Control óptimo y manejo de pesquerías II: Procedimientos de identificación y aplicaciones

Optimal control and fisheries management II: identification processes and aplications

Dora Julia Borbón González^1,2, Héctor Echavarría Heras¹, Alfredo Cota V.³ y Cecilia Leal Ramírez¹

¹ Grupo de Modelación y Análisis Teórico. CICESE Departamento de Ecología. Apdo. Postal 2732 Ensenada B.C. México. email: hechavar@cicese.mx.

² Universidad de Sonora, Departamento de Matemáticas. Hermosillo, Sonora, México. email: dborbon@cicese.mx

Recibido: 7 de julio de 1999
Aceptado: 16 de enero de 2001

Resumen

En el contexto de la metodología introducida en la primera parte de este trabajo y considerando como variable de control el esfuerzo pesquero se introduce un procedimiento directo para caracterizar su conjunto de admisibilidad de modo que el proceso de control induzca una condición de viabilidad para la biomasa. Utilizando el modelo de producción de Gompertz-Fox se desarrollaron métodos de identificación adaptados a datos de captura por unidad de esfuerzo. La aplicación de dichos resultados permite realizar el análisis retrospectivo de la optimalidad del esfuerzo en dos pesquerías en las cuales la participación del esfuerzo de la flota mexicana ha sido dominante; la de la Anchoveta Norteña y la de la Sardina en el Golfo de California.

Palabras clave: Optimalidad, viabilidad, pesquerías.

Abstract

Key words: Optimality, viability, fisheries.

Introducción

En la primera parte de este trabajo se presenta el marco conceptual y los métodos formales que definen e instrumentan la aplicación de metodologías de teoría de control óptimo al manejo racional de recursos pesqueros. En la cuarta sección de dicha primera parte se presenta una derivación heurística de la ecuación de Bellman-Hamilton-Jacobi, y en la quinta una similar para el principio del Máximo de Pontryagin. Usando dichos resultados es posible caracterizar de modo general la estrategia de control que maximiza el beneficio social derivado de la explotación de una población de peces. Para ejemplificar la aplicación de los resultados antes señalados en sistemas de explotación reales, en esta segunda parte se lleva a cabo el estudio retrospectivo de la optimalidad del esfuerzo pesquero en dos pesquerias con participación dominante de la flota mexicana: la de la Anchoveta Norteña (Engraulis mordax) frente a las costas de Baja California y la de la Sardina Monterrey (Sardinops sagax caeruleus) en el Golfo de California. Para tales propósitos, y en el contexto de las secciones 3 y 6 de la primera parte, sin pérdida de generalidad nos circunscribimos a la utilización del modelo de producción de Gompertz-Fox puesto que posee grandes ventajas desde el punto de vista analítico. Con el propósito de hacer expedita la necesaria referencia al contenido de la primera parte, en lo sucesivo nos referiremos a ésta mediante la utilización de la letra I. Así por ejemplo 4I denotará la cuarta sección de la primera parte y 4.3I se referirá a la ecuación 4.3 de la misma.

La solución obtenida al problema de control en 6I no considera restricciones sobre la variación de estado (véase ecuación 2.5I)). Sin embargo, éstas pueden ser consideradas introduciendo una extensión adecuada del principio del máximo. Un tratamiento general para tales problemas aparece en Knowles (1981). Uno de los objetivos fundamentales de esta segunda parte consiste en la introducción de un criterio alternativo. La idea central se basa en la suposición de que debido al efecto de Allee (Allee, 1931), la biomasa poblacional debiera permanecer por encima de un tamaño crítico a si se quiere garantizar la permanencia del recurso. En ese contexto, en la segunda sección del presente trabajo usamos un procedimiento directo para obtener una cota superior para el conjunto de admisibilidad del esfuerzo pesquero en términos del umbral de colapso a y de otros parámetros relevantes. La determinación del conjunto de admisibilidad en esa forma, provee de condiciones suficientes para garantizar la mencionada condición de viabilidad para la biomasa bajo explotación. Cabe señalar que este procedimiento se logra fácilmente si la biomasa poblacional tiene la forma asociada con la solución del modelo de crecimiento de Gompertz, independientemente de perturbar ésta mediante un término de remoción de biomasa por efectos de la aplicación del esfuerzo pesquero. En virtud de lo anterior, en la tercera sección se establece la ecuación de regresión para el modelo de producción de Gompertz-Fox. Dicha ecuación permite la identificación paramétrica inherente utilizando datos de captura por unidad de esfuerzo. En la cuarta sección se presentan los estudios de optimalidad antes mencionados para las dos pesquerías seleccionadas. En la última sección se presentan las conclusiones derivadas de estos estudios.

