Opciones reales para determinar el turno óptimo en sistemas silvopastoriles: análisis de inversión

Real options for determining optimum time systems sylvopastoral: investment analysis

Gastón Milanesi,¹ Diego Ricardo-Broz² y Guillermo Bruno Woitschach³

¹ Departamento de Ciencias de la Administración, Universidad Nacional del Sur, CONICET, Bahía Blanca, Argentina. C. e.: milanesi@uns.edu.ar

³ Doctorando en Cs. de la Administración, Departamento de Cs. de la Administración, Universidad Nacional del Sur, CONICET, Bahía Blanca, Argentina. C. e.: gwoitschach@facfor.unam.edu.ar

Manuscrito recibido el 8 de abril de 2012.
Aceptado el 8 de agosto de 2013.

RESUMEN

El trabajo propone analizar y valorar, desde la perspectiva económica-financiera, el momento óptimo de cosecha en un sistema silvopastoril, utilizando las Opciones Reales (OR) como herramienta para la toma de decisiones estratégicas. Ésta se basa en un proceso estocástico para la proyección de precios, mientras que el Valor Actual Neto (VAN) utiliza una tasa fija en todo el proyecto. Los resultados mediante OR indican talar a los 18 años con un VOR (Valor Opción Real) $AR 1 088 339 frente a la alternativa VAN de talar a los 11 años y $AR 511 914.

Palabras clave: Flujo de fondos, momento óptimo, opciones reales, rejilla binomial.

In this work we assess, from an economic and financial perspective, the optimal time of timber harvest in joint forestry-pasture systems. For this we apply a Real Options (RO) approach as a tool of strategic decision making. It assumes a stochastic process of price projections and is compared with the present value (NPV) computed on the basis of a fixed rate all along the project. The results obtained by means of the RO approach recommend cutting at 18 years with a ROV (Real Options Valuation) of $AR 1 088 339 (ARG) against the alternative NPV assessment that recommends cutting at 11 years and yields $AR 511 914.

Keywords: Cash flow, optimal timing, real options, binomial lattice.

INTRODUCCIÓN

Los sistemas agroforestales o mixtos, específicamente los sistemas silvopastoriles (SSP) están teniendo auge en Argentina debido a la flexibilidad en el flujo económico, permitiendo la generación de ingresos anuales a partir del cuarto año del establecimiento; producto del componente ganadero y del ingreso Anal del componente forestal (Fassola et al., 2004). Son varios los autores que afirman bondades del ssp. Musálem (2002) menciona que los sistemas pueden estar en zonas fértiles, como también en zonas áridas, mejorando la productividad de estas últimas; Blasco et al. (2005) lo plantean como una estrategia económica para combatir el vinal (Prosopis ruscifolia) frente a métodos tradicionales; Cerruto et al. (2007) plantea que los ssp permiten abatir la erosión en comparación a una pastura degradada, aportando aumento de la viabilidad financiera; para Soares et al. (2003) los ssp son una alternativa de diversificación de rentas y recuperación ambiental. Se concluye que los ssp tienen importancia desde el punto de vista económico y ecológico, por ello se requieren herramientas para su gestión como una manera de tomar decisiones óptimas.

En este tipo de inversiones se asocia a la maduración del proyecto con la rotación, éste es un término relacionado con el tiempo que lleva una población en ser cortada (Schneider, 2002), convirtiendo el capital en renta. El mismo autor menciona que la duración de la rotación es definida por la meta técnica de la empresa, siendo los criterios tanto económicos como biológicos. Bettinger et al. (2009) enumeran siete tipos de rotación: física, técnica, silvicultural, biológica, por generación de ingresos, económica-financiera y valoración del crecimiento porcentual.

