Aplicación de la teoría de la onda cinemática al estudio de hidrogramas generados mediante simulador de lluvia sobre suelos permeables

Application of kinematic wave theory to the study of hydrographs generated through a rain simulator on permeable soils

Antonio Zapata–Sierra* y Francisco Manzano–Agugliaro

Departamento de Ingeniería Rural, Escuela Politécnica Superior, Universidad de Almería. 04120. Almería. España. *Autor responsable: (ajzapata@ual.es) (fmanzano@ual.es).

Resumen

Para el estudio de los hidrogramas generados mediante simulador de lluvia y cuando el suelo presenta una capacidad de infiltración alta el método original de Singh no funciona bien. Para ello se propone un método basado en la superposición de soluciones parciales, generadas a partir de la teoría de la onda cinemática para obtener un hidrograma combinado. En este estudio se fabricó un simulador de lluvia donde se realizaron 16 ensayos de escorrentía sobre un suelo permeable. Al comparar los resultados obtenidos entre el método original y el propuesto, se mostró que se puede aplicar con buenos resultados la metodología de la onda cinemática para generar la respuesta a la lluvia en este tipo de sistemas. Además se mostró la influencia de la intensidad de la precipitación en el movimiento del agua sobre el suelo y se propone una actualización de los parámetros de la ecuación original de Chow.

Palabras clave: infiltración, escorrentía, factor de fricción.

Abstract

For the study of the hydrographs generated by a rainfall simulator and when the soil has a high infiltration capacity the Singh's original method does not work properly. For this reason, a method based on the superposition of partial solutions generated from the kinematic wave theory is proposed to obtain a combined hydrograph. In this study, a rainfall simulator was built where there were 16 runoff trials on a permeable soil. By comparing the obtained results between the original and the proposed method, it was shown that the kinematic wave methodology can be applied with good results to generate the response to rainfall in this type of systems. It was also shown the influence of rainfall intensity water movement over the ground and an update of the parameters of the original Chow's equation is proposed.

Key words: infiltration, runoff, friction factor.

INTRODUCCIÓN

Un enfoque habitual en el estudio de la infiltración y escorrentía para cuencas naturales o de gran tamaño es considerar la cuenca completa como un sistema lineal en el que el proceso de lluvia–escorrentía es tratado como un conjunto de impulsos y respuestas donde los impulsos son las precipitaciones en exceso y las respuestas son hidrogramas que deberán combinarse entre sí, suponiendo que se cumple el principio de proporcionalidad y el principio de superposición (Kreyszig, 1968, citado por Chow et al., 1994). Un esquema simplificado del proceso está en la Figura 1, donde para una serie de impulsos i₁, i₂, i₃ se generan unas respuestas Q₁,Q₂, Q₃, para obtener una respuesta conjunta Q_T al conjunto de todos los impulsos entrantes, mediante la integral de convolución.

Para una aplicación práctica de esta metodología es usual exigir varias condiciones en el modelo (Chow et al., 1994): 1) el exceso de precipitación está uniformemente distribuido por la cuenca; 2) la duración de la respuesta debe ser constante; 3) las ordenadas de las respuestas son proporcionales a la escorrentía directa representada en cada hidrograma; 4) para cada cuenca el hidrograma resultante de un exceso de lluvia dado representa las características no cambiantes de la cuenca.

Si se cumplen las condiciones expuestas para un impulso unitario, definido usualmente como un exceso de precipitación de 1 mm h^–1 o bien 1 pulgada h^–1 en la metodología original propuesta por Sherman (1932), la función de respuesta de la cuenca es conocida como hidrograma unitario. La aplicación de este concepto permite analizar la respuesta de una cuenca ante precipitaciones cambiantes en el tiempo, aplicando una integral de convolución. Los conceptos de tiempo de retraso, tiempo de pico y duración efectiva de un hidrograma unitario están en la Figura 2.

