Observador adaptable para tanques prismáticos abiertos

Adaptive observer for open prismatic tanks

SA Rodríguez^1*, J De–León³, J Barajas–Fernández², F Rivera–Trejo²

¹ Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Instituto Politécnico Nacional. Av. de las Granjas 682 Col. Sta. Catarina Deleg. Azcapotzalco 02250, D.F., México. (SAR) ^*Correo electrónico: sarodriguezp@ipn.mx

² División Académica de Ingeniería y Arquitectura. Universidad Juárez Autónoma de Tabasco. Carr. Cunduacán – Jalpa de Méndez km. 1.5. 86690 Cunduacán, Tabasco, México. (JBF)(FRT)

Recibida: 14 de febrero de 2008
Aceptada: 8 de febrero de 2010

RESUMEN

En este trabajo se presenta el diseño de un observador adaptable, esto es un sensor computacional, el cual será utilizado para estimar el caudal de entrada y algunos parámetros difíciles de medir en un tanque abierto, entre estos el coeficiente de descarga. Por medio de un sistema no lineal, se propone un modelo matemático para un tanque abierto. Además, se presentan condiciones suficientes para garantizar la convergencia de dicho observador. Resultados de simulación muestran las posibles aplicaciones en tanques de agua.

Palabras clave: Tanque abierto, sistema no lineal, observador adaptable, convergencia, coeficiente de descarga.

ABSTRACT

Key words: Open tank, nonlinear system, adaptive observer, convergence, discharge coefficient.

INTRODUCCIÓN

La dinámica de un sistema se puede describir mediante el comportamiento dinámico de las variables de estado (Khalil H 2000. Nonlinear systems. Prentice Hall). En general, el control de sistemas dinámicos está basado en la suposición de que las variables de estado pueden ser medidas o que el vector de estado es conocido. Sin embargo, en la práctica solo una parte de las componentes de este vector son conocidas o son medidas directamente, debido a restricciones físicas o económicas. En este marco se plantea el problema de estimar o determinar las componentes del vector de estado por medio de un "sensor computacional" llamado observador o filtro.

Un observador se define como un sistema dinámico que tiene como entrada, la entrada del sistema original y la salida medible de este sistema. Mientras la salida del observador consiste de una estimación de las componentes no medidas del sistema original.

En literatura existen varios trabajos clásicos sobre el diseño de observadores lineales (Luenberger DG 1966. IEEE Trans., AC–11; Kalman RE, Falb PL, Arbib MA 1969. Topics in Mathematical System Theory. Mc Graw Hill). Por otra parte, los filtros que también son utilizados para este propósito, se han usado en diversas aplicaciones en ingeniería eléctrica (Rodríguez A, De León J, Femat R 2007. Chaos Solutions & Fractals, 32: 1345–1356; Besançon G, De–León J, Huerta O 2005. Internal Report. FIME–UANL, México; De–León J, Castro–Linares R, Huerta O 2005. Proc.–Control Theory Appl, 152(4): 465–476, july; Zhang Q 2002. IEEE Trans on Automatic Control 47(3): 525–529; Nijmeijer H, Mareels IMY 1997. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 44(10): 882–890). Sin embargo, no hay mucho trabajo publicado en el área de sistemas hidráulicos utilizando estas herramientas computacionales.

En el modelado de la dinámica de un vaso de almacenamiento se han aplicado los observadores de Luenberger para estimar el caudal que entra a una presa y se ha mostrado que el sistema en lazo cerrado, resultante del esquema del observador propuesto, es finalmente acotado (uniformly ultimately bounded)(Soto G, Aguilar R, Rivera F 2003. Ingeniería Hidráulica en México, XVIII(3): 71–79). En Soto et al. (Soto G, Aguilar R, Rivera F 2003. Ingeniería Hidráulica en México, XVIII(3): 71–79) se propone reducir el error de estimación por medio de la selección de una ganancia "suficientemente grande en el observador". Recientemente, en el área de hidráulica (Rodríguez SA, Rivera F, Pacheco J 2008. En Hidrología de Embalses. IMTA–UJAT–UAM, México) proponen un observador no lineal para estimar el caudal que ingresa a un tanque, este observador reduce el error de estimación que persiste al utilizar un observador de Luenberger. Sin embargo, la utilización del observador requiere conocer la descarga del vaso o bien el coeficiente de descarga, los cuales se tienen que determinar mediante experimentación.

