Una solución analítica de la infiltración en un suelo con manto freático somero: aplicación al riego por gravedad

An analytical solution for infiltration in soils with a shallow water table: application to gravity irrigation

Carlos Fuentes¹, Carlos Chávez¹, Felipe Zataráin²

¹ Universidad Autónoma de Querétaro, México.

Dirección institucional de los autores

Dr. Carlos Fuentes
Dr. Carlos Chávez

Facultad de Ingeniería
Universidad Autónoma de Querétaro
Cerro de las Campanas
76010 Santiago de Querétaro, Querétaro, México
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M.C. Felipe Zataráin

Coordinación de Riego y Drenaje
Instituto Mexicano de Tecnología del Agua
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62550 Jiutepec, Morelos, México
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Recibido: 17/02/09
Aprobado: 19/03/10

Resumen

Se deduce una solución analítica de la ecuación de Richards utilizando las hipótesis de Green y Ampt para describir la infiltración del agua en un suelo con un manto freático somero. Se supone un perfil de humedad inicial lineal, de modo que el valor mínimo se encuentra en la superficie del suelo y el máximo en la superficie del manto freático. Se acepta una variación lineal de la succión en el frente de saturación, de modo que es máxima en la superficie del suelo y nula en el manto freático. La ecuación de Green y Ampt se deduce cuando la profundidad del manto freático tiende a infinito en la solución. La solución se compara con una solución numérica para la condición de contenido de humedad inicial lineal, supuesta para deducir la primera, y para una distribución hidrostática inicial de las presiones, con buenos resultados en ambos casos. En el modelo de Lewis y Milne se introduce la solución de la infiltración para describir tres pruebas de avance en el riego por melgas del cultivo de arroz en La Chontalpa, Tabasco, México, a diferentes profundidades del manto freático y caudales de riego. En la primera se calibran los parámetros relativos a la infiltración y a la ley de resistencia al flujo del agua en la superficie del suelo, y en las otras dos se lleva a cabo la predicción de la evolución del frente de avance; en las tres pruebas, las curvas teóricas de avance son muy cercanas a las curvas experimentales. La solución de la infiltración establecida se utiliza en el diseño del riego por gravedad en suelos con un manto freático somero, como ocurre en zonas agrícolas con riego o con drenaje lento.

Palabras clave: perfil de humedad inicial lineal, variación lineal de la succión en el frente de saturación.

Abstract

Keywords: linear initial moisture profile, linear variation of the driver pressure.

Introducción

En el estudio del movimiento del agua en el riego por gravedad se han utilizado ecuaciones racionales para describir el movimiento en la superficie del suelo y la infiltración. El movimiento en la superficie se modela generalmente con las ecuaciones de Saint-Venant (1871) y sus simplificaciones, como los modelos de onda difusiva, de inercia nula e hidrológico (Woolhiser, 1975; Strelkoff y Katopodes, 1977; Lewis y Milne, 1938). La infiltración se modela con soluciones numéricas o analíticas de la ecuación de Richards (1931).

Entre las soluciones analíticas de la infiltración se encuentran la de Philip (1957, 1969), Parlange et al. (1982) y Fuentes et al. (2001), entre otras. Estas soluciones se obtienen suponiendo una columna semi-infinita de suelo con un contenido de humedad inicial constante a lo largo de la misma. Esta condición no es aplicable en suelos con mantos freáticos someros, ya que el perfil de humedad no es uniforme, como ocurre en zonas agrícolas de riego.

El objetivo de este trabajo es la deducción de una solución analítica de la ecuación de Richards basada en las hipótesis de Green y Ampt que incluya la presencia del manto freático en el perfil del suelo.

La solución obtenida se compara con una solución numérica de la ecuación de Richards y se utilizará en la descripción de la fase de avance en el riego por gravedad en el cultivo de arroz en La Chontalpa, Tabasco, México, a través del modelo hidrológico propuesto por Lewis y Milne.

