Fuerza, potencial y aceleraciones de marea para una Tierra rígida

En un sistema de dos cuerpos (Figura 2), además de la fuerza gravitacional ejercida por el cuerpo a cada punto de la Tierra, existe una fuerza de carácter centrífugo generada por el hecho de que ambos cuerpos giran en torno al centro de masas del sistema (en el caso Tierra-Luna, el centro de masas se encuentra dentro del núcleo terrestre, muy cercano al centro de masas de la Tierra). Debido a la naturaleza de esta fuerza, ésta afecta de igual manera en todos los puntos de la Tierra.

Figura 2 Fuerzas actuantes en un sistema de dos cuerpos. 

De esta manera, la fuerza de mareas se define como la suma de estas dos fuerzas (^{Furones et al., 2003}):

donde:

Fpm es la fuerza de atracción gravitacional que genera el cuerpo hacia su centro de masa;

−Fem es la fuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra alrededor del centro de masa del sistema Tierra - Cuerpo Celeste. En el centro de masas de la Tierra,

ésta fuerza se ve compensada totalmente por la fuerza de atracción gravitacional Fpm por lo que ΔF=0.

Dicho campo de fuerzas puede analizarse en términos de una aceleración de mareas:

donde:

G es la constante de gravitación universal;

Mcc es la masa del cuerpo celeste en cuestión;

r1 es la distancia entre un punto P y el centro de masa del cuerpo celeste;

R es la distancia entre el centro de la Tierra y el centro del cuerpo celeste.

Al igual que la aceleración de la gravedad de la Tierra, es posible obtener la aceleración de marea a partir de un potencial armónico, llamado potencial generador de marea (TGP)¹⁷, expresado generalmente hasta un grado máximo, n=nmax (^{Hartmann y Wenzel 1995 a} y ^{1995 b}; ^{Wenzel, 1997a}; ^{Schüller, 2019a}):

donde:

En la ecuación que define el argumento astronómico, el orden del desarrollo en armónicos esféricos da origen a ondas con distintos períodos (Tabla 2), asociados a la rotación de la Tierra:

A partir del grado de aproximación del desarrollo es posible obtener distintas ondas que se clasifican según su período, amplitud y fase.

Los coeficientes del TGP se representan mediante catálogos. Éstos consisten en tablas de amplitudes, fases y frecuencias para cada armónico del mismo. La precisión y exactitud de los catálogos aumenta a medida que se extiende el desarrollo y que se analiza el potencial para más cuerpos celestes. Los catálogos más actuales (por ejemplo, ^{Hartmann y Wenzel 1995a}, ^1995b) consideran el desarrollo del potencial de marea hasta nmax=6 para la Luna, nmax=3 para el Sol y nmax=2 para el resto de los cuerpos celestes (Marte, Saturno y Júpiter). Además, estos catálogos incluyen una serie de términos relacionados al aplanamiento terrestre. Estos efectos son generados porque el centro de masa terrestre no coincide con el centro de masa del sistema Tierra - Cuerpo Celeste.

De esta manera, cada catálogo de mareas tendrá asociado determinada cantidad de ondas y un grado máximo (Tabla 1; modificada de ^{Wenzel 1997a}).

A partir de los catálogos del potencial de mareas, es posible representar el TGP y calcular cada una de las componentes la aceleración de marea (b→=(br,bθ,bλ)). Éstas surgen de derivar el potencial de marea (Ecuación 3), en función de las coordenadas esféricas de la estación:

La señal de marea

La observación del fenómeno de mareas (o señal de marea) involucra no sólo la dinámica de los cuerpos celestes descripta anteriormente, sino también cómo la Tierra responde a las fuerzas de marea actuantes. La Figura 3 (modificada de ^{Agnew 2007}) ilustra el origen de las fuerzas de marea y la respuesta de la Tierra.

Figura 3 La señal de marea. Modificada de ^{Agnew (2007)}. 

Como se ha mencionado en la sección anterior, la aceleración de mareas en un punto de observación P localizado en la superficie terrestre resulta de la suma de la atracción gravitacional generada por un cuerpo celeste en el punto P y la aceleración orbital debido al movimiento de la Tierra alrededor del baricentro del sistema de dos cuerpos (la Tierra y el cuerpo celeste; ^{Wenzel, 1997a}). Este efecto es llamado marea terrestre (o también mareas de Tierra sólida) y estaría presente aún si la Tierra fuera rígida y no tuviera océanos.