2. El problema de control bajo condiciones de viabilidad

El problema de control en su forma general ha sido introducido mediante las ecuaciones (2.1I)-(2.8I). El que corresponde al caso de la explotación de una población uniespecífica aparece en la sección 6I. El caso que abordamos considera que la variable de estado x(t) satisface

El problema de control mantendrá vigente la forma del conjunto de admisibilidad dada por la ecuación (6.2I)

Entonces los resultados de la sección 6I indican que la caracterización del esfuerzo óptimo E*(t) vendrá dada por la ecuación (6.18I)

donde la correspondiente trayectoria singular x_s(t) es definida implícitamente por las ecuaciones (6.14I) y (6.15I) y el esfuerzo E_s(t) necesario para mantener la variación de la respuesta sobre x_s(t) es dado explícitamente por la ecuación (6.17I). Cabe recordar que para la senda singular x_s(t) se cumplen los criterios de optimización establecidos, expresados como la maximización del valor presente del flujo de ganancias provenientes de la pesquería para el horizonte temporal considerado, de tal forma que la trayectoria óptima consiste en llevar a cabo la explotación del recurso de manera tal que la biomasa x(t) se mantenga tan cercana como sea posible a x_s(t).

Sin pérdida de generalidad abordaremos el caso autónomo suponiendo que el precio de cada unidad de biomasa capturada y similarmente el costo de una unidad de esfuerzo son aproximados adecuadamente por sus valores medios, para el horizonte de tiempo considerado. Esta suposición es aceptable si el análisis bioeconómico se realiza utilizando cotizaciones en el mercado internacional. La misma hipótesis se aplica al caso de la variación de la tasa de descuento δ(t) De este modo los resultados del apéndice AI indican que la trayectoria singular x_s(t) es constante para cada valor fijo de la tasa de descuento δ. Habiendo fijado todos los otros parámetros, denotemos el valor de la trayectoria singular que a cada valor fijo de la tasa de descuento mediante el símbolo s_x(δ). Entonces éste se obtiene de la ecuación (6.16I), la ecuación de la regla aurea de Clark, tomando en cuenta la forma de F(x(t)) definida por la ecuación (2.1) en conjunción con las aproximaciones δ(t) = δ, μ(x(t)) = c y p(t) = p. De este modo, el nivel de biomasa óptima x_s(δ) se define implícitamente mediante la ecuación

Con el fin de realizar el análisis de la optimalidad del régimen de explotación de un recurso pesquero bajo condiciones de viabilidad para la biomasa debemos considerar la restricción de variación de estado (2.5I). Esto puede lograrse también escogiendo adecuadamente el valor de la cota superior del conjunto de admisibilidad del esfuerzo pesquero, E_max, (ecuación 6.2I). Para ello introduciremos el siguiente criterio (Borbón-González, 1999):

La respuesta asociada con el problema de control (2.1I-2.8I) viene dada por la solución de la ecuación diferencial (2.1); la solución tiene la forma

Partiendo de la desigualdad de admisibilidad (6.2I)

y considerando que q es positivo tendremos que

Puesto que K y x₀ son no-negativos, x(t) satisface la desigualdad

Por lo tanto una condición suficiente para que la restricción de viabilidad, x(t) ≥ a, se cumpla resulta ser

o de forma equivalente

donde a es el umbral de colapso especificado y

Definiendo ahora la función ϕ(t) mediante

veremos que

Siendo r negativa y ϕ(t) positiva, ϕ(t) será creciente si R < 1 y decreciente si R > 1. En el caso en el cual ϕ(t) es creciente vemos que a partir del valor ϕ(0) = R, dicha función tenderá monótonamente a uno cuando t tiende a infinito. Como deseamos mantener la población x(t) sobre el umbral de colapso a, necesariamente se requiere que x₀ sea mayor que a. Consecuentemente (a/x₀)R < R < 1 y la desigualdad (2.4) tendrá vigencia para todo t (Figura 1).