Teoría

La ecuación de Richards se utiliza ampliamente para estudiar la transferencia de agua en el suelo. En su forma unidimensional en la transferencia vertical se escribe como sigue:

la cual resulta de la ecuación de continuidad deducida a partir de la aplicación del principio de conservación de la masa:

y de la ley de Darcy generalizada a los suelos no saturados:

donde t es el tiempo; H, el potencial hidráulico igual a la suma del potencial de presión Ψ y del potencial gravitacional z asimilado a la coordenada vertical orientada positivamente hacia abajo; q, el flujo; K(Ψ), la conductividad hidráulica como una función de la presión; θ, el contenido volumétrico de humedad; θ(Ψ), la curva de retención de humedad, y su derivada C(Ψ) = dθ/dΨ es la capacidad específica.

Se han establecido algunas soluciones analíticas del fenómeno de la infiltración vertical basadas en la ecuación (1), correspondientes a formas particulares de las características hidrodinámicas y de las condiciones iniciales y de frontera. Destaca particularmente la solución de Parlange et al. (1982), quienes suponen una relación entre la difusividad hidráulica definida por D(θ) = K(θ)dΨ/dθ y la derivada de la conductividad hidráulica con respecto al contenido de humedad dK/dθ, para una columna semi-infinita de suelo con condición de humedad inicial constante (θ_o) y presión nula en la superficie del suelo; la solución incluye como casos extremos las ecuaciones de Green y Ampt (1911), y de Talsma y Parlange (1972). La primera corresponde al caso en que D(θ) tiene el comportamiento de una densidad de Dirac y K(θ) es continua, proporcional al contenido de humedad, mientras que la segunda cuando tanto como D(θ) y dK/dθ presentan un comportamiento proporcional a dicha densidad. Parlange et al. (1982) muestran que su solución es aplicable para describir la infiltración en suelos de textura contrastantes, desde una arena hasta una arcilla. El efecto de una carga positiva lo introducen Parlange et al. (1985), aceptando la hipótesis de Green y Ampt en cuanto a la presencia de una zona totalmente saturada en el perfil de humedad; una zona saturada en tensión la agregan Haverkamp et al. (1990).

En otra línea de investigación, Fuentes et al. (2001) ofrecen una solución que, para las mismas condiciones iniciales y de frontera, suponen que D(θ) es constante y que dK/ dθ es lineal, generalizando el término convectivo de la ecuación de Burgers (1948) planteada en un problema de aerodinámica y de la cual se han construido soluciones analíticas. El resultado incluye la solución lineal clásica y la presentada por Knigth (1973).

La infiltración según Green y Ampt

La ecuación de Green y Ampt se establece con las siguientes hipótesis:

a) El contenido de humedad inicial (θ_i) es constante a lo largo de la columna de suelo, es decir θ_i = θ₀ en 0 < z.

b) Durante la infiltración se forman dos zonas de humedecimiento, una totalmente saturada, es decir θ = θ en 0 < z <z_f, donde θ_s es el contenido de humedad a saturación y z_j(t) es la posición del frente saturado, y otra seca con el contenido de humedad inicial, es decir θ = θ_o en z_f < z. La primera zona evoca un pistón (figura 1).

c) La distribución de las presiones es hidrostática en la zona saturada, siendo Ψ = h_sup en z = 0, donde h_sup > 0 es la presión impuesta en la superficie del suelo, y Ψ = Ψ_f en z = z_f, donde Ψ_f = -h_f < 0 es una presión negativa efectiva en el frente de saturación y 0 < h_f es la succión correspondiente. Lo anterior se traduce en Ψ = h_sup- (h_sup + h_f)z/z_f.

donde Δθ = θ_s -θ_o y K_s = K(0) es la conductividad hidráulica a saturación.

