Si la d–longitud de un arco existe, entonces es única.

Si la d–longitud de C(a,b) es finita, entonces C(a,b) se dice d–rectificable y l_d (C(a,b)) denota la d–longitud de C(a,b). Es inmediato que los subarcos de cualquier partición P de un arco d–rectificable C(a,b) son arcos d–rectificables, y que la suma de sus d–longitudes es igual a la d–longitud de C(a,b).

La derivada direccional unilateral de una función d(x,^.) en x en la dirección v se denota por F(x, v) y se define por

(Rockafellar 1970). Debido a que la función distancia generalizada satisface la propiedad de identidad, d(x, x)=0, F se escribe como

donde F(x, 0) = 0 para todo .

La función dada por (1) es la derivada direccional unilateral F de la función distancia d. La función F evaluada en un punto x y en una dirección v se denota por F(x, v), y F a lo largo del camino se denota por F(x(s),(s)).

Ahora se va a determinar la d–longitud de un arco C(a,b) en términos de F, suponiendo que C(a,b) es clase C¹ y además d–rectificable.

Como se verá, esta última suposición resulta redundante. Sea una representación paramétrica clase C¹ de C(a,b).

Cualquier conjunto ordenado de puntos interiores de determina una partición no trivial (a = s₀ ,s₁,s₂,..., s_k+1 = b) de [a,b], y una partición no trivial P = (a = x (s₀), x(s₁), x(s₂),..., x(s_k), x(s_k+1)=b) del arco C(a,b). Por tanto, la d–longitud de P es

Supóngase que F(x, v) es una función continua sobre su dominio. Puesto que x(t) y (t) son funciones continuas, entonces F(x(t), x(t)), es una función continua y acotada en [a, b] y por tanto, integrable. Debido a la existencia de F(x(t), x(t)) en para todo ε > 0 existe Δs > 0 tal que

para toda

Esto puede ser aplicado a una partición

Por tanto, para todo ε > 0 existe a una partición P_ε de C(a,b) tal que

para toda para todo refinamiento P de P_ε. Por tanto,

 εΔs_i

se cumple. Puesto que

se obtiene

para toda

La última condición es también válida si se reemplaza ε (b – a) por ε/2. Puesto que se supone que C(a,b) es un arco d–rectificable, para todo ε>0 existe una partición P_ε de C(a,b) tal que

para toda y

se satisfacen para todo refinamiento P de P_ε.

Por tanto, para toda ε > 0, existe una partición P_ε de C(a,b) tal que

para todo refinamiento P de P_ε. Por tanto,

(Sagan, 1974). Para todo arco C(a,b) clase C¹, el integrando anterior, F(x(s),(s)), es una función continua en [a, b], y por tanto L está bien definida y C(a,b) es d–rectificable.

Por tanto, la suposición de que C(a,b) es d–rectificable resulta redundante. Entonces se ha demostrado el siguiente teorema:

Teorema 1

(Determinación de la d–longitud de un arco d–rectificable)

Si la función distancia d: tiene una derivada direccional unilateral continua, F: entonces todo arco C(a,b) clase C¹ es d–rectificable y su d–longitud está dada por

donde es una representación paramétrica clase C¹ de C(a,b).

Q.E.D.

El siguiente teorema establece propiedades importantes de la derivada direccional unilateral F de una función distancia d.

Estas propiedades son útiles en el modelado de funciones distancia.

(Propiedades de la derivada direccional unilateral F de una función distancia d)

Sea d: una función distancia y F la derivada direccional unilateral de d, dada por (1). Entonces se tiene:

b) La función F es positivamente homogénea de grado uno: P(x,αv) = αF(x, v) para toda α > 0.

c) Para n >2, Fx(s), x(s)) no depende explícitamente del parámetro s del camino.

d) La d–longitud de un arco d–rectificable no depende de su representación paramétrica.

e) Si d cumple la desigualdad del triángulo, entonces F(x, v) es una función convexa en v para cada x: F(x,αv + (1–α )w) < α F(x, v) + (1 –α) F(x, w) para toda

Demostración

a) Inmediato de la definición de F y de que d(x,x) = 0 para todo .

c) La derivada direccional unilateral F a lo largo del camino x: [a, b] —R ⁿ, dada por

no depende explícitamente de s.

d)  La d–longitud de un arco d–rectificable está dada por (2). Sea s = s(t) una transformación de x(t) que preserva la orientación. Por tanto ds/dt>0 y s(t) es una función invertible. La homogeneidad positiva de F y ds/dt > 0 implican que

Puesto que F no depende explícitamente del parámetro s, entonces F(x(s),(s))ds es invariante bajo la transformación s = s(t).

e)  De la ecuación (1) y por el inciso (b),

Q.E.D.

