Pricing options on stock indexes and determination of the term structure of the interest rate in a general equilibrium model

Gerardo Ángeles Castro y Francisco Venegas–Martínez*

Escuela Superior de Economía, Instituto Politécnico Nacional (IPN), <gangeles@ipn.mx> y <fvenegas1111@yahoo.com.mx>, respectivamente.

Manuscrito recibido en agosto de 2009
Aceptado en noviembre de 2009.

Resumen

En este trabajo se desarrolla un modelo estocástico de equilibrio general en una economía poblada por consumidores inversionistas idénticos, competitivos y adversos al riesgo. Estos agentes toman decisiones de portafolio y consumo mediante la maximización de una función de utilidad esperada total descontada. Suponiendo que existe un índice bursátil cuya dinámica estocástica es conducida por un movimiento geométrico browniano y la tecnología es guiada por un proceso estacionario gaussiano–markoviano con reversión a la media, se determinan tanto el precio de una opción europea de compra sobre dicho índice como la estructura de plazos de la tasa de interés.

Palabras clave: equilibrio general, decisiones intertemporales de un consumidor, productos derivados, estructura de plazos de la tasa de interés.

Clasificación JEL:** D50, D91, G13, G11

Abstract

This paper is aimed at developing a general equilibrium stochastic model in an economy populated by identical, competitive, and risk–averse consumers–investors. Such agents make decisions on portfolio and consumption by maximizing discounted total expected utility. Under the assumptions that there exists a stock index whose stochastic dynamics is driven by a geometric Brownian motion and the technology is guided by a stationary Gaussian–Markovian process with mean reversion, both the price of a European call option on such an index and the term structure of the interest rate are obtained.

Key words: general equilibrium, intertemporal consumer’s choice, derivative products, term structure of the interest rate.

Mucho se ha aprendido en los últimos años sobre el uso (para cobertura) y el abuso (para especulación) de los productos derivados financieros, sobre todo de los que tienen como subyacentes índices bursátiles, pero mucho queda todavía por aprender sobre sus efectos en las economías en los ámbitos local y global. Evidentemente, los mercados de derivados no originaron la crisis de 2008, sólo la exacerbaron al generar una burbuja especulativa. El origen de la crisis se debe ubicar en la recesión estadounidense y el impacto de ésta, en un entorno de globalización, sobre el resto de la economía mundial. De la misma manera, la reacción que tuvieron los mercados de instrumentos de deuda ante la crisis financiera de finales de 2008 y principios de 2009 poco tuvo que ver con la predicción, de muchos modelos económicos disponibles, sobre su comportamiento. Por todo esto es necesario contar con un modelo de equilibrio general que permita valuar derivados sobre índices bursátiles y determinar de manera conjunta la estructura de plazos de la tasa de interés.

Existen en la literatura especializada varios modelos de equilibrio general que tienen como objetivo determinar los precios de los diferentes activos disponibles en la economía, por ejemplo: Cox et al. (1985a), Grinols y Turnovsky (1993), Schmedders (1998) y Venegas–Martínez (2001), (2006), (2008) y (2009), entre otros. Asimismo, se encuentran en la literatura diversas aproximaciones para modelar la dinámica de la tasa de interés corta (la tasa de interés instantánea), como por ejemplo: Cox et al. (1985b), Longstaff (1989), Venegas–Martínez y González–Aréchiga (2002) y Lee y Li (2005).

En el presente trabajo se desarrolla un modelo estocástico de equilibrio general en una economía poblada por consumidores–productores idénticos y competitivos que toman decisiones de producción, consumo y portafolio. Suponiendo que: 1) existe un índice bursátil que contiene al título de capital que emite la empresa representativa, 2) dicho índice es conducido por un movimiento geométrico browniano y 3) la tecnología es guiada por un proceso markoviano de difusión, entonces se determinan, en el equilibrio, el valor de una opción de compra sobre dicho índice y la estructura de plazos de la tasa de interés. Una de las características distintivas del modelo propuesto es que produce tasas cortas con dinámicas alternativas a las encontradas en Cox et al. (1985b). Asimismo, esta investigación generaliza el modelo de Longstaff (1989) sobre la dinámica de la tasa corta al considerar el comportamiento racional de los agentes. También se discute sobre las ventajas en la estimación de los parámetros de la curva de rendimiento obtenida. En particular, se muestra que los estimadores obtenidos de los parámetros son más simples de calcular que los propuestos en el caso de Cox et al. (1985b). Por último, se lleva a cabo una estimación de la estructura de plazos cuando la tasa corta es la tasa de los Certificados de la Tesorería de la Federación (CETES).

