1. Introducción

El fenómeno sísmico ha sido estudiado a lo largo de la historia. En particular, se ha buscado un parámetro que describa el potencial destructivo de un movimiento sísmico, dicho parámetro se conoce como medida de intensidad sísmica (MIS), el cual es importante para la estimación del peligro sísmico, respuesta estructural, fragilidad sísmica entre otro tipo de estudios.

Debido a la importancia de las MIS, en la década de los 70’s surgió la necesidad de crear medidas de intensidad sísmica con la habilidad de predecir con mayor aproximación la respuesta estructural de edificaciones basadas en modelos numéricos o cuantitativos ^1,2.

En fechas recientes, se ha optado por profundizar más en el comportamiento dinámico de estructuras no lineales dada su alta complejidad de análisis y carga computacional. Algunos códigos de construcción permiten la opción de ignorar esta interacción o de reducir las fuerzas consideradas que llegan a la base, pero ha quedado documentado que esto lleva a subestimación de las demandas estructurales llegando a resultados poco razonables. Sin embargo, las MIS tradicionales son ineficientes cuando se analizan estructuras con comportamiento no lineal, por lo que existe una carencia para evaluar estas estructuras con medidas más sofisticadas ³.

Por esta razón, diversos autores ^4,5,6,7,8 han planteado la alternativa de seleccionar MIS que disminuyan los inconvenientes de tratar con estructuras complejas al momento de evaluar su respuesta estructural ante los efectos sísmicos. Por esto, la última década se ha enfocado a evaluar el desempeño sísmico de medidas de intensidad sísmica vectoriales (MISV) con fines de encontrar la medida que mejor describa la respuesta estructural ^{9,10,11,12,13,14,15,16,17}, concluyendo que las MISV basadas en la forma espectral tienen un mejor comportamiento.

Ahora el inconveniente se encuentra en evaluar la fragilidad sísmica utilizando estas MIS más sofisticadas debido a que pocos estudios han evaluado las MISV basadas en la forma espectral, y ninguno lo ha aplicado en edificios de concreto reforzado para obtener superficies de fragilidad, es por ello la importancia y justificación de este trabajo.

Por lo tanto, en el presente artículo se analiza el desempeño sísmico de ocho MISV, utilizando Sa(T₁) como primer parámetro del vector y AMS, VMS, T_D, I_D, R_T1,T2, Np_Sa, Np_v y Np_Sv como segundo parámetro, para evaluar la fragilidad sísmica en función de la probabilidad de falla.

Para lograr los objetivos del presente estudio, se realizó un análisis dinámico incremental utilizando Sa(T₁) y considerando la Distorsión Máxima de Entrepiso (DME) como parámetro de demanda sísmica. Después, se aplicó una regresión logística multinomial para estimar cuál medida de intensidad presenta una mejor relación asociada a la fragilidad sísmica de un edificio de concreto reforzado de 10 niveles de altura sometido a 30 registros sísmicos de banda agosta.

2. Antecedentes

Las MIS se pueden catalogar como escalares (e.g. AMS, VMS, DMS), o vectoriales si relacionan dos o más variables y su influencia se puede apreciar en un plano tridimensional ¹⁸.

Algunos investigadores han orientado el campo de conocimiento hacia encontrar una MIS que represente de manera confiable la respuesta estructural de edificios ante demandas sísmicas ^4,5,19, por lo que se estableció un índice de MIS basadas tanto en respuestas máximas (e.g. AMS, VMS, DMS) como en respuestas estructurales (energía de entrada, energía histerética, deformación, entre otras), haciendo una correlación entre ellas ⁶. Sin embargo, también se expresó la incertidumbre de utilizar épsilon como estimador en la MIS ⁸ para obtener la respuesta estructural para el caso donde se tenían registros sísmicos de una fuente cercana y donde además la estructura analizada no fuera dominada por su primer modo de vibración (comportamiento inelástico). Con esto, se ha logrado incorporar un parámetro de forma espectral que permite una mayor aproximación en la respuesta estructural y reduce las limitaciones de las MIS en estructuras con comportamiento no lineal edificadas en lugares donde se presentan sismos de fuente cercana ⁵.

Además, dado que todos los estudios estaban limitados a estructuras regulares en dos dimensiones, se han realizado pruebas usando cinco MIS aplicadas a un edificio irregular de tres dimensiones con problemas de torsión debido al efecto de registros sísmicos bidireccionales superficiales. Se concluyó que Sa(T₁) muestra una débil correlación con la distorsión de entrepiso y de azotea debido a su inhabilidad de capturar los modos fundamentales a través de las ordenadas espectrales ⁹. Posteriormente, se implementaron el uso de una MIS que considera el parámetro de aceleración espectral en el primer modo de la estructura y el parámetro Np considerando sismos de fuente cercana y de banda angosta. Los resultados mostraron que esta nueva MISV se comportaba de manera apropiada en cuanto a eficiencia, suficiencia y robustez al escalamiento, con respecto a otras MISV que se han usado históricamente ⁷.

