The Einstein model and the heat capacity of solids under high pressures
N. Aquinoª, V. Granadosb and H. Yee–Madeirab
ª Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana–Iztapalapa, Apartado Postal 55–534, 09340 México, D.F., e–mail: naa@xanum.uam.mx
b Departamento de Física, Escuela Superior de Física y Matematicas del Instituto Politécnico Nacional, Edif. 9, Unidad Prof. Adolfo López Mateos, Col. San Pedro Zacatenco, México D.F 07738, México.
Recibido el 5 de enero de 2008 ]]> Aceptado el 3 de abril de 2009
Abstract
We use the Einstein model to compute the heat capacity of a crystalline solid where the effect of high pressures is simulated through a confined harmonic oscillator potential. The partition function and the heat capacity are calculated in terms of the box size (pressure), finding a clear tendency of the latter quantity to diminish as the pressure increases. For a strong confinement regime (high pressures) the heat capacity increases monotonically with the temperature, whereas at moderate and low pressures, it attains a maximum and asymptotically becomes that corresponding to a set of free (non–interacting) particles in a box. At high temperatures we find that the specific heat value of a crystalline solid under high pressures departs from that predicted by the Dulong–Petit model.
Keywords: Schrödinger equation; confined quantum systems; heat capacity; high pressure.
Resumen
Se usa el modelo de Einstein para calcular el calor específico de un sólido cristalino sometido a altas presiones donde el efecto de la alta presión se simula usando un potencial de oscilador armónico confinado. La función de partición y la capacidad calorífica se calculan en terminos del tamaño de la caja de confinamiento (presión), encontrándose una clara tendencia del calor específico a disminuir cuando la presión aumenta. En el régimen de confinamiento fuerte (alta presión) el calor específico aumenta monotónicamente con la temperatura, mientras que a presiones moderadas y bajas alcanza un valor máximo, y después tiende asintóticamente al calor específico correspondiente a un conjunto de partículas libres (no–interactuantes) dentro de una caja. A altas temperaturas se encuentra que el calor específico de un sólido cristalino sometido a altas presiones se aparta del valor predicho por el modelo de Dulong–Petit.
Descriptores: Ecuación de Schrödinger; sistemas cuánticos confinados; capacidad calorífica; alta presión.
]]> PACS: 0720Fw; 6250+p
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Acknowledgments
We would like to thank A. Flores–Riveros for his comments. VGG and HYM are fellows of COFAA. VGG is indebted to IPN EDD for a grant. This work was partially supported by the SEPI–IPN (20090590).
References
1. A. Einstein, Ann. Phys 22 (1906) 180. [ Links ]
2. E.M. Corsonand Kaplan I, Phys. Rev. 71 (1947) 130. [ Links ]
3. A. Michels, J. De Boer, and A. Bijl, Physica 4 (1937) 981. [ Links ]
4. P.O. Fröman, S. Yngve, and N. Fröman, J. Math. Phys. 28 (1987) 1813. [ Links ]
5. F.M. Fernández and E.A. Castro, KINAM 4 (1982) 193. [ Links ]
6. W. Jaskólski, Phys. Rep. 271 (1996) 1. [ Links ]
7. Jr. H.E. Montgomery, G. Campoy, and N. Aquino, arXiv: 0803.4029v1 (2008) (math–phy) [ Links ]
8. F.M. Fernández and E.A. Castro, Int. J. Quantum Chem. 19 (1981) 521. [ Links ]
9. V.C. Aguilera–Navarro, E. Ley–Koo, and H. Zimermann, J. Phys. Math. Gen. 13 (1980) 3585. [ Links ]
10. N. Aquino and V. Granados, Coloquio Anual de Investigación, E.S.F.M., I.P.N., México D.F. (1998). [ Links ]
11. N. Aquino, E.G. Castaño Campoy, and V. Granados, Eur. J. Phys. 22 (2001) 645. [ Links ]
12. G. Campo y, N. Aquino, and V. Granados, J. Phys. A. 35 (2001) 4903. [ Links ]
13. D. Jajaputra and B.R. Cooper, Eur. J. Phys. 21 (2000) 261. [ Links ]
14. W. Wilcox, Am. J. Phys. 57 (1989) 526. [ Links ]
15. F.M. Fernández and E.A. Castro, AM J. Phys. 52 (1984) 453. [ Links ]
16. J.L. Marin and S.A. Cruz, Am. J. Phys. 59 (1991) 931. [ Links ]
17. F.M. Fernández, Int. J. Math Educ. Thechnol. 30 (1999) 405. [ Links ]
18. N. Aquino and E. Castaño, Rev. Mex. Fís. E51 (1998) 126. [ Links ]
19. K.R. Pathria, Statistical Mechanics (Oxford: Butherworth–Heineman, 1972.) pp. 66 [ Links ]
20. F. Mandl, Statistical Physics (Chilchister: John Wiley, 1988.) pp. 156. [ Links ]
21. H.B. Rosenstock, Am. J. Phys. 30 (1962) 38. [ Links ]
22. V.D. Granados and N. Aquino, Am. J. Phys. 67 (1999) 450. [ Links ]
23. C. Kittel, Thermal Physics, 2nd ed. (Freeman, San Francisco, 1980.) p. 62 [ Links ]
24. S.R. deGroot, G.J. Hooyman and C.A. tenSeldam, Proc. Roy. Soc. (London) A203 (1950) 266. [ Links ]
25. S. Takayanagi, S. Araki, R. Setta, Y. Onuki and N. Mori, J. Phys. Soc. Japan 70 (2001) 753. [ Links ]
26. P.V. Pávlov and A.F. Jojlov, Física del estado sólido (Ed. Mir, Moscú, (1987) p. 191 [ Links ]
27. S.M. Stishov, On the question of the specific heat of liquids and dense gases at low temperatures 31 (1980) 249. [ Links ] ]]>