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INTRODUCCIÓN
Diversas investigaciones (figura 1) dan cuenta de la problemática relacionada con el aprendizaje de los exponentes (Lezama, 1999; Martínez, 2007; González, 2010; Barrios, 2015; Dennis y Confrey, 2000; Cantoral y Farfán, 1998; Boyer, 1968; Cajori, 1913; Socas, 1997; Abrate, et al., 2006; Cadenas, 2007; Sosa, et al., 2013; Rico, et al., 2015). Es importante mencionar que la han vivido los docentes en el aula cuando abordan este contenido. En este trabajo se clasifican de acuerdo con su tipo:
Las que muestran los errores cometidos por los estudiantes en el contenido de exponentes.
Las que realizan un análisis histórico-epistemológico del contenido de exponentes.
Las que realizan propuestas didácticas para atender la problemática.
Debido a que esta investigación se centra en los errores cometidos por los alumnos, profundizamos en las investigaciones que atienden esta problemática. Así, se entiende por error “intentos razonables, pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva situación” (Matz, 1980, citado en Ruano, et al., 2008, p. 312).
En nuestra experiencia, hemos observado e identificado que los errores que cometen los estudiantes de nivel bachillerato respecto al contenido de exponen-tes es debido justamente a que, para ellos no tiene significado el nuevo cono-cimiento, esto es, no le encuentran el sentido a que primero se les muestre la propiedad
Por ello, en el intento de querer entender las nuevas leyes de los exponentes, en ocasiones tienden a multiplicar la base por el exponente, ya que relacionan dicho contenido con el producto, asociándolo con la primera propiedad
También se han encontrado algunos trabajos en los que se abordan aspectos relacionados con nuestro objeto matemático como son: dificultades, obstáculos y errores que presentan los estudiantes al abordar este contenido. Específicamente se identifica que el contenido de los exponentes, en particular el exponente
De esta manera se identifica que los estudiantes de los niveles de secundaria, bachillerato y superior no manejan adecuadamente los exponentes racionales, en particular cometen los siguientes errores:
Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar tiene un doble resultado
Identifican la semántica de potencias con base entera y exponente fraccionario negativo, como tomar el inverso multiplicativo del exponente
Así, nuestro objetivo es promover la enseñanza-aprendizaje del exponente racional
Que los alumnos aprendan a obtener una aproximación de la raíz cuadrada utilizando la geometría.
Que los alumnos identifiquen que
Referente Teórico Metodológico
La definición de situación dada por Brousseau (1999, citado en Panizza, 2003) es la siguiente:
La situación es un modelo de interacción de un sujeto con cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas “situaciones” requieren de la adquisición “anterior” de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sí mismo un conocimiento nuevo en un proceso “genético”. (p. 3)
Por otra parte, dentro de la situación, se puede encontrar particularmente la situación didáctica que fue definida por Brousseau (1982, citado en Santaló et al., 1994) de la siguiente manera:
Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución. (p. 4)
La definición anterior puede ser mejor descrita mediante el conocido triángulo didáctico o sistema didáctico que se muestra en la figura 2.
En la figura 2 se muestra la relación que hay entre el profesor, el alumno y el medio, dichas componentes deben de aparecer en una situación didáctica y no debe faltar ninguna. En la situación didáctica, el medio puede ser varias cosas como, por ejemplo: material didáctico, recursos tecnológicos, juegos como el dominó, la lotería, entre otras. Es importante resaltar que la situación didáctica siempre debe de tener la intencionalidad de que el alumno aprenda algo.
Brousseau (s.f., citado en Santaló, et al., 1994) hace una distinción de los tipos de situaciones que se pueden encontrar en una situación didáctica, dicha distinción puede verse como etapas:
Situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre los alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolución del problema planteado.
Situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación de informaciones, entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar.
Situaciones de validación, en las que se trata de convencer a uno o varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobación empírica de que lo que dicen es cierto; hay que explicar que, necesariamente, debe ser así.
