Symplectic structures and dynamical symmetry groups
G.F. Torres del Castilloa and M.P. Velázquez Quesadab
a Departamento de Física Matemática, Instituto de Ciencias, Universidad Autónoma de Puebla, 72570 Puebla, Pue., México.
b Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autónoma de Puebla, Apartado postal 1152, 72001 Puebla, Pue., México.
]]> Recibido el 29 de enero de 2004.
Abstract
Apart from the total energy, the two-dimensional isotropic harmonic oscillator possesses three independent constants of motion which, with the standard symplectic structure, generates a dynamical symmetry group isomorphic to SU(2). We show that, by suitably redefining the symplectic structure, any of these three constants of motion can be used as a Hamiltonian, and that the remaining two, together with the total energy, generate a dynamical symmetry group isomorphic to SU(1,1). We also show that the standard energy levels of the quantum two-dimensional isotropic harmonic oscillator and their degeneracies are obtained making use of the appropriate representations of SU(1,1), provided that the canonical commutation relations are modified according to the new symplectic structure. Whereas in classical mechanics the different symplectic structures lead to equivalent formulations of the equations of motion, in quantum mechanics the modifications of the commutation relations should be accompanied by modifications in the interpretation of the formalism in order to obtain results equivalent to those found with the common relations.
Keywords: Dynamical symmetry groups; symplectic structures; quantization.
Resumen
Aparte de la energía total, el oscilador armónico bidimensional isótropo posee tres constantes de movimiento independientes las cuales, con la estructura simpléctica estándar, generan un grupo de simetría dinámica isomorfo a SU(2). Mostramos que, definiendo adecuadamente la estructura simpléctica, cualquiera de estas tres constantes de movimiento puede ser usada como hamiltoniana y que las dos restantes, junto con la energía total, generan un grupo de simetría dinámica isormorfo a SU(1,1). Mostramos también que los niveles de energía usuales del oscilador armónico bidimensional isótropo cuántico y sus degeneraciones se obtienen haciendo uso de las representaciones apropiadas de SU(1,1), si las relaciones de conmutación canónicas se modifican de acuerdo con la nueva estructura simpléctica. Mientras que en la mecánica clásica las diferentes estructuras simplécticas llevan a formulaciones equivalentes de las ecuaciones de movimiento, en la mecánica cuántica, la modificación de las relaciones de conmutación debe estar acompañada de modificaciones en la interpretación del formalismo para obtener resultados equivalentes a los que se hallan con las relaciones usuales.
Descriptores: Grupos de simetría dinámica; estructuras simplécticas; cuantización.
]]>PACS: 45.20.Jj; 03.65.Fd
DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF
References
1. G.F. Torres del Castillo and G. Mendoza Torres, Rev. Mex. Fis. 49 (2003) 445. [ Links ]
2. M. Montesinos, Phys. Rev. A 68 (2003) 014101. [ Links ]
]]>3. H.V. McIntosh, Am. J. Phys. 27 (1959) 620. [ Links ]
4. H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed., (Addison-Wesley, Reading, Mass., 1980). [ Links ]
5. G.F. Torres del Castillo and J.L. Calvario Acócal, Rev. Mex. Fís. 43 (1997) 649. [ Links ]
6. G.F. Torres del Castillo, 3-D Spinors, Spin-Weighted Functions and their Applications, (Birkhäuser, Boston, 2003). [ Links ]
7. L.I. Schiff, Quantum Mechanics, 3rd ed., (McGraw-Hill, New York, 1968), Chap. 7. [ Links ]
]]>8. O.L. de Lange and R.E. Raab, Operator Methods in Quantum Mechanics, (Oxford University Press, Oxford, 1991). [ Links ]
9. G.F. Torres del Castillo, "The Lagrangians of a one-dimensional mechanical system", Rev. Mex. Fís. 50 (2004) 379. [ Links ]
10. M. Moshinsky and Yu.F. Smirnov, The Harmonic Oscillator in Modern Physics, Contemporary Concepts in Physics Series, Vol. 9, (Harwood, Amsterdam, 1996), Chap. VII. [ Links ]
11. G.F. Torres del Castillo, Rev. Mex. Fis. 40 (1994) 195. [ Links ]
12. B.G. Adams, J. Cizek and J. Paldus, in Advances in Quantum Chemistry, Vol. 19, Per-Olov Löwdin, ed., (Academic Press, New York, 1987), reprinted in Dynamical Groups and Spectrum Generating Algebras, Vol. 1, (World Scientific, Singapore, 1988). [ Links ]
]]>