Umbrales de percolación de sitios. Pequeñas celdas bidimensionales asimétricas
W. Lebrechty* y J.F. Valdés**
Departamento de Física, Universidad de La Frontera, Casilla 54–D, Temuco, Chile, e–mail: lebrecht@ufro.cl* ; jvaldes@ufro.cl**
Recibido el 23 de marzo de 2009
Aceptado el 30 de junio de 2009
Abstract
Site percolation thresholds pc and critical exponent v associated to square lattices, triangular lattices and hexagonal lattices are obtained. We consider a methodology consisting in the growth in size of cells for each geometry, denoted for M. A site is occupied with probability p and 1 — p if it is not occupied. Two directions of the plane: horizontal and vertical, through asymmetrical cells are considered for studying site percolation phenomena, so, a percolation functions associated to horizontal or vertical direction, f H(M,p) or f V(M,p) are obtained respectively. Using finite scaling techniques, the critical points at the thermodynamic limit are obtained. Site percolation thresholds are compared through three different ways: first, using the maximum of the derivative of the function f(H,V)(M,p) denoted by pp(H,V)(M), second, considering the solution of the equation f(H,V)(M,p) = p, denoted by pg(H,V)(M), and third, using the cross–point of the curves associated to percolation thresholds for horizontal and vertical directions, represented by pf (M). Critical exponent v is obtained through two different ways: first, using the maximum of the derivative defined as f ' (H,V)(M,pp), and second, considering the cross point of both derivatives f '(M,pf ). The values associated to site percolation thresholds and critical exponent v are in good agreement with the similar ones informed in literature, validating the methodology proposed here.
Keywords: Percolation; percolation threshold; critical exponent.
Resumen
Se estudia el umbral de percolación de sitios pc y el exponente crítico v en redes cuadradas, triangulares y hexagonales. Para ello se usa la metodología de hacer crecer pequeñas celdas de tamaño M en cada geometría. Se considera la probabilidad p si un sitio esta ocupado y 1 — p si esta desocupado. Con el fin de incorporar la percolación en las dos direcciones que define el plano (horizontal y vertical), se consideran celdas asimétricas, cuya función de percolación está respresentada por f H(M,p) o f V (M,p), dependiendo si se trata de percolación horizontal o vertical, respectivamente. Usando la técnica de escalamiento de tamaño finito, se calculan los puntos críticos que caracterizan el fenómeno en el límite termodinamico. Se comparan los umbrales de percolación mediante tres formas diferentes, aquel correspondiente el máximo de la derivada de la funciones f (H,V)(M,p) denotado por pp(H,V)(M), el que determina la resolución del polinomio f (H,V) (M,p) = p, denotado por pg(H,V)(M) y el que se encuentra mediante el cruce de las curvas de los umbrales de percolación horizontal y vertical, representado por pf (M). Por otro lado, el exponente crítico v se obtiene de dos formas diferentes, aquella relacionada con el maximo de la derivada definida como f ' (H,V)(M, pp) y con el punto de cruce de los umbrales de percolación horizontal y vertical sobre cada tipo de celda y definida como f '(M,pf). Los valores encontrados tanto para el umbral de percolación de sitio asociado a cada geometría, como el exponente crítico v estan en buena correspondencia con los informados en la literatura, lo que valida la metodología aquí propuesta.
Descriptores: Percolación; umbral de percolación; exponente crítico.
PACS: 64.60.Ak; 64.60.Fr
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Agradecimientos
Los autores agradecen a la Universidad de la Frontera a través del proyecto DIDUFRO DI 09–102 por el apoyo parcial en el desarrollo de este trabajo.
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