Manuel Ordorica
El Colegio de México.
Resumen
El objetivo de este trabajo es presentar un análisis de los cambios de la fecundidad observados en México a través de la Teoría de la Ramificación, desarrollada por Galton y Watson a finales del siglo XIX. Con esta técnica es posible calcular la probabilidad de extinción de una descendencia. Esta metodología estadística basada en el cálculo de probabilidades permite utilizar indicadores de la fecundidad derivados de los censos de población, según el orden de nacimiento, lo cual permite hacer un análisis diferente de esta variable al realizado hasta la fecha en nuestro país. Es posible analizar a qué número de hijas e hijos está tendiendo la población mexicana.
]]> Abstract
The purpose of this article is to analyze the change in the levels of fertility in Mexico through Branching Theory, developed by Galton and Watson at the end of the nineteenth century. With this technique it is possible to calculate the probability of extinction of a descendence. This statistical methodology based on the calculus of probability allows using indicators from population's censuses the estimation of fertility levels according to order of birth. This allows making a different analysis from this variable to the one carried out so far in our country. It is possible to analyze what number of daughters and sons the mexican population is tending to have.
Introducción
La fecundidad humana puede ser estudiada a través de un proceso estocástico llamado "Teoría de la Ramificación". El proceso puede ser descrito de la siguiente manera: se supone que inicia con un individuo que formaría la generación cero o generación original. Este individuo tiene probabilidad pk de producir k nuevos individuos en la siguiente generación. En el caso de que k sea igual a cero podríamos decir que la especie se extinguió. Cuando k es igual a 1 podemos señalar que nació un nuevo individuo. Los valores superiores de k significan la aparición de nuevos individuos. Los individuos de cada generación actúan en forma independiente una de otra.
Existen varios ejemplos que permiten ilustrar el campo de aplicación de esta teoría. En la física nuclear los procesos de ramificación ocurren en las reacciones en cadena. La aplicación se ha conocido a partir de la bomba atómica. Se presentan choques fortuitos entre partículas. Estos choques pueden producir nuevas partículas o no producir descendencia. En biología son posibles las aplicaciones para estudiar las mutaciones genéticas. En el análisis de las líneas de espera, es posible señalar como un cliente que llega a una gasolinería vacía recibe atención, y se le dé el nombre de antepasado, su descendencia la conforman los coches que llegan al lugar durante el período que lo atienden.
Se ha estudiado también la aplicación en la supervivencia de apellidos. Solamente se incluyen descendientes masculinos o femeninos quienes desempeñan el papel de partículas y pk es la probabilidad de que un recién nacido se convierta en padre de k niños varones. En este caso, es de interés encontrar individuos con el mismo apellido en la n-ésima generación. En particular resulta de especial importancia conocer la probabilidad de que se extinga la generación.
Este instrumento estadístico permite utilizar indicadores de la fecundidad según orden de nacimiento, lo cual podría posibilitar un análisis diferente de esta variable al realizado hasta ahora.
Son varios los autores que han aplicado la Teoría de la Ramificación al campo de la Demografía. Tenemos primeramente a Galton y Watson (1874), Lotka (1931), Harris (1963) y Keyfitz (1979), entre otros.
]]> Metodología
Sea ξ la variable aleatoria que indica el número de hijas que ha tenido una mujer antes de su muerte.
Π0 = Pr (ξ = 0); es la probabilidad de que una mujer haya tenido 0 hijas.
Π1 = Pr (ξ = 1); es la probabilidad de que haya tenido una única hija.
Π2 = Pr (ξ = 2) ; probabilidad de que haya tenido exactamente 2 hijas antes de su muerte.
en general.
Πr = Pr (ξ = r) ; es la probabilidad de que haya tenido exactamente r hijas.
Se deduce que
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Con base en las probabilidades antes definidas podemos calcular la probabilidad para las nietas. La probabilidad de cero Π0 nietas es más la probabilidad de que una mujer tenga una hija que a su vez no tuvo hijas, Π1, Π0, más la probabilidad de que una mujer que tuvo 2 hijas, éstas a su vez no tengan hijas, Π2, Π02, ..... Este proceso se puede repetir para bisnietos y para las siguientes generaciones. Los supuestos que están detrás sostienen que la fecundidad ha permanecido constante entre generaciones y la independencia entre eventos. La ley de fecundidad de las madres, es igual a la de las hijas, igual a la de las nietas, etcétera..
El recurso usado por Watson para resolver el problema de Galton fue construir una función generatriz de probabilidad.
Sea la función:
A esta función se le denomina función generatriz de probabilidad de la sucesión de valores {Πk}, siempre y cuando converja en algún intervalo real –s0< s < s0.
Si la sucesión de valores {Πk} está acotada entonces f(s) converge.
Se sabe que
y 
La función generatriz tiene algunas propiedades:
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Tenemos que:
Por lo tanto:
es la probabilidad de que una mujer tenga 0 hijas antes de su muerte.
Tenemos que:
f '(1) significa la derivada de la función f (s) evaluada en el punto 1. Como se puede observar es el número medio de hijas de las mujeres consideradas.
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Se tiene que:
Ahora
Tenemos que:
Este es el segundo momento con respecto al origen menos el primer momento elevado al cuadrado. A esto se le denomina la varianza para el número de hijas de las mujeres consideradas.
5) El coeficiente de sw en la serie f (s) nos indica la probabilidad de que una mujer tenga w hijas.