La integración de la ecuación (4), sujeta a la condición I = 0 en t = 0, conduce a la ecuación de infiltración de Green y Ampt, para h_sup independiente del tiempo:

En una columna de suelo con un manto freático localizado a una profundidad P_f, la ecuación (5) podría aplicarse hasta el tiempo t_f, que corresponde al momento en que el frente de saturación alcanza el manto freático, con una lámina infiltrada acumulada máxima I_f = ΔθP_f. Sin embargo, su aplicabilidad es cuestionable, ya que la presencia de un manto freático induce un perfil de humedad no uniforme (Gardner, 1958; Kunze et al., 1985) y la condición inicial depende de la profundidad θ_i(z), de modo que θ_i(0) = θ₀ y θ_i(P_f) = θ_s.

La infiltración en una columna de suelo con manto freático

Se denota por θ_i(z) la distribución inicial de la humedad; su desarrollo en potencias alrededor de z = 0 es θ_i(z) = θ_o + θ'_i/(0)z + O(z²). Si se retienen los términos hasta el lineal, θ'_i/(0) debe ser reemplazada por (θ_s - θ_o)/ P_f con la finalidad de satisfacer la condición θ_i(P_f) = θ_s. Así, la primera hipótesis de Green y Ampt se reemplaza aquí por una dependencia lineal del contenido de humedad inicial con respecto a la profundidad:

La lámina infiltrada acumulada en un flujo en pistón con contenido de humedad inicial variable está definida por:

La introducción de la ecuación (6) en la ecuación (7) proporciona la relación siguiente entre la lámina infiltrada y la posición del frente de saturación:

donde I_M es la lámina infiltrada máxima.

La succión en el frente de saturación depende de los contenidos de humedad inicial y saturación, es decir h_f = h_f(θ_i, θ_s). Cuando el frente de saturación está en la superficie se tiene el valor h_f(θ_o, θ_s), y cuando el frente de saturación está en la superficie del manto freático el valor de la succión es nula; su desarrollo en potencias alrededor de θ_i = θ_o es h_f(θ_i, θ_s) = h_f(θ_o, θ_s) + (∂h_f/∂θ_i)_θi=θo (θ_i = θ_o) + O[θ_i - θ_o)²]. Si se retienen los términos hasta el lineal, (∂h_f/∂θ_i)_θi=θose debe reemplazar por -h_f(θ_o, θ_s) / (θ_o, θ_s) para satisfacer la condición en el manto freático: h_f(θ_i, θ_s) =h_f(θ_o, θ_s)[1 - (θ_i = θ_o)/ (θ_s = θ_o)]. Utilizando la ecuación (6) se obtiene la dependencia lineal siguiente:

La ecuación (4) se transforma en la ecuación diferencial siguiente:

La integración de la ecuación (10) con la condición I = 0 en t = 0 conduce a la ecuación de infiltración que sigue, cuando h_f ≠ P_f:

Se debe notar que la ecuación (11) se reduce a la ecuación de infiltración de Green y Ampt, ecuación (5), cuando P_f → ∞. En efecto, considerando que en este límite se tiene 1 - (1 - I/I_M)^1/2 ≅ I/2I_M = I/ΔθP_f El tercer término es del orden de 1/P_f y tiende a cero; en el segundo término, el argumento del logaritmo tiende a 1 + I/Δθ(h_sup + h_j) y su coeficiente a Δθ(h_sup + h_f); finalmente, en el primer término, el coeficiente de I tiende a la unidad. Tomando en cuenta la definición λ = Δθ(h_sup + h_f), se deduce la ecuación de Green y Ampt.

En tiempos cortos, la solución se desarrolla en la raíz cuadrada del tiempo:

El parámetro S_t se denomina la sorbilidad total y se infiere que su cuadrado es el resultado de las propiedades del suelo y de la condición en la frontera; es decir, S²_t = S²+ S²_sup, donde S² = 2K_sh_fΔθ y S²_sup= 2K_sh_supΔθ. El parámetro S es propiamente la sorbilidad del suelo (Philip, 1957). También cuando P_f → ∞ se obtiene el resultado clásico del desarrollo de la ecuación de Green y Ampt.

