1. Revisión de la literatura

Entre los métodos indirectos más utilizados para obtener estimadores de los coeficientes técnicos intrarregionales se encuentran los métodos denominados de cuota, el de ^{Flegg et al. (1995)} es un caso especial. En general, esta familia de métodos propone obtener los coeficientes técnicos intrarregionales de acuerdo con (1):

Donde definimos el coeficiente insumo-producto aijrr , como las compras en pesos del insumo i, realizadas para producir un peso del sector j, donde tanto el proveedor como el comprador son de la misma región r, i.e. la primera r del supra índice denota la procedencia del vendedor y la segunda del comprador. Mientras que aijn es el coeficiente técnico nacional de la matriz de transacciones domésticas. El parámetro αijr es el factor de ajuste que diferencia cada uno de los métodos de cuota. En general el factor refleja la abundancia del producto j en la región, de forma que mientras mayor sea, más contenido regional tendrá la compra, y pasando cierto umbral, que por lo general se define en uno, todo el requerimiento técnico, que es igual al nacional porque tienen la misma tecnología, se surte dentro de la región.

Dos métodos muy comunes para determinar el parámetro αijr son el de cuota simple, donde αijr=SLQir=xirxrxinxn y el de cuota cruzada donde αijr=CIQijr=SLQirSLQjr .

La cuota de localización simple o SLQ (por sus siglas en inglés) es la razón de la proporción de la producción (denotado por x) del sector i en la región r, en la producción total de la región en comparación nacional de ese sector. Es una variable que refleja tamaño o ventaja comparativa del sector i, que es el vendedor, en la región r. Si es mayor a 1, significa que el sector i es más importante en la región, es decir, se revela que la región tiene ventaja en la producción del sector i. Si es menor a 1 entonces es más bien pequeño por lo que hay que ajustar hacia abajo el coeficiente nacional. La cuota cruzada define el factor de ajuste no en términos absolutos de la cuota simple del vendedor, sino en términos relativos al “tamaño” del comprador, el sector j. Es decir, un sector vendedor i puede tener una SLQi  de 0.4, pero si el que compra tiene una SLQj más pequeña, digamos 0.2, entonces la relación es 2, lo que indica que la oferta local basta y sobra para la reducida demanda de la región.

^{Flegg et al. (1995)} y ^{Flegg y Webber (1997)} reconocieron que la cuota cruzada puede ser un avance sobre la simple, pero tiene el problema de no incorporar el tamaño de la región, lo cual es una omisión importante. Esto es así porque las regiones relativamente más pequeñas tienden a importar más de otras regiones, o de otros países, que las más grandes. Este hecho puede deberse a las economías a escala: en este contexto las regiones con mercados más grandes tienden a desarrollar más proveedores locales para la región más autosuficiente. Esta omisión en los métodos de cuotas simple y cruzada podría ser la causa de la sobrestimación de los coeficientes técnicos y los multiplicadores de producto cuando se contrastaban este tipo de estimaciones con los que se obtienen con base en métodos directos.

Así, ^{Flegg y Webber (1997)} proponen el siguiente ajuste sobre la cuota de localización cruzada:

Y los coeficientes intrarregionales se obtendría de acuerdo con la siguiente regla:

El método propuesto soluciona el problema de la sobrestimación de los métodos de cuota simple y cruzada al costo de tener que estimar un parámetro, en este caso δ . Mientras más cercano a cero, menor el ajuste, de hecho, en cero coincide con el de cuota cruzada. Mientras más cercano a uno, mayor es el ajuste hacia abajo en los contenidos regionales. ¿Cómo obtener estimaciones de δ ? La práctica ha sido la de estimar la δ óptima en los casos donde se tengan matrices insumo-producto construidas con métodos directos, es decir se estiman los coeficientes intrarregionales con base en la ecuación (2) y (3) para diferentes valores de δ , y se comparan los coeficientes estimados o los multiplicadores de producto contra los “correctos” que son los que se obtienen de la matriz resultante de las encuestas. Se elige la δ que minimiza los errores de estimación.

Con base en los casos de Peterbourough en 1969 y de Escocia en 1989, ^{Flegg y Webber (1997} y ²⁰⁰⁰⁾ propusieron que un valor de δ = 0.3 es razonable para el método Flegg. En otro estudio para 20 regiones finlandesas ^{Flegg y Thomo (2011)} obtuvieron un valor óptimo de δ = 0.25, y en ^{Flegg y Thomo (2016b)} se obtuvo que los valores de deltas óptimos para las regiones de Gyeongbuk y Daegu de Corea del Sur eran de 0.4 y 0.35 respectivamente.