En general, el método empleado para valorar activos reales es el descuento de flujo de fondos (DFF) (Copeland et al., 2000; Pratt y Grabowski, 2008). No obstante, este método no incorpora en el valor los múltiples cursos de acción o flexibilidad estratégica, propios de la vida proyectada e incierta de la inversión en cuestión (Mun, 2005). Valorar la flexibilidad estratégica de una inversión se logra adaptando la Teoría de Opciones para instrumentos financieros (Black y Scholes, 1973; Merton, 1973) a problemas de inversión en activos reales, dando lugar a los modelos de Valoración de Opciones Reales (VOR) (Dixit y Pindyck, 1994; Trigeorgis, 1997). En la literatura financiera el primer modelo corresponde a valorar la opción de crecimiento (Myers, 1977), a partir de este trabajo se han desarrollado diferentes propuestas analíticas para el tratamiento de categorías específicas de opciones. A continuación se enumeran algunos trabajos seminales para cada tipo: a) opción de diferimiento (Mc Donald y Siegel, 1981; Paddock et al., 1988); b) opción de crecimiento (Pindyck, 1988; Trigeorgis, 1988; Smit, 1997); c) opción de abandono (Myers y Majd, 1990); d) opciones de expandir-contraer o extensión de la vida útil (Trigeorgis y Mason, 1987); e) opción de cierre temporario o corte del proceso productivo (Brennan y Schwartz, 1985); f) opción de intercambio (Margrabe, 1978; Kulatilaka, 1988); g) opciones financieras de insolvencia (Mason y Merton, 1985). Si bien los clásicos modelos plantean ecuaciones en diferencia estocástica en tiempo continuo, para el análisis estratégico de activos reales se emplea el método binomial (Cox et al., 1979), utilizando rejillas en lugar de árboles, dada su capacidad de recombinar nodos intermedios (Smith, 2005; Milanesi y Vigier, 2010).

En el campo forestal los pioneros en la aplicación de componentes estocásticos en cosecha fueron Malliaris y Brock (1982), Miller y Voltaire (1983), entre otros. Thomson (1992), así como Yin y Newman (1997) estudiaron el turno óptimo de cosecha, asumiendo que los precios siguen un movimiento geométrico browniano, estos últimos autores mencionan que los enfoques tradicionales, como la Metodología de Faustmann (Grainger, 1968), se limitan a un mundo determinista.

Para Sant'Anna y Nogueira (2010), la VOR es una herramienta más realista de evaluación que el valor actual neto (VAN), ya que la tasa de descuento permanece inalterable en la vida del proyecto al realizar el análisis. El autor recalca que, en valoraciones de concesiones forestales, la VOR presenta valores significativamente mayores que VAN, esto coincide con Moreira et al. (2000), quien menciona que los resultados obtenidos por VOR fueron 140% superiores a los calculados por van y más realistas.

En este trabajo se plantea la necesidad de aplicar el enfoque de la VOR en el ejercicio de la tala en un sistema de producción mixto forestal-ganadero, comparando cada año, a partir del décimo (madurez tecnológica) hasta el vigésimo (máximo horizonte de planificación), el valor obtenido, producto de la cosecha en los nodos de la rejilla binomial (año t) versus el valor actual neto esperado de talar en el próximo año (año t+1). La comparación periodo a periodo es relevante porque estos valores se caracterizan por ser cambiantes en función del tiempo y riesgo de las variables. El caso de análisis se corresponde con un escenario forestal simulado y un nivel de producción ganadera acorde con el patrimonio forestal, el cual permitirá determinar la viabilidad económica del proyecto de inversión para el noreste de la República Argentina, mediante la aplicación de la VOR y la comparación con el VAN.

OBJETIVOS

El primero objetivo de este trabajo fue la determinación de la madurez del proyecto de inversión para un sistema de producción mixto forestal-ganadero para el noreste argentino, el cual se corresponde con la determinación del turno óptimo de cosecha mediante la aplicación de OR. Como segundo objetivo se planteó la comparación de resultados entre un escenario evaluado mediante la VOR y por otro lado el VAN. Como tercer y último objetivo se planteó fundamentar el uso de la VOR como metodología de evaluación económica-financiera de un sistema de producción mixto frente al uso del VAN.