Los simuladores de lluvia se usan en la experimentación hidrológica para estudiar la escorrentía (Croley y Foster, 1984; Singh et al., 1999; Lima y Singh, 2003). El concepto de onda cinemática se utiliza para resolver problemas de movimientos unidimensionales gradualmente variados en corrientes libres (Chow, 1959; Chow et al. 1994). Las ecuaciones propuestas por Barre de Saint–Venant en 1871 constituyen un balance de materia y de cantidad de movimiento a escala diferencial y describen el flujo unidimensional no permanente en un canal abierto. Partiendo de estas ecuaciones se resolvería cualquier problema de flujo eligiendo correctamente las condiciones de borde o frontera. La ecuación de balance de cantidad de movimiento implica la consideración de la aceleración local y convectiva así como de fuerzas de presión, gravitacional y de fricción.

Despreciar los términos inerciales de la ecuación de cantidad de movimiento supone además la posibilidad de considerar una ecuación de flujo uniforme como la de Manning o Chezy (Ponce, 1991) para relacionar el calado con el caudal. Esta operación simplifica notablemente la resolución de la ecuación de balance de volumen, aunque sigue siendo compleja y frecuentemente se resuelve con un método numérico (Chow etai, 1994; Woolhiser et al., 1990). Mediante la aplicación del método de las características (Lighthill y Whitham, 1955), se puede abordar la resolución analítica de la ecuación diferencial parcial de primer orden que queda. Esta solución se ha adoptado para el problema del movimiento del agua procedente de un exceso de precipitación constante (Singh, 1983; Singh y Regl, 1983). Para excesos de precipitación no constante, como ocurre en suelos al inicio del proceso de infiltración, se usa la integración numérica (Woolhiser et al., 1990), y la integración analítica para alguna expresión de infiltración concreta (Giráldez y Woolhiser, 1996). En el caso de terrenos bastante impermeables, de forma regular y con superficie pequeña (Ponce, 1991) es aconsejable usar la simplificación de la teoría de la onda cinemática, por lo que puede ser útil en el estudio de los hidrogramas generados mediante simuladores de lluvia en microparcelas.

El objetivo del presente estudio fue desarrollar un método de análisis semianalítico mediante la aplicación de la teoría de la onda cinemática al cálculo para generar las respuestas a impulsos cortos que puedan ser compuestas, asumiendo el principio de superposición, sin necesidad de cumplir el resto de las condiciones impuestas a un hidrograma unitario. Así se pretende facilitar el estudio de los hidrogramas generados con un simulador de lluvia y recoger de forma sencilla el efecto de la infiltración en el suelo.

MATERIALES Y MÉTODOS

Para este estudio se desarrolló un simulador de lluvia (Figura 3), con 1 m² de superficie y una altura de 2 m. El mecanismo de formación de las gotas (1) consiste en un entramado denso de goteros de gasto regulable aunque se ha superpuesto también un marco con microaspersores para formar gotas más finas. Un problema común a este tipo de simuladores es la caída de las gotas siempre en el mismo lugar (Singh et al., 1999) y para prevenirlo se dispuso una malla (2) que cuelga debajo de los emisores y que tiene un marco pesado que oscila durante el proceso. Las mediciones se inician cuando se ha estabilizado la precipitación usando una pantalla móvil (3) que impide que el agua caiga sobre la muestra cuando no se desea; esta pantalla se retira o coloca para dar inicio o fin a una medida. Hay un banco (5) de pendiente variable (α) donde se colocó una bandeja (0.533 m longitud, 0.390 m anchura) con el suelo a utilizar (4). El suelo era limoso, procedente de depósitos de aluvión, con una conductividad hidráulica para la ecuación de Philip de k=5.69X10 ^–7 m s ^–1 , medida mediante infiltrómetro de doble anillo.

La presión de funcionamiento requerida se sitúa en torno a 1 bar para generar intensidades de precipitación similares a las medidas en la zona. La precipitación se mide con 12 pluviómetros colocados en una bandeja idéntica a la que contiene el suelo y colocada encima de la misma. Cuando se ha producido una descarga suficiente se retira la bandeja con los pluviómetros y las gotas empezarán a caer sobre la muestra de suelo. Se toman muestras del caudal generado en el exterior de la muestra a intervalos regulares; cuando las cantidades recogidas son bastante similares se entiende alcanzado el equilibrio, se coloca de nuevo la pantalla y finaliza la precipitación aunque se siguen tomando muestras de caudal para registrar el receso del hidrograma. Este ensayo se repitió 16 veces con la misma disposición geométrica pero con diferentes intensidades de lluvia, para obtener los resultados analizados en este estudio.