Debido a los resultados de las investigaciones en la primera década del siglo XXI respecto a MISV, y sobre todo de aquellas basadas en la forma espectral, surgieron un gran número de estudios ^{10,11,12,15,16,20,21,22,23,24,25,26} en los cuales revisaban el desempeño sísmico de diferentes MIS. De manera general se destaca que algunas medidas son más apropiadas que otras para ciertos casos puntuales, pero que, en general, las MISV basadas en la forma espectral representan la mejor opción en cuanto a predicción de la respuesta con la menor incertidumbre, sobre todo para aquellas estructuras que se desvinculan del rango elástico.

Posteriormente, dada la complejidad en los diferentes tipos de estructuras y que las propiedades de los movimientos del suelo con respecto a la amplitud, frecuencia y duración no pueden ser caracterizadas por una sola MIS ²⁷, se creó una MISV compuesta de seis diferentes MIS escalares denominada IMPLS. El objetivo principal de su estudio no fue buscar la mejor MIS sino proponer un nuevo enfoque para desarrollar una MIS para predecir respuestas estructurales bajo los supuestos de los análisis de demanda sísmica probabilística para sistemas de un solo grado de libertad, con la premisa que no tiene por qué utilizarse una sola medida cuando se pueden abarcar un conjunto de estas para minimizar los problemas de dependencia estructural. Los resultados implican que IMPLS es lo suficientemente robusta para predecir la respuesta en edificios con comportamiento histerético y se considera con suficiente utilidad para los parámetros de demanda sísmica.

Por otro lado, las curvas de fragilidad, representadas en función de la probabilidad de falla ligada a una MIS, pueden ser obtenidas a partir de dos o más componentes en el vector de la MISV ²⁸. Existe un gran número de enfoques para elaborar curvas de fragilidad con distintas suposiciones y restricciones a considerar ²⁹. Se han abordado distintos enfoques como simulaciones con el método de Montecarlo para reducir las incertidumbres asociadas a las demandas sísmicas y probabilidades de colapso ³⁰, análisis en la nube basados en modelos de regresión lineal ³¹ y estimaciones de densidad de Kernel para calcular la probabilidad condicional de la respuesta estructural para un registro sísmico dado para obtener superficies de fragilidad que estén libres de suposiciones lognormales ³².

Las ventajas del primero es la reducción del sesgo inducido por el escalamiento de registros a niveles muy elevados con tal de llegar al nivel de intensidad predefinido. De hecho, investigaciones pasadas han demostrado que usar factores de escala superiores a 10 genera resultados sesgados. Por esto se debe tener cuidado cuando se evalúa la vulnerabilidad sísmica ante eventos principales o réplicas ³³.

La fragilidad sísmica es estimada regularmente con base en MIS escalares representada mediante las curvas de fragilidad que describen la relación entre la respuesta estructural y el peligro símico ^34-39. Sin embargo, si actualmente se cuenta con MISV, se pueden formar, en lugar de curvas, superficies de fragilidad que estén ligadas a una respuesta estructural más apropiada. Por esto se evaluó la eficiencia de medidas de intensidad vectoriales aplicadas al análisis de colapso en edificios, proponiendo una nueva MIS que se adecúa mejor para este tipo de estudios, Sa(T₁)/ DSI (intensidad del espectro de desplazamiento), la cual captura el daño de registros sísmicos con periodos largos ¹⁵.

Los resultados de este estudio probaron que las MIS basadas en Sa(T₁) como primera componente nos llevan a una mejor eficiencia, pero la suficiencia aún es un tema a considerar en trabajos futuros. Considerando esto, se decidió aplicar el mismo enfoque pero ahora para estructuras irregulares bidimensionales. Los resultados confirmaron que la mejor MIS fue aquella basada en el vector Sa(T₁)/ DSI para predecir la capacidad de colapso y por lo tanto fue la que mayor eficiencia produjo al momento de calcular las funciones de fragilidad ⁴⁰.

Finalmente, se ha creado una nueva MISV, Intensidad de Bojórquez, la cual contiene los parámetros de forma espectral Np y R_T1,T2 que predice con mayor aproximación la respuesta no lineal de estructuras dado que provee mayor información que la aceleración espectral al generar un segundo punto en el espectro de respuesta en pseudo-aceleración ⁴, y además considera el efecto de los modos superiores de vibrar de la estructura ¹⁴.

