Predicción del rendimiento maderable de Pinus patula Schl. et Cham. a través de modelos de distribución diamétrica

Prediction of Pinus patula Schl. et Cham. timber yield through diameter distribution models

Wenceslao Santiago-García^1* , Héctor M. De los Santos-Posadas¹, Gregorio Ángeles-Pérez¹, José J. Corral-Rivas², José R. Valdez-Lazalde¹, David H. Del Valle-Paniagua³

¹ Postgrado Forestal, Campus Montecillo, Colegio de Postgraduados. Carretera México-Texcoco km 36.5. 56230, Montecillo, Texcoco, Estado de México.

³ Postgrado en Cómputo Aplicado, Campus Montecillo, Colegio de Postgraduados. Carretera México-Texcoco km 36.5. 56230, Montecillo, Texcoco, Estado de México.

Recibido: abril, 2013.
Aprobado: diciembre, 2013.

Resumen

La región de Zacualtipán, Hidalgo, México, se caracteriza por la presencia de rodales coetáneos de Pinus patula Schl. et Cham., una especie maderable de crecimiento rápido con valor económico y ecológico alto. Contar con herramientas silvícolas para predecir su crecimiento y rendimiento es un requisito fundamental para planificar su manejo sostenible. El objetivo de este estudio fue presentar dos sistemas de predicción del rendimiento maderable para P. patula con el enfoque de modelos de distribución en clases diamétricas. En su construcción se usaron datos dasométricos de 126 distribuciones diamétricas, derivadas de 42 parcelas permanentes de muestreo de 400 m², localizadas en el ejido La Mojonera, Municipio de Zacualtipán, Hidalgo. La distribución diamétrica del rodal se estimó mediante la función de densidad de probabilidad (fdp) Weibull (1951) con predicción de percentiles y con el método de distribución libre basado en percentiles. La comparación de medias con la prueba de Tukey (p≤0.05) para las predicciones de volumen total obtenidas con los dos sistemas de distribuciones diamétricas, indica que no hay diferencias significativas entre el volumen total predicho por ambos sistemas. Sin embargo, el sistema basado en la función de densidad de probabilidad Weibull es más sencillo de usar porque sus parámetros son dependientes del diámetro mínimo y del diámetro cuadrático del rodal, y requiere sólo la predicción de dos percentiles. Los modelos de distribución diamétrica presentados permiten estimar la estructura diamétrica de un rodal a medida que cambia su edad. Por tanto, se recomienda su uso como una herramienta de apoyo para planificar el manejo de los rodales de P. patula.

Palabras clave: distribución diamétrica, distribución Weibull, percentiles, predicción implícita.

The region of Zacualtipán, Hidalgo, Mexico, is characterized by the presence of even-aged stands of Pinus patula Schl. et Cham., a fast-growing timber species with high economic and ecological value. Having forestry tools to predict its growth and yield is a fundamental requisite to plan its sustainable management. The objective of this study was to present two prediction systems for timber yield of P. patula stands with the diameter distribution models approach. In their construction, dasometric data from 126 diameter distributions were used, which were obtained from 42 permanent sampling plots of 400 m², located in the Ejido La Mojonera, municipality of Zacualtipán, Hidalgo. Stand diameter distribution was estimated through Weibull's probability density function (pdf) (1951) with percentile prediction and the free distribution method based on percentiles. The means comparison with Tukey test (p≤0.05), for total volume predictions obtained with the two diameter distribution systems, shows that there are no significant statistical differences between the total volume predicted by both systems. However, the system based on Weibull's probability density function is easier to use because its parameters are dependent on the stand's minimum diameter and quadratic mean diameter, and it requires the prediction of only two percentiles. The diameter distribution models presented allow estimating the diameter structure of a stand as it changes with stand age. Therefore, their use is recommended as a support tool for management plans of P. patula stands.

Keywords: diameter distribution, Weibull distribution, percentiles, implicit prediction.

INTRODUCCIÓN

Predecir el crecimiento y el rendimiento de las masas forestales es un requisito fundamental para planificar su manejo a cualquier nivel. Por ello, los responsables del manejo sostenible de bosques deben contar con herramientas cuantitativas silvícolas que les permitan conducir satisfactoriamente la evolución de un rodal hacia cierta estructura meta y lograr un rendimiento sostenido de los productos forestales deseados (García, 1988; De la Fuente et al., 1998). Los sistemas de rendimiento que proveen estimaciones del volumen maderable por clase diamétrica (predicción implícita) son una herramienta de alto valor para la planificación del manejo forestal. Al revelar la estructura del rodal por clase diamétrica, permiten definir los tratamientos silvícolas que se pueden aplicar porque el tamaño de los diámetros determina el uso industrial de la madera, así como el precio de los diferentes productos. Además, la distribución diamétrica es un factor importante en la planeación de la cosecha de madera, porque influye en el tipo de maquinaria de extracción y de transporte a utilizar (Gorgoso et al., 2007).

Como modelos de distribución diamétrica se usan funciones de densidad probabilística como la función de Charlier, la ecuación de Pearl-Reed, SB de Johnson, Gamma, Normal, Lognormal, Beta, logit-logistic, Burr XII y Weibull (Álvarez y Ruiz, 1998; Cao, 2004; Fidalgo et al., 2009). La función de densidad de probabilidades (fdp) Weibull es la más usada desde su introducción al campo forestal por Bailey y Dell (1973), y debido a su eficiencia y relativa facilidad de aplicación es una herramienta clásica de manejo en rodales puros coetáneos (Vanclay, 1994; Magaña et al., 2008). Su forma cerrada y gran flexibilidad es una ventaja porque puede adoptar diferentes formas desde una J invertida hasta distribuciones en forma de campana, con diferentes grados de sesgo; su desventaja principal es su unimodalidad (Bailey y Dell, 1973; Maldonado y Návar, 2002). Borders et al. (1987) generaron un método para caracterizar estructuras diamétricas de rodales que no requieren una distribución probabilística a priori. El método se basa en una distribución uniforme de frecuencias de árboles entre percentiles adyacentes y el número de árboles por unidad de superficie se estima dentro de cada clase diamétrica, usando un sistema de predicción de percentiles.

En México se han generado modelos basados en la fdp Weibull para estimar distribuciones diamétricas en rodales coetáneos y plantaciones de coníferas principalmente, y destacan: Pinus rudis, P caribaea var. hondurensis, P. duranguensis, P. cooperi, P. engelmannii, y P. arizonica (De la Fuente et al., 1998; Montero y Fierros, 2000; Maldonado y Navar, 2002). Sin embargo, el método de distribución libre basado en percentiles aún no ha sido probado.

Los objetivos de este estudio fueron: 1) desarrollar un sistema de predicción del rendimiento maderable con distribución en clases diamétricas basado en la fdp Weibull para Pinus patula Schiede ex Schlechtendal & Chamisso; 2) generar un sistema implícito utilizando el método de distribución libre basado en percentiles; y 3) comparar las estimaciones del rendimiento maderable de ambos sistemas.

Área de estudio y datos dasométricos

Los datos de este estudio corresponden a 126 distribuciones diamétricas, de tres mediciones realizadas cronológicamente en 42 parcelas permanentes de muestreo de 400 m², localizadas en rodales coetáneos de P. patula en el ejido La Mojonera, al sureste del municipio de Zacualtipán, Hidalgo, México (20° 36' 44'' y 20° 37' 49'' N, y 98° 35' 30'' y 98° 37' 46'' O; 2060 m de altitud promedio). Se usó la altura total (A) y el diámetro normal (Dn) de todos los árboles vivos dentro de cada parcela. Las variables de estado del rodal fueron: altura promedio del total del arbolado (A, m), área basal (AB, m² ha⁻¹), número de árboles (NA ha⁻¹), diámetro cuadrático (Dq, cm), diámetro mínimo (Dmin, cm) y volumen (V, m³ ha⁻¹). El diámetro cuadrático corresponde al diámetro del árbol de área basal media: . La altura se obtuvo con una curva altura-diámetro ajustada para tal fin: . El volumen del fuste total para cada árbol se calculó con una función generada por Carrillo et al. (2004): V = exp (−9.7688)×(D²_n×A)^0.9451.