Otra forma de arribar al parámetro δ es utilizar simulaciones de Monte Carlo. ^{Bonfiglio y Chelli (2008)} obtuvieron mil matrices simuladas estocásticamente para 20 regiones y las agregaron para obtener la nacional, después usaron los métodos de Flegg para volver a regionalizar las matrices obteniendo una nueva estimación para diferentes valores de δ. Comparando las 20 mil matrices regionales “correctas” y sus contrapartes “estimadas”, obtuvieron el valor esperado de las δ óptimas fue de 0.324 para el método Flegg con un error estándar de 0.11.

Si bien la evidencia da soporte para pensar en que δ se ubica en la vecindad de 0.3 y de 0.4 en el método aumentado, hay que reconocer que en la región de Finlandia de Keski-Pohjanmaa ^{Thomo (2004)} encontró una δ menor a 0.1, y en la región de Córdoba en Argentina ^{Flegg, Mastronardi y Romero (2015)} encontraron una delta óptima también de 0.1. En el otro extremo, ^{Bonfiglio (2009)} estimó deltas óptimos muy por arriba de los valores comúnmente empleados: 0.66 y 0.79 para la región de Marche de Italia.

De esta forma, la práctica más habitual ha sido emplear el método de Flegg para regionalizar matrices insumo-producto en caso de no disponer ninguna otra información a nivel regional, y se asume un valor de δ de 0.25 o 0.3, en las matrices regionales que se construyeron. ^{Chapa y Ayala (2018)} realizaron un ejercicio de sensibilidad de los resultados variando el parámetro en un intervalo de 0.2 a 0.4, estimándose una variación promedio en los multiplicadores de un 5%.

Siguiendo esta práctica, el método se ha aplicado en México para construir matrices insumo-producto de las mesoregiones (^{Dávila y Valdés 2012}; ^{Dávila 2015}); para construir matrices de contabilidad social regionales (^{Dávila 2015}; ^{González, de la Cruz y Neri 2020}); para estimar los impactos del agotamiento de los pozos petroleros de Campeche (^{Ayala, Chapa y Treviño 2015}); para estimar el impacto del libre comercio en la zona noreste (^{Ayala, Chapa, Treviño, Matteo y Pérez 2015}); para identificar encadenamientos productivos en regiones mineras de México (^{Gaytán, Mendoza y Vargas 2018}); para estimar el impacto de la industria automotriz en las regiones económicas de México (^{Torre, Alvarado y Quiroga 2017}); para determinar interdependencias productivas (^{Vera y Langle 2019}) y para construir matrices de contabilidad social para cuatro regiones de México con una perspectiva de género (^{Chapa y Ayala 2018}).

2. Generalizando el método de Flegg: desarrollo de hipótesis

El método de Flegg definido por las ecuaciones (2) y (3) ha probado ser muy útil y de razonable precisión ante la falta de información regional específica, esas ventajas se dan al costo de solo tener que estimar o asumir un parámetro. Sin embargo, para lograr esta simplificación, el modelo asume implícitamente algunos otros supuestos, en especial los siguientes:

Para determinar las hipótesis implícitas al método de regionalización de Flegg et al., conviene presentar un modelo más general, tal y como los que se presentan en las ecuaciones (4) y (5). En estas expresiones añadimos un término estocástico εijr , que captura las diferencias en los coeficientes técnicos intrarregionales que no pueden ser explicado por la tecnología nacional, la especialización (vía el CIQ o los LQ) o el tamaño de las regiones. Asumimos que el valor esperado del residual es cero y su dispersión constante, E(εijr)=0, Var(εijr)=σε2 .

Adicionalmente, liberamos el valor de las elasticidades de los coeficientes intrarregionales al CIQ, el SLQ del vendedor y del comprador y la de los coeficientes técnicos nacionales, y asumimos que éstas son constantes, pero con valores indeterminados expresados por β, βV, βC y γ   , respectivamente.

En este marco, las elasticidades instantáneas del valor esperado de la distribución de los coeficientes técnicos intrarregionales con respecto a los índices de las cuotas y los coeficientes técnicos nacionales son las siguientes: en (4) ∂lnEaijrr∂lnCIQijr=β, ∂lnEaijrr∂lnaijn=γ , mientras que de (5) tenemos que ∂lnEaijrr∂lnSLQir=βV, ∂lnEaijrr∂lnSLQjr=βC . Nótese también, que la delta del método de Flegg puede interpretarse como la elasticidad de los coeficientes intrarregionales con respecto a la variable log21+xrxn , que es una transformación del tamaño relativo de la región.