Para los datos se usa la metodología propuesta por Singh (1983) que permite obtener soluciones analíticas a las ecuaciones de Saint–Venant con la simplificación de la Onda Cinemática, en un plano de pendiente uniforme y bajo un exceso de precipitación constante. En este caso se debe integrar la ecuación 1:

con h [L]calado; q[L ² T ^–1] = αhª caudal específico; i[LT ^–1] intensidad de exceso de precipitación.

El régimen laminar αse calcula mediante la ecuación de Darcy–Weisbach, ecuación 2, con S₀[ –] pendiente del suelo, g[LT ^–2] aceleración de la gravedad, a[–] exponente hidráulico y f[–] factor de fricción:

El factor de fricción f depende de la intensidad de precipitación (Chow et al., 1994):

Con C_L[–] = 96 + 108i^0,4, coeficiente de resistencia; i[L ^–1T ]intensidad de la precipitación expresada en pulgadas h^–1; R_e[–]=4q₀/v número de Reynolds; v[L²T^–1], viscosidad cinemática.

Para régimen turbulento se usa la ecuación de Manning, ecuación 4, con n[L^–1/3T] el factor de aspereza:

Se usa el método de las características (Courant y Hilbert, 1962), y entonces la ecuación 1, en derivadas parciales, se transforma en dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

Se pueden integrar ambas ecuaciones con las condiciones de borde: h=0 para [t=0], h=0 para [x=0], para obtener:

La ecuación 7 proporciona los calados para cada tiempo, que son válidos en las distancias obtenidas con la ecuación 8. Esta situación se mantiene hasta que se establece un equilibrio entre el agua entrante como lluvia y el agua saliente como escorrentía, momento conocido como tiempo de concentración, t_f. Este tiempo puede calcularse usando la ecuación 8 para x=L, longitud del plano. Durante la fase de equilibrio se mantiene el calado y por tanto el caudal hasta que finaliza la precipitación, t_d.

Para la fase de receso, t>t_d, se pueden obtener valores del tiempo en función del calado aplicando un balance de cantidad de movimiento para el extremo del plano y obtener:

Cuando t_d<t_f, el valor máximo del calado se mantiene hasta un tiempo t_p algo mayor que el tiempo de precipitación y que se puede calcular mediante la ecuación 10. El valor del calado en ese intervalo es marcado por la ecuación 7 para t=t_d y se mantiene hasta t=t_p:

En este último caso el calado durante la fase de receso también se puede calcular con la ecuación 9.

Esta metodología permite obtener hidrogramas generados por un exceso de precipitación constante en un plano de pendiente constante. En la Figura 4 se muestran hidrogramas generados para duraciones variables, entre 25 y 400 s de exceso de precipitación, para un plano con longitud L=50 m, factor de aspereza de Manning n= 0.01, pendiente S ₀ = 0.031 e intensidad de lluvia i=30 mm h^–1.

La bondad de los ajustes se comprobarán mediante el parámetro índice de ajuste, I_a (Willmot, 1982):

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se obtuvieron 16 hidrogramas con diferentes intensidades de lluvia (Cuadro 1); como ejemplo se muestran dos de ellos en la Figura 5. Las formas de estos hidrogramas son similares a las obtenidas por Croley (1984), y si bien en muchos se percibe el momento en que se produce el tiempo de concentración, t_f, en otros casos esto no es en absoluto claro. No se aprecia bien la fase estable que se deduce del modelo de Singh (1983). Estos dos aspectos se pueden atribuir al efecto de la infiltración del agua en el suelo, por el cual la intensidad de exceso de lluvia no es constante. No se observa retraso en la aparición de la escorrentía, aunque Croley y Foster (1984) y Lima y Singh (2003) muestran esta circunstancia. Esta situación puede deberse a que el tiempo de encharcamiento es despreciable para las condiciones del ensayo.