MATERIALES Y MÉTODOS

Valoración del componente forestal en el SSP

Para evaluar el proyecto de inversión, se proyectaron a partir de los años 10 y hasta un horizonte de planificación de 20 años, los ingresos y egresos de cada una de las componentes del sistema para luego aplicar la VOR y el VAN y, consecuentemente, tomar las decisiones estratégicas que generaron mayor beneficio. La evolución de la masa forestal fue obtenida mediante el software Simulador Forestal (Crechi et al., 2005) y la producción ganadera (carga por hectárea) se supuso constante desde el inicio hasta el final del horizonte de planificación.

La volatilidad se estimó a partir de la serie histórica de precios correspondientes a los subproductos de la explotación forestal, considerados estos como cartera de productos y aplicando los conceptos de la Teoría Moderna de la Cartera (TMC) (Markowitz, 1991).⁴ Por otro lado, para el componente ganadero se utilizó solamente la serie histórica, ya que a diferencia del forestal, existe un sólo producto comercial. Para calcular el precio promedio y la variabilidad de la mezcla de subproductos obtenidos, aplicando los conceptos de la TMC, estimando el precio medio se utilizó la ecuación (1), el riesgo del precio es determinado por la ecuación (2).

donde:

P_i: precio promedio de cada subproducto

X_i : participación en el total producido

P₀ : precio promedio

donde:

σ_c : riesgo del precio de la cartera de productos

x_i y x_j : participaciones de cada subproducto

σ¹ y σ²_j: varianzas de los precios de los subproductos

ρ_ij : coeficiente de correlación de precios

Usando el precio promedio de la ecuación (2), se calcularon los flujos de fondos libres con la ecuación (3).

donde:

FF_t: flujos de fondos libres

vol_t producción esperada en cada periodo del horizonte de planificación obtenido mediante simulación

C_t: porcentaje que representan los costos de producción (variables y de estructura) sobre los ingresos por ventas, calculado mediante la ecuación (4).

I : tasa marginal de impuesto a las ganancias.

La tasa marginal de impuesto a las ganancias I fue de 35%.

El valor intrínseco de la explotación sin flexibilidad estratégica se estimó con la ecuación (5), siendo su expresión el valor actual de los flujos de fondos derivados de la tala en cada uno de los años, descontados a la tasa ajustada por riesgo sobre inversiones equivalentes.⁵ La estructura de la tasa para mercado emergente, poco diversificado y segmentado (Damodaran, 2002), surgió de ajustar el rendimiento de mercado por la volatilidad total, en este caso dada por el desvío del precio. La ecuación (6) muestra la formulación de la tasa ajustada por riesgo.

donde:

rm : adicional por riesgo de mercado

σ_c : variación del precio

Δt : relación entre T / n, siendo esto la longitud de cada paso del modelo

k : relación porcentual

La proyección del precio de venta promedio de los subproductos forestales sigue un proceso estocástico del tipo Geométrico Browniano. Se trabajó en tiempo discreto y, para la elaboración de una rejilla binomial,⁶ se utilizaron los parámetros del modelo CRR (Cox et al., 1979) mediante las ecuaciones (7) y (8).

Los movimientos de ascenso u y descenso d se calcularon utilizando el desvío de la cartera de precios calculado con la ecuación (2). El precio de cada nodo⁷ padre P_ij de la rejilla en t - 1 genera los precios ascendentes y descendentes j en t por medio de la ecuación (9).

Una vez proyectado el proceso estocástico del precio por medio de las ecuaciones (7) y (8), se calculó nuevamente el flujo de fondos para cada periodo t y cada nodo mediante la ecuación (10).