Distribución diamétrica basada en la función de densidad de probabilidades Weibull

Para generar estimaciones de distribución diamétrica con la fdp Weibull se requieren al menos dos percentiles de la distribución diamétrica del rodal. Los percentiles 50 y 90 resultaron eficientes, y se ajustaron como funciones del diámetro cuadrático del rodal (Dq). Así, las ecuaciones de predicción de percentiles son las siguientes:

donde p50 y p90 corresponden a los percentiles 50 y 90 de la distribución diamétrica del rodal, Dq es el diámetro cuadrático del rodal, α y β son los parámetros a ser estimados.

Para la predicción implícita del rendimiento maderable se utilizó el enfoque de distribución sugerido por Clutter et al. (1983). La distribución Weibull triparamétrica está definida por la siguiente función de densidad probabilística:

Los parámetros b y c siempre son positivos. Aunque a puede ser positivo, cero o negativo, en aplicaciones de la distribución diamétrica no debe ser negativo (Clutter et al., 1983).

Esta función define el valor de la densidad de probabilidad asociada con cada posible valor de la variable aleatoria x (el diámetro). La distribución acumulada de forma cerrada de la función es:

Conociendo los parámetros de esta función la proporción de la población comprendida dentro de un cierto intervalo está dada por:

donde P es la proporción de árboles en la categoría diamétrica correspondiente, L es el límite inferior de la categoría diamétrica, U es el límite superior de la categoría diamétrica, X es la categoría diamétrica, exp es la función exponencial; lo demás ya fue definido.

Los parámetros de la distribución Weibull fueron estimados por el método de momentos, según Pienaar y Rheney (1993). Las expresiones usadas fueron las siguientes:

Para el parámetro de localización:

donde es la función Gamma, Dmin es el diámetro mínimo del rodal (cm), ln es el logaritmo natural; lo demás ya se definió previamente.

Distribución diamétrica basada en percentiles

El método de distribución libre para caracterizar estructuras diamétricas se probó con la metodología de Borders et al. (1987). Para ajustar el sistema, éste se formuló a partir de un percentil guía:

p_g+i = ƒ (p_g, atributos del rodal)

donde p_g es el percentil guía en el sistema; p_g+i son otros percentiles del sistema relacionados a p_g, cuando existen j percentiles menores que p_g y k percentiles mayores que p_g.

Con esta metodología el número de percentiles depende de la amplitud de las distribuciones a modelar. En este caso ocho percentiles fueron centrados en el diámetro cuadrático del rodal. El percentil 50 se ajustó mejor al Dq y se usó como percentil guía desde el cual se generó el siguiente sistema de predicción de percentiles:

La proporción de árboles para cada categoría diamétrica en el rodal se estimó con la siguiente ecuación (Borders et al., 1987):

donde N_x es el número de árboles por hectárea en la i-ésima categoría diamétrica; D_i es el límite inferior de la i-ésima categoría diamétrica; D_s es el límite superior de la i-ésima categoría diamétrica; NA es la densidad del rodal en número de árboles por hectárea, P_i, P_i−1, P_j, P_j+1, son los percentiles adyacentes en el sistema (P_i > P_i−1 y P_j < P_j+1), t_i, t_i−1, t_j, t_j+1 son las proporciones de árboles asociadas a los percentiles adyacentes.

Estimación del número de árboles

La predicción del rendimiento maderable con distribuciones diamétricas requiere estimar el número de árboles sobrevivientes por hectárea en el tiempo, y se usó la siguiente función de mortalidad (Santiago-García et al., 2013):

donde NA₂ es el número de árboles sobrevivientes en E₂, NA₁ es el número de árboles en E₁, E₁ y E₂ es la edad (años) inicial del rodal y de proyección, respectivamente.

Diámetro mínimo y diámetro cuadrático

El diámetro mínimo del rodal (percentil cero "p0") es una variable de estado básica para estimar distribución diamétrica con el sistema basado en la fdp Weibull debido a su estrecha relación con el parámetro de localización (a). Para ésto se ajustó una ecuación de proyección basada en el modelo de Chapman-Richards (Montero y Fierros, 2000):

donde Dmin₂ es el diámetro mínimo del rodal a la edad de proyección E₂, D min₁ es el diámetro mínimo del rodal en la edad inicial E₁, β_i son los parámetros a estimar.