Sin embargo, delta no nos da una medición del cambio porcentual en los coeficientes intrarregionales cuando cambia en el tamaño de la región en sí. En cambio, ∂Eaijrr∂sr1Eaijrr sí nos da el cambio porcentual en los coeficientes técnicos regionales cuando aumenta un punto porcentual el tamaño relativo de la región. Puede demostrarse que este parámetro es igual a δ11+sr1log21+srlog2e , donde “e” es la constante de Napier, es positiva, i.e. al aumentar el tamaño de la región aumentan los coeficientes intrarregionales, pero es una función decreciente del peso de la región en la economía nacional, sr=xrxn . Ésta tiende a infinito si sr→0 , y a 0.7δ si sr→1 .

Comparando el método de Flegg con las especificaciones (4) y (5), es claro que el método asume que β=1 & γ=1 , en la especificación (4), y βV=1 & βC=−1 & γ=1 , en la especificación (5). ¿Es la evidencia consistente con estos supuestos? ¿Baja sensiblemente la precisión del modelo de Flegg si no se llegan a cumplir los supuestos? ¿Vale la pena asumir el costo de tener que estimar más parámetros que el coeficiente delta?

3. Regionalizando países europeos

Para contrastar las hipótesis implícitas del modelo de Flegg requerimos de un conjunto de datos. Debido a la escasez de matrices insumo-producto regionales elaboradas mediante métodos directos, optamos por realizar el contraste empírico con base a las matrices de los países de la EU17. Aparte de la gran ventaja de contar con las matrices de cada país y la agregada de toda la región, puede argumentarse que, por la notable integración económica de estos países, el bloque puede tomarse como una aproximación de regiones dentro de un estado nación. Este enfoque ha sido adoptado en otras contribuciones, por ejemplo, en los estudios de convergencia ^{Barro y Sala-i-Martin (1992)} comparan la convergencia de los estados de Estados Unidos con la que se da entre las diferentes regiones de Europa, tomando a todo el continente como un solo estado nación. ^{Jahn (2017)}, por otro lado, estima un modelo gravitacional para los flujos comerciales de los diferentes países europeos y usa los coeficientes estimados para predecir los intercambios entre diferentes regiones de Alemania.

Admitimos que las escalas cambian, como los países son más grandes que las regiones, estados o ciudades, seguramente estarán más diversificados y tendrán menos propensión a importar mercancías de los otros países, en comparación con lo que sucede con las regiones. De ser este el caso, lo que esperamos es que el coeficiente δ óptimo disminuya sensiblemente, posiblemente por debajo del rango de 0.1 a 0.4 que mencionamos en la revisión de literatura. Aun así, como quiera, es posible todavía contrastar las hipótesis sobre el CIQ, los SLQ’s y el coeficiente técnico nacional, que es el objetivo del presente trabajo.

Usamos las matrices insumo-producto del Sistema de Cuentas Europeas (ESA por sus siglas en inglés) disponible en ^Eurostat, tanto para la EU17 en su conjunto, así como para nueve de los diecisiete países de la EU17 que cuentan con las bases de datos en las mismas condiciones de comparabilidad respecto a la agregada de la EU (año y nivel de desagregación): Bélgica, Alemania, Estonia, Irlanda, Francia, Italia, Austria, Eslovenia, Eslovaquia⁴. Todas las matrices corresponden al año 2010 con base a la metodología de ESA 95, ya que es el último año para el cual está publicada la matriz agregada de la EU, debido a que en ESA 10 no está disponible la matriz agregada. En todas las matrices se empleó la misma desagregación sectorial correspondiente a 63 actividades económicas.

En la mayor parte de las aplicaciones de los métodos de regionalización se parte de una matriz nacional para estimar multiplicadores regionales. En esta investigación se parte de una matriz insumo-producto correspondiente a un conjunto de países, la cual tendrá la función de la matriz “nacional”, para poder derivar coeficientes “intrarregionales”, que en realidad serán los coeficientes domésticos de cada uno de los países integrantes de la EU contemplados en este análisis.

Hay que tomar en cuenta que los países contemplados seguramente tienen una dinámica económica distinta a la que tendrían algunas regiones a escala subnacional, debido a mayores barreras al comercio interregional y a que los países tienden a ser más autosuficientes que las regiones. Esto último es evidente en la tabla 1, que muestra los Índices de Herfindahl-Hirschman (IHH), una de las medidas más populares de concentración económica y que oscila en un rango de 0 (nula concentración) a 10, 000 (concentración máxima). Como puede observarse, en casi todos los países incluidos en el análisis los IHH son menores a 400, cifra que sugiere una diversificación importante, no obstante que los países estudiados difieren en forma importante en tamaño, donde se destacan Alemania, Francia e Italia, que concentran el 26%, 21% y 16% del valor agregado de la EU17; en contraste con el resto de los seis países, los cuales tienen una participación menor al 4%.

