Comparación entre un modelo hidrodinámico completo y un modelo hidrológico en riego por melgas

Comparison between a hydrodynamic full model and a hydrologic model in border irrigation

Vladimir Castanedo¹*, Heber Saucedo¹, Carlos Fuentes²

¹ Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. Paseo Cuauhnáhuac 8532, Progreso. 62550. Jiutepec, Morelos. * Autor responsable.

Recibido: mayo, 2012.
Aprobado: febrero, 2013.

Resumen

La práctica del riego por gravedad hace necesario disponer de un criterio para el diseño de riego por gravedad, para conseguir un manejo más eficiente del agua en la producción agrícola. Por tanto, se presenta una comparación entre el modelo hidrodinámico completo y el modelo hidrológico en riego por melgas. Para reducir las variaciones, originadas por diferencias en la lámina infiltrada, obtenidas con las ecuaciones de Green-Ampt y de Richards utilizadas en los modelos hidrológico e hidrodinámico completo, se realizó el ajuste del parámetro de succión en el frente de humedecimiento de la ecuación de Green-Ampt; con ello se reproduce el cambio de la lámina infiltrada obtenida con la ecuación de Richards. La comparación se efectuó a partir del análisis de los perfiles de flujo superficial y subsuperficial, que se presentan en el riego, y de la distribución final de la lámina infiltrada. Se encontraron diferencias entre los elementos analizados, atribuibles al empleo de una ecuación de cantidad de movimiento general en el modelo hidrodinámico completo. Las diferencias en los perfiles de flujo influyen en la distribución final de la lámina infiltrada y, por tanto, en el gasto óptimo de riego. Así, al analizar su comportamiento para los suelos de triángulo de texturas en los que es conveniente la aplicación del riego por melgas, se observó que la diferencia entre los gastos óptimos de riego, proporcionados por el modelo hidrológico y el modelo hidrodinámico completo, crece con el incremento del contenido de arcilla en el suelo.

Palabras clave: modelo hidrodinámico completo, modelo hidrológico, riego por melgas.

Abstract

Keywords: full hydrodynamic model, hydrological model, border irrigation.

INTRODUCCIÓN

Recientemente se ha reconocido la importancia de la función del suelo en la modelación del riego por gravedad. En los primeros modelos e incluso en varios de los actuales se incluye su efecto a través de leyes de infiltración simplificadas, que tienen deficiencias en la representación físico-matemática del proceso (Saucedo etal., 2005). Entre los modelos simplificados está el modelo hidrológico RIGRAV desarrollado por Rendón et al. (1997), es usado ampliamente en México para el diseño de riego por gravedad y se basa en el empleo de la ecuación de continuidad para la modelación de las cuatro fases del riego. Entre los modelos complejos está el hidrodinámico completo, desarrollado por Saucedo et al. (2005); en él se usan las ecuaciones de Saint-Venant para describir el flujo del agua en superficie libre sobre el suelo durante el riego, y la de Richards para modelar el proceso de infiltración del agua en el suelo.

El objetivo de este estudio fue comparar los resultados obtenidos con un modelo hidrológico (Rendón et al., 1997) y con un modelo hidrodinámico completo (Saucedo et al., 2005) para la determinación del gasto óptimo de riego en diez tipos de suelo y tres láminas de riego. Se consideró el gasto óptimo de riego como aquel con coeficiente de uniformidad máximo, manteniendo los valores de las eficiencias de aplicación y de requerimiento de riego más elevados.

MATERIALES Y MÉTODOS

Modelo hidrológico

Si se ignora la ecuación de cantidad de movimiento y se resuelve solamente la ecuación de continuidad se obtiene el modelo de balance de volumen o modelo hidrológico. La ecuación de continuidad se escribe como:

donde q(x, t)=U(x, t) h(x, t) es el gasto por unidad de ancho de melga [L² T^-1], x es la coordenada espacial en la dirección principal del movimiento del agua en la melga [L], t es el tiempo [T], U es la velocidad media [L T^-1], h es el tirante de agua [L] e i es la lámina infiltrada [L].

La versión integral de la ecuación de continuidad (1) escrita para el caso de una melga es:

donde x_f es la posición del frente de avance en el tiempo[L] y Q es el gasto de riego de la melga [L₃ T^-1]. Si se considera un valor medio del tirante y el suelo homogéneo se tiene:

donde τ es el tiempo de infiltración definido como τ=t-t_x, siendo t_x , el tiempo que tarda el frente de avance en llegar al punto situado a la distancia x.

Para resolver numéricamente la ecuación (1), se tiene en cuenta que ‾h es conocido y que la función de infiltración l(τ) puede asignarse conforme al modelo de Green-Ampt. Para el cálculo ‾h de la expresión: ‾h =0.8 h_n puede usarse (Rendón et al., 1997), donde h_n es el tirante normal para régimen permanente y puede estimarse con base en una ley potencial de resistencia hidráulica propuesta por Fuentes et al. (2004). Así, la expresión para el cálculo del tirante normal es: h_n=ωQ_o)/(gJ/_o)]^1/3, con: ωJ y J *=1/k^1/d donde v es el coeficiente de viscosidad cinemática [L²T^-1], k es un factor adimensional, J_o es la pendiente topográfica de la melga [LL^-1], g es la aceleración gravitacional [LT^-2] y d es la potencia de la ley de resistencia hidráulica, a partir de la cual se pueden deducir la de Chézy con d=1/2 y la de Poiseuille con d=1.

Green-Ampt (1911) tomaron como base la ley de Darcy para deducir una ecuación simple para la infiltración vertical del agua en el suelo, con las siguientes hipótesis: 1) el perfil de humedad inicial en una columna de suelo es uniforme: θ= θ_o , 2) la presión del agua en la superficie del suelo es hidrostática: ψ=h≥0, donde h es el tirante del agua, 3) existe un frente definido de humedecimiento y caracterizado por una presión negativa ψ= ψ_f<0;ψ_f; es denominado presión de frente de humedecimiento; 4) la región entre la superficie del suelo y el frente de humedecimiento (z_f) está completamente saturada (flujo en pistón): θ = θ_s K = K_s. La combinación de estas hipótesis, de la ecuación de continuidad y de la ley de Darcy, permiten obtener la expresión siguiente para la lámina infiltrada (Fuentes, 1992):

Modelo hidrodinámico completo

Saucedo et al. (2005) presentaron un esquema numérico para el acoplamiento de las ecuaciones de Saint-Venant y Richards en el riego por melgas. La solución de las ecuaciones de Saint-Venant se aproxima con un esquema lagrangiano en diferencias finitas y para la ecuación de Richards se utilizan elementos finitos para la integración en el espacio y diferencias finitas implícitas para la integración en el tiempo. A partir del análisis de las formas de aproximación de las derivadas espaciales y temporales y de la forma de cálculo de los coeficientes de la ecuación de cantidad de movimiento se deduce una solución numérica monótona; para ello se aplica en la discretización de la ecuación de momentum tres aspectos: 1) las derivadas en el espacio y la pendiente de fricción en una celda de cálculo se aproximan adelante en el tiempo, 2) las derivadas en el tiempo se aproximan mediante una forma ponderada en tiempo y espacio, 3) los coeficientes son calculados en el tiempo anterior. La solución numérica de las ecuaciones de Saint-Venant para las fases de avance, almacenamiento y consumo se aproxima con un esquema de paso de tiempo constante, y para la fase de recesión se usa un esquema de paso de espacio fijo.

Flujo del agua en el suelo: ecuación de Richards

El riego ocurre en tres dimensiones, así el flujo del agua en el suelo lo describe la ecuación de Richards en su forma tridimensional. Sin embargo, por el esfuerzo computacional requerido es conveniente aceptar la hipótesis de que el fenómeno se efectúa en planos paralelos al desarrollo de la melga y usar la forma bidimensional de la ecuación de Richards (Richards, 1931):

que se resuelve sobre el dominio e solución mostrado en la Figura 1.

Condiciones límites

Las condiciones de frontera correspondientes pueden considerarse como sigue: ‾Ax_f frontera tipo Dirichlet con potencial prescrito, utilizando las ecuaciones de Saint-Venant, ‾x_fB , ‾BC y ‾DA fronteras tipo Neumann con flujo nulo, ‾CD frontera bajo gradiente unitario:

Características hidrodinámicas

Para la solución de la ecuación de Richards es indispensable representar las propiedades hidrodinámicas del suelo, expresar el potencial de presión (ψ) como una función del contenido volumétrico de agua (θ) y la conductividad hidráulica K como una función de 6. Como señaló Fuentes et al. (1992), en estudios experimentales puede ser conveniente usar la combinación de la curva de retención propuesta por van Genuchten (1980), con la restricción de Burdine (1953) y la curva de conductividad hidráulica propuesta por Brooks y Corey (1964), ya que satisfacen las propiedades integrales de la infiltración y facilitan la identificación de sus parámetros. La curva de retención propuesta por van Genuchten (1980) es descrita por: (θ(ψ)-Θ_r)/(θ_s-θ_r)= [1 - (Φ(Φ_d)ⁿ]^-m, donde Φ_d es un valor característico de la presión del agua en el suelo, m y n son dos parámetros empíricos relacionados por la restricción de Burdine (1953): m=1-2/n, con + es el contenido volumétrico de agua del suelo a saturación efectiva y θ_r es el contenido volumétrico de agua residual. La conductividad hidráulica propuesta por Brooks y Corey (1964) se representa como: K(θ)=K_s [(θ-θ_r)/(θ_s-θ_r)]^η, donde η es un parámetro de forma.

Cálculo de la lámina infiltrada

La lámina infiltrada, necesaria para resolver numéricamente las ecuaciones de Saint-Venant se calcula como:

l(x_i,t) = ζ₀^F θ(x_i,z,t) - θ_o (x_l,z,0) dz , donde F es la posición del frente de humedecimiento y θ₀ es el contenido volumétrico de agua inicial en la columna de suelo localizada en una posición x., dichas posiciones corresponden con los puntos donde se resuelven las formas discretas de las ecuaciones de Saint-Venant.

Solución numérica de la ecuación bidimensional de Richards

Flujo del agua sobre la superficie del suelo: ecuaciones de Saint-Venant

La descripción del flujo del agua en el riego por melgas requiere la ecuación de Richards para describir el flujo del agua en el suelo y las ecuaciones de Saint-Venant para el flujo del agua sobre la superficie del suelo. Su acoplamiento permitirá conocer las formas de los perfiles de flujo superficial y la distribución de los potenciales de presión en el suelo según avance el riego. El tirante proporcionado por la solución numérica de las ecuaciones de Saint-Venant se utiliza para definir una condición de frontera tipo Dirichlet para la ecuación de Richards, cuya solución numérica permite el cálculo de la lámina infiltrada necesaria para la solución de las ecuaciones de Saint-Venant, y por lo tanto es un procedimiento iterativo. El esquema numérico para resolver las ecuaciones de Saint-Venant completas tiene como base el esquema presentado por Katopodes y Strelkoff (1977), para la forma de inercia cero de las ecuaciones de Saint-Venant. En una melga la relación entre su anchura y el tirante de agua permite considerar las ecuaciones correspondientes al escurrimiento sobre una superficie de anchura infinita (Woolhiser, 1975):

Para la conservación de la masa se utiliza la ecuación (1).

La ecuación de cantidad de movimiento es de la forma:

donde J_o es la pendiente topográfica de la melga [LL^-1], J es la pendiente de fricción [LL^-1], VI=δI/δTdT es el flujo de infiltración [LT^-1], es decir el volumen de agua infiltrado en la unidad de tiempo por unidad de longitud de la melga, el parámetro adimensional β=1 -α con α=1 - U_ix | Uy U_ix es la proyección en la dirección del movimiento de la velocidad de salida de la masa de agua debida a la infiltración.