En conclusión, el presente artículo persigue cuatro objetivos, el primero de ellos consiste en valuar una opción de compra sobre un índice bursátil que contiene al título de capital que emite la empresa representativa. El segundo es proporcionar dinámicas de la tasa corta alternativas a las obtenidas en Cox et al. (1985b). El tercer objetivo es generalizar el modelo de Longstaff (1989) con la inclusión de consumidores–inversionistas maximizadores de utilidad. Por último, el cuarto consiste en determinar de manera endógena, en el equilibrio, una estructura de plazos de la tasa de interés asociada a un mercado de bonos cupón cero que se emiten a diferentes vencimientos y que se negocian a descuento.

Esta investigación se ha organizado de la siguiente manera. En la próxima sección se presentan los supuestos básicos que rigen a la economía en cuestión. En la sección 3 se describen los activos y sus precios. A través de la sección 4 se establece la restricción presupuestal del consumidor racional representativo. En la sección 5 se caracterizan las posibilidades de producción en la economía. En el transcurso de la sección 6 se plantea el problema de decisión del agente representativo. En la sección 7 se obtienen las condiciones de primer orden del problema del consumidor. En la sección 8 se caracteriza el precio de una opción de compra sobre un índice bursátil a través de la solución de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden. En la sección 9 se deriva un proceso alternativo para la tasa corta de interés en el equilibrio y en la sección 10 se examina su dinámica. En el transcurso de la sección 11 se plantea el problema de valuación de un bono cupón cero. En la sección 12 se discute sobre la estimación de la curva de ceros. En la sección 13 se caracteriza el precio de un bono cupón cero, negociado a descuento, como la solución de una ecuación diferencial parcial parabólica y de segundo orden con condiciones de frontera. En la sección 14 se define el tipo de expectativas que determinan la estructura de plazos de la tasa de interés. En el transcurso de la sección 15 se obtienen los estimadores de los parámetros asociados a la estructura de plazos. En la sección 16 se realiza una aplicación del modelo obtenido de tasa corta. Por último, en la sección 17 se presentan las conclusiones, así como las limitaciones y sugerencias para futuras investigaciones.

SUPUESTOS BÁSICOS DE LA ECONOMÍA

Con el propósito de obtener soluciones analíticamente tratables, los supuestos de la economía se mantendrán lo más simples posible. Considere una economía poblada por individuos con gustos idénticos con vida infinita y que son maximizadores de utilidad. Los consumidores son a su vez productores. La economía produce y consume un solo bien genérico de carácter perecedero. Los consumidores tienen acceso a: 1) un activo subyacente (un índice bursátil que contiene al título de capital que emite la empresa representativa), 2) una opción europea de compra sobre dicho subyacente y 3) la participación con capital en el proceso productivo. Todos los precios de los activos están expresados en términos reales, es decir, en términos de unidades del bien de consumo. El valor del índice bursátil se determina asociando a cada punto de dicho índice un valor en términos de bienes. Por último, se supone que existe un mercado de bonos cupón cero a distintos vencimientos que se negocian a descuento y que tienen asociada una estructura de plazos de la tasa de interés, la cual se determinará de manera endógena en el equilibrio.

Suponga que el valor en términos reales, S_t , de un índice bursátil que contiene al título de capital que emite la empresa representativa tiene una dinámica estocástica conducida por el movimiento geométrico browniano, de tal forma que

donde el parámetro de tendencia, µ_s, representa el rendimiento medio esperado, el parámetro de volatilidad, σ_s, es la variación instantánea del rendimiento del activo subyacente y el proceso {U_t}_t≥0 es un movimiento browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad junto con su filtración aumentada . Se supone que las funciones µ_s y σ_s dependen del tiempo, es decir, µ_s = µ_s(t) y σ_s= σ_s(t), y se determinarán, posteriormente, de manera endógena.