Como resultado del análisis anterior podemos establecer que siempre que x₀R toma un valor mayor que a, la condición

garantiza la vigencia de la desigualdad (2.4) para todo valor del tiempo. Utilizando la ecuación (2.5) vemos que esta condición se puede expresar equivalentemente en términos de la cota superior del esfuerzo E_max si hacemos

Supongamos que E_max toma un valor constante igual al de su cota superior, dada por la desigualdad (2.6), y que E(t) toma el valor constante

entonces, considerando que r < 0 tenemos que la ecuación (2.1) toma la forma

Esto significa que cuando mantenemos el esfuerzo E(t) en el nivel constante dado por la cota superior E_max, la biomasa poblacional x(t) tiende asintóticamente al umbral de colapso a. Si x₀ es mayor que a la población se mantiene fuera de la región de extinción. Si x₀ es menor que la población permanece todo el tiempo bajo el umbral de extinción. Esto equivale a decir que en el contexto de la ecuación (2.1) el valor constante para E(t) dado por la ecuación (2.7) genera la solución de equilibrio estable x(t) = a.

En algunas aplicaciones el modelo de Gompertz-Fox toma la forma equivalente

donde r > 0, q > 0 y K > 0. En este caso x(t) se expresa como

y la desigualdad (2.4) tendrá la forma equivalente

Un procedimiento como el utilizado para establecer la desigualdad (2.5) permitirá concluir que en este caso también tiene vigencia.

De la ecuación (2.1) resulta claro que el nivel de esfuerzo E_s (véase la ecuación 6.17I) que mantiene la respuesta x(t) sobre la senda singular x_s(t) en el caso autónomo analizado tiene la forma

Adicionalmente, si se cumple la desigualdad a ≤ x_s y si consideramos que la función logaritmo natural es monótona, las ecuaciones (2.7) y (2.9) implican la vigencia de la desigualdad E_s ≤ E_max. En este caso, se cumplirá la condición de viabilidad que hemos invocado. La observación anterior nos permite conectar la solución al problema de control de la sección 6I con los resultados de la presente sección.

3. Métodos de identificación paramétrica

En el contexto de la ecuación (2.1) supondremos que la función de captura agregada al tiempo t, denotada por Z(t), se relaciona con la tasa instantánea de captura mediante la ecuación

Para los propósitos del ajuste de parámetros, usando la ecuación (3.1), se define la tasa de captura por unidad de esfuerzo U(t), mediante la ecuación (Schnute, 1977)

En el caso de interés, cuando E(t) es diferente de 0, tenemos

donde U_e = qK. Introduciendo la variable

la ecuación (3.4) se expresa como

Usando el factor e^-rt e integrando de t₀ a t_k, se sigue que

Tomando en cuenta el carácter discreto de los datos que caracterizan la variación de Z(t) y E(t) es conveniente introducir una partición del intervalo de explotación [t₀, T], en intervalos de la forma [t_k, t_k+1] con k = 0, 1, 2,..., N. Supondremos que la norma Δt = (t_k+1 - t_k) es constante. En ese contexto la ecuación (3.7) toma la forma equivalente

Bajo la suposición de que el esfuerzo E(t) toma un valor igual a su promedio Ē _i+1 en el intervalo [t_i, t_i+1] el resultado de la ecuación (3.8) se expresa en la forma

Utilizando la ecuación (3.5) se establece la ecuación equivalente

Usualmente, U(t_k) se aproxima mediante la media geométrica o aritmética de los valores medios de las tasas de captura por unidad de esfuerzo asociados con los años sucesivos centrados en t_k (Schnute, 1977). En este trabajo se utilizó la aproximación de U(t_k) mediante la media geométrica.

4. La pesquería mexicana de la anchoveta norteña (Engraulis mordax)

La explotación de la anchoveta norteña (Engraulis mordax) comienza en la década de los cincuentas con pequeños volúmenes de captura. El ritmo de explotación permanece constante hasta 1964, año en el que la captura se incrementa significativamente, destinándose la mayor parte de la producción a la industria reductora y enlatadora, siendo la primera la más importante. La pesquería mexicana de la anchoveta norteña se concentró en el puerto de Ensenada, B. C. Varios puertos del sur de California fueron centro de operaciones de la flota anchovetera norteamericana.

