Non–equivalence of the microcanonical and canonical ensembles in a bosonic Josephson junction
L.A. González–Garcíaª, R.A. Zamora–Zamora and R. Paredesb
ª Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de México (UAEM), Av. Instituto Literario 100, Col. Centro, C.P. 50000, Toluca, Estado de México, México.
b Instituto de Física, Universidad Nacional Autónoma de México, Apdo. Postal 20–364, México D.F. 01000, México.
]]> Recibido el 4 de febrero de 2011
Abstract
We investigate the thermodynamic properties of a bosonic Josephson junction in the full quantum approach and, in particular, we concentrate in studying the thermal averages of one– and two–body properties below and above the transition from delocalized to self–trapped regimes. This temperature dependence is determined by using the fact that at equilibrium the microcanonical and canonical ensembles should be equivalent. To establish the robustness of the equilibrium state, we first study a one body property and show numerically that any arbitrary state localized in energy, when evolved, reaches a stationary or equilibrium state. Comparison among averages of one– and two–body properties in the microcanonical and canonical ensembles reveals discrepances, thus leading to non–equivalence among these ensembles. Such averages differences can be attributed to the fact that the Hilbert space of the system scales as its size N, and consequently, the entropy does not scale as N. We further find as a natural consequence of studying the finite bosonic Josephson junction in the two–mode Bose Hubbard context, that positive and negative temperatures are obtained. This result can be generalized for any finite optical lattice.
Keywords: Josephson effect; bosonic Josephson junction; quantum ensemble theory.
Resumen
Se investigan la propiedades termodinámicas de una junta de Josephson bosónica en la aproximación cuántica de dos modos, en particular, se estudian los promedios térmicos de propiedades de uno y dos cuerpos abajo y arriba de la transición de deslocalizacion a estado autoatrapado. Esta dependencia en la temperatura se determina usando el hecho que en equilibrio los ensembles canónico y microcanónico deberían ser equivalentes. Primero se establece la robustez del estado de equilibrio estudiando una propiedad de un cuerpo y mostrando numéricamente que cualquier estado arbitrario localizado en energía alcanza un estado estacionario o de equilibrio. La comparación entre promedios de propiedades de uno y dos cuerpos en los esquemas canónico y microcanónico revela descrepancias, exhibiendo así la no equivalencia entre ensembles. Dichas diferencias en los promedios pueden atribuirse al hecho que el espacio de Hilbert del sistema se escala como su tamaño N y consecuentemente la entropía no se escala con N. Adicionalmente, se encuentra como consecuencia natural de estudiar a la junta de Josephson bosónica en la aproximación de dos modos, la existencia de temperaturas negativas. Dicho resultado puede ser generalizado para redes ópticas finitas.
Descriptores: Efecto Josephson; junta de Josephson bosónica; teoría de ensemble cuántico.
]]>PACS: 03.75.Lm; 03.75.Hh; 05.30.Ch
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Acknowledgments
This work was partially supported by grant IN114308 DGAPA (UNAM).
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