RESTRICCIÓN PRESUPUESTAL DEL CONSUMIDOR

En lo que sigue se supone que el individuo representativo emite una opción (europea) de compra y mantiene el subyacente (el valor del índice bursátil en términos reales) para cubrirse del posible ejercicio de la opción. En este caso, la riqueza real, x_t , del individuo, en cada instante, está determinada mediante:

donde v_t = v_t(S_t,t) es la prima que recibe el agente por la emisión (venta) de la opción de compra sobre el índice bursátil y k_t es el capital (bienes que se destinan a la producción, y_t). Sean w_1t = S_t/x_t la proporción de la riqueza que el individuo asigna a la tenencia del índice bursatil para cubrir el eventual ejercicio de la opción, w_2t = v_t/x_t la proporción de la riqueza que asigna a la opción sobre el índice de precio v_t(S_t,f), y 1 – w_1t – w_2t la proporción complementaria de capital, k_t, que destina a la producción, y_t. En consecuencia, la evolución de la acumulación de la riqueza real sigue la ecuación diferencial estocástica:

y el rendimiento de una opción sobre dicho índice está dado por:

En este caso, el rendimiento de la opción se obtiene mediante la aplicación del lema de Itô a v_t(S_t,t), lo cual conduce a

En virtud de [3] y [4], la restricción presupuestal se puede escribir como:

Se requiere especificar un pago al vencimiento del contrato de opción, es decir, v_t(S_t,T) = max (S_t– K,0).

En esta sección se define el proceso de producción en la economía. Suponga que los consumidores son, a su vez, productores y que el proceso de producción y_t tiene la forma:

Las cantidades k, θ y v son constantes positivas y { W_t}_t≥0 es un movimiento Browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad junto con su filtración aumentada . Suponga también, por simplicidad, que Cov(dU_t,dW_t) = 0. El parámetro θ representa el valor de largo plazo de la producción, es decir, el proceso y_t presenta reversión a la media, el parámetro k es la velocidad de ajuste hacia el valor de largo plazo, θ y v es el parámetro de volatilidad de la producción. En este caso, dW_t representa las fluctuaciones propias del producto debidas a cambios tecnológicos o cambios en el precio de reposición de los bienes de capital. En lo que sigue se supone una función de producción del tipo y_t = Ak_t; véanse, al respecto, Rebelo (1991), Harrod (1939), y Rivas–Aceves y Venegas–Martínez (2010). Por simplicidad se supondrá, en lo que sigue, que A = 1, de tal forma que y_t y k_t son indistintos.

PROBLEMA DE DECISIÓN DEL CONSUMIDOR

Se supone que el consumidor representativo obtiene satisfacción por el consumo de un bien de carácter perecedero. La utilidad esperada del tipo von Neumann–Morgenstern, V_t, al tiempo t de un individuo representativo, adverso al riesgo y competitivo (tomador de precios) tiene la siguiente forma:

donde c_s es el consumo al tiempo t, δ es la tasa subjetiva de descuento y es la información relevante disponible hasta el tiempo t. En este caso, . Así pues, el consumidor toma decisiones de consumo y portafolio de tal manera que se maximice su satisfacción. Es decir, el consumidor desea determinar la trayectoria de consumo y las proporciones de su riqueza que va a asignar, en cada instante, a los diferentes activos disponibles en la economía de tal forma que su satisfacción por el bien de consumo sea máxima.

La maximización de [10] sujeta a [6] y [7] conduce a la condición de Hamilton–Jacobi–Bellman de un problema de control óptimo estocástico. Dicha condición está dada por

es la función de utilidad indirecta y J(x_t,y_t,t) es la variable de co–estado. Si se toma como candidato de solución a J(x_t,y_t,t)= H(x_t,y_t,t)e^–δt y se supone que , se tiene que la ecuación de Hamilton–Jacobi–Bellman se transforma en

En este caso, se satisface que H(x_t,y_t) = g(y_t) ln(x_t) + f(y_t) para algunas funciones g(y_t) y f(y_t). Después de derivar la ecuación [12] con respecto de las variables de control, la condición necesaria sobre el consumo es

y las condiciones de primer orden sobre w_1ty w_2tson, respectivamente,

donde w_1t= w₁ y w_2t= w₂ son invariantes en el tiempo. Las dos últimas ecuaciones pueden ser reescritas en términos matriciales como:

Las ecuaciones anteriores, [14] y [15], confirman que los premios al riesgo de mercado tanto del subyacente como del derivado coinciden, es decir,

La intuición de esto es que el movimiento browniano modela justamente el riesgo de mercado del activo subyacente, esto es, modela las fluctuaciones de su precio, las cuales podrían ser adversas para el agente representativo. Ahora bien, de acuerdo con la ecuación [5], la cual fue obtenida de la aplicación del lema de Itô para obtener el cambio marginal en la prima de la opción, se tiene que el contrato de opción hereda el riesgo del subyacente; tal y como era de esperarse. Por último, es importante hacer notar que la coincidencia de los premios al riesgo permitirá valuar la opción de compra sobre el índice bursátil.