Para calcular los coeficientes α y a de las ecuaciones 2 y 4, que a su vez permiten estimar el tiempo de concentración, se preparó un esquema de optimización mediante mínimos cuadrados y usando la rutina de aproximación Solver en la hoja de cálculo Excel. Los datos de entrada fueron las dimensiones geométricas de la muestra, intensidad de precipitación, permeabilidad del suelo y duración de la lluvia. Con estos datos se generó un hidrograma estimado que se comparaba con el hidrograma medido. Los parámetros de ajuste fueron el factor de fricción f o el factor de aspereza de la ecuación de Manning, n, según el régimen hidráulico medio del ensayo y la humedad inicial del suelo. Los valores del índice de ajuste, I_a, obtenidos para los mejores ajustes se muestran en el Cuadro 1.

Propuesta de método

Para mejorar los ajustes se propone descomponer la duración total de la lluvia en varios intervalos lo bastante cortos como para considerar que el exceso de precipitación en cada uno de ellos se pueda considerar constante. En cada intervalo la capacidad de infiltración del suelo es tenida en cuenta para deducir el exceso de precipitación que corresponde aplicar. Se considera que cada impulso de exceso de precipitación genera una respuesta que se puede superponer con las restantes para obtener un hidrograma combinado. Como cada impulso se desarrolla en un intervalo de tiempo diferente de los anteriores, las respuestas también se aplicarán con idéntico desfase (Figura 6).

Se usa la ecuación de infiltración de Philip, ecuación 12, para generar los excesos de precipitación en cada intervalo. Dadas las intensidades de precipitación usadas, el tiempo de encharcamiento y por tanto el retraso en la aparición de exceso de lluvia, es despreciable, lo cual queda corroborado en los hidrogramas medidos, donde no se observa retraso en la respuesta.

f[LT^–1] velocidad de infiltración, k[LT^–1] permeabilidad, A_b[LT^–1/2] absortividad.

Cada impulso generado tiene un tiempo de inicio relacionado con el del impulso al que responde, pero su duración es indeterminada de acuerdo con lo previsto en las ecuaciones correspondientes.

En este caso el esquema de optimización actúa sobre dos parámetros del modelo: 1) si el régimen hidráulico es turbulento, se trabaja sobre el factor de aspereza de Manning, n de la ecuación 4; 2) si el régimen hidráulico es laminar se actúa sobre el factor de fricción, f de la ecuación 2, y en ambos casos se ajusta la absortividad, A_b, de la ecuación 12.

Al aplicar la metodología propuesta a los hidrogramas medidos se muestra que en todos los casos el régimen hidráulico fue laminar ya que el número de Reynolds fue siempre inferior a 2000 (Cuadro 1). Los factores de fricción, obtenidos mediante el mismo esquema de optimización comentado, oscilaron entre 14 y 38 que son valores relativamente normales. Los nuevos índices de ajuste (Cuadro 1) mejoran a los obtenidos inicialmente.

Como ejemplo, en la Figura 7 se presentan los resultados de la metodología propuesta para los mismos hidrogramas de la Figura 5, donde se observa que el método propuesto (línea continua) predice adecuadamente las medidas realizadas.

Se calculan de nuevo los parámetros de la ecuación 3 para adaptarla a las condiciones del simulador de lluvia utilizado y para expresar la intensidad de lluvia i (mm h^–1). En estas condiciones el coeficiente de resistencia queda como C_L= 96 + 207.95 i^1.13.

En la Figura 8 se muestra la relación entre los valores de C_L calculados (C_Lm) a partir de los ensayos y los valores estimados con la nueva expresión de C_L, (C_{L e}). Al realizar un análisis de regresión se puede ajustar a una recta de pendiente 0.997 con un R² =0.99. Esta actualización de C_L permite estimar su valor para otros casos sin necesidad de ajustar nuevamente el modelo.

CONCLUSIONES

El método original no funciona bien para estudiar los hidrogramas generados mediante simulador de lluvia y cuando el suelo presenta una capacidad de infiltración alta. Se propuso un método basado en la teoría de la onda cinemática que incorpora el efecto de la infiltración del agua en el suelo, mediante la generación de respuestas a impulsos cortos que puedan ser compuestas asumiendo el principio de superposición.

Se muestra la influencia de la intensidad de la precipitación sobre el factor de fricción de la ecuación de Darcy–Weisbach para suelos permeables y se propone una actualización de los parámetros de la ecuación, para su utilización en simuladores de lluvia.

LITERATURA CITADA

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