Con los flujos de fondos para cada nodo de la rejilla se construyeron las OR, para ello fue necesario definir el precio de ejercicio de la opción. La decisión a que se enfrenta el agente es seleccionar el momento de madurez de la inversión, que se corresponde con la determinación del turno óptimo de cosecha del SSP, para lo cual se debe seguir un criterio de maximización de beneficios, conjugando el factor tiempo y el riesgo que emerge de las variables precio de los subproductos. Los flujos de fondos proyectados en cada escenario de la rejilla fueron comparados con el valor esperado del próximo año, según la expresión (11).

Donde X,₊₁ es el promedio de los flujos de fondos en cada nodo del próximo periodo FF_ij(t+1) ponderado por la probabilidad asociada q_ij(t+1), siendo las probabilidades asociadas a cada nodo dadas por la ecuación (12).

Donde r representa la tasa libre de riesgo y los movimientos (u; d), surgen de las ecuaciones (7) y (8) y Δt se definió en la ecuación (6). El valor esperado V_ij(t) surgió de comparar en cada periodo, el valor correspondiente a cada nodo FF_ij(t) con el valor esperado en el próximo año; X_t+1 x e^-rΔt matemáticamente el problema se resume en la expresión (14).

El valor de la opción en el momento inicial (t = 0) requiere de utilizar el procedimiento recursivo sobre la rejilla (Milanesi y Viger, 2010; Milanesi, 2011) dado en la ecuación (15).

Siendo V_0t el valor actual de la opción de talar en el momento t. El ejercicio de la opción en cada nodo (escenario) en t se expresa por V_ij(t). La probabilidad de alcanzar el nodo asociado es q _ij(t). El factor de actualización desde el momento (t) hasta el inicio (t = 0) es e^-rΔt.

Valoración del componente ganadero en el SSP

El análisis del componente ganadero fue análogo al del componente forestal. La particularidad de este componente es la generación de flujos de cajas anuales, donde hubo egresos por compra de terneros y costos de producción y un ingreso a los doce meses producto de la venta. El VAN se determinó con la ecuación (16)

IG_t : ingreso por venta del componente ganadero al Anal del período t

EG_t : egresos debido a costos operativos y compra del ganado al inicio de t

kG : tasa ajustada por riesgo obtenida para el componente ganadero mediante la ecuación (17).

El precio inicial surgió de aplicar la ecuación (18).

donde:

x_i: observación de precio mensual

x: media de la serie de precios

El riesgo del precio σ_g se obtuvo a partir de la serie de precios mensuales aplicando la ecuación (19)

donde:

N : número de observaciones

(x_i+1-x_i)/ x₁ : variación relativa del precio

Para el cálculo de las tasas de ascenso y descenso (u, d) se aplicaron las ecuaciones (7) y (8). Se realizaron las proyecciones de los precios estocásticos mediante la ecuación (9). Se calculó el nuevo flujo de fondo mediante la ecuación (20).

En este caso:

P_ij(t): precio promedio

Q_t: cantidad total (en ) de venta en ganado

EG_t: egreso

Posteriormente, se calculó la probabilidad para cada nodo mediante la ecuación (12). Se obtuvo el flujo de fondo en función al equivalente cierto (21) que permitiría obtener V_ij(t) mediante la ecuación (14).

El valor de la opción V_0t se obtuvo aplicando la ecuación (15).

Análisis de sistema mediante la VOR y el VAN

En esta etapa convergen los resultados con el objeto de un análisis integral del sistema. Para la obtención de un VAN total (VAN_T) se sumó en t los VAN_f y VAN_g, de la misma manera se procede con el VOR total (VOR_T ) ya que los valores son aditivos (Rocabert, 2007). En las ecuaciones (22) y (23) se puede ver la expresión matemática.

El turno óptimo (TO) de cosecha forestal en ssp se da cuando VOR_T(t) > VOR_T(t+1), su expresión matemática es la (24); mientras que en el caso del VAN, la cosecha se da cuando se obtiene el máximo VAN_{T t}.

Si el valor de los flujos de fondos libres FF_¡j(t) supera al valor actual esperado del próximo año X_t+1 x e^-rΔt ; se ejerce la tala, siendo su valor de V_ij = FF_ij(t). Caso contrario, si el valor esp e ra d o p ara el próximo año supera los flujos de fondos libres del nodo, el resultado es de V_ij = 0 difiriendo la tala al año próximo (Plantinga, 1998). La decisión en cuestión se asimila a una opción exótica barrera o barrier option (Hull, 2005).

Valoración de un sistema silvopastoril: caso de aplicación

Se propuso analizar el turno óptimo de cosecha de un proyecto de inversión mixto mediante la aplicación de opciones reales a un predio de 39,8 ha sobre el cual se reforestaría con Pinus taeda L. La producción se estimó mediante la simulación del crecimiento de la masa boscosa. La franja de edad evaluada fue a partir del año 10 (t = 0), tomando un horizonte de planificación de 10 años. Los objetivos del cultivo y manejo del rodal estaban alineados con aquellos tendientes a obtener subproductos de alto valor; para ello, los destinos eran la industria de laminado y la industria de aserrío de grandes dimensiones (Ø > 30 cm); el resto de los subproductos eran para aserrío de menores dimensiones (Ø < 30 cm) y pulpa celulósica.

En la simulación del manejo de la masa forestal se previó el inicio del ciclo con 1600 plantas por hectárea, 3 intervenciones de aclareos (raleos) con una intensidad de 50% a 55% y periodicidad de 2 años entre intervención, lo que permite obtener madera de alto valor favoreciendo el volumen individual (Crechi et al., 2005). Se planificó la ejecución de podas, que serían realizadas de acuerdo con la obtención de un cilindro defectuoso menor a 12 cm y una altura total de poda de 6,5 m.

La simulación se llevó a cabo mediante el software Simulador Forestal (Crechi et al., 2005). Se consideró un índice de sitio de 22 m (edad índice 15) y una densidad final de 190 árboles por hectárea. Los parámetros iniciales (año 10) del bosque fueron: altura media 16,4 m; diámetro medio 29,9 cm; área basal 13,5 m²/ha, un volumen de 108,7 m³/ha y un idr (Prodan et al., 1997) de 256.

El componente ganadero estuvo constituido por la raza Braford. Se estimó alrededor de 2 animales por hectárea requiriendo un total de 80 individuos con un peso inicial de aproximadamente 120 kg y un precio de compra de $AR 9,86/kg, el peso final para comercialización se estipula en 450 kg y un precio de venta de $AR 9,34/kg. El manejo correspondió al tipo invernada con un ciclo de 12 meses. Los costos e ingresos se detallan en la tabla 1.

Estimación de los flujos de fondos

El precio promedio inicial surgió de aplicar la ecuación (1), arrojando un valor de $AR 189 por tonelada y aplicando la ecuación (17) un valor de $AR 6,16/kg de peso vivo para el periodo t = 0. Para el riesgo de precio forestal se aplicó la ecuación (2), utilizando cuatro series históricas de precios correspondientes a cuatro clases diamétricas;⁸ para el riesgo de precio ganadero se aplicó la ecuación (19), utilizando una serie de precios históricos de ganado en pie⁹, los valores obtenidos para la cartera de subproductos forestales (σ_s) fueron de 13,57% y 38,3% (σ_g) para el componente ganadero.

Descuento de flujos de fondos

Empleando los flujos de fondos se determinó el valor actual de las potenciales talas (ecuación (5)). La tasa ajustada por riesgo (ecuación (6)) fue de 28,39%¹⁰ para el componente forestal y 34,58%¹¹ para el componente ganadero. Debido al crecimiento de la masa forestal, los mayores flujos de fondos se obtuvieron en el último periodo. Por la sensibilidad de los beneficios al factor de actualización, el criterio del descuento de flujos de fondos indicó que el mayor valor actual se produjo en el instante t = 1 (año 11), el resultado sugiere que la tala se realice de manera inminente con un van de $AR 511 914. En la tabla 2 se pude ver la evolución del VAN en el horizonte analizado. Se aprecia que el turno de cosecha del componente forestal en forma independiente es igual al turno analizado como sistema.

Opciones reales

Para la construcción del proceso estocástico de la variable de riesgo a los flujos de fondos se incorporó el riesgo de precio. Conforme fue expresado, este ascendió a 13,57% y 38,30% para el componente forestal y ganadero, respectivamente. El movimiento de ascenso y descenso, calculado mediante las ecuaciones (7) y (8), fue de u = 1,1453 y d = 0,8731 para el componente forestal y u = 1,4667 y d = 0,6818 para el componente ganadero. Para la construcción de la rejilla se aplicó la ecuación (10) y se estimaron los flujos de fondos mediante la ecuación (11). Mediante la ecuación (13), se determinaron las probabilidades binomiales para cada nodo siendo el precio de ejercicio determinado con la ecuación (12).

Los coeficientes equivalentes ciertos (ecuación (13)) para el componente forestal fueron p = 0,6545 y 1-p = 0,3455 y para el componente ganadero p = 0,4707 y 1-p = 0,5293. Conforme fue expuesto, se acepta la tala (o madurez de la inversión) en el nodo proyectado si los flujos de fondos (ecuación (10)) superan al valor actual esperado en el próximo ejercicio (ecuación (11)). Para estimar el valor actual, el precio de ejercicio se actualizó al tipo sin riesgo, Milanesi et al. (2012) sugiere una tasa r = 5% para la Argentina. Para este cálculo se aplica la ecuación (14).

Para estimar el periodo conveniente para la tala desde el punto de vista económico-financiero, la información de la rejilla se resumió en una medida de valor esperado (ecuación (15)). Los diferentes resultados obtenidos en cada nodo, deben ponderarse por sus probabilidades de ocurrencia (ecuación (12)), obteniendo de esta manera el valor del ejercicio (tala). Para llevarlos al mismo horizonte temporal, se actualizó por el factor libre de riesgo (r ). De la tabla 3 (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) a la tabla 12, se pueden ver los principales pasos para el desarrollo de la metodología para cada componente del sistema, mientras que en la tabla 13 se integran los resultados de las componentes del sistema para obtener un análisis integral. La decisión en juego en el último periodo se balanceó entre talar o abandonar, puesto que no había camino estratégico alternativo (venta o diferimiento).

A diferencia del criterio tradicional, el enfoque de opciones reales incorpora variables estocásticas (riesgo de precio) y la flexibilidad estratégica del ejercicio de talar. Entre los periodos t = 0 hasta t = 9, el máximo valor de ejercicio de la tala surgió en el periodo t = 8 (año 18) con una VOR de $AR 1 088 339.

Además, el riesgo en el modelo van se incorporó íntegramente en el factor de actualización y los periodos fueron tratados sin flexibilidad alguna (solamente tala) y el resultado se encontró en parte influenciado por el impacto de la tasa ajustada por riesgo en el flujo de fondos esperado estático. En la figura 1 se expone el perfil de beneficios en ambos enfoques.

DISCUSIÓN

Se expuso un modelo alternativo al clásico método de descuento de flujos de fondos, para estimar la conveniencia económica-financiera y temporal de ejercer la opción de talar una masa forestal sujeta a un manejo silvopastoril, siendo esto correspondiente con la madurez del proyecto de inversión. Se propone aplicar la teoría de opciones reales para incorporar en el marco de decisión la posibilidad de diferir la tala y tomar en cuenta el proceso aleatorio del precio. La decisión consiste en comparar cada escenario proyectado versus el valor actual promedio de los escenarios del próximo ejercicio conforme a Plantinga (1998); en términos de opción financiera la decisión se asemeja a una barrier option del tipo knock-in.

En el caso analizado, el método de descuento de flujos de fondos sugiere talar en el año 11 obteniéndose un VAN de $AR 511 914 y utilizando una tasa ajustada por riesgo (k) de 28,39%¹² siendo muy superior a las planteadas por Monicault y Delvalle (2009) y Fassola et al. (2004) los cuales no mencionan el criterio de selección y adicional por riesgo de mercado utilizado en el cálculo.