4. Contrastación empírica del modelo de Flegg sin restricciones

La estrategia de contraste de las hipótesis, o supuestos, del modelo de Flegg en el contexto europeo consiste en estimar econométricamente las ecuaciones (4) y (5), donde las regiones son los nueve países considerados, desplegados a 63 actividades económicas. De esta forma, estimamos las cuotas de localización simples ( SLQir ) para cada país-sector de acuerdo con la razón de los pesos de cada sector en el país en comparación al de la EU17. La cuota cruzada, o CIQijr , se estima dividiendo la cuota simple del sector vendedor entre el del comprador, y en los casos en que coinciden los sectores se sustituye por la cuota simple del vendedor (ver ^{Miller y Blair 2009}). Los coeficientes intrarregionales de cada país se toman de su matriz insumo-producto doméstica, y los nacionales de la matriz doméstica de la EU17. El tamaño relativo se estima como la razón del valor agregado total del país en cuestión al total de la EU17, mismo que es reportado en la tabla 1.

La estimación econométrica de las especificaciones (4) y (5) presenta dos dificultades. La primera de ellas se refiere a cómo introducir el término estocástico, en principio puede ser en forma aditiva, tal y como se expone en (4) y (5), de forma que el modelo es no-lineal y no puede transformarse en uno lineal simplemente aplicando una transformación logarítmica. Alternativamente, existe la posibilidad de introducir un residual multiplicativo del tipo euijr , tomar logaritmos naturales, hacer lineal en logaritmos el modelo y correr la regresión de mínimos cuadrados ordinarios.

Ambas opciones son en principio válidas, decidimos quedarnos con la que predice mejor los coeficientes técnicos intrarregionales (no su logaritmo), es decir experimentamos corriendo los modelos en las dos versiones, la no-lineal que minimiza ∑j=1N∑i=1Nεijr2 , y la doble-logarítmica, lineal, que minimiza ∑j=1N∑i=1Nuijr2 . En todos los casos, los criterios de evaluación de la predicción de los coeficientes intrarregionales aijrr , tales como el MAE⁵, indicaron que el modelo no lineal es más preciso. Por esta razón dejamos la especificación no-lineal, y se utilizó un algoritmo Gauss-Newton con un step-method Marquandt y un límite de convergencia de 0.0001 para obtener las estimaciones mínimo-cuadráticas⁶.

La segunda dificultad radica en acotar la muestra de observaciones que deben incluirse en la estimación. Los métodos de cuotas estiman un coeficiente intrarregional siempre y cuando la cuota relevante (simple, cruzada o de Flegg) sea menor a la unidad, una vez que rebasa ese límite, la estimación es exactamente el coeficiente nacional. Por tal motivo, la muestra relevante para la estimación debe ser aquella donde FLQir<1 , pero el problema es que FLQ depende de delta en el modelo de Flegg, y en las expresiones (4) y (5) del resto de los parámetros, y precisamente queremos delimitar la muestra para estimar los coeficientes. Entramos en un problema de circularidad, requerimos datos para estimar los coeficientes, pero dependiendo de éstos debemos de delimitar la muestra de datos.

Para resolver esta circularidad decidimos emplear dos alternativas, que como se verá arrojan resultados semejantes. En una primera instancia, integramos la muestra con las observaciones donde la cuota cruzada CIQijr es menor a 1. Esto tiene la ventaja de ser sencillo, rompemos la circularidad y al fin y al cabo el principal ingrediente del método de Flegg es la cuota cruzada.

La segunda forma de delimitar la muestra es a través de un proceso iterativo. En el primer paso estimamos los modelos (4) y (5) con mínimos cuadrados no lineales para los datos donde CIQijr<1 y obtenemos estimaciones de los parámetros de la primera ronda. En el paso dos, con las estimaciones de la ronda 1, construimos las cuotas de Flegg, y reestimamos los modelos ahora para las observaciones donde FLQijr1<1 , donde el (1) de supra índice indica que es la cuota de la ronda 1. Como la muestra cambió, en el paso tres se vuelve a estimar el modelo y se construye la cuota FLQijr2 . En el paso cuatro, se estima el modelo con la muestra que cumple con FLQijr2<1 , y así sucesivamente. En cada estimación, se revisa la cuota de Flegg con los parámetros obtenidos, se delimita nuevamente la muestra y se procede a volver a estimar. El proceso lo realizamos hasta que los coeficientes no cambiaran en más de 0.01.