Echavarría et al. (1996) realizaron el ajuste del modelo de Gompertz-Fox a los datos de la captura total asociada con las flotas mexicana y norteamericana. En dicho ensayo fue necesario introducir un factor de ponderación sobre el esfuerzo pesquero mexicano. En el presente trabajo se usan los datos de capturas de anchoveta norteña efectuadas en el Pacífico Oriental por la flota mexicana en el período 1972-1994 (Figura 3).

En el presente trabajo se ajustó el modelo de Gompertz-Fox a los datos de captura por unidad de esfuerzo; esta información fue proporcionada por el Centro Regional de Investigaciones Pesqueras del Sauzal, Baja California. El proceso de identificación de parámetros del modelo se realizó utilizando la ecuación de regresión (3.11) considerando la aproximación del factor exponencial de la tasa promedio de esfuerzo que fue capaz de inducir el mayor coeficiente de determinación. La Figura 4 muestra los valores observados y los valores predichos generados por la regresión.

La Tabla 1 muestra los estimadores de los parámetros obtenidos del ajuste de la ecuación (3.11) a los datos de captura y esfuerzo pesquero ejercido en la pesquería mexicana de anchoveta norteña. El coeficiente de determinación obtenido en el ajuste, expresado como el porcentaje de la variabilidad explicada por el modelo, fue de un 79%. Se reportan además los errores estándar de los parámetros obtenidos a partir de la aplicación de la técnica Jacknife de remuestreo de los datos (Shao y Tu, 1995).

En la Figura 6, aparece el comportamiento de la biomasa predicha por el modelo de Gompertz-Fox considerando un valor constante del esfuerzo dado por la ecuación (2.7). Esta biomasa se calculó a partir de la solución de la ecuación (2.8) usando un valor de x₀ = 752,245 tm. estimado a partir de la captura por unidad de esfuerzo para el año 1972, el valor del parámetro q estimado por la regresión y un valor para el umbral de colapso a igual al 10% de la capacidad de carga estimada para el sistema. Podemos observar que el nivel de biomasa teóricamente esperado permanece siempre por encima del umbral crítico a, dado que se cumple la condición dada por la ecuación (2.5a) la cual garantiza el cumplimiento de la condición suficiente (2.4) para la restricción de viabilidad x(t) ≥ a. Sin embargo la aplicación de tal nivel de esfuerzo provocaría un serio abatimiento de la biomasa en aproximadamente 12 años a partir del inicio de la explotación.

Como hemos argumentado, y sin pérdida de generalidad, consideremos que el precio en el mercado de cada unidad de biomasa capturada y el costo de cada unidad de esfuerzo coinciden con sus valores medios y recordemos que denotamos mediante x_s(δ) el valor de la biomasa óptima predicha por la ecuación (2.2) para cada valor fijo de la tasa de descuento δ. Tomando la función de costo en la forma C(x) = c/qx (cf. ecuación 6.15I, haciendo μ(x_s(t)) = c) siendo c el costo de cada unidad de esfuerzo estandarizado a un nivel internacional y fijado en 2000 dólares/viaje y el precio p de cada tonelada métrica de anchoveta (como harina de pescado) en 300 dólares, calculamos el valor de la biomasa óptima x_s(δ) a partir de la ecuación (2.2) para distintos valores de la tasa de descuento. En la Figura 7 podemos observar que el valor de x_s(δ) decrece al aumentar δ.

En los mercados financieros internacionales, una cota superior representativa para la variación de la tasa de descuento es de δ = 0.10. La biomasa óptima que se obtiene de la ecuación (2.2) para este valor de δ resulta ser de 1,553,916 tm., lo que representa aproximadamente un 35% del nivel asintótico de biomasa. Si consideramos, de acuerdo con Getz y Haight (1989), que una población se ha colapsado si su biomasa desciende a niveles inferiores al diez por ciento de su capacidad de carga K, esperaríamos que en el caso de la anchoveta norteña aún manteniendo la biomasa en la trayectoria singular x_s(0.10) ésta permanecería fuera de la región de colapso.

