Malmquist index and state productivity in Mexico

Miguel A. Martínez-Damián*, José J. Brambila-Paz, Roberto García-Mata

Colegio de Postgraduados. Km 36.5 Carretera México-Texcoco, Montecillo Edo. de México. 56230. (angel01@colpos.mx)

* Autor responsable

Resumen

La escasez de recursos hace necesaria la eficiencia en la producción. Esta es una medida comparativa y no absoluta; con esto en mente se presenta un estudio de la eficiencia productiva de las entidades federativas en México. El enfoque empleado es el de análisis de datos envolventes bajo el Índice de Malmquist. Dicho índice evalúa cada unidad referente al grupo en dos puntos del tiempo, generando una medida de eficiencia de la unidad bajo análisis. Con datos del Producto Interno Bruto por entidad, mano de obra e inventario de capital de 2005 a 2010, se encuentra que la productividad nacional está en la frontera eficiente. Con respecto a las entidades federativas se encontró que 18 están sobre la frontera eficiente, 12 la exceden, y sólo dos aparecen por debajo de ella.

Palabras clave: análisis de datos envolventes, eficiencia productiva, función distancia.

Abstract

The scarcity of resources makes efficiency in production necessary. This is a comparative measure and is not absolute; with this in mind, this study is about the productive efficiency of federal entities in México. The approach used is data envelopment analysis with the Malmquist Index. This index evaluates each unit that refers to the group in two points in time, generating a measure of efficiency of the unit under analysis. With data from the Gross Domestic Product per state, labor and capital inventory from 2005 to 2010, it was found that national productivity is on the efficient limit. With regards to the federal entities, it was found that 18 are above the efficient limit, 12 exceed it, and only two appear below it.

Key word: data envelopment analysis, productive efficiency, distance function.

Introducción

El análisis de eficiencia es de tipo relativo; es decir, la eficiencia es una medida relativa; por otra parte, en la actividad productiva las unidades tomadoras de decisiones emplean insumos para obtenerla. Es generalmente aceptado que aquella unidad que con los mismos insumos obtenga más producto, o que para la misma cantidad de producto obtenido emplee menos insumos, es la más eficiente. Sin embargo, las unidades productivas pueden emplear distintas combinaciones de insumos en el tiempo, lo mismo que otras unidades con las que se compara, esto hace que la medición de la eficiencia productiva no sea directa. En México se tiene información del Producto Interno Bruto (PIB) de entidades federativas y, dada la escasez de recursos, es pertinente un estudio de la eficiencia de dichas entidades.

Una medida adecuada de eficiencia es el índice de Malmquist (IM). El IM se ha empleado para estudiar servicios bancarios, hospitales, sectores agrícolas, etcétera. Tortosa-Ausina et al. (2003), Chul-Young et al. (2011), Nin-Pratt y Bingxin (2010). Con la característica de que se requieren por lo menos dos observaciones en el tiempo tanto de insumos como de productos. Una vez obtenidos estos, se puede ordenar las unidades analizadas en términos de eficiencia, quedando el análisis estático. Aquí se emplea el índice de Malmquist para el estudio de la eficiencia de las entidades federativas de México, con la salvedad de que se comparan las combinaciones de insumos empleados para obtener el producto interno bruto estatal de varios años relativas a las condiciones de producción de un periodo base, lo que convierte este estudio en dinámico. El objetivo fue hacer un seguimiento de la eficiencia productiva de las entidades federativas en México, bajo la hipótesis de que dicha eficiencia es baja.

Capitulo descriptivo y metodológico

Se generó una base de datos para el análisis de la productividad; se empleó como variable Producto el PIB por entidad federativa y como variables insu-mos: la Población Económicamente Activa Ocupada (MO) y el Inventario de Capital (K), también por entidad federativa.

Con respecto a la obtención del Inventario de Capital, en primera instancia se deflactó la información de la variable formación del capital fijo (ΔK) con el índice de precios implícitos del PIB año base 2003. Después se recopiló la información del personal ocupado por entidad y capital por trabajador del año 2009, este último se transformó al deflactarlo con el Indice de Precios al Consumidor (IPC) de 2009 con base 2003. Con estos datos se obtuvo el inventario de capital para el año 2009 (K_t) utilizando la expresión: K2₂₀₀₉=personal ocupado₂₀₀₉ x capital por trabajador₂₀₀₉^; para el año 2008: K₂₀₀₈=K₂₀₀₉-ΔK₂₀₀₉.

El procedimiento de substracción se repitió para los siguientes años en forma descendente hasta el año 2005 (método del inventario perpetuo; Acevedo, 2009); finalmente K₂₀₁₀=K₂₀₀₉+ΔK₂₀₁₀.

Para el estudio de los índices de productividad basados en funciones distancia se identifican dos enfoques diferenciados. El primer enfoque se inicia con Caves, et al. (1982), que introducen de manera teórica el IM de productividad en insumos y productos. Éste se basa en razones o cocientes con funciones distancia orientadas a insumos y funciones distancia orientadas a productos. La obtención empírica de estos índices pudo realizarse hasta que Färe et al. (1994), mostraron un método de cálculo a través de técnicas de programación lineal (segundo enfoque).

