Applications and extensions of the Liouville theorem on constants of motion

G.F. Torres del Castillo

Instituto de Ciencias de la Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, Pue., 72570 México.

Recibido el 22 de febrero de 2011 ]]> Aceptado el 8 de abril de 2011

Abstract

We give an elementary proof of the Liouville theorem, which allows us to obtain n constants of motion in addition to n given constants of motion in involution, for a mechanical system with n degrees of freedom, and we give some examples of its application. For a given set of n constants of motion that are not in involution with respect to the standard symplectic structure, there exist symplectic structures with respect to which these constants will be in involution and the Liouville theorem can then be applied. Using the fact that any second–order ordinary differential equation (not necessarily related to a mechanical problem) can be expressed in the form of the Hamilton equations, the knowledge of a first integral of the equation allows us to find its general solution.

Keywords: Hamilton–Jacobi equation; constants of motion; symplectic structures.

Resumen

Se da una prueba elemental del teorema de Liouville, el cual permite obtener n constantes de movimiento adicionales a n constantes de movimiento en involución dadas, para un sistema mecánico con n grados de libertad, y se dan algunos ejemplos de su aplicación. Para un conjunto dado de n constantes de movimiento que no están en involución con respecto a la estructura simpléctica estándar, existen estructuras simplécticas con respecto a las cuales estas constantes estarán en involución y puede aplicarse entonces el teorema de Liouville. Usando el hecho de que cualquier ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (no necesariamente relacionada con un problema mecánico) puede expresarse en la forma de las ecuaciones de Hamilton, el conocer una primera integral de la ecuación permite hallar su solución general.

Descriptores: Ecuación de Hamilton–Jacobi; constantes de movimiento; estructuras simplécticas.

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References

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