On maximizing positive Lyapunov exponents in a chaotic oscillator with heuristics

L.G. de la Fraga¹, E. Tlelo-Cuautle², V.H. Carbajal-Gómez², J.M. Muñoz-Pacheco³

¹ Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, Computer Science Department, Av. IPN 2508, 07360 México City, México, e-mail: fraga@cs.cinvestav.mx.

² Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica, Electronics Department, Luis Enrique Erro 1, Tonantzintla, Puebla, 72840, México.

³ Benemérita Universidad Autonóma de Puebla, Facultad de Ciencias de la Electrónica, Ciudad Universitaria, Av. San Claudio y 18 Sur, 72570 Puebla, México.

Abstract

A positive Lyapunov exponent indicates the presence of chaos in a dynamical system. In this manner, computing its maximum value guarantees the unpredictability grade of a chaotic system. In this investigation we present the application and comparison of two heuristics: Differential Evolution (DE) and Particle Swarm Optimization (PSO), to maximize the positive Lyapunov exponent in a multi-scroll chaotic oscillator based on saturated nonlinear function series. The computed results show that DE and PSO algorithms are suitable to maximize the positive Lyapunov exponent of truncated coefficients over the continuous spaces. In addition, the phase diagrams show that for a small positive Lyapunov exponent the attractors are well defined, while for its maximum value, the attractors are not well appreciated because the unpredictability grade of the chaotic oscillator is increased.

Keywords: Chaotic oscillator; Multi-scroll attractor; Lyapunov exponent; Saturated function series; PWL function; Evolutionary algorithms.

Resumen

Un exponente positivo de Lyapunov indica la presencia de caos en un sistema dinámico. De esta manera, el cálculo de un valor máximo garantiza el grado de impredicibilidad de un sistema caótico. En esta investigación presentamos la aplicación y comparación de dos heurísticas: evolución diferencial (DE) y optimización por enjambre de partículas (PSO), para maximizar el exponente positivo de Lyapunov en un oscilador caótico de múltiples enrollamientos basado en series de funciones saturadas. Los resultados calculados muestran que DE y PSO son adecuados para maximizar el exponente positivo de coeficientes truncados sobre espacios continuos. Adicionalmente, los diagramas de fase muestran que para un exponente positivo de Lyapunov pequeño los atractores están bien definidos, mientras que para su valor máximo, los atractores no se aprecian bien porque el grado de impredicibilidad del oscilador caótico está aumentado.

Descriptores: Oscilador caótico; atractor de múltiples enrollamientos; exponente de Lyapunov; serie de funciones saturadas; función PWL; algoritmos evolutivos.

PACS: 05.45.Pq; 05.45.Pq; 84.30.Ng; 07.50.Ek; 84.30.-r; 01.50.Pa

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Acknowledgments

This work is partially supported by CONACyT-México under grant 131839-Y.

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Nota

i. The program was compiled with gcc and -O2 flags, over a SUNz20v machine with two AMD Opteron 248 microprocessors.