Arcos inducidos por una función distancia d

Nuestra definición de d–longitud de arco permite deducir la existencia de ciertos arcos caracterizados por la función distancia d, que les llamamos arcos d–inducidos. En esta sección definimos arco inducido por una función distancia d.

Sea d: una función distancia. Decimos que un arco C(a,b) es d–inducido si todas sus particiones tienen la misma d–longitud.

Por la definición dada de longitud de arco, todo arco d–inducido C(a,b) es d– rectificable, y su d–longitud es igual a la d–longitud de su partición trivial, l_d (C(a,b)) = d(a, b).

Es inmediato que cada subarco de un arco d–inducido es un arco d–inducido.

Equivalentemente, C(a,b) es un arco d–inducido si la d–longitud de toda partición de C(a,b), P = (a = x₀, x₁, x₂,..., x_k, x_k+1 = b), con k >0, es igual a la d–distancia de a a b,

Es inmediato que un arco C(a,b) es d–inducido si, y sólo si, la restricción de d a C(a,b) cumple la igualdad del triángulo respecto del punto final b,

donde x: es una representación paramétrica de C(a,b).

Premétricas y arcos mínimos

Si una función distancia no satisface la desigualdad del triángulo, los arcos mínimos no necesariamente son arcos inducidos y el concepto tradicional de que la distancia desde un punto hasta otro es igual a la longitud del arco "más corto" que los conecta, no es válido. En esta sección definimos premétrica, la cual es una función distancia que cumple la desigualdad del triángulo, y se dan dos teoremas importantes para el modelado de premétricas.

Esto es de interés porque, en general, las funciones distancia que intervienen en el modelado de problemas de la vida real cumplen la desigualdad del triángulo; en estos casos, los arcos mínimos sí coinciden con los arcos inducidos y se pueden determinar mediante un problema de cálculo variacional.

Una función distancia d que cumple la desigualdad del triángulo (para toda + d (c, b)) la llamamos premétrica.

Una función distancia es completa si todo par ordenado de puntos a, b en Rⁿ está conectado por un arco d–inducido.

La última afirmación implica que d y F contienen la "misma información", donde d proporciona "información global", ya que su valor depende de dos puntos localizados arbitrariamente en Rⁿ, y F proporciona "información local" porque su valor depende del punto y la dirección considerados.

Es inmediato que una función distancia satisface la desigualdad del triángulo, d(a, b) < d(a, c) + d(c,b) para toda , si y sólo si, para toda sucesión P = (a = x₀, x₁, x₂,..., x_k, x_k+1 = b) la d–distancia entre los puntos extremos P es menor o igual que la d–longitud de la sucesión de P, es decir, si y sólo si

para toda P = (a = x₀, x₁, x₂,..., x_k, x_k+1 = b).

Sea una función distancia tal que su derivada direccional unilateral F es una función continua. Si x: es un camino clase C¹ de a a b que resuelve

entonces se dice que la imagen de , es un arco de mínima d–longitud o arco d–minimal. Por las propiedades de las integrales, todos los subarcos de un arco d–minimal son arcos d–minimales.

Teorema 3

(Para cualquier premétrica los arcos d–inducidos son arcos d–minimales)

Si es una premétrica con una derivada direccional unilateral F(x, v) continua en x para cada , entonces:

a) F: es continua, y por tanto, la longitud de arco de C(a,b) está dada por (2);

b) Si P, son dos particiones de un arco C(a,b), tales que P es un refinamiento de Q, entonces

c) Para todo arco C(a,b) clase C¹, l_d(C(a,b)) =sup:}

d) para toda partición [C(a,b)] de un arco d–rectificable clase C¹;

e) Para todo arco C(a,b) clase C¹, d(a,b) = l_d(C(a,b)) si y sólo si C(a,b) es un arco d–inducido;

f) Todo arco d–inducido es un arco d–minimal;

g) Si d es completa, entonces

donde el mínimo se alcanza para un arco d–inducido de a a b.

a) d cumple la desigualdad del triángulo y, por (e) del teorema 2, F(x, v) es una función convexa en v para cada . Por tanto, F es una función continua (Rockafellar, 1970).