3. Metodología

3.1 Modelación del edificio de concreto reforzado (ECR)

El modelo a analizar consta de un ECR de 10 niveles con 3.5 metros de altura cada uno, 3 crujías en dirección X y Y de 8 metros de longitud cada una. Sus parámetros principales son: periodo estructural de 1.37s, amortiguamiento correspondiente al 5% del amortiguamiento crítico, resistencia del concreto igual a 300 kg/cm², módulo de elasticidad de 2.45x10⁵ kg/cm² y una relación de Poisson de 0.20. Además, el edificio fue diseñado y dimensionado de manera que cumpla con el reglamento de construcción de la ciudad ⁴¹ para los estados límites de cargas gravitacionales, sismo y de servicio, considerando un uso para oficinas asentado sobre suelo de la zona III de la CDMX. En la Figura 1 podemos apreciar su topología desde distintas vistas con las cotas correspondientes de eje a eje.

Figura 1 ECR modelado, vistas a) norte-sur, b) este-oeste y c) tridimensional. Acotaciones en metros. 

3.3 Medidas de intensidad sísmica seleccionadas

Como se mencionó, en el presente trabajo se analiza la eficiencia de 8 MISV, las cuales se muestran en la Tabla 2 junto con su formulación matemática. Cabe recalcar que en este estudio se utilizaron MISV y que los análisis son considerando el espectro de pseudo aceleración en el periodo fundamental de la estructura, Sa(T1), de ahora en adelante denominada solamente Sa, como primera componente del vector. Lo anterior significa que las MISV estarán conformadas como se muestra en Tabla 3:

Tabla 2 Medidas de intensidad sísmica utilizadas. 

Medida de intensidad	ormulacón matemática
Aceleración Máxima del Suelo (AMS)
Velocidad Máxima del Suelo (VMS)
Duración del movimiento (T D)	Tiempo que transcurre en pasar del 5% al 95% de la intensidad de Arias (IA)	IA=∫0Ta2tdt
Potenciál del movimiento sísmico (I D)	ID=∫0tFa(t)2dtAms ∙Vms
Parámetro Espectral R T1,T2	R(T1.Tmodoi)=S(Tmodoi)S(T1)
Parámetro Espectral N p s a	Np=Saavg(Ti…Tf)Sa(Tj)
Parámetro Espectral N p v	NpSv=SVavg(Ti…Tf)SV (j)
Parámetro Espectral N p sv	NpSv=SVavg(Ti…Tf)SV (j)

Tabla 3 Conjunto de MISV y las categorías a la que corresponden basadas en las respuestas que las caracterizan. 

MISV	Respuesta Máxima	Duración	Forma espectral
<Sa, AMS>	*
<Sa, VMS>	*
<Sa, TD>	*	*
<Sa, ID>	*	*
<Sa, RT1,T2>	*		*
<Sa, NpSa>	*		*
< Sa, NpV >	*		*
< Sa, NpSv >	*		*

3.4 Análisis dinámico incremental

El análisis dinámico incremental (IDA, por sus siglas en inglés) es un método que evalúa el desempeño estructural de edificios sometidos a fuerzas sísmicas tomando como referencia un parámetro de demanda sísmica determinado ⁴². En este trabajo se considera este enfoque por su amplia aceptación en la literatura aplicada al campo de investigación de la ingeniería estructural.

El primer paso consistió en escalar los 30 registros sísmicos hasta una intensidad deseada en términos de alguna MIS (e.g. pseudo aceleración) posteriormente se obtuvo el factor de escalamiento necesario para llegar a la intensidad deseada en el periodo fundamental de la estructura. Para este caso se consideró la Sa normalizada respecto a la gravedad (valores de 0 a 2g en incrementos de 0.1g) y Sa sin normalizar (de 0 a 2,000 cm/s² con incrementos de 100 cm/s²). Al final se optó por la primera opción de Sa dado que se tiene una mayor base comparativa con investigaciones de otros autores para este tipo de valores.

Adicionalmente, se aplicaron los factores de escalado a los registros sísmicos correspondientes, creando así un total de 20 registros sísmicos escalados (uno para cada nivel de escalamiento, es decir, 0.1g, 0.2g, 0.3g…2g) para cada componente del registro sísmico seleccionado.