El Indice de Productividad de Malmquist (1953), representa el crecimiento de la productividad total de los factores (PTF) de una unidad productiva, en este caso la entidad federativa. Refleja el progreso en eficiencia¹ de conformidad con los cambios tecnológicos en el tiempo, que se manifiesta como desplazamiento de la propia frontera bajo un marco de múltiples insumos y productos (Caves et al., 1982). Bajo este enfoque, las observaciones fuera de la frontera reflejan los períodos en los cuales la utilización de los recursos resulta menos eficiente en comparación con las prácticas empleadas durante los mejores años. La distancia entre la frontera y los puntos de producción representa la ineficiencia técnica. Las funciones distancia o medidas de eficiencia técnica, permiten cuantificar la ineficiencia técnica en un plan de producción, mediante la comparación de las cantidades de insumos y de productos que necesita una unidad que es técnicamente eficiente con los que utiliza una unidad ineficiente.

El IM bajo análisis de datos envolventes (Caves et al., 1982) define funciones distancia orientadas a insumos que caracterizan una tecnología por la máxima contracción proporcional posible en el uso de insumos, mientras los niveles del producto se mantienen constantes; o bien orientadas a la producción, que consideran la expansión proporcional maximal del vector de producción, dados los insumos utilizados. En el enfoque de datos envolventes se supone convexidad, eliminación gratuita de productos e insumos y rendimientos constantes a escala.² Se puede referir de tres formas distintas: fraccional, multiplicativa y envolvente (Charnes et al., 1978).

La metodología de la media geométrica de los índices de productividad Malmquist con orientación hacia los insumos que se utilizó en esta investigación, tiene como ventajas: primero, no se requiere información de precios, utiliza datos sobre unidades físicas de insumos y productos, lo que permite comparar las entidades federativas. Segundo, los supuestos de maximización de beneficios o la minimización de costos no se utilizan, y está libre de los errores de especificación en la forma funcional. Sin embargo, el análisis de datos envolventes no considera los efectos aleatorios, por lo que los disturbios externos que ocasionen una desviación de la frontera y afecten el desempeño de una unidad son captados como ineficiencias, pudiéndose sobre o subestimar la medición.³ Si se tienen suficientes datos se puede tomar una media móvil para controlar por dichos efectos aleatorios (Trueblood y Coggins, 2001).

Suponiendo que la tecnología está caracterizada por rendimientos constantes a escala, permitiendo el desplazamiento de la frontera eficiente, entonces el cociente entre su eficiencia técnica en el periodo t+1 y t es una medida del cambio productivo experimentado, siendo posible realizar la evaluación de eficiencia tomando como referencia, bien la tecnología del periodo t, o bien la del periodo t+1 (Thanassoulis, 2001).

En los periodos de tiempo t y t+1, bajo el supuesto de que las entidades federativas como unidades de producción generan un producto (Y=PIB) a partir de dos insumos (X₁=K, X₂=MO), el cambio productivo para cada entidad, tomando como referencia la tecnología del período t ()estaría dado por:

dónde:

es la eficiencia técnica de la entidad federativa A en el periodo t (subíndice) respecto a la frontera eficiente del mismo periodo (superíndice).

es la eficiencia técnica de la entidad federativa A en el periodo t +1 respecto a la frontera en t.

El cambio productivo experimentado por la entidad A entre el periodo t y el t+1, con esta metodología, puede obtenerse a partir de la expresión:

En la ecuación (2), el componente es el denominado cambio en eficiencia técnica (CE) y captura los cambios en el tiempo de la eficiencia relativa; es decir, si la entidad se está acercando o se está alejando de la frontera eficiente.

El componente es el progreso tecnológico, que captura el cambio en tecnología (CT), entre los periodos t y t+1. El primer componente es el efecto del cambio en la frontera en (X_t, Y_t), evaluada como el cambio en la eficiencia de (X_t, Y_t) con respecto al período t y las fronteras de t+1, respectivamente. El segundo componente es el efecto del cambio de la frontera (X_t+1, Y_t+1) evaluada como el cambio de eficiencia de (X_t+1, Y_t+1) con respecto al período t y las fronteras de t+1 respectivamente. Sin embargo, el efecto de cambio en la tecnología es definido por la media geométrica de los dos componentes.

Cuando una entidad federativa tiene (entre los periodos t y t+1) una mejora de productividad, entonces el IM (X_t+1, Y_t+1; X_t, Y_t) será mayor que 1; si ocurre lo contrario, el resultado será inferior a 1; y si no existe ningún cambio en el período estudiado, el resultado será la unidad. Sin embargo, al mismo tiempo se puede producir una mejora de la eficiencia técnica y un retroceso tecnológico.

Para calcular el IM insumo orientado, se requiere calcular cuatro funciones distancia insumo que son obtenidas mediante programación lineal. Estas funciones permiten describir un modelo de producción multi-producto, multi-insumo sin necesidad de asumir un criterio determinado, como minimización del costo o maximización de ganancia (Perelman, 1995). Una función distancia de insumo está definida por la tecnología de producción cuyo consumo de insumos es el mínimo posible dado un determinado nivel de producción (Coelli et al., 1998).