b) Se puede probar directamente de la desigualdad del triángulo.

c) Sea C(a,b) un arco clase C¹. Entonces C(a,b) es d–rectificable con una longitud que denotamos por L. Por tanto, para todo ε >0 existe una partición P_ε de C(a,b) tal que para todo refinamiento P de P_ε. En particular, Se tienen dos casos, o bien, El segundo caso se descarta porque si C(a,b) no es un arco d–inducido se llega a una contradicción: existe una ε > 0 y una partición Q de C(a,b) (la partición trivial, por ejemplo), de la cual P_ε es un refinamiento y tal que ; esto lleva a , en donde (b) contradice que P_ε es una partición de Q. Por tanto, si d es una premétrica, entonces para toda partición de C(a,b), y la longitud de un arco es L si para todo ε > 0 existe una partición P_ε de C(a,b) tal que para todo refinamiento P de P_ε. Por tanto,

d) Cualquier partición de C(a,b) es un refinamiento de la partición trivial; por (P) < l_d (C (a,b)

e)  Sea C(a,b) clase C¹. Si C(a,b) es un arco d–inducido, entonces d(a,b)=l_d(C(a,b)). Recíprocamente, si d(a,b) = l_d (C(a,b)), entonces por (d) se tiene d(a,b) = y por tanto, C(a,b) es un arco d–inducido.

f) Si C(a,b) un arco d–inducido que no es un arco d–minimal, entonces d(a,b)=l_d(C(a,b)) y l_d (C* (a,b)) <l_d(C(a,b)) para algún arco C*(a,b). Entonces se obtiene l_d(C*(a,b)) Por tanto, todo arco d–inducido es un arco d–minimal.

g) d completa implica que para todo par ordenado de puntos a y b existe un arco d–inducido C(a,b) que los conecta, el cual por (e) tiene d–longitud d(a,b). Por (f), C(a,b) es un arco d–minimal, y por lo que resuelve (3).

Q.E.D.

Por el teorema 1, la longitud de un arco respecto de una función distancia d es la integral (2) de la derivada direccional unilateral F(x, v) de d a lo largo del arco. Exploramos ahora la relación recíproca entre las funciones F y d: Sea la función distancia definida por

donde F₀: es una función dada a priori que satisface las condiciones (a)–(c) del teorema 2, llamada función fundamental de d. El problema de minimización (4) se denomina problema variacional correspondiente a la función F₀.

Interesa ahora saber qué condiciones adicionales debe cumplir F₀ para que ésta sea la derivada direccional unilateral de d dada por (1). En primer lugar, para que la función d esté bien definida, F₀ debe ser tal que el problema de cálculo de variaciones (4) tenga una solución para cada par ordenado .

En segundo lugar, por las propiedades de las integrales de línea, la función d dada por (4), cumple la desigualdad del triángulo, y por tanto, según (e) del teorema 2, F₀ debe ser una función convexa con respecto a la variable dirección.

Ya sea que F = F₀ o F í– F₀, se cumple que

Tenemos entonces el siguiente teorema.

Teorema 4

(Premétrica definida a partir de una función fundamental)

Sea F₀: una función positivamente homogénea de grado uno con F₀ (x, 0) = 0 para todo , y tal que cumple la siguiente condición de solubilidad: para cada par ordenado existe un camino de a a b clase C¹ que resuelve el problema de cálculo de variaciones

Sead: la función dada por (3). Entonces:

a) d es una premétrica sobre Rⁿ, la cual es completa si F₀ es la derivada direccional unilateral de d.

b) F₀ es la derivada direccional unilateral de d si y solamente si, F₀(x, v) es convexa en v.

Demostración

La homogeneidad positiva de F₀ implica que toda transformación continua que preserva la orientación de un camino que resuelve (4) es un camino que también resuelve (4), teniendo ambos caminos la misma imagen.

