Por qué y cómo exponenciamos matrices hamiltonianas

Kurt Bernardo Wolf

Centro de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 48-3, Cuernavaca, Morelos 62251, México

Recibido el 21 de junio de 2002.
Aceptado el 18 de noviembre de 2002.

Resumen

Las trayectorias de puntos masa en la mecánica clásica de osciladores, y de rayos de luz en la óptica geométrica paraxial, se obtienen exponenciando matrices. Las matrices hamiltonianas representan y clasifican mediante equivalencia las dinámicas posibles de los sistemas lineales. En mecánica unidimensional y en guías de onda planas son posibles los sistemas armónico, repulsivo, o el libre; esto es bien conocido y sólo requiere de matrices de 2 X 2 con 3 parámetros independientes. Aquí abordamos el problema de sistemas mecánicos en dos dimensiones, que coincide con el de las guías de onda ópticas en tres dimensiones, donde se requiere de matrices de 4 X 4 con 10 parámetros. Conocida la estructura de los eigenvalores, reducimos la exponencial de una matriz hamiltoniana a una suma de sus cuatro primeras potencias, con coeficientes que calculamos analíticamente, resolvemos la degeneración presente en el plano de eigenvalores, y comentamos sobre los sistemas lineales ondulatorios a los que se aplican estos resultados. Ponemos énfasis en las referencias que han tratado los tópicos contenidos en este trabajo, las cuales se detallan en párrafos separados.

Palabras clave: Sistemas hamiltonianos; transformaciones canónicas; álgebras y grupos simplécticos; exponenciación de matrices; órbitas de equivalencia.

Abstract

The trajectories of mass points in the classical mechanics of oscillators, and light rays in geometric paraxial optics, are obtained exponentiating matrices. Hamiltonian matrices represent and classify through equivalence the possible dynamics of linear systems. In one-dimensional mechanics and plane waveguides, the possible systems are harmonic, repulsive, or free; this is well known and only requires 2 X matrices with 3 independent parameters. Here we address the problem of mechanical systems in two dimensions, which coincides with that of waveguides in three dimensions, where 4 X 4 matrices are required, with 10 parameters. Knowing the eigenvalue structure, we reduce the exponential of a hamiltonian matrix to the sum of its first four powers, with coefficients that we compute analytically, and resolve the degeneracy which is present in the eigenvalue plane. We comment on the linear wave systems where these results are applied.

Keywords: Hamiltonian systems; canonical transformations; symplectic groups and algebras; matrix exponentiation; equivalence orbits.

PACS: 02.10.Sp; 02.20.Sv; 03.65.Sq; 42.15.Eq; 42.30.Kr

Agradecimientos

Agradezco el apoyo de Guillermo Krötzsch con las figuras de este artículo, las conversaciones de Jorge A. Flores sobre exponenciación de matrices, la colaboración estrecha de Sameen Ahmed Khan en el problema de las órbitas del álgebra simpléctica, y la generosidad del proyecto DGAPA-UNAM IN112300 Óptica Matemática.

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