Situaciones de institucionalización, destinadas a establecer convenciones sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos en situaciones de acción, de formulación y de validación. (p. 5)
Por otro lado, la noción de ingeniería didáctica se originó en la didáctica de las matemáticas a comienzos de los años ochenta, surgió como una metodología para realizar Situaciones Didácticas y se define como:
[…] una forma de trabajo didáctico equiparable con el trabajo del ingeniero quien, para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos científicos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos que los objetos depurados de la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no puede hacerse cargo. (Artigue et al., 1995, pp. 33-34)
Artigue et al. (1995) mencionan que las cuatro fases de la ingeniería didáctica como metodología son: análisis preliminar, concepción y análisis a priori, experimentación y análisis a posteriori y validación.
DESARROLLO
En este apartado se describe el desarrollo de las cuatro etapas de acuerdo con la metodología de la ingeniería didáctica para el caso específica de los exponentes fraccionarios.
Fase 1: Análisis preliminar
Se consideran al menos tres dimensiones, las cuales se podrían desarrollar para tener completa la primera fase:
La epistemológica asociada a las características del saber en juego.
La cognitiva asociada a las características cognitivas del público al cual se dirige la enseñanza.
La didáctica asociada a las características del funcionamiento del sistema de enseñanza. (Artigue et al., 1995, p. 40)
De la componenente epistemológica se tiene que, de acuerdo con lo reportado por Dennis y Confrey (2000), la aparición de los exponentes racionales se atribuye a John Wallis (1606-1703), pese a que no fue la primera persona que los sugirió. En el siglo XV ya habían sido propuestos por Oresme y en el siglo XVI por Girard y Tevin. Se atribuye a Wallis, debido al peso que tuvo su trabajo del Arithmetica Infinitorum (Wallis, 1972) pues a pesar de que en él no se exhiben demostraciones formales, las definciones son duraderas dentro de las matemáticas, debido a que demuestra su viabilidad a través de múltiples representaciones (tabulares, geométricas y algebraicas).
Además, el Arithmetica Infinitorum sirvió de base para otros trabajos, por ejemplo, para que Isaac Newton (1642-1722), desarrollara su famoso binomio.
De igual forma Dennis y Confrey (2000), reportan en su investigación, que desean entender el desarrollo de exponentes racionales en un nivel más profundo y no verlos simplemente como una extensión de patrones numéricos y sus propiedades, ya que estos surgieron por la necesidad de calcular áreas, límite de razones, razones con números negativos y funciones continuas.
También, Dennis y Confrey (2000) mencionan que la historia permite ver diferencias entre índice, exponente y potencia, sin embargo, no comentan cuáles son dichas diferencias, pues, en ocasiones cuando escriben índice, entre paréntesis escriben exponente.
Respecto a los exponentes naturales, Dennis y Confrey (2000) identifican que la Geometría de René Descartes fue el primer tratado publicado en el que se escribe un exponente natural como un superíndice, es decir, se utiliza un índice para representar la multiplicación reiterada, escribió
En la dimensión cognitiva, según Farfán (1997), se distinguen dos aspectos importantes que se deben de realizar:
Poner en evidencia la diversidad de ideas que se tienen sobre un mismo objeto matemático, las diferentes representaciones que se le asocian al objeto y el tratamiento que se le da.
Hacer una distinción entre los conocimientos que el profesor desearía que sus alumnos tengan y los que realmente han adquirido.
Esta dimensión se refiere principalmente a los estudiantes, es decir, se observa qué conocimientos tienen los alumnos respecto a un determinado contenido.
En esta dimensión se diseñó y aplicó un cuestionario con la finalidad de identificar los conocimientos previos relacionados con los exponentes fraccionarios, en específico el de
La dimensión didáctica, asociada a las características del funcionamiento del sistema de enseñanza hace referencia al papel del maestro, quien a través de los procesos de enseñanza, