Comportamiento periódico en sistemas oscilatorios de una y dos dimensiones

J.S. Pérez–Huertaª, C. Meneses–Fabián^b* y G. Rodríguez–Zurita^b

ª Instituto de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 48–3, Cuernavaca Mor., 62251 México, e–mail: jsperez@fis.unam.mx

^b Facultad de Ciencias Físico–Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Apartado Postal 1152, Puebla, Pue. 72000 México, e–mail: * cmeneses@fcfm.buap.mx

Recibido el 11 de febrero de 2008 ]]> Aceptado el 4 de noviembre de 2008

Resumen

En este trabajo se analiza el comportamiento periódico de sistemas mecánicos bien conocidos de una y dos dimensiones, como lo es la cuerda homogénea, la membrana cuadrada y la membrana circular. Bajo una configuración particular inicial de la posición y velocidad del sistema se estudia la evolución en el tiempo de la superposición de modos normales de oscilación que están presentes según los coeficientes correspondientes (de Fourier o de Bessel–Fourier). De la relación entre las diferentes frecuencias temporales de los modos normales presentes, se decide si el movimiento mecánico será periódico o no. Se muestran resultados numéricos de la evolución temporal de los sistemas, verificando si existe periodicidad en el movimiento compuesto.

Descriptores: Vibraciones y ondas mecánicas; modos normales; ondas estacionarias.

Abstract

In this work, we study the temporal periodic behavior of well–known one and two–dimensional mechanical systems as the vibrating homogenous string, vibrating square membrane and vibrating circular membrane. When an initial configuration of position and velocity of the system is imposed, the temporal evolution of the superposition of the natural modes of vibration is analyzed according to the non–zero Fourier or Bessel–Fourier coefficients. The relations between the temporal frequencies of the normal modes are used to verify the periodicity of the mechanical movement. Numerical results show the temporal evolution of the systems and the periodicity or non–periodicity of the composed movement is verified.

Keywords: Vibrations and mechanical waves; normal modes; standing waves.

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Apéndice

La cuasi–periodicidad de una función h(t), en el sentido matemático según Bochner o Bohr (hermano de Niels Bohr), asegura que para cada ε > 0, debe existir un cuasi–periodo T(ε), el cual cumple con ‌ h(t + T) – h(t) ‌ < ε. En funciones estrictamente no periódicas, se tiene que T → ∞ cuando ε → 0 [9].

Para periodos irracionales y no proporcionales, por ejemplo, si consideramos las funciones cos(t) y cos, se sabe que tienen periodo T₁=2π y T₂= π, respectivamente.

Sin embargo, la función h(t)=cos(t)+cos() no es periódica en el sentido que requiere la condición de conmensurabilidad. No obstante, es posible tratar con este tipo de superposiciones mediante el concepto de cuasi–periodicidad. Este tipo de tratamiento resulta extremadamente útil cuando las funciones son asequibles sólo mediante mediciones discretas y finitas, ya que los valores numéricos se conocen hasta cierto número de decimales. Para el ejemplo anterior, el irracional se puede aproximar a dos decimales mediante el racional 17/12 (menos del 0.2 % de error), si esto es así h(t) ≈ cos(t) + cos([17/12]t), el periodo de esta suma es mcm(2π, 24π/17)=24π [10,11].

De la Fig. 7 se puede observar que el perfil de la función h(t) a partir del cuasi–periodo T=24π ≈ 75.4, es muy parecido al perfil a partir del origen. Este tipo de comportamiento suele presentarse cuando se realiza una medición de la superposición de dos excitaciones (por ejemplo, mecánicas, eléctricas), se puede entonces decir que se ha medido el "periodo" de la perturbación física resultante observada, sin considerar el aspecto de periodicidad que se ha estado discutiendo. Por ejemplo, la siguiente aproximación de se puede tomar como 577/408 y se deberá medir hasta un valor de t mayor al cuasi–periodo T=816π ≈ 2563.6 para verificar esta cuasi–periodicidad.

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