El resultado se debió a la alta sensibilidad negativa de los flujos al factor de descuento, reafirmando lo mencionado por Soares et al. (2005), además de que la variable precio se supuso constante en todo el periodo de proyección.

La aplicación del método de opciones reales, por el contrario, sugiere que el máximo valor se obtiene en el último periodo. Descartada esta opción, que no posee flexibilidad, el segundo momento óptimo se encontró en el año 18 con un ingreso con una VOR $AR 1 101 944, siendo superior al VAN en más de 100% ya que el mismo no permite el desarrollo futuro del bosque.

Estos valores coinciden con lo afirmado por Sant'Anna y Nogueira (2010) y Moreira et al. (2000). Además, se observó que la componente ganadera en el sistema no altera la decisión de tala ya que en forma independiente (sólo componente forestal) o como sistema se obtuvo el turno óptimo en el año 18.

Desde el punto de vista económico-financiero el enfoque de OR presenta importantes ventajas en contraposición al clásico VAN debido a su robustez, ya que incorpora flexibilidad estratégica y comportamiento estocástico de los precios con base en series históricas; de esta manera elimina el uso de la tasa ajustada por riesgo.

Esta cuestión no se tiene en cuenta en el van, siendo la tasa ajustada por riesgo constante en la vida del proyecto, por lo cual supone un escenario constante en todo el horizonte de planificación, siendo esto un enfoque muy limitado, en especial tratándose de proyectos forestales, dado que presentan horizontes temporales extensos.

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Notas

Este documento se debe citar como: Milanesi, G., D.R. Broz y G.B. Woitschach. 2013. Opciones reales para determinar el turno óptimo en sistemas silvopastoriles: análisis de inversión. Madera y Bosques 19(3):81-98.

⁴ La Teoría de la Cartera (Modern Portfolio Theory) es aplicable a todo tipo de carteras de activos. En este caso, el precio promedio de la masa forestal es el promedio ponderado del promedio observado de cada subproducto. La volatilidad es representada por la suma ponderada de los desvíos observados ajustados por la covarianza (correlación) precio correspondiente a la familia de subproductos.

⁵ La tasa por riesgo equivalente se calcula aplicando los clásicos modelos como el CAPM (Capital Asset Pricing Model), APM (Arbitrage Pricing Model); MPM (Multifactor Pricing Model) y sus adecuaciones a mercados emergentes.

⁶ Las rejillas binomiales son empleadas debido a su capacidad de recombinar nodos e incorporar las propiedades propias del triángulo de Pascal. Los árboles binomiales explicitan gráficamente el problema de manera más eficiente. No obstante, no permiten recombinar, lo que torna su cálculo computacionalmente más complejo que las rejillas. Si n representa los periodos o intervalos de tiempo, la cantidades de nodos finales de una rejilla es de n+1 y de nodos intermedios n(n+1)/2. En los árboles binomiales, en cambio, estos valores son 2n-1 y 2n-1, respectivamente (Smith, 2005).

⁷ Los nodos pueden interpretarse como posibles escenarios futuros; a mayor intervalo de tiempo mayor cantidad de nodos debido a la mayor incertidumbre. Así, para el periodo t = 1 la cantidad de nodos de la rejilla es de 2 (dos escenarios) mientras que para t = 10 la cantidad es 11.

⁹ Fuente: Sistema Integrado de Información Agropecuaria y Subsecretaría de Agricultura. Datos mensuales para la Provincia de Misiones entre los períodos julio de 2008 a diciembre de 2011.

¹⁰ Para ello se supuso un rendimiento de mercado de 25% (suponiendo nivel esperado de inflación).

¹¹ Para ello se supuso un rendimiento de mercado de 25% (suponiendo nivel esperado de inflación).

¹² Metodología CAPM (Capital Asset Pricing Model).