En la realidad, la Tierra no es rígida y posee océanos, por lo que las fuerzas de marea actúan sobre el sistema Tierra, simbolizado en la Figura 3 como el rectángulo de línea punteada. Dentro del rectángulo tenemos la respuesta de la Tierra al efecto de mareas terrestres (ahora sobre una Tierra que no es rígida ni homogénea).

Además del efecto de marea terrestre, la presencia de océanos da origen a un efecto adicional: las fuerzas de marea generan variaciones en la distribución de masas de agua. Al colocar una masa de agua sobre la superficie terrestre, ésta produce deformaciones llamadas efectos de carga. Dado que la Tierra responde en forma elástica a estas deformaciones, los períodos con los que se generan efectos de carga asociados a las mareas oceánicas son coincidentes a los de las mareas terrestres, ya que las fuerzas que las derivan tienen las mismas frecuencias. Es decir, los efectos de carga producidos por mareas oceánicas contienen el mismo espectro de frecuencias que las mareas terrestres pero distintas amplitudes y fases. Por lo tanto, este efecto se superpone al de mareas terrestres y, dependiendo de la distancia de la estación a la costa, la carga de la marea oceánica puede variar entre 1% y 10% de la marea terrestre (^{Hinderer et al., 2007}).

Por otra parte, la respuesta de la Tierra a las mareas terrestres y a la carga oceánica se ve también afectada por variaciones locales en las propiedades elásticas de la Tierra (simbolizado como Parámetros Locales en la Figura 3).

Los fenómenos de mareas terrestres y carga oceánica mareal involucran no sólo la dinámica de los cuerpos celestes y las fuerzas involucradas, sino también la respuesta de la Tierra a dichas fuerzas. Esta respuesta de la Tierra a dichas fuerzas puede ser descripta mediante números adimensionales que describen cómo ésta se deforma.

Estos números (llamados números de Love), fueron introducidos por Love en 1911, para un modelo de Tierra esférica y homogénea (^{Wang, 1997}).

Modelos más complejos fueron publicados a lo largo del tiempo, sabiendo que la Tierra no es esférica, no es homogénea y rota (^{Wang, 1997}). El modelo de Tierra más aceptado hoy en día y utilizado para realizar análisis de mareas es el propuesto por ^{Dehant et al. (1999)}, el cual presenta los números de Love para una Tierra elipsóidica, anelástica y no-hidrostática. Este modelo es el utilizado en el desarrollo de este trabajo y nos referiremos a él como DDW-NHi.

Dado el potencial de mareas, desarrollado por un determinado catálogo y un modelo de Tierra (conjunto de números de Love) es posible conocer la respuesta de la Tierra a las fuerzas de marea en cualquier punto de la misma. Dicha respuesta teórica (obtenida de modelos) difiere de la señal de marea observada ya que las propiedades elásticas reales de la Tierra difieren de las del modelo teórico, ya sea por deficiencias del modelo o por variaciones locales de las propiedades elásticas.

La Tabla 2 muestra la amplitud teórica de las principales ondas de marea, utilizando el modelo de Tierra DDW-NHi, propuesto por ^{Dehant et al. (1999)} y el catálogo de mareas de Hartmann y Wenzel (^{1995 a}, ^{1995 b}), para la estación AGGO.

Análisis de marea

El principal objetivo a la hora de realizar un análisis de marea a partir de datos observados es conocer la respuesta del sistema Tierra-estación-sensor, a las fuerzas de marea; o bien conocer las desviaciones de dicha respuesta respecto de un modelo teórico (^{Wenzel, 1997 b}).

Hoy en día, los análisis de marea y la determinación de parámetros de mareas se realizan generalmente bajo el método de mínimos cuadrados. Dada la señal de mareas observada (y(t)), ésta se modela mediante la suma de <math><mrow><msub><mi>n</mi><mrow><mi>w</mi><mi>g</mi></mrow></msub></mrow></math> grupos de ondas. Cada grupo de ondas consta de ki constituyentes alrededor de una onda principal de mayor amplitud. Los grupos de onda son elegidos de forma tal que: (a) poseen una onda principal de mayor amplitud, (b) cubran todo el espectro en frecuencias del fenómeno de mareas, y (c) dichos grupos no se superponen entre sí.

La ecuación de observación puede ser descripta de la siguiente manera (^{Schüller, 2019 a}):

donde:

En la práctica, Aij, fij, y Φij se toman a partir de un catálogo de mareas y un modelo de Tierra. Hi y κi son los parámetros a determinar. Hi se puede definir como:

donde la Amplitud Observada es la amplitud observada en la señal de marea deli-esimo grupo de onda y la Amplitud Teórica su respectiva amplitud derivada a partir del catálogo de marea y una Tierra rígida.