CARACTERIZACIÓN DEL PRECIO DE LA OPCIÓN

Con el fin de valuar la opción de compra, considere la solución de esquina dada por w₁ = 1 y w₂ = 0. En este caso, las condiciones [14] y [15] se transforman, respectivamente, en:

De la última ecuación se sigue que

con la condición de frontera

Así pues, en condiciones de equilibrio, el precio de la opción, v_t(S_t,t), debe satisfacer la ecuación [18]. De hecho, se tiene que

donde la función es la función de distribución acumulada de una distribución normal estándar ε~ N(0,1), es decir,

La ecuación [19] proporciona la prima o el precio de una opción europea de compra sólo en función de información disponible al tiempo t (momento en que se valúa el instrumento), a saber: el valor del índice bursátil, el plazo por vencer del contrato, el costo de reposición del capital, el precio de ejercicio (o precio strike), y la volatilidad; aunque esta última tendrá que estimarse como la desviación estándar de un registro histórico de los rendimientos del índice. Los supuestos bajo los cuales [19] es válida son: el valor del activo subyacente es conducido por el movimiento geométrico browniano, es decir, los rendimientos son normales con media y varianza proporcionales al tiempo; la volatilidad del precio del activo subyacente se mantiene constante a través del tiempo; el mercado opera en forma continua, es decir, no hay fines de semana ni días festivos; no existen oportunidades de arbitraje, esto es, no es posible generar ganancias libres de riesgo (aunque se podría suponer equilibrio general, lo cual ciertamente lleva a que no existan oportunidades de arbitraje).

A continuación se presenta una fórmula alternativa para la tasa de interés de equilibrio. Observe que a partir de [16], se cumple que

En lo que sigue se supone que µ_s > σ²_s . La tasa de interés de equilibrio se puede reescribir de la siguiente forma:

donde w₁ = 1 y w₂ = 0. En efecto, es suficiente observar que

Por lo tanto, x_t J_xx/J_x = –1. La condición de equilibrio [20] será de utilidad para determinar la tasa de interés instantánea (o tasa corta).

DINÁMICA DE LA TASA CORTA

En esta sección, a partir del proceso para la función de producción, se determina la dinámica estocástica de la tasa corta. Si se definen y_t y , en [20], se tiene que

En la ecuación anterior el parámetro a representa la velocidad de ajuste. Es decir, si las tasas de interés son demasiado grandes o demasiado pequeñas con respecto de un valor de largo plazo, entonces las tasas se ajustan con velocidad a a mantenerse cerca de dicho valor de largo plazo. El parámetro σ es la volatilidad (por unidad de tiempo) de la tasa instantánea de interés.

VALUACIÓN DE UN BONO CUPÓN CERO

Considere un mercado en donde los agentes compran y emiten promesas de pago de una unidad monetaria en el futuro, libres de riesgo crédito. Estas promesas que se compran a descuento serán llamadas bonos cupón cero. Sea B(t,T) el precio en el tiempo t de un bono que se compra a descuento con vencimiento al tiempo T, T > t, y que paga una unidad monetaria al vencimiento, es decir,

La curva de rendimientos o estructura de plazos o, simplemente, curva de ceros, en el tiempo t, de un bono con vencimiento T, está dada por

La tasa forward instantánea f(t,T) es definida por la siguiente ecuación:

Equivalentemente,

La tasa de interés instántanea o tasa de interés spot o, simplemente, tasa corta a la que los agentes pueden comprar y vender bonos es

Observe que cuando Tt, el plazo del bono se hace cada vez más y más pequeño. En consecuencia, cerca de t, el bono vencerá casi instantáneamente y su rendimiento se aproximará a la tasa instantánea de interés, a saber, r_t. Asimismo, cerca de t, la tasas corta y forward instantáneas son indistinguibles. Ahora bien, un bono de monto M_t que paga la tasa spot r_t, aumentará su valor, durante el instante dt, en

Esta ecuación es válida con toda certeza en t, ya que r_t es conocida en t. Sin embargo, despúes de t el nivel de la tasa corta es incierto. En otras palabras r_t es un proceso estocástico, sujeto a dos requerimientos. Primero, r_t es una función continua del tiempo. Segundo, se supone que r_t sigue un proceso markoviano. Dando por supuesto esto último, el comportamiento futuro de la tasa corta, dado su valor actual, es independiente del pasado. En otras palabras, la distribución de r_t+u dado r_t, t≤u, sólo depende de la información disponible en el tiempo t es decir, sólo depende del valor de r_t.

Los procesos que son continuos y markovianos son llamados procesos de difusión. Estos procesos pueden ser descritos a través de una ecuación diferencial estocástica de la forma:

donde {W_t}_0≤t es un movimiento browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad equipado con una filtración . De acuerdo con [31], las funciones α(r_t,t) y β(r_t,t) están dadas por

Asimismo, se supone que en el mercado de bonos no existen costos de transacción (comisiones e impuestos) y que la información está disponible para todos los agentes de forma simultánea (información perfecta y simétrica). Todos los inversionistas actúan en forma racional (maximizan utilidad y emplean toda la información histórica y actual). Además, todos los inversionistas tienen expectativas homogéneas y el mercado está en equilibrio, en consecuencia, no exiten oportunidades de arbitraje.

El precio de bono cupón cero que se coloca en t y que al vencimiento T paga una unidad monetaria se denotará mediante B = B(r_t,t,T), o en forma más simple como B = B(t,T) cuando no sea necesario destacar la dependencia con la tasa corta. Así, la tasa corta es la única variable de estado de la estructura de plazos.

DETERMINACIÓN DE LA CURVA DE CEROS

En la presente sección se determina de manera endógena la estructura de plazos de la tasa de interés asociada al mercado de bonos. A partir de la ecuación [30], se sigue por el lema de Itô que

Considere ahora un inversionista que al tiempo t emite una cantidad w₁ de bonos con fecha de vencimiento T₁ y precio B₁ y simultáneamente compra una cantidad w₂ de bonos con fecha de vencimiento T₂ y precio B₂. El valor del portafolio es Π_t = w₂ B₂– w₁B₂. Si se denotan W₁ = w₁B₁ y W₂ = w₂B₂, el lema de Itô conduce a

En consecuencia, el segundo término en la ecuación [34], el cual modela el riesgo de mercado, es cero. Por lo tanto, la ecuación [34] toma la forma

De esta manera, el portafolio es libre de riesgo de mercado. Si los mercados están en equilibrio, el portafolio debe producir el mismo rendimiento que el que se obtiene por hacer un depósito a la tasa r_t. Si el rendimiento del portafolio fuera mayor, el portafolio puede ser comprado con fondos prestados a la tasa r_t, en caso contrario el portafolio es vendido y las ganancias son prestadas, lo que produce oportunidades de arbitraje.

Al comparar las ecuaciones [29] y [35], se sigue que:

Observe que los cocientes en cada lado de la ecuación [36] son iguales para fechas de vencimiento arbitrarias T₁ y T₂ se sigue que la razón µ(r_t,t,T)–r_t/σ(r_t,t,T)es independiente de T. Sea λ(r_t, t) el valor común de tal razón, entonces

A la cantidad λ(r_t, t) se le llama el precio de riesgo mercado, es decir, el valor que el mercado asigna al riesgo. La cantidad λ(r_t, t) también puede interpretarse como el rendimiento adicional,por la exposición al riesgo, por unidad de volatilidad. La ecuación [37] se puede reescribir como

Si se sustituyen la ecuaciones [32] y [33] en [38], se tiene que

junto con la condición final B(r_t,t,T) = 1.

Una vez que la forma de la dinámica estocástica de la tasa spot r_t, expresada en la ecuación [30], ha sido determinada y el precio de riesgo mercado ha sido especificado, λ(r_t, t), entonces el precio del bono, asociado a la dinámica de r_t, se obtiene como solución de la ecuación [36]. Posteriormente, se calcula la estructura de plazos R(t,T) de la tasa de interés con la ecuación siguiente:

A partir de la fórmula anterior, una vez que se determine el vector de precios de bonos a todos los plazos con fecha inicial t, se puede calcular el vector de tasas (anualizadas) de interés a todos los plazos con fecha de referencia t.

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DEL PRECIO DE UN BONO A DESCUENTO

Si r_t es la tasa corta neutral al riesgo, es decir, si el premio al riesgo es cero, entonces el precio de un bono cupón cero, B = B(t,T), que se coloca en t y que paga una unidad monetaria al vencimiento T, satisface la ecuación diferencial parcial parabólica no lineal:

Se propone una solución de [41] en términos de variables separables como sigue:

Claramente, A(T,T) = D(T,T) = C(T,T) = 0, ya que el valor nominal del bono está dado por

En el apéndice se muestra que

Una vez que se han determinado las funciones A(t,T), D(t,T) y C(t,T) estás se sustituyen en la ecuación [42] para calcular el vector de precios de bonos cupón cero a todos los plazos T–t con fecha de inicio t.