Para deducir el comportamiento cuando t → t_M, donde t_M es el tiempo correspondiente a la lámina infiltrada máxima, primero se deduce de las ecuaciones (11) y (12):

Restando las ecuaciones (11) y (15), y las ecuaciones (12) y (16), se deduce el comportamiento buscado:

Estimación de parámetros

El parámetro h_f se calcula a partir de las características hidrodinámicas del suelo, utilizando la expresión que define la sorbilidad:

donde f(θ) es la relación de concentración de flujos y θ_o = θ(Ψ_o), siendo Ψ_o la presión correspondiente a θ_o.

La expresión que resulta para la succión en el frente de saturación es:

donde K_r(Ψ) = K(Ψ)/K_s es la conductividad hidráulica relativa a su valor en saturación.

La relación de concentración de flujos para una difusividad de Dirac es f(Θ) = Θ. Mediante un procedimiento de optimización, Parlange (1975) recomienda:

El contenido de humedad inicial en la superficie se estima a partir de la curva de retención de humedad. En efecto, Saucedo et al. (2003) muestran que el supuesto de una distribución hidrostática de las presiones en el tiempo inicial rinde cuenta de la evolución del frente de onda en la fase de avance en el riego por gravedad en suelos con mantos freáticos someros. Este supuesto permite reemplazar el contenido de humedad inicial en la ecuación (7) por la curva de retención θ(Ψ), considerando que Ψ = z - P_f. Para la lámina de infiltración máxima se tiene:

Así, la ecuación (22) permite estimar un contenido de humedad inicial en la superficie, de modo que se conserve la masa total. De acuerdo con la ecuación se tiene:

si θ_o < θ_r, entonces θ_o = θ_r, donde θ es el contenido de humedad residual de Brooks y Corey (1964), definido de modo que la conductividad hidráulica asociada es cero.

Comparación entre las soluciones analítica y numérica de la infiltración

Para comparar la solución analítica con la solución numérica de la ecuación de Richards se utiliza un suelo arcilloso de La Chontalpa, caracterizado hidrodinámicamente por Saucedo et al. (2003). Estos autores representan la curva de retención con la ecuación de Van Genuchten (1980) y la curva de conductividad hidráulica con la ecuación de Brooks y Corey (1964), como es sugerido por Fuentes et al. (1992):

Se utiliza el código numérico propuesto por Zataráin et al. (1998) para obtener la solución de la ecuación de Richards, ecuación (1), sujeta a la condición inicial definida por la ecuación (6) con θ_o = 0.4 cm³/ cm³ y diferentes profundidades del manto freático P_f = 50, 100, 150 cm. La presión en la superficie seleccionada es h_sup = 10 cm, que es del orden de magnitud del tirante de agua formado en el riego por melgas en el cultivo de arroz. En la figura 2 se muestra la evolución de la lámina infiltrada calculada con la ecuación de Richards y con la solución analítica propuesta; el buen acuerdo entre ambas soluciones es evidente.

En la figura 3 se tiene la misma comparación que en la figura 2; pero en este caso, la ecuación de Richards se resuelve suponiendo una distribución hidrostática de las presiones. El acuerdo sigue siendo bueno, aunque la solución analítica se obtiene para una condición inicial diferente.

Aplicaciones

Una de las posibles aplicaciones de la ecuación de infiltración deducida es la descripción de la evolución del frente de onda en la fase de avance del riego por gravedad en suelos con mantos freáticos someros.

donde q_o es el caudal de aporte de agua por unidad de ancho de la melga o caudal unitario de aporte; , un tirante de agua medio en la superficie del suelo; τ = t - t_x, el tiempo de contacto del agua en un punto x de la melga, y es igual a la diferencia entre el tiempo de avance (t) y el tiempo en que la onda arriba al punto en cuestión (t_x).