Los softwares más clásicos para realizar análisis de marea como el ETERNA 3.4 (^{Wenzel, 1996}) o el BAYTAP-G (^{Tamura et al., 1991}), permiten introducir incógnitas adicionales (factores de regresión), asociadas a otros fenómenos pero que tienen injerencia en la determinación de parámetros de marea (presión atmosférica, efectos por movimiento del polo, entre otros), si estos no fueron previamente eliminados de la señal a analizar.  Si éstos son tenidos en cuenta dentro de la Ecuación (5), la ecuación de observación será:

donde se introducen <math><mi>m</mi></math> señales zm(t) adicionales, y Rm será el factor de regresión. En este caso, Rm se asume constante y no depende de la frecuencia (^{Wenzel, 1997b}). Luego, Rm será un nuevo parámetro a determinar, junto a Hi y κi.

En general, las observaciones de marea muestran variaciones de muy largo período asociadas a efectos meteorológicos, hidrológicos o a la deriva instrumental propia del instrumento en el caso de gravímetros relativos. Éstas usualmente son tratadas de dos maneras:

donde d(t) es la variación, k es el grado del polinomio, Dk es el coeficiente del grado k del polinomio y Tk(tn) el polinomio de Chebychev de grado k. tn es el tiempo normalizado al intervalo [−1,1]. Los polinomios de Chebychev se definen de manera recursiva como:

El grado del polinomio debe ser tal que no afecte la determinación de los parámetros de marea y se determina en función de la longitud de la serie temporal y el período máximo observado en la serie.

Si se agregan los coeficientes del polinomio en la ecuación de observación (7), ésta queda de la forma:

El sistema de ecuaciones dado por la ecuación (10) es un sistema de ecuaciones no lineal respecto a las variables de mayor interés: <math><mrow><msub><mi>H</mi><mi>i</mi></msub></mrow></math> y <math><mrow><msub><mtext>κ</mtext><mi>i</mi></msub></mrow></math>. A fin de obtener un sistema lineal, se introducen dos nuevas variables (^{Wenzel, 1997b}):

donde se obtiene un sistema de ecuaciones lineal de la forma:

Luego, el sistema de ecuaciones lineal dado por la ecuación (12) puede escribirse en forma matricial como:

donde Y es el vector de observaciones, v los residuos, x el vector de parámetros a determinar y A la matriz de diseño del sistema. Aplicando la condición de mínimos cuadrados vTv=min, es posible resolver el sistema de la siguiente manera:

Existen tres razones para realizar el análisis de marea mediante el método de mínimos cuadrados (^{Wenzel, 1997 b}):

Pre-procesamiento de las observaciones

Previo a realizar un análisis de marea, debe realizarse un acondicionamiento de los datos del SG. Esto se realizó mediante el software TSOFT (^{Van Camp et al., 2005}), tomando en cuenta las observaciones de tres años consecutivos (de enero de 2016 a diciembre de 2018) del SG038 instalado en AGGO. El pre-procesamiento de las observaciones consistió en los siguientes pasos, representados en la Figura 4:

Figura 4 a) Señal observada por el SG038, luego de aplicar el factor de calibración. b) Efecto de la presión atmosférica en AGGO. c) Señal de marea teórica (verde) y señal de carga oceánica del FES2014b (rojo). d) Efecto del movimiento del polo. e) Residuos preliminares (verde) y residuos luego del pre-procesamiento y filtrado (rojo). El efecto de deriva instrumental no fue eliminado. 

Análisis de marea

El análisis de marea de las observaciones, luego del pre-procesamiento, fue realizado con el software ETERNA ETA34-X (^{Schüller, 2019a}; ^{Schüller, 2019b}), siendo este una actualización y extensión del clásico paquete ETERNA 3.4 (^{Wenzel, 1996}). El retraso de tiempo de 8.3 segundos, causado por los componentes electrónicos del SG038 fue tenido en cuenta (^{Antokoletz et al., 2017}). Los efectos debidos al movimiento del polo y a la longitud del día (LOD), ²⁰ fueron corregidos previo a realizar el ajuste por mínimos cuadrados de las distintas componentes de marea.

La ecuación de observación tenida en cuenta es similar a la de la Ecuación (12). En el caso de este trabajo no han sido determinados factores de regresión ya que los principales efectos (efectos atmosféricos y por movimiento del polo) que tienen impacto sobre la determinación de los parámetros de marea fueron eliminados durante el pre-procesamiento. El modelo de Tierra utilizado fue el DDW-NHi (^{Dehant et al., 1999}) y el catálogo de mareas propuesto por Hartmann y Wenzel (^{1995 a} y ^{1995 b}, teniendo éste una precisión suficiente respecto a la resolución del gravímetro superconductor (0.001 nm/s2).