Las funciones distancia involucradas en el IM(X_t+1, Y_t+1; X_t, Y_t) son:

Ésta es la medida de la eficiencia técnica de la entidad evaluada A, usando los datos observados (insumo y producción) para la entidad en el periodo t con relación a la frontera tecnológica del periodo t.

sujeto a:

donde θ es un escalar (distancia a minimizar), λ es un vector de constantes por obtener,Y_t y X_t son los vectores de producción e insumos utilizados en el conjunto al tiempo t respectivamente (excepto aquellos de la entidad evaluada), X_A es el nivel de insumos empleados en la entidad evaluada A, Y_Aes el nivel de producción generada por la entidad evaluada A.

Es la eficiencia técnica de la entidad A, que se calcula usando los datos observados para dicha entidad en el periodo t+1 con relación a la frontera eficiente en el periodo t+1.

sujeto a:

En las siguientes funciones distancia se requiere información de los periodos t y t+1, puesto que se comparan los datos de un periodo con la frontera eficiente del otro. Además, por esta razón, el valor óptimo de θ, θ*, puede ser mayor a la unidad.

Es la eficiencia técnica de la entidad A, calculada a partir de los datos observados en el periodo t+1 respecto a la frontera eficiente del periodo t.

sujeto a:

Es la eficiencia técnica de la entidad A calculada a partir de los datos observados en el periodo t respecto a la frontera eficiente del periodo t+1.

sujeto a:

Como puede verse, el problema es computacional, pues requiere la solución de cuatro problemas de programación lineal por cada entidad federativa 4x32=128 multiplicado por el número de años del estudio, que en este caso son cinco, dan un total de 640 problemas de programación lineal por resolver. Emrouznejad (2005), ha escrito una macro en SAS que requiere pequeñas adecuaciones para poder hacer el análisis de datos envolventes.

Resultados y Discusión

En el Cuadro 1 se presenta el cálculo del índice de productividad de Malmquist para las 32 entidades federativas de México tomando como año de referencia para el análisis al 2005, esto hace comparable la eficiencia en producción de cualquier par de años por medio de dicho año.

Del Cuadro 1 se hacen dos tipos de análisis, uno vertical que envuelve la productividad nacional y otro horizontal indicando la productividad por entidad.

Con respecto al segundo análisis, en el Cuadro 2 se presenta un análisis de la productividad por entidad. Ahí se considera nuevamente la variabilidad del índice de Malmquist por año, por lo que se presenta el contraste estadístico de que el índice de Malmquist es 1 contra la alternativa diferente de 1 para cada entidad. En este caso, debido al reducido número de observaciones y a tener que estimar la desviación estándar, el nivel de confiabilidad empleado en este contraste fue de 0.10; con tres posibilidades: rechazar la nula en favor de un índice mayor que 1, no rechazar la nula de un índice de Mamquist igual a 1 y rechazar la nula en favor de un índice de Malmquist menor que 1. Los resultados muestran que de las 32 entidades federativas 18 presentan una productividad estadísticamente significativa mayor que 1; 12 presentan una productividad igual a 1 y solamente dos entidades presentan una productividad menor a la unidad, es decir son ineficientes estadísticamente. Esto indicaría que, tomado el PIB estatal como único producto, y como únicos insumos a la mano de obra y el inventario de capital, la productividad de las entidades es mayoritariamente mayor o igual a la unidad y solo los estados de Oaxaca y Coahuila presentan un problema de baja productividad. Con 32 entidades federativas el número de comparaciones posibles con distintos trabajos es difícil. Sin embargo, bajo una metodología distinta el CIDAC (2011) presenta un análisis de productividad de entidades federativas; el resultado similar concluyente es encontrar que Oaxaca es de las entidades con menor productividad bajo ambas metodologías. Estos resultados son similares a los obtenidos por Padilla y Guzmán (2010); en este caso tanto Oaxaca como Coahuila son entidades de productividad baja.

Conclusiones

Con un análisis de productividad relativa se concluye que la productividad nacional, si bien no crece, tampoco presenta problemas de ineficiencia. Por su parte, cuando el análisis se hace por entidad se concluye que las entidades federativas en México son mayoritariamente eficientes, y sólo dos presentan problemas de eficiencia. Con respecto a la segunda conclusión, ésta es respaldada con dos estudios similares pero diferente metodología. Con respecto a la eficiencia nacional, la hipótesis de trabajo de baja eficiencia es rechazada.

Literatura Citada

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Notas

¹Cambios en la distancia a la frontera, lo que se denomina convergencia; así, una entidad federativa podría estar sobre la frontera en un periodo, pero no en el siguiente.

²Este supuesto está cerca de cumplirse en el agregado de la economía mexicana, (Acevedo, 2009).

³En el análisis de resultados esta variabilidad es tomada en cuenta por medio de una prueba de hipótesis.