El valor promedio de la tasa de descuento en el período de este análisis fue de 5%. Tomando como referencia dicho valor, en la Figura 8 podemos ver que x_s(0.05) toma un valor de 1,715,562 tm. Consecuentemente, la estrategia de control fue sub-óptima dado que el esfuerzo aplicado no mantuvo el nivel de biomasa sobre la senda óptima x_s(0.05). Sin embargo para el propósito de evitar la caída de la biomasa poblacional por debajo del umbral crítico el esfuerzo aplicado fue muy favorable ya que los valores estimados indican que la biomasa se mantuvo siempre por encima del mencionado nivel de colapso. Esto nos permite suponer que si bien la explotación de la anchoveta norteña no generó el máximo beneficio social posible de acuerdo con la estrategia de control predicha teóricamente, tampoco se presentó un problema de sobrepesca. Consecuentemente, el colapso en los niveles de captura pudo haberse debido a un problema de disponibilidad del recurso en el área de pesca generada por la respuesta biológica de la población a factores ambientales.

La pesqueria de la sardina (Sardinops sagax caeruleus Girard, 1856) en el Golfo de California

La explotación de la Sardina (Sardinops sagax caeruleus) en el Golfo de California se inició a finales de la década de los sesentas luego del colapso de la pesquería frente a la costa de California y costa occidental de Baja California (Lluch-Belda et al., 1986). Al igual que en los casos de la anchoveta norteña y la pesquería de la sardina frente a la costa occidental de las Californias, la pesquería de la sardina en el Golfo de California sufrió también un colapso. Sus capturas descendieron de un valor máximo de 292,000 tm hasta aproximadamente 7,000 tm en las temporadas 1991-1992, 1992-93 (Cisneros-Mata et al., 1995). La Figura 9 muestra la variación temporal de las capturas.

Según Cisneros-Mata et al. (1990) la modificación de la estructura de edades de la biomasa explotable, la excesiva captura de individuos en las primeras clases de edad y la intensa actividad pesquera global durante la caída explicarían la sobreexplotación del recurso.

En la Tabla 2 se reportan los de los estimadores de los parámetros obtenidos para el modelo, así como sus errores estándar, obtenidos a partir de la aplicación de la técnica Jacknife de remuestreo de los datos (Shao y Tu, 1995).

La Figura 10 muestra la comparación de los valores observados y los valores predichos generados por al ajuste del modelo.

Estableciendo nuevamente el umbral de colapso a en un diez por ciento de la capacidad de carga K (Getz y Haight, 1989), el valor de la cota superior para E_max según la desigualdad (2.6) resulta ser de 8,619 viajes/año. En la Figura 11 se muestra la variación del esfuerzo pesquero aplicado durante el período 1970-1991; se observa que éste se mantuvo siempre por abajo del nivel superior estimado para E_max.

Para un precio p de cincuenta dólares por tonelada y un costo por unidad de esfuerzo c de 2,000 dólares por viaje y manteniendo la forma C(x) como c/qx, se calcularon los valores de biomasa correspondientes a distintos valores de δ mediante la ecuación (2.2). La Figura 13 muestra la variación decreciente de x_s(δ) con respecto a δ, manteniendo fijos los parámetros restantes.

Se hizo una simulación de la variación temporal de la biomasa de sardina mediante la ecuación (3.2), utilizando el valor del parámetro q ajustado mediante la ecuación (3.11) con U(t_k) aproximado mediante la media geométrica de valores sucesivos alrededor de t_k para la tasa media de captura por unidad de esfuerzo. La Figura 14 muestra la variación respecto al tiempo de la biomasa estimada a partir de los datos de captura por unidad de esfuerzo (ecuación 3.2), también se muestra el nivel de colapso estimado a = 0.10 K.