Como resultado se obtuvieron factores de amplitud y desfasajes para un conjunto de 55 grupos de onda, incluyendo ondas de largo período, ondas diurnas y semi-diurnas, pertenecientes al grado 2 del desarrollo en armónicos esféricos del potencial de marea. Dentro del conjunto de ondas analizadas, se tuvieron en cuenta también los órdenes 1 y 2 del grado 3 del potencial para aquellas ondas de mayor amplitud en el área de estudio (O1, Q1, NO1, J1, N2, M2, S2 y K2). Por último, las ondas M3 (grado 3 y orden 3 del potencial de marea) y M4 (grado 4 y orden 4 del potencial de marea) también fueron analizadas. Respecto a las variaciones y tendencias de largo período (como la deriva instrumental), dado que éstas se comportan en forma lineal en el período de tiempo analizado, se ajustó un polinomio de primer grado.

Los fenómenos de mareas terrestres y carga oceánica, si bien son efectos con un mismo origen y frecuencias coincidentes, es posible separarlos de dos formas:

El software ETERNA ETA34-X permite, dados los parámetros de un modelo de carga oceánica, reducir los parámetros de marea ajustados y obtener los correspondientes a las mareas terrestres. Esto permite no solo evaluar el modelo de Tierra sino también analizar qué tan bien se ajusta el modelo de carga oceánica a las observaciones en el área de estudio. Para este trabajo, se tuvieron en cuenta cuatro modelos de marea oceánica y parámetros proporcionados por el Ocean Tide Loading Provider (http://holt.oso.chalmers.se/loading/; ^{Bos y Scherneck, 2013}):

La Figura 5 muestra la relación vectorial entre los vectores observados, de carga oceánica y teórico. Es claro que el vector observado, una vez reducido por el efecto de carga oceánica debiera ser similar al vector de marea teórico si: (a) el modelo de carga oceánica es correcto; y/o (b) el modelo de Tierra considerado es correcto.

Figura 5 Relación entre los vectores observados, de carga oceánica (OTL²¹) y el teórico (derivado de un modelo de Tierra y un catálogo de mareas). 

Los parámetros de las principales ondas de marea (Mm, Mf, Q1, O1, P1, K1, N2, M2, S2 y K2) fueron introducidos en el análisis a fin de estudiar el impacto de la carga oceánica en la estación AGGO y, además, comparar estos respecto de los parámetros teóricos del modelo de Tierra introducido.

Análisis de mareas

Factores de amplitud y desfasajes fueron determinados para un conjunto de 55 grupos de ondas de marea. Dichos resultados se presentan en la Tabla 3 para las principales ondas de marea que poseen mayor amplitud en la estación. En general, es de notar que para aquellas ondas que presentan mayor amplitud en la estación AGGO, los parámetros de marea (tanto factores de amplitud como desfasajes), son mejor determinados en el ajuste, presentando desvíos estándar más pequeños. A medida que la amplitud teórica de la onda analizada disminuye, resulta más difícil su determinación y, en consecuencia, los desvíos estándar son mayores.

En el caso de las ondas mensuales y semi-mensuales (Mm y Mf, respectivamente) éstas no son bien determinadas en el ajuste, presentando desvíos estándar altos, respecto al parámetro estimado. Esto se debe a que las amplitudes de estas ondas son débiles en las latitudes correspondientes a las de la estación AGGO (<math><mrow><mn>5</mn><mo> </mo><mi>n</mi><mi>m</mi><mo>/</mo><msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math> para el caso de Mm y 1.5 nm/s2 para Mf) y la serie de datos analizada no es suficientemente larga como para separarlas en forma precisa, en especial para Mm. Por esta razón, la determinación de las fases tampoco es precisa. Además, efectos de carácter no-mareal como la onda de tormenta (modificaciones del nivel del agua producidas por cambios bruscos de presión atmosférica y efecto de arrastre del viento; ^{Oreiro et al., 2018}) pueden estar afectando la determinación de dichas ondas.