]]> 6) El coeficiente de sw en la serie (f (s))r nos indica la probabilidad de que r mujeres tengan a lo largo de su vida w hijas.En el supuesto de que r sea igual a dos y n sea igual a dos tenemos lo siguiente:
El coeficiente Π0 Π2 + Π2 Π0 + Π12 es la probabilidad de que de dos mujeres, la primera tenga cero hijas y la segunda tenga 2 hijas, más la probabilidad de que la segunda tenga cero hijas y la primera dos, más la probabilidad de que las dos tengan una hija cada una.
El proceso de ramificación tiene sus raíces en la discusión de Francis Galton sobre la decadencia de las familias de hombres que ocuparon lugares importantes en la historia.
La probabilidad de extinción en la primera generación es Π0 o f (0). En la segunda generación es f (f (0)), en la tercera generación es f (f (f (0))) y en la enésima generación es f (f (...f (0))) = fn (0).
Para determinar fn+1(0) cuando n tiende a infinito, se reconoce que en el límite fn (0) = f (fn (0)), lo que nos lleva a calcular x = f (x) (Keyfitz, 1979).
Forma de cálculo de la probabilidad de extinción
La probabilidad de extinción en la primera generación es fn (0), es decir, el valor de la función generatriz evaluada en el punto 0. En la segunda generación es f (f (0)) = f2 (0) y en la enésima generación es fn (0). Al analizar fn + 1 (s) a partir de fn (s) se observa que el término fn (0) aumenta con n, pero nunca puede disminuir, ya que fn (0) es una sucesión monótona no decreciente. Otro aspecto que es importante mencionar es que fn (0) tiene una cota superior. Debido a estas cuestiones fn (0) debe tener un punto límite único. Este punto límite se puede determinar mediante dos cuestiones:
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2) Se sabe que 
De uno y dos se tiene que en el límite fn (0) = f (fn (0)) si fn (0) = y, que es el punto límite, entonces:
y = f (y) (Feller, 1957.).
Una forma aproximada de calcular la probabilidad de extinción sin tener que hacer demasiados cálculos es (Keyfitz, 1979).
Resultados
Para calcular la probabilidad de extinción se utilizaron los datos sobre la distribución de las mujeres de acuerdo al total de hijos nacidos vivos a partir de los censos de población de 1980 y 1990. De estos datos se dedujo la distribución de las mujeres según el número de hijas mujeres que sobreviven a edad madura y que en este caso fue el grupo de edades de 45 a 49 años. Son las mujeres que ya terminaron su periodo fértil. En los cuadros 1 y 2 aparece dicha distribución y en la gráfica 1 aparece la distribución del número de hijas para 1980-1990.
En primer término se puede observar que la probabilidad de extinción pasa de 14.9 por ciento en 1980 a 20.1 por ciento, en 1990. Esto significa un aumento en la probabilidad de extinción como resultado de la disminución de la fecundidad observada entre los años 1980-1990 para las mujeres de edades de 45-49 años. Por otro lado al observar los resultados de la gráfica 1 es importante destacar como la forma de la curva en 1990 muestra una mayor concentración alrededor de 1 y 2 hijas, lo cual pudiera explicarse por el hecho de que las mujeres están teniendo un menor número de hijas y alrededor del 1 y 2 hijas. En conclusión, la probabilidad de extinción además de darnos una medida de cambio en la fecundidad en este caso también nos da un indicio de la caída de la fecundidad de las mujeres en edad madura.
]]>Bibliografía
BAILEY, N. T. J., 1964, The Elements of Stochastic Processes with Applications to the Natural Sciences, John Wiley and Sons, New York. [ Links ]
BARTLETT, N.S., 1955, An Introduction to Stochastic Processes with Special Reference to Methods and Applications, Cambridge University Press, Cambridge. [ Links ]
FELLER, William, 1973, Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones, vol. 1, Limusa-Weley. [ Links ]
GALTON, F. y H. W. Watson, 1874, "On the probality of extinction of families", in Journal of the Antrhopological Institute, VI. [ Links ]
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HARRIS, Theodore E., 1963, The Theory of Branching Processes, Prentice-Hall, Englewood Cilffs, N. J. [ Links ]
KARLIN, Samuel, 1966, A first course in stochastic processes, Academic Press, New York and London. [ Links ]
KEYFITZ, N., 1979, Introducción a las matemáticas de la población, Celade, Santiago de Chile. [ Links ]
LOTKA, Alfred J., 1931, "The extinction of families", in Journal of the Washington Academy of Sciences, XXI. [ Links ]
]]>PARZEN, Emanuel, 1972, Procesos estocásticos, Paraninfo, Madrid. [ Links ]
Información sobre el autor
Manuel Ordorica Mellado. Maestro en Demografía por El Colegio de México y Doctor en Ingeniería por la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha sido director del área de estudios de Población en el Consejo Nacional de Población, 1977 a 1987; consultor en educación en la UNESCO, 1987 a 1988; coordinador de la Maestría en Demografía, y del Doctorado en Estudios de Población con Especialidad en Estudios de Población en el Centro de estudios Demográficos y de Desarrollo Urbano de El Colegio de México. En la actualidad funge como Director del mismo Centro. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores y recientemente recibió el premio Nacional de Demografía. Entre sus publicaciones más importantes destacan Evaluation of the Mexican Fertility Survey, 1976-1977, (en coautoría con Joseph E. Potter), The Impact of Rapid Fertility Decline on the Geographical Redistribution of the Population in Developing Countries, Ajuste de una función expologística a la evolución de la población total de México, 1930-1985. Correo electrónico: mordori@colmex.mx
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