Tomando como referencia para el análisis de optimalidad en esta pesquería un valor de la tasa de descuento δ = 0.05 en la Figura 14 podemos observar que la biomasa óptima correspondiente x_s(δ) es de 1,096,682 tm. Se puede concluir que para ese valor de δ la explotación si bien no se llevó a cabo de acuerdo con la estrategia de control óptimo obtenida en la sección 6I, sí permitió un crecimiento en la biomasa del recurso que la llevó a alcanzar y sobrepasar el nivel de biomasa óptima x_s(0.05) (Figura 14). En lo general el esfuerzo aplicado no fue capaz de mantener la biomasa sobre la senda singular pues la simulación de la biomasa indica que esta aumenta continuamente, lo cual significa que el esfuerzo aplicada fue inferior al indicado por la ecuación (6.17I) que corresponde con el caso de control singular. De acuerdo con este ensayo la explotación fue sub-óptima, sin embargo para el umbral de colapso utilizado no podemos concluir que se presentó un problema de sobrepesca ya que el nivel de biomasa estimada se mantuvo siempre por encima del nivel 0.10 K. Consecuentemente la caída en las capturas podría deberse a un problema de disponibilidad del recurso en el área de pesca.

Conclusiones

El presente estudio ha sido orientado hacia algunos aspectos metodológicos del vasto universo de la modelación aplicada al manejo de recursos. No es ocioso señalar que existen procedimientos para la estimación de la dinámica poblacional del recurso explotado. Los que hemos utilizado tienen la limitante de considerar índices de abundancia basados en la biomasa agregada. Esto hace que nuestras conclusiones deban de estar sujetas a umbrales de incertidumbre que rebasan a aquellos asociados con los criterios de validación estadística y que se derivan fundamentalmente del grado de idoneidad de la tasa de captura por unidad de esfuerzo como de abundancia. Sin embargo los métodos alternativos adolecen de otros aspectos y dependen de supuestos que en la realidad son difícilmente observables. La práctica ha demostrado que en muchas ocasiones los modelos de producción producen estimaciones con menor incertidumbre que aquellos que consideran la estructura de edades de la población (Hilborn y Walters, 1992).

Cabe aclarar que los criterios de adopción del umbral de colapso demandan de un mayor sustento en consideraciones de carácter biológico. Sin embargo la metodología que hemos introducido es de carácter general, de modo tal que ante la identificación de un valor diferente para dicho umbral las consecuencias asociadas podrían obtenerse fácilmente.

En lo referente a los cálculos numéricos para la estimación del nivel de biomasa óptima hemos supuesto que los valores de los parámetros identificados con el costo de cada unidad de biomasa y de esfuerzo se mantuvieron constantes. El haber utilizado metodologías como el análisis de sensibilidad, u otras técnicas para la estimación de los niveles de incertidumbre asociados habríamos tenido que extender aún más la presentación. Independientemente de las omisiones, hemos por lo menos mostrado el inicio del sendero que conduce al entendimiento de los importantes procedimientos de control óptimo aplicados al manejo de recursos pesqueros (véase Cohen, 1987). Sin duda la extensión de los resultados aquí presentados a mayores dimensiones o bien hacia otros confines de validación estadística no resultará imposible para el lector. En ese sentido se puede considerar el contenido de esta contribución como un puente entre los métodos formales y el alcance de objetivos de manejo óptimo de un recurso pesquero.

Resulta pertinente señalar que una extensión natural de la metodología aquí presentada sería la consideración de ecuaciones diferenciales estocásticas y de los métodos de control óptimo que se asocian (Jetschke, 1992; Ludwig, 1979; Ludwig y Varah, 1979; Fleming y Rishel, 1975). Si bien es cierto que dicho enfoque tampoco nos permitiría establecer conclusiones absolutas, sí estarían éstas sujetas a un marco de incertidumbre más reducido. La realización de tal extensión será facilitada grandemente si se tiene familiaridad con las metodologías aquí esbozadas.

Agradecimientos

A Elena Solana quien contribuyó notablemente en la revisión del contenido del presente trabajo. Los trabajos de investigación cuyos resultados aquí presentamos fueron auspiciados por el proyecto CONACYT 28440-A.