Posteriormente se crea un archivo de texto con la estructura requerida por el software RUAMOKO 3D donde se debe incluir una serie de datos que leerá el programa. Los parámetros más importantes que se introducen son el tipo de análisis (estático, dinámico, u otros), las características del marco (número de nodos, elementos, secciones transversales, formas de vibrar, amortiguamiento, entre otros), la creación de cada nodo y elemento barra de la estructura con sus respectivas coordenadas arbitrarias, los nodos donde se estiman las distorsiones de entrepiso, las propiedades de las secciones transversales (módulo de elasticidad y cortante, área efectiva, momento de inercia, entre otros), los pesos y cargas que se trasmiten a los nodos y por último el intervalo del paso del tiempo así como la duración de la historia de tiempo del sismo que estará excitando a la estructura.

En resumen, para este trabajo se utilizó un archivo de texto compatible con el programa de cómputo que se componía de los siguientes datos principales: Análisis tipo dinámico, marco de tres dimensiones con 186 nodos y 400 elementos barra, 5 secciones transversales, amortiguamiento del 5% del crítico, intervalos de historia de tiempo de 0.01s. Las cargas en los nodos fueron estimadas según el análisis estructural llevado a cabo acorde a lo estipulado en el reglamento de construcción ⁴¹. Se motiva al lector a revisar los manuales con los que cuenta el software RUAUMOKO 3D para profundizar aún más en todas las funciones que se pueden llevar a cabo con éste.

Con lo anterior, se creó un archivo .bat que contiene las instrucciones para que las ejecute el software RUAUMOKO 3D. Las instrucciones que deben componer al archivo son las siguientes: Archivo ejecutable del software, nombre del archivo resultado, modelo del edificio en formato de texto, registro sísmico escalado (componente norte-sur), registro sísmico escalado (componente este-oeste), registro sísmico escalado (componente vertical). El producto será un archivo resultado por cada sismo escalado del cual se deberá extraer el parámetro de demanda sísmica, en este caso la DME, ya que es la más utilizada en los códigos de construcción. En este estudio se obtuvieron un total de 600 archivos, lo que se traduce a 600 DME de las cuales se utilizarán aquellas para el nivel de intensidad deseado (1g). En la Figura 2 se ilustra cuál es la eficiencia de la MIS al graficarla contra el parámetro de demanda sísmica. Se observa que el intervalo de valores para la DME se incrementa conforme aumenta el valor de la MIS.

Figura 2 Análisis dinámico incremental para el ECR de 10 niveles sometido a los registros sísmicos escalados para 0.1<Sa<2g. 

3.5 Superficies de fragilidad sísmica

Las curvas y superficies de fragilidad nos permiten estimar el comportamiento de la MISV en función de la probabilidad de falla. La probabilidad de falla está dada por las tasas de excedencia de un valor determinado comúnmente conocido como parámetro de demanda sísmica.

Una vez obtenidos los parámetros de demanda sísmica (DME) se determinó si la estructura falla o no al sobrepasar el valor límite de 0.03 establecido en el reglamento de construcción ⁴¹.

Por lo tanto se consideró que la estructura falla si excedía este parámetro, asignándole un valor de 1 y si no fallaba (no excedía el valor límite) se le asignó un valor de 0. Después se asociaron estos valores a las MIS calculadas AMS, VMS, T_D I_D, R_T1,T2, Np_Sa, Np_v Y Np_Sv. para cada sismo utilizado. Finalmente, se tabulan estos valores de falla-MIS para trazar las curvas de fragilidad y falla-MISV para generar las superficies de fragilidad correspondientes. Esto último se logra aplicando una regresión logística multinomial mediante la ecuación (1) considerando los valores de cada componente de la MISV. Esta regresión permitirá obtener la probabilidad de falla para desarrollar superficies de fragilidad con cada una de las MISV.

PF=11+e-β0- β1∙x1-β2∙x2

Donde:

P _F =Probabilidad de falla

x ₁ =Valor resumido de probabilidad de falla en el valor de pseudo-aceleración espectral medida en el periodo fundamental de la estructura.

x ₂ = Valor de la medida de intensidad como parámetro secundario del vector.

β ₀ , β ₁ y β ₂ =Coeficientes producto de la regresión de los resultados de registros escalados en Sa(T ₁ )=x ₁ .

En la Figura 3 podemos apreciar la diferencia entre trazar curvas de fragilidad (izquierda) y superficies de fragilidad (derecha); La primera solo considera el comportamiento de una MIS mientras se considera Sa fija. En el segundo caso se varía ambos valores de la MISV y se puede conocer la influencia de uno y otro sobre la probabilidad de falla.

Figura 3 Regresión logística simple (izquierda) para Np_Sa con Sa fija y multinomial (derecha) para el vector <Sa, Np_Sa>. 