Los trabajos anteriores han resultado prometedores en la estimación de hidrogramas de ingreso a vasos y en la determinación de políticas de operación de presas en cascada (Vázquez E 2000. Universidad y Ciencia, 16(31): 5–9), lo que beneficia al Estado de Tabasco, puesto que la abundancia del agua es del orden del 28% del total nacional (Velázquez G 1994. Ensayo Monográfico, Centro de Investigación de la DAIA, UJAT).

Por las razones anteriores y por la responsabilidad que tiene la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco para con la sociedad y su entorno, se ha motivado la investigación y la aplicación de los observadores en tanques abiertos de almacenamiento. De hecho la teoría que aquí se presenta, se puede aplicar a tanques prismáticos abiertos que contienen cualquier líquido, siempre que se verifiquen las hipótesis del resultado principal de este trabajo, teorema 1. En este artículo, por medio de un observador adaptable, se investiga la estimación del caudal de ingreso a un tanque abierto. Así como la determinación de algunos parámetros del tanque difíciles de medir, entre estos el coeficiente de descarga (Miller RW 1996. Mc Graw Hill; Baker CR 2000. Cambridge University Prees; Schimid WA, Lazos Martinez J 2004. Centro Nacional de Metrología; ISO VIM (DGUIDE 99999) 2005. International vocabulary of basic and general terms in metrology (VIM)). La estimación de estas variables permiten mejorar el control de estos sistemas de manera más eficiente y económica, ya que se reduce el número de sensores que interviene en el proceso.

MATERIALES Y MÉTODOS

En esta sección se presenta el modelado matemático de la dinámica de un tanque abierto que contiene algún líquido, como se muestra en la Figura 1. Una vez establecido el modelo, se infieren los caudales de entrada y de salida, así como algunos parámetros que intervienen en la dinámica del tanque, a partir exclusivamente de la medición del nivel de líquido.

Primero considere un tanque abierto con volumen de líquido V, medido desde el orificio de salida del tanque en el tiempo t (ver Figura 1). El cambio del volumen en el tanque con respecto al tiempo, está dado por el principio de continuidad:

donde Q_i y Q_o son los caudales de entrada y salida, respectivamente. En Soto et al. (Soto G, Aguilar R, Rivera F 2003. Ingeniería Hidráulica en México, XVIII(3): 71–79) se aplica el principio de continuidad (1) en una presa, donde el caudal de entrada se define como

En este trabajo se consideró una clase de tanques de tipo prismático, de modo que V y Q_o están expresados respectivamente por el volumen del prisma

y la Ley de Torricelli

siendo A_s el área de la sección transversal, la cual es constante, H > 0 es el nivel de líquido medido desde el orificio de salida del tanque en el tiempo t, A_o es el área del orificio de salida, g es la gravedad, 0 < C_d ≤ 1 es el coeficiente de descarga sin dimensiones y se supone constante. Entonces, las ecuaciones (1)–(4), permiten describir la dinámica de este sistema como:

El comportamiento del sistema (5) puede ser determinado fácilmente, si el caudal de entrada Q_i, la altura H y el coeficiente de descarga C_d son conocidos. Por una parte, el caudal Q_i y la altura H pueden ser medidas mediante un medidor de flujo a partir del caudal másico y un limnígrafo (Miller RW 1996. Mc Graw Hill; Baker CR 2000. Cambridge University Prees), mientras que el coeficiente de descarga C_d (que se interpreta como un factor de corrección), se puede obtener mediante experimentación y calibración comparando con un patrón (Schimid WA, Lazos Martínez J 2004. Centro Nacional de Metrología). Sin embargo, este método para determinar la variable Q_i, y el parámetro C_d , tiene la desventaja de ser un proceso largo, tedioso y costoso. Esto se debe al costo del medidor de flujo que se requiere y al tiempo de experimentación en laboratorio que es necesario.

Para resolver el problema de costo en instrumentación, materiales y trabajo de campo, en este artículo de investigación, se propone estimar en línea el caudal de entrada Q_i y el coeficiente de descarga Q_d, a partir de la sola medición de la altura del tanque H

Para lograr este objetivo, se hace uso del enfoque de espacio de estado, por lo que se requiere lo siguiente:

constante y Q_i : [t₀,t₁] de clase C ^n–1 con para i.e. el gasto de entrada admite una representación finita en serie de Taylor.