Por tanto, dados a y b, cada solución de (4) depende sólo del arco y no de la elección particular de su representación paramétrica. Entonces, la función d dada por (3) está bien definida.

a)  Por las propiedades de las integrales, la función d dada por (4) cumple la propiedad de identidad y la desigualdad del triángulo, y por tanto d es una premétrica. Si F = F₀, entonces para cada par ordenado de puntos a y b existe un arco C(a,b) que cumple d(a,b) = l_d (C(a,b)), y por (e) del teorema 3, C(a,b) es un arco d–inducido. Así que d es una premétrica completa.

b) La homogeneidad positiva de F₀ implica que la convexid ad de F₀ se reduce a:

F₀(x, v₁+ v₂) < F₀(x, v₁) + F₀(x, v₂) para todo . Por tanto, la convexidad de F₀ implica que la derivada direccional unilateral F de la función d dada por (1) es la función F₀:

La última igualdad se puede explicar como sigue. En el límite cuando se puede considerar constante, y por tanto, el integrando F₀ ( x(s)), (s)) sólo depende de (s). Debido a la convexidad de F₀, la integral alcanza su valor mínimo si (s) tiene la dirección de v en todos los puntos a lo largo del arco que va de x a x + vh. Por tanto, el integrando F₀(x(s),(s)) permanece constante a lo largo del arco que va de x a x + vh y toma el valor F₀(x, v). Para demostrar la afirmación recíproca, supóngase que la función F₀ que define a d a través de (4) es igual a la derivada direccional unilateral de d. Por (a) d es una premétrica, es decir, d cumple la desigualdad del triángulo, y por (e) del teorema 2, F₀ es una función convexa.

Q.E.D

El teorema 3 expresa que para toda premétrica con derivada direccional unilateral continua, la distancia de un punto a otro es igual a la d–longitud del arco más corto que los conecta, y el teorema 4 establece que si la d–distancia desde un punto hasta otro se define como "el mínimo de la longitud de los arcos que los conectan", entonces la función distancia resultante es una premétrica.

Cabe mencionar que en la métrica de Finsler, las condiciones sobre la función fundamental F₀ son más restrictivas que en el teorema 4, pide que F₀(x, v) sea estrictamente convexa, no negativa y suave sobre su dominio (Anastasiei, 2004 y Chern, 2005).

Conclusiones

Se propone una definición de función distancia generalizada como una función binaria que cumple la propiedad de identidad, pero que no requiere satisfacer la desigualdad del triángulo ni las propiedades de simetría y no negatividad requeridas por las métricas, como es el caso de las métricas Lp y sus combinaciones lineales positivas usadas tradicionalmente en el modelado de funciones distancia. También se definió la longitud de arco, la cual permite asociar longitudes de arco a funciones distancia generalizadas. Se encontró que toda función distancia generalizada d determina ciertos arcos, los cuales satisfacen una ley de conservación de las d–distancias. Se demostró que para cualquier premétrica (función distancia que cumple la desigualdad del triángulo), la distancia desde un punto hasta otro se puede expresar como el mínimo de la integral de línea de su derivada direccional unilateral para los caminos que unen dichos puntos. Esta relación entre las premétricas y sus derivadas direccionales unilaterales asegura que cualquier premétrica se puede definir por su derivada direccional unilateral a través de un problema de cálculo de variaciones.

Referencias

Anastasiei M. Finsler Vector Bundles–Metrizable Connections. Periodica Mathematica Hungarica, 48 (1–2): 83–91.2004.        [ Links ]

Chern S. and Shen Z. Riemann–Finsler Geometry. World Scientific. 2005. Pp 1.        [ Links ]

Rockafellar T. Convex Analysis. Princeton University Press. 1970. Pp. 213.        [ Links ]

Sagan H. Advanced Calculus of Real–Valued Functions of a Real Variable and Vector–Valued Functions of a Vector Variable. Houghton Mifflin Company. Boston. 1974. Pp. 160.        [ Links ]

Semblanza de los autores

Hérica Sánchez–Larios. Realizó la maestría y el doctorado en ingeniería (Investigación de operaciones), ambos en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Trabajó en PEMEX, fue instructora de cursos sobre instrumentación de laboratorios en CONACYT, y ha impartido clases en diversas universidades. Actualmente es investigadora del Instituto de Ingeniería de la UNAM y profesora en el Programa de Maestría y Doctorado en Ingeniería de la UNAM.

Servio Tulio Guillén–Burguete. Es egresado de la ESIME del IPN. Obtuvo la maestría en ingeniería de control y el doctorado en ingeniería (Investigación de operaciones), ambos en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Laboró en el Sistema de Transporte Colectivo Metro de la Ciudad de México. Es investigador del Instituto de Ingeniería de la UNAM, y profesor en el Programa de Maestría y Doctorado en Ingeniería, así como en la Facultad de Ciencias de la UNAM.