La ecuación (26) puede ser resuelta numéricamente. La solución para Δt constante, utilizando la regla de los trapecios, es la siguiente:

Con El coeficiente de forma está en se puede tomar el valor

Para el cálculo del tirante medio en función del caudal unitario de aporte es necesario introducir una ley de resistencia al flujo. Se utiliza la ley de resistencia en potencia siguiente (Fuentes et al., 2004):

donde q es el caudal unitario; h, el tirante de agua; J, la pendiente de fricción; v, el coeficiente de viscosidad cinemática; g, la aceleración gravitacional; el límite inferior corresponde a la ley de Chézy (1776) y el superior a la ley de Poiseuille (1841); y k es un coeficiente adimensional. Se suponen los valores v = 1x10^-6 m²/s y g = 9.81 m/s².

A partir de un análisis de la forma de la onda de avance en tiempos largos, Zataráin et al. (2003) concluyen que el tirante medio del modelo hidrológico puede ser estimado con la fórmula:

donde h_o es el tirante normal y J_o es la pendiente topográfica de la melga. El tirante medio es tomado como el valor de la presión en la superficie del suelo: h_sup = .

Los caudales unitarios de las tres pruebas de riego son reportados en el cuadro 1; la pendiente topográfica de la melga es J_o = 0.00085 m/m. Tomando el caudal unitario máximo, el criterio del número de Reynolds Re ∞ q_o/v = 1 428 indica que el régimen de flujo es laminar, es decir d = 1. En cuanto al parámetro k, Saucedo et al. (2003) lo calibran de modo de reproducir la curva de avance en la primera prueba de riego; con las ecuaciones de Saint-Venant y Richards obtienen fc=0.0033; las dos pruebas restantes se predicen correctamente utilizando este valor.

Dado que la evolución del tirante proporcionada por las ecuaciones completas de Saint-Venant se reemplaza por un tirante medio y constante en el modelo hidrológico, la calibración del parámetro k en la primera prueba de riego es diferente; el valor óptimo es k =0.0025. En el cuadro 1 se muestran los valores de la infiltración máxima calculada con la ecuación (22), el contenido de humedad en la superficie calculada con la ecuación (23), la succión en el frente de saturación en la superficie calculado con las ecuaciones (20) y (21), y el tirante medio calculado con la ecuación (29).

En la figura 4 se muestran las tres curvas de avance. En la primera prueba de riego, la curva teórica es de calibración, mientras que en las pruebas segunda y tercera, las curvas son de predicción. El buen ajuste entre ellas indica que la solución analítica planteada puede describir la evolución de la lámina infiltrada en un suelo con manto freático en su perfil.

Los parámetros de la solución analítica h_f y K_s se han calculado a partir de las características hidrodinámicas obtenidas a su vez mediante la calibración de la curva de avance con las ecuaciones de Saint-Venant y Richards. Sin embargo, los parámetros pueden obtenerse mediante la calibración directa de la curva de avance con el modelo hidrológico y la solución analítica de la infiltración; el parámetro h_f, como se observa en el cuadro 1, es relativamente constante en un buen rango del contenido de humedad en la superficie del suelo y puede tomarse como el que resulta de la primera prueba de riego. Los parámetros se estiman también a partir de pruebas clásicas de infiltración.

Conclusiones

En el modelo de Lewis y Milne de la fase de avance del riego por gravedad, la solución de la infiltración se introduce para la descripción de tres pruebas de riego por melgas realizadas en el cultivo de arroz en La Chontalpa, Tabasco, México, a diferentes profundidades del manto freático. En la primera prueba se calibraron los parámetros relativos a la infiltración y a la ley de resistencia al flujo del agua en la superficie del suelo; en las pruebas segunda y tercera se llevó a cabo la predicción de la evolución del frente de avance. Tanto en la calibración como en la predicción, las curvas teóricas de avance son muy cercanas a las curvas experimentales.

A partir de lo anterior, la solución de infiltración propuesta puede ser utilizada en el diseño del riego por gravedad en suelos con un manto freático somero, como ocurre en zonas agrícolas de riego o suelos con drenaje natural lento que inducen tales condiciones.

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