ALLEE, W. C., 1931. Animal Aggregations, University of Chicago Press.         [ Links ]

BORBÓN-GONZÁLEZ, D. J., 1999. Control óptimo de una pesquería sujeta a un régimen de oscilaciones inducidas por colapsos y recuperaciones de los niveles de biomasa: el caso de la anchoveta norteña (Engraulis mordax Girard). Proyecto de Tesis Doctoral. CICESE, Departamento de Ecología.         [ Links ]

BORBÓN-GONZÁLEZ, D. J. y A. COTA-VILLAVICENCIO, 1999. Indicadores básicos de la pesquería de la anchoveta norteña (Engralus mordax) en la costa occidental de Baja California, México. Informe Técnico. Comunicaciones Académicas, Serie Ecológica, CICESE 17 p. CITECT9908.         [ Links ]

CISNEROS-MATA, M. A., J. A. DE ANDA-MONTAÑEZ, J. J. ESTRADA-GARCÍA y F. PÁEZ- BARRERA, 1990. Evaluación de las pesquerías de Sardina Monterrey y Crinuda del Golfo de California. Investigaciones Marinas CICIMAR 5: 19-26.         [ Links ]

CISNEROS-MATA, M. A., M. O. NEVAREZ-MARTÍNEZ y M. G. HAMMANN, 1995. The rise and fall of the Pacific sardine, Sadinops sagax caeruleus Girard, in the Gulf of California, México. California Cooperative Oceanic Fisheries Investigations Reports 36: 136-143.         [ Links ]

COHEN, Y., 1987. A Review of Harvest Theory and Applications of Optimal Control Theory in Fisheries Management. Canadian Journal of Fisheries Aquatic Science 44: 75-83.         [ Links ]

ECHAVVARRÍA, H. H., W. J. REED, A. E. SOLANA y V. A. COTA, 1996. Análisis de optimalidad en la pesquería de anchoveta norteña (Engraulis mordax). Aportaciones Matemáticas. Serie Comunicaciones 18: 67-86.         [ Links ]

FLEMING, W. H. y R. W. RISHEL, 1975. Deterministic and Stochastic Optimal Control. Springer-Verlag, New York Inc.         [ Links ]

FOX, W., 1970. An Exponential Surplus-Yield Model for Optimizing Exploited Fish Populations, Transactions of the American Fisheries Society 1: 80-88.         [ Links ]

GETZ, W. M. y R. G. HAIGHT, 1989. Population Harvesting Demographic Models of Fish, Forest, and Animal Resources. Princeton University Press.         [ Links ]

GARCÍA, F. W., V. A. COTA y A. BARRERA, 1990. Boletín anual de la pesquería de anchoveta, temporada de 1988. Ciencia Pesquera 8: 23-34.         [ Links ]

HILBORN, R. y C. J. WALTERS, 1992. Quantitative Fisheries Stock Assessment: Choice, Dynamics and Uncertainty. Chapman and Hall, New York.         [ Links ]

JETSCHKE, G., 1992. Stochastic population models and their relevance for the conservation of species. Ecological Modelling 63: 71-89.         [ Links ]

KNOWLES, G., 1981. An Introduction to Applied Optimal Control. Academic Press, New York.         [ Links ]

LLUCH-BELDA, D., F. MAGALLÓN-BARAJAS y R. A. SCHWARTZLOSE, 1986. Large fluctuations in the sardine fishery in the Gulf of California: Possible causes. California Cooperative Oceanic Fisheries Investigations Reports 27: 136-140.         [ Links ]

LLUCH-BELDA, D., R. J. M. CRAWFORD, T. KAWASAKI, A. D. MACCALL, R. H. PARRISH, R. A. SCHWARTZLOSE y P. E. SMITH, 1989. World-wide fluctuations of sardine and anchovy stocks: The regime problem. South African Journal of Marine Science 8: 195-205.         [ Links ]

LUDWING, D., 1979. Optimal harvesting of randomly fluctuating resource. I: Application of perturbation methods. SIAM Journal of Applied Mathematics 37: 166-184.         [ Links ]

LUDWING, D. y J. M. VARAH, 1979. Optimal harvesting of randomly fluctuating resource. II: Numerical methods and results. SIAM Journal of Applied Mathematics 37: 185-205.         [ Links ]

SHAO, J. y D. TU, 1995. The Jacknife and Bootstrap. Springer-Verlag, New York Inc.         [ Links ]

SCHNUTE, J., 1977. Improved estimates from the Schaefer production model: Theoretical considerations. Journal of the Fisheries Research Board of Canada 34: 583-603.         [ Links ]