ESTRUCTURA DE PLAZOS

Puede verificarse, fácilmente, que

Como se mencionó antes, si las tasas de interés son demasiado grandes o demasiado pequeñas con respecto de un valor de largo plazo, entonces las tasas se ajustan con velocidad a (a = kγ^–1/2) a mantenerse cerca de R(t,).

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Recuerde que la ecuación diferencial estocástica del comportamiento de la tasa corta está representada por:

Considere el cambio de variable y calcule las parciales de primero y segundo orden de X_t con respecto a r_t. Esto es,

El lema de Itô conduce a

Por lo tanto, se tiene que

Así pues, si Y_t = X_t–X_t–1, los estimadores de a y σ se obtienen a través de las siguientes ecuaciones

De acuerdo con la ecuación [45] para determinar la dinámica estocástica de la tasa corta spot es necesario estimar los parámetros a y b. Para ello, las ecuaciones [49] y [50] proporcionan estimadores que son muy simples de calcular.

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MODELO PROPUESTO

En esta sección se lleva a cabo una aplicación del modelo propuesto. La tasa corta es la tasa de CETES a 7 días. La gráfica 1 muestra la curva de ceros en un periodo de 1.4 años. La tasa corta actual (14 de marzo de 2005) está dada por r_t = 0.0765. Los estimadores de la volatilidad, , y velocidad, â, calculados, con un registro histórico de datos diarios de tamaño 90, a par–tir de la ecuación [50], están dados por â= 0.0216 y = 0.3601. Como puede observarse la gráfica 1 muestra el comportamiento típico de una estructura de plazos (curva de rendimiento). Es decir, de acuerdo con la ecuación [24], R(t,T) es una función cóncava que se estabiliza alrededor de R(t,) = 0.14.

CONCLUSIONES

Se ha desarrollado un modelo de equilibrio general en una economía estocástica poblada por agentes idénticos, con vida infinita, maximizadores de utilidad, competitivos y adversos al riesgo para valuar un derivado sobre un índice bursatil y para determinar una estructura de plazos de la tasa de interés.

El riesgo de mercado fue modelado con el supuesto de normalidad de distintas variables financieras y económicas, aunque esto podría verse como una limitación del modelo, los precios (teóricos) que se obtienen proporcionan una referencia importante en las decisiones de los agentes para participar en un mercado.

El modelo propuesto ha proporcionado dinámicas para la tasa corta diferentes a las obtenidas en Cox et al. (1985b) generalizando, como un resultado del equilibrio general, el modelo de tasa corta de Longstaff (1989). Asimismo, con los estimadores obtenidos de los parámetros, los cuales son muy sencillos de calcular, se llevó a cabo la deducción de la estructura de plazos cuando la tasa corta es la tasa de CETES a 7 días.

Varios de los resultados obtenidos en el transcurso de esta investigación merecen algunos comentarios adicionales. Por ejemplo, cuando los agentes son expuestos al riesgo de mercado éste afecta de manera importante su comportamiento. En efecto, si un consumidor–inversionista toma decisiones de consumo y portafolio en un ambiente determinista, entonces el agente puede determinar su trayectoria óptima de consumo (o al menos eso es lo que dice la ortodoxia neoclásica). Mientras que en el caso estocástico, infortunadamente, la trayectoria de consumo ya no puede ser determinada por el agente porque el consumo se convierte en variable aleatoria, situación que está más acorde con la realidad. Por otro lado, las ecuaciones [14] y [15] establecen que, en el equilibrio, los premios al riesgo de mercado tanto del índice bursátil como de una opción europea de compra sobre él coinciden, algo que era de esperarse y que está de acuerdo con hechos estilizados observados. Asimismo, la ecuación [19] proporciona la prima o el precio de una opción europea de compra sobre un índice bursátil en función de información disponible al momento en que se valúa el instrumento; este resultado coincide con el de Black y Scholes (1973) y Merton (1973).

Por último es importante mencionar que el modelo puede ser extendido en varias direcciones, por ejemplo: falta incorporar volatilidad estocástica en el comportamiento de la tasa corta y considerar otras formas funcionales disponibles en la literatura para la función de utilidad.

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NOTAS

* Los autores agradecen los valiosos cometarios de dos dictaminadores anónimos.

**JEL: Journal of Economic Literature–Econlit.

¹ Otras metodologías para valuar derivados se encuentran en Venegas–Martínez (2005).