Las estimaciones para la muestra donde las cuotas cruzadas son menores a 1 se presentan en la tabla 2 y las que se obtienen mediante el método iterativo en la tabla 3. En ambas tablas se presentan cinco modelos distintos, los primeros tres corresponden a la ecuación (4), liberando un parámetro a la vez, y los dos últimos a la ecuación (5). Es decir, la estimación de la columna (1) libera el parámetro δ en la ecuación (4), por lo que aparece el coeficiente estimado y su error estándar abajo del mismo, mientras que los parámetros β y γ se restringen a 1 por lo que su coeficiente toma el valor de 1 pero no hay un error estándar dado que no se trató de una estimación. Así se interpretan el resto de las estimaciones.

En general las estimaciones son del mismo orden de magnitud para los dos métodos que empleamos, aquel que restringe la muestra a las observaciones donde CIQ<1 y el método iterativo donde en cada paso se estiman los parámetros del modelo en cuestión y con ellos se construyen las cuotas de Flegg. Las estimaciones de la delta crecen en ambas estimaciones a medida que liberamos el resto de los parámetros, en el primer caso de 0.02 hasta 0.09, y con el segundo método de 0.02 a 0.07; consistente con el modelo, la delta es positiva y significativamente diferente de cero, y como esperábamos, se tratan de deltas pequeñas ya que los países tienden a ser más diversificados que las regiones.

Los coeficientes del CIQ se ubican en un rango de 0.50 a 0.58 en las columnas (2), (3), (7) y (8), positivos y significativamente distintos de cero; lo que indica que mientras mayor es la cuota cruzada, mayor es el valor esperado de contenido intrarregional del coeficiente técnico. La estimación del parámetro γ , que representa la elasticidad de los coeficientes intrarregionales a los nacionales también es positiva y se ubica entre 0.97 y 0.98, significativamente distinta de cero y muy cercana a la unidad, como en el modelo original de Flegg.

Finalmente, en los modelos donde en lugar de usar el CIQ empleamos por separado las cuotas de localización simples del vendedor y del comprador, éstas son significativamente distintas de cero y tienen los signos correctos; es decir mientras más grande es el vendedor y menor es el comprador, mayor será el coeficiente intrarregional. Llama la atención que, en todos los casos, siempre es mayor el coeficiente del SLQ del vendedor y es aproximadamente el doble del valor absoluto del del comprador, además la suma de ambas da una estimación muy cercana a la que ocurre cuando usamos el CIQ.

La tabla 4 presenta los contrastes empíricos de las hipótesis que asume el modelo de Flegg y que presentamos en secciones anteriores, específicamente que β=1 & γ=1 , en la especificación (4), y βV=1 & βC=−1 & γ=1 en la (5). Presentamos las pruebas de Wald, primero por separado para los coeficientes y después en forma conjunta. En las pruebas individuales utilizamos el estadístico [t]; mientras que en las que se involucra más de un parámetro, el estadístico [F] de la prueba de Wald. Nótese que todas las pruebas de hipótesis son lineales.

Todas las hipótesis que se probaron se rechazan al 1%, es decir la evidencia no es consistente con que la elasticidad de la cuota cruzada ni la de los coeficientes técnicos nacionales sean 1, tampoco con que las elasticidades de las cuotas simples de localización del vendedor y del comprador sean simultáneamente 1 y -1.

En la formulación originaria del modelo de Flegg las elasticidades de las cuotas cruzadas y de los coeficientes técnicos se encuentran restringidos, ¿Qué tanta precisión se gana al liberar los coeficientes y no restringirlos? Esta cuestión puede ser respondida al comparar las medidas de bondad de ajuste de la columna (1), que corresponde al modelo de Flegg original, contra las medidas expresadas de la columna (2) a la (5), que no asume que se cumplan los supuestos del modelo de Flegg⁷ (tabla 2). Al liberar los parámetros, la R2 ajustada aumenta y el criterio de Schwarz disminuye, el mejor modelo de acuerdo con estos criterios es el que emplea el CIQ y los coeficientes técnicos nacionales (columna 3). La ganancia en el ajuste es de solo un punto porcentual y medio, con el costo de tener que estimar 3 parámetros en lugar de solo 1. En nuestro caso, con la muestra tan grande que tenemos ese costo es ínfimo, pero en la mayoría de los casos donde se aplica el método de Flegg, los datos son realmente escasos.