Condiciones límites

Las condiciones inicial y de frontera que deben sujetar a las ecuaciones de Saint-Venant para modelar la fase de avance en el riego por melgas son las siguientes:

La ecuación de continuidad se discretiza con un esquema lagrangiano en diferencias finitas y considerando la deformación de la frontera del dominio de solución para seguir el frente de avance. La Figura 2 presenta la disposición de las celdas para expresar en diferencias finitas las ecuaciones de Saint-Venant. La forma discreta de la ecuación de continuidad es:

Para obtener formas monótonas de los perfiles de flujo superficial se propone la siguiente forma discreta de la ecuación de momentum:

El desarrollo del esquema numérico para las fases de almacenamiento, consumo y recesión, se obtuvo por un procedimiento similar al de la fase de avance; la disposición de la malla lagrangiana se presenta en la Figura 2.

Eficiencias en el riego por melgas

La eficiencia de aplicación (E_a) se define como: E_a=V_r/V_p, donde V_r es el volumen requerido para satisfacer las necesidades de agua en la zona de raíces del cultivo [L³] y V_pes el volumen de proyecto [L³]. V_r se obtiene con la expresión: V_r= L_n A_r, donde L_n es la lámina de riego neta [L], definida con los requerimientos de agua del cultivo, y A_t es la superficie de riego considerada [L²]. El volumen de proyecto se calcula como: V_p - Q_p T_r, donde Q_pes el gasto de proyecto [L³T^-1] y T_r es el tiempo requerido para el riego [T]. Si en la expresión que define la eficiencia de aplicación el numerador y el denominador se dividen entre A_r, se obtiene: E_a = L_n / L_b, donde L_b es la lámina de riego bruta y L_n la lámina de riego neta.

La eficiencia de requerimiento de riego (E_r ) se define como: E_r = V_v / V_r , donde V_r es el volumen requerido por el cultivo y V_d el volumen disponible [L³]. La eficiencia indica la manera en que se satisfacen las necesidades de agua del cultivo.

Sería ideal que todas las plantas recibieran la misma cantidad de agua, con el riego, aplicando una lámina uniforme en toda la longitud de la melga. Para evaluar la uniformidad en la distribución de la lámina infiltrada se utiliza el coeficiente de uniformidad de Christiansen denotado por CUC, y calculado como:donde I_ies la lámina infiltrada en el punto i[L], Î es la lámina infiltrada media [L] y n es el número de puntos considerados para efectuar el cálculo. Generalmente se considera que un CUC mayor o igual que 0.80 es aceptable en el riego por melgas (Rendón et al. 1997).

Los modelos descritos se utilizan para la determinación del gasto, para éste se obtiene la eficiencia de uniformidad mayor y se mantienen valores de las eficiencias de aplicación y de requerimiento de riego lo más elevado posible; es decir, para determinar el gasto óptimo de riego con láminas de riego y longitudes de melga diferentes. En este estudio, los parámetros en los dos modelos se determinaron con los valores relacionados con el triángulo de texturas reportados por Rawls y Brakensiek (1983); en el caso del modelo hidrológico la determinación fue directa, y en el caso del modelo hidrodinámico completo la determinación de parámetros se realizó de acuerdo con Saucedo et al. (2005).

La eficiencia de uniformidad medida a través del coeficiente de uniformidad de Christiansen (CUC) puede obtenerse para diferentes combinaciones de longitud y gasto de aporte en la cabecera de la melga. Para cada longitud de melga es posible determinar el gasto de aporte que produce un máximo en el coeficiente de uniformidad manteniendo los valores más elevados de las eficiencias de aplicación y de requerimiento de riego, el gasto así determinado se denomina gasto óptimo. Al correlacionar diversos valores de gastos de aporte óptimos y longitudes de melga es posible establecer que existe una proporción básicamente lineal entre ambas variables para un suelo considerado homogéneo. La relación del gasto óptimo y la longitud de la melga para el suelo franco-arcilloso, láminas aplicadas de 8, 10 y 12 cm se muestra en la Figura 3.