Las superficies de fragilidad calculadas se realizaron creando una matriz de la primera componente de la MISV, otra matriz para la segunda componente y una tercera matriz producto de las dos primeras aplicando la regresión logística multinomial. Los cálculos y creación de superficies de fragilidad fueron llevados a cabo en el software MATLAB y se utilizaron los valores beta que produjeran el menor error haciendo un proceso de optimización de datos.

4 Resultados y Discusiones

En los siguientes párrafos se describen las superficies de fragilidad resultantes mostradas en la Figura 4, obtenidas a partir de la probabilidad de falla aplicando regresión logística multinomial a los resultados del análisis dinámico incremental del ECR de 10 niveles sometidos a los 30 registros sísmicos, considerando la DME como parámetro de demanda sísmica para Sa=1g y utilizando MISV con Sa como primera componente del vector y las MIS escalares AMS, VMS; las de duración T_D, e I_D; y las de forma espectral R_T1,T2, Np_Sa, Np_V y Np_Sv, como segunda componente del vector.

Figura 4 Superficies de fragilidad del ECR con Sa(T1) como primera componente de la MISV y a) AMS, b) VMS, c) T_D, d) I_D, e) R_T1,T2 , f) Np_sa, g) Np_v y h) Np_sv como segunda. 

Para el primer caso se consideró AMS como medida de intensidad y podemos apreciar en la Figura 4a una respuesta completamente plana conforme van incrementando los valores de la MISV. De igual manera para el caso de VMS (Figura 4b) no se observa una mejora significativa en la estimación de la probabilidad de falla (fragilidad sísmica) y se aprecia una similitud considerable con la gráfica previa, lo cual parece indicar que en estos casos las MIS tradicionales (basadas en respuestas máximas) no aportan información adicional sobre la respuesta estructural. Esto resulta congruente con lo establecido en trabajos previos sobre la nula relación que presentan cuando se analiza el desempeño sísmico de estas medidas.

Luego en la Figura 4c viene T_D, la cual considera la duración del movimiento. Esta medida tiene un mejor comportamiento al irse incrementando la probabilidad de falla conforme la duración asciende. Algo similar ocurre con I_D, compuesta también por valores de duración del movimiento así como de demandas máximas, la cual tiene un comportamiento ligeramente superior a los primeros dos casos al verse influenciada cuando se incrementan los valores de duración, incrementando así la probabilidad de falla (Figura 4d). Sin embargo, no se puede argumentar una diferencia significativa que justifique su uso de manera constante para este par de MISV.

Por último, tenemos a las MISV basadas en la forma espectral. Primeramente observamos a R_T1,T2 en la Figura 4e, la cual muestra una mejora significativa en el comportamiento de la gráfica dado que el incremento de esta medida representa un aumento en la probabilidad de falla lo que significa que la respuesta se ve influenciada a causa de la incorporación de esta medida. Lo mismo sucede con las otras MISV basadas en la forma espectral Np_sa, Np_v y Np_Sv quienes tienen un mejor comportamiento al tener una línea de regresión ajustada de gran manera a los puntos de dispersión (Figura 4f, 4g y 4h respectivamente). Además, cabe mencionar que las gráficas son muy parecidas entre sí, quizás por el hecho que el factor Np depende de la normalización del espectro lo que lleva a generar esa similitud. No obstante, queda claro que las MISV basadas en la forma espectral presentan un mejor comportamiento al estimar la probabilidad de falla y por ende las superficies de fragilidad.

5. Conclusiones

En este trabajo se analizó la eficiencia de 8 MISV, mediante análisis dinámicos incrementales considerando la distorsión máxima de entrepiso como parámetro de demanda sísmica, para predecir la respuesta estructural y se realizó un análisis de fragilidad sísmica estimando 8 superficies de fragilidad sísmica de un ECR de 10 niveles sometido a 30 registros sísmicos de banda angosta. Con base en los resultados se concluye lo siguiente:

El estudio de las MISV basadas en la forma espectral para estimar superficies de fragilidad en ECR no ha sido abordado en la literatura previa por lo que los resultados aquí obtenidos podrían ser analizados en futuros trabajos como alternativa a los métodos tradicionales plasmados en los códigos de construcción vigentes. Lo anterior es crucial con la finalidad de utilizar medidas de intensidad sísmica más eficientes. Además, este enfoque es muy útil para no depender de Sa(T₁) como único parámetro de daño y ayuda en la estimación del comportamiento no lineal de las estructuras. Es recomendable seguir aplicando este tipo de análisis con el objetivo de encontrar diferencias significativas en las formas de diseño tradicionales, incrementando así la seguridad estructural a un menor coste de edificación.