El diámetro cuadrático del rodal es otra variable esencial en la predicción del rendimiento maderable a través de sistemas implícitos, para lo cual se generó un modelo compatible para predecir y proyectar el crecimiento de dicha variable en el tiempo:

donde Dq₁ es el diámetro cuadrático del rodal en la edad inicial E₁, Dq₂ es el diámetro cuadrático del rodal a la edad de proyección E₂, Hd₁ es la altura dominante en E₁, Hd₂ es la altura dominante en E₂; lo demás ya se definió.

Prueba de bondad de ajuste de la distribución Weibull

Para conocer la bondad de ajuste de la fdp Weibull a las estructuras diamétricas de los rodales se usó la prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS), que permite detectar la máxima diferencia entre la distribución muestral (real) y la estimada (teórica), es decir, es válida sólo si los parámetros de la fdp Weibull son conocidos para cada distribución diamétrica (Torres-Rojo et al., 1992). En la prueba de KS se usaron los niveles de significancia α=0.05, 0.10 y 0.20 para contrastar el número de parcelas no ajustadas a la fdp Weibull de acuerdo con cada criterio.

Prueba de comparación de medias

Las predicciones de volumen total obtenidas con los dos sistemas de distribuciones diamétricas construidos se compararon con la prueba de Tukey (p≤0.05), con la hipótesis nula de igualdad de promedios (Montgomery, 2011).

Los parámetros de las ecuaciones que predicen los percentiles 50 y 90 de la distribución diamétrica del rodal en el sistema implícito basado en la fdp Weibull, y en la ecuación que proyecta el diámetro mínimo del rodal, se ajustaron con el método de mínimos cuadrados no lineales. El modelo compatible de crecimiento para el diámetro cuadrático, y el sistema implícito basado en percentiles, fueron ajustados simultáneamente a través de regresión aparentemente no relacionada (SUR), con el procedimiento MODEL de SAS/ETS^® (SAS Institute Inc., 2008). La técnica de estimación de parámetros SUR produce estimadores consistentes y eficientes en presencia de correlaciones contemporáneas en un sistema de ecuaciones (Borders et al., 1987; Borders y Patterson, 1990; Galán etal., 2008).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Sistema implícito basado en la fdp Weibull

Los resultados de la prueba de KS (Cuadro 1) permitieron conocer la bondad de ajuste de la fdp Weibull a las estructuras diamétricas de los rodales de P. patula estudiados.

En la prueba normalmente se emplea α=0.05, aunque Pece et al. (2000), García et al. (2002) y Gorgoso et al. (2007) usaron α=0.20, dando un mayor nivel de exigencia al contraste. Al respecto, Pece et al. (2000) mencionan que este nivel reduce las desviaciones mínimas permitidas para el no rechazo de la concordancia. Considerando el criterio más exigente (α=0.20), la fdp Weibull se ajustó exitosamente en más del 90% de los casos a la distribución diamétrica observada. Los criterios estadísticos de bondad de ajuste y los parámetros estimados de las ecuaciones que predicen percentiles de la distribución diamétrica de los rodales de P. patula, se presentan en los Cuadros 2 y 3, respectivamente. Los parámetros de la fdp Weibull son dependientes de las variables de estado: diámetro mínimo y diámetro cuadrático del rodal; por tanto, al proyectarse dichas variables en el tiempo se "recupera" o conoce el valor de estos parámetros a una edad de interés.

La eficiencia de los percentiles 50 y 90 de la distribución diamétrica del rodal reflejada en su bondad de ajuste, se consideró como un factor para su selección en el cálculo del parámetro de forma (c) de la fdp Weibull. La elección de los percentiles depende de la muestra, por lo que una pareja de percentiles al estar más centrada ayuda a reducir el sesgo en la predicción. Pienaar y Rheney (1993) y Montero y Fierros (2000) usaron los percentiles 24 y 93 para calcular el parámetro c, mientras que García et al. (2002) señalan que con la pareja de percentiles 40 y 82 pueden conseguirse ajustes bastante eficaces.

La predicción del rendimiento maderable a través de la fdp Weibull implica determinar las frecuencias de árboles por categoría diamétrica (Figura 1).

Sistema implícito basado en percentiles

Para obtener el sistema implícito basado en percentiles, el mejor ajuste al Dq fue con el percentil 50, por lo que se usó como percentil guía desde el cual se generó el sistema de predicción de percentiles. Los criterios estadísticos de bondad de ajuste y los parámetros estimados de las ecuaciones que integran el sistema se presentan en los Cuadros 4 y 5, respectivamente.

El buen ajuste y la significancia de los parámetros, hacen robusto y confiable el modelo para la predicción del percentil guía. El sistema de predicción de percentiles muestra un buen nivel de precisión, explicando 74.0 a 98.7% de la variación total observada en la distribución diamétrica. En este caso, ocho percentiles centrados en el Dq fueron eficientes para integrar el sistema implícito de predicción de percentiles. Borders et al. (1987) y Borders y Patterson (1990) usaron un sistema de 12 percentiles para describir las estructuras diamétricas de Pinus elliottii Engelm. y Pinus taeda L. respectivamente, logrando resultados satisfactorios. Con el sistema desarrollado es posible determinar la proporción de árboles para cada categoría diamétrica en el rodal (Figura 2).

Para realizar predicciones del rendimiento maderable con este sistema se requieren los mismos modelos adicionales (ecuaciones de altura-diámetro y volumen individual) usados en el sistema implícito basado en la fdp Weibull, excepto la ecuación que proyecta el diámetro mínimo del rodal. La interrelación de estas ecuaciones hace posible la predicción del rendimiento maderable por categoría diamétrica (Figura 3).

Comparación de los sistemas

No hubo diferencia estadística significativa (p>0.05) en la predicción del rendimiento maderable por categoría diamétrica entre los dos sistemas evaluados. Sin embargo, las estimaciones del sistema Weibull para las clases de productos mayores a 30 y 35 cm son más conservadoras respecto al sistema de distribución libre. En las categorías diamétricas inferiores, los pronósticos de rendimiento son análogos (Figura 3).

De acuerdo con Borders et al. (1987) y Borders y Patterson (1990), la flexibilidad del método basado en percentiles permite modelar varias clases de distribuciones diamétricas como: J invertida, unimodal y multimodal. Bailey y Dell (1973), Vanclay (1994) y Maldonado y Návar (2002), mencionan que la fdp Weibull es bastante flexible, al adoptar diferentes formas, desde una J invertida hasta distribuciones en forma de campana, pero su unimodalidad es la desventaja principal. No obstante, Torres-Rojo (2005) mezcló distribuciones Weibull y adaptó con éxito esta distribución para modelar distribuciones diamétricas multimodales. Mediante una comparación en datos independientes del comportamiento del método de percentiles con respecto a la fdp Weibull, Kangas y Maltamo (2000) encontraron resultados más fiables al usar el método de percentiles para modelar estructuras diamétricas en Pinus sylvestris L.

Las ecuaciones obtenidas tienen su mejor comportamiento en el rango de 8 a 27 años de edad del rodal, por lo que pronósticos fuera de este rango deben tomarse con reservas. Mediciones futuras permitirán ampliar el rango de validez de las ecuaciones, así como establecer nuevos patrones de crecimiento y mortalidad natural de los rodales de P. patula en el municipio de Zacualtipán, Hidalgo. Los sistemas de crecimiento implícitos pueden complementarse con una ecuación de ahusamiento-volumen, que permita realizar la distribución de productos a mayor detalle, porque el nivel de información que proporciona considera al árbol individual.

CONCLUSIONES

Ambos modelos presentados permiten obtener buenas predicciones del rendimiento maderable por categoría diamétrica al nivel de unidad de superficie. Sin embargo, el sistema basado en la función de densidad de probabilidad Weibull es más sencillo de utilizar porque sus parámetros son dependientes del diámetro mínimo y del diámetro cuadrático del rodal, y requiere únicamente de dos percentiles. En cambio, el sistema de distribución libre basado en percentiles impone un algoritmo más complejo para calcular la frecuencia de árboles por categoría diamétrica, complicándose sobre todo en las categorías centrales de un determinado rango de tamaños. Estos modelos permiten representar la estructura diamétrica de un rodal en términos numéricos, a través de una tabla de rendimiento, la cual muestra el cambio de estructura de una masa forestal a medida que cambia su edad, por lo que constituyen una herramienta de gran valor para planificar el manejo de los rodales de Pinus patula en el municipio de Zacualtipán, Hidalgo, México.

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