En cuanto a las ondas diurnas y semi-diurnas, aquellas de mayor amplitud (como las ondas Q1, O1, P1, K1, N2, M2, S2 y K2) son las mejor determinadas en el ajuste, mostrando desvíos estándar más bajos, tanto para los factores de amplitud como para las fases. Las ondas de menor amplitud, aún en el rango de frecuencias diurnas y semi-diurnas, presentan desvíos estándar más significativos, comparados al parámetro estimado. A fin de determinar en forma más precisa los parámetros de marea de dichas ondas es necesario extender la longitud de la serie de datos a analizar. Esto es también visible para la determinación de las fases, donde las ondas de mayor amplitud presentan desfasajes mejor determinados (desvíos estándar más bajos). Existen casos particulares, como la onda NO1, cuyo factor de amplitud es mejor determinado que el desfasaje (en comparación al parámetro estimado). Esto puede deberse a que la amplitud de la onda es considerable pero, dado que esta onda ha sido incluida también en el grado 3 del potencial, su separación en términos de desfasaje es más difícil.

Respecto a la onda terdiurna M3, ésta pudo ser bien separada en el ajuste por tener un rango de frecuencias bien diferenciado de las ondas diurnas y semi-diurnas. M4, por su parte, tiene una amplitud teórica pequeña en la estación (menor a 1 nm/s2) por lo que es difícil su determinación.

Si bien el grado 3 del potencial ha sido analizado para las principales ondas de marea, la determinación de las fases no es precisa. Esto se debe a que se trata de ondas de amplitudes débiles (comparadas a las descriptas previamente) y que la longitud de la serie de datos analizada no es suficientemente larga. Según ^{Schüller (2019b)}, éstas ondas podrían ser bien determinadas contando como mínimo con 4.5 años de observaciones. Otro aspecto relacionado a la determinación de las ondas del grado 3 del potencial está asociado a que el rango de las frecuencias involucradas coincide con las correspondientes en el grado 2, por lo que su separación es más difícil. Cabe destacar que N2 tiene una amplitud teórica considerable, por lo que sería útil su determinación para generar un modelo de mareas preciso para la estación AGGO.

Los residuos del ajuste se presentan en la Figura 6. El error medio cuadrático (RMS)²² obtenido a partir del procesamiento fue de 26.28 nm/s2. Éste permite concluir que existen fenómenos de carácter no-mareal presentes en la señal que aún no han sido analizados y cuya amplitud es significativa. En particular, puede identificarse un período semi-anual (que no coincide con períodos de marea), probablemente relacionado a fenómenos hidrológicos (^{Mikolaj et al., 2019}) y una variación de alta frecuencia principalmente asociados a efectos de carga oceánica no-mareal, como la onda de tormenta (^{Oreiro et al., 2018}).

Figura 6 Residuos obtenidos luego del ajuste de los parámetros de marea. 

La Figura 7 muestra el espectro de amplitud de los residuos. Si bien existe una importante contribución de efectos de largo período (inferiores a 1 ciclo por día), los residuos no muestran remanentes significativos de constituyentes de marea diurnos o semi-diurnos en el espectro de amplitud.

Figura 7 Espectro de amplitud de los residuos obtenidos. 

Carga oceánica

La Tabla 4 muestra los factores de amplitud teóricos derivados del catálogo de Hartmann y Wenzel (^{1995 a} y ^1995b) y el modelo de Tierra DDW-NHi. Las columnas siguientes corresponden a los factores de amplitud y desfasajes para las principales ondas de marea una vez reducidos, teniendo en cuenta los modelos EOT11a, FES2014b, TPXO9-Atlas y GOT4.10c.

Como puede apreciarse, en general FES2014b y TPXO9-Atlas muestran un mejor acuerdo con los valores teóricos. Las ondas Q1 y K2 para el modelo GOT4.10c muestran una mayor diferencia respecto del resto, lo cual puede estar hablando de una falta de exactitud de dicho modelo en las cercanías de AGGO. En cuanto a las ondas de más largo período, Mm y Mf, estas muestran mayores diferencias respecto a los valores teóricos, probablemente debido a que no son bien determinadas en el ajuste.

Estos resultados son ilustrados en la Figura 8. Las ondas Mm y Mf han sido excluidas del gráfico dado que no fueron bien determinadas en el análisis de marea y dificultan la interpretación de las ondas diurnas y semi-diurnas. En rojo se muestra el factor de amplitud teórico (el desfasaje es cero) y en azul el observado (luego del procesamiento), con sus respectivas barras de error. En gris, amarillo, celeste y verde se muestran las amplitudes y desfasajes obtenidos luego de reducir los parámetros observados con los modelos EOT11a, FES2014b, TPXO9-Atlas y GOT4.10c, respectivamente.

Figura 8 Análisis de las principales ondas de marea, luego de ser reducidas con distintos modelos de carga oceánica. Arriba: Factor de Amplitud. Abajo: Desfasaje. En el caso de los parámetros observados se muestran en negro las barras de error obtenidos del ajuste.