Introduciendo las siguientes definiciones de variables, , las cuales representan las componentes del vector de estado del sistema, y : = x₁ : = H como variable de salida medible y θ como un parámetro constante y desconocido a estimar. Entonces, se obtiene el siguiente sistema n — dimensional

donde x = ( x₁ ... x_n )^T es el vector de estado.

En Soto et al. (Soto G, Aguilar R, Rivera F 2003. Ingeniería Hidráulica en México, XVIII(3): 71–79) se utiliza un observador de Luenberger para estimar el caudal de entrada Q_i a partir del sistema (1)–(2), bajo el supuesto que el caudal de salida Q_o es conocido (medido). En Rodríguez et al. (Rodríguez SA, Rivera F, Pacheco J 2008. En Hidrología de Embalses. IMTA–UJAT–UAM, México) se propone un observador no lineal para estimar Q_i en (1) cuando el coeficiente de descarga Q_d es conocido, i.e. Q_o esta disponible o bien el término es determinado experimentalmente fuera de línea.

Ahora se establece lo siguiente:

Problema 1. Considere la dinámica de un tanque prismático abierto representado por el sistema (7)–(8). Se requiere estimar simultaneamente, a partir de la medición de la salida y : = x₁ : = H, el caudal de entrada Q_i y el parámetro , el cual depende del coeficiente de descarga C_d.

Por lo tanto, para resolver el problema planteado anteriormente, en la siguiente sección, se presenta el diseño de un observador adaptable, el cual estima en línea, el caudal de entrada Q_i y el coeficiente de descarga C_d. Este observador requiere solamente de la medición de la altura del tanque H para su implementación práctica. Este diseño resulta ser atractivo por sus ventajas económicas, ya que no necesita ni de un sensor para la descarga, ni de la realización de trabajos experimentales para determinar las variables antes mencionadas.

RESULTADOS Y DISCUSIONES

Ahora, en esta sección se presenta el diseño de un observador adaptable para el sistema no lineal (7)–(8). Además, se presentan condiciones suficientes para demostrar la convergencia hacia cero del error de estimación.

Con el fin de resolver el problema 1, el sistema (7)–(8) se reescribe en la siguiente forma compacta

donde A es la matriz cuadrada de dimensión n x n en la ec. (7), es el vector que multiplica a θ por la izquierda en la ec. (7), es el covector de la ec. (8) y x_oes la condición inicial del sistema (9)–(10).

Enseguida, se introduce un resultado sobre el diseño de observadores adaptables, que resuelve el problema 1, el cual es una variante del presentado en Rodríguez et al. (Rodríguez A, De León J, Femat R 2007. Chaos Solutions & Fractals, 32: 1345–1356), en este último se utiliza el observador adaptable para suprimir caos en sistemas de clase p.

Ahora, considere el diseño de un observador adaptable para sistemas afines con incertidumbre en los parámetros. El sistema (9)–(10), verifica que es continua, y es uniformemente acotada, y el parámetro θ es desconocido, pero constante. Luego suponga lo siguiente para el diseño del observador (ver mas detalles en Besançon G, De–León J, Huerta O 2005. Internal Report. FIME–UANL, México):

Suposición 2. Existe una función K (t) tal que es exponencialmente estable.

Suposición 3. La solución es de excitación persistente, en el sentido que existen α_i, β_i, γ_i tales que

para una matriz acotada y definida positiva , (Barnett S 1990. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series).

Suposición 4. La función Ψ (t) es de excitación persistente en el sentido que existen α₂, β₂, γ₂ tales que

para todo t ≥ t₀,Ψ es la matriz de transición de una matriz acotada y definida positiva.

Bajo las consideraciones anteriores, si la matriz K en la suposición 2, se selecciona como, , donde S_x es solución de , entonces el siguiente observador estima el estado x y el parámetro θ :

Teorema 1. Considere el sistema (9)–(10) y el observador adaptable:

donde S_x > 0 y S_θ> 0, y P_x, P_θ son constantes positivas suficientemente grandes y P alguna matriz acotada y definida positiva. Entonces el sistema (13)–(18) es un observador adaptable para el sistema (9)–(10), donde el vector de error de estimación converge a cero exponencialmente a razón de ρ= mín. (ρ_x , ρ_θ).

Nota 2. Si las suposiciones 3 y 4 son verificadas, entonces este hecho garantiza la invertibilidad de las matrices S_x , S_θ , las cuales son simétricas y definidas positivas.

Prueba. Para mostrar la convergencia del error de estimación, considere lo siguiente. Sean los errores de estimación del estado x, y del parámetro θ, respectivamente. Considere ahora el sistema en el espacio de error:

Se sigue la idea de (Zhang Q 2002. IEEE Trans on Automatic Control 47(3): 525–529) y se define

por lo que

Se remplaza (20), (15) en (22)

Ahora considere la función de Lyapunov

y su derivada con respecto al tiempo

donde las expresiones (17), (23) y (24) fueron utilizadas. Ahora dado que

Luego

Finalmente, se termina la prueba cuando (29) implica que , por lo que _x y convergen.

Enseguida se presenta un ejemplo de aplicación del observador (13)–(18) sobre un tanque cilíndrico. Para verificar el resultado obtenido con el observador adaptable, se discuten e interpretan los resultados mediante un esquema de simulación.

Considere un tanque de almacenamiento de agua, de forma cilíndrica con dimensiones comerciales: Para este ejemplo, se considera que el régimen del fluido es laminar subcrítico, por lo que el efecto turbulento (número de Reynolds) no es considerado y la descarga se supone que esta dominada por los efectos inerciales y gravitatorios, por lo que se describe por (4).

Por otra parte, para el modelado matemático (7)–(8) se debe seleccionar n, lo cual depende de la complejidad de Q_i , de acuerdo a la Suposición (1).

Por simplicidad se propone Q_i descrito en la ecuación (30), por lo que es suficiente considerar n = 3, luego,

donde el parámetro a estimar propuesto es

Se seleccionan las ganancias como P = 4, ρ_x = 7, ρ_θ = 7 y las condiciones iniciales = 0, (x₁, x₂, x₃) = (0,2, 005, 0,3),

En la Figura 2 se muestra el caudal de entrada en m³s^–1 contra el tiempo así como su estimado, donde

Por otra parte, en la Figura 3 se observa la constante θ = 2,125 6 x 10^–3m^1/2s^–1 junto con su estimado .

A partir de las Figuras 2 y 3 se observa que cerca de t = 0s, la estimación del caudal de entrada es mala, debido a la lejanía de las condiciones iniciales, pero después en t ≈20s el error rápidamente tiende a cero, hasta t = 100s y t = 200s, donde la referencia no es diferenciable y causa un error de estimación, grande pero acotado y unos segundos después, rápidamente el estimado alcanza el valor de referencia.

Se remarca que extrapolar los resultados de este manuscristo de tanques a obras hidráulicas, como presas, no es evidente. Por la parte técnica, en este trabajo solo se consideran flujos en el régimen laminar subcrítico, los efectos viscosos asociados al número de Reynolds no fueron tomados en cuenta, sino solamente los efectos inerciales y gravitacionales asociados al número de Froude. Por otro lado, tomando en cuenta la parte normativa, cuando la obra de toma descargue directamente al río y el agua lleve un régimen subcrítico, es plausible aplicar la metodología presentada en este manuscrito para la clase de presas que cumplan las limitaciones del Apartado A y demás restricciones que aplican del apartado 2.1.4 Obra de Toma, en las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Ejecución de Obras e Instalaciones Hidráulicas (ver la publicación completa en la Gaceta Oficial del Distrito Federal el 6 de octubre de 2004):

A) Estructura de entrada.

Para presas con altura menor que 40 m, la velocidad del agua υ, a través del vano de las compuertas en estructuras de entrada, no debe ser mayor que el valor dado en la siguiente expresión, pero limitada a un rango de 1.5 a 3 ms^–1:

Finalmente, se concluye que con la intención de obtener el caudal de entrada y algunos parámetros difíciles de medir en un tanque abierto, se estimaron estas cantidades, mediante un observador adaptable. La estabilidad del modelado del tanque y del observador adaptable en lazo cerrado fue analizada y verificada mediante simulación en MATLABSIMULINK. Al ser estable el sistema en lazo cerrado, el error de estimación converge a cero cuando el tiempo tiende a infinito. En este trabajo, a diferencia de Soto et al. (Soto G, Aguilar R, Rivera F 2003. Ingeniería Hidráulica en México, XVIII(3): 71–79) y Rodríguez et al. (Rodríguez SA, Rivera F, Pacheco J 2008. En Hidrología de Embalses. IMTAUJAT–UAM, México), para la estimación del caudal de entrada solo se requirió la medición H (t), del nivel del tanque y no de su gasto de salida.

Como trabajo a futuro se propone extender el presente análisis a una clase de vasos de almacenamiento irregulares, como por ejemplo presas pequeñas.