En los dos modelos comparados en este estudio los parámetros se determinaron con los valores relacionados con el triángulo de texturas reportados por Rawls y Brakensiek (1983) (Cuadro 1).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

La aplicación del modelo hidrodinámico completo y el modelo hidrológico en riego por melgas, en términos de los perfiles de flujo y la distribución final de la lámina infiltrada, se realizó para diez suelos del triángulo de texturas. Para propiciar el cambio en el tiempo de la lámina infiltrada, según la ecuación de Green-Ampt para el modelo hidrológico y la ecuación de Richards para el modelo hidrodinámico completo, se ajustó el parámetro hf de la ecuación de Green-Ampt para reproducir el cambio de la lámina infiltrada según la ecuación de Richards (Figura 4).

Después de ajustar los parámetros de la ecuación de Green-Ampt se la compararon los perfiles de flujo para un tiempo durante el riego. A pesar del ajuste para el cambio de la lámina infiltrada notablemente similares en ambos modelos, existieron diferencias entre los perfiles (Figura 5). Esto pudo deberse principalmente al uso de la ecuación de cantidad de movimiento en el modelo hidrodinámico completo y a que en el modelo hidrológico solamente se usó la ecuación de conservación de la masa.

Se compararon las distribuciones finales de las láminas infiltradas obtenidas mediante la aplicación del modelo hidrodinámico completo y del modelo hidrológico. Se presenta el ejemplo para un suelo tipo franco arcilloso (Figura 6).

El error cuadrático medio entre las distribuciones finales de la lámina infiltrada se calculó con la siguiente ecuación:donde: Lr_MHCj es la lámina de riego calculada con el modelo hidrodinámico completo y Lr_MH es la lámina de riego calculada con el modelo hidrológico y la media de errores se calcularon con:(Cuadro 2). La diferencia entre las distribuciones finales de la lámina infiltrada calculadas con ambos modelos crece con el incremento del contenido de arcilla en el suelo. El valor de la media de los errores indica que el MH subestima los resultados del MHC para tres tipos de suelo con predominancia de arcilla, y los sobrestima en los demás casos.

El valor del gasto óptimo de riego conocido como gasto unitario (C) y el tiempo de riego (Tr) para tres láminas de riego se calculó para diez tipos de suelos del triángulo de texturas, de manera que para (Cuadros 3 y 4).

La diferencia entre los gastos óptimos de riego proporcionados por el modelo hidrológico y el modelo hidrodinámico completo crece conforme se incrementa el contenido de arcilla en el suelo, el incremento en la diferencia se debe a que la hipótesis del flujo en pistón, es decir de la existencia de un frente de humedecimiento bien definido, empleada para la deducción de las ecuación de Green-Ampt, se cumple en menor grado conforme se incrementa el contenido de arcilla en el suelo (Figura 7). El Cuadro 5 muestra la diferencia en porcentaje entre los gastos unitarios de riego óptimos obtenidos con el modelo hidrológico y el modelo hidrodinámico completo. La Figura 8 muestra gráficamente los resultados obtenidos y presentados en el Cuadro 5.

CONCLUSIONES

Se comparó un modelo hidrodinámico completo con uno hidrológico en riego por melgas. Para reducir las variaciones originadas por diferencias en los cambios de la lámina infiltrada obtenidos con las ecuaciones de Green-Ampt y de Richards, utilizadas en el modelo hidrológico y el modelo hidrodinámico completo, respectivamente, se realizó el ajuste del parámetro de succión en el frente de humedecimiento de la ecuación de Green-Ampt; así se reprodujo el cambio de la lámina infiltrada obtenida mediante la aplicación de la ecuación de Richards. La comparación a partir del análisis de los perfiles de flujo superficial y subsuperficial en el riego y la distribución final de la lámina infiltrada mostraron diferencias entre los elementos analizados, que pueden atribuirse al empleo de una ecuación de cantidad de movimiento general en el modelo hidrodinámico completo. Las diferencias en los perfiles de flujo generan diferencias en la distribución final de la lámina infiltrada y por lo tanto en el gasto óptimo de riego, de forma que el análisis de su comportamiento en los suelos de triángulo de texturas, en los cuales es conveniente aplicar riego por melgas, la diferencia entre los gastos óptimos de riego proporcionados por el modelo hidrológico y el modelo hidrodinámico completo crece conforme se incrementa el contenido de arcilla en el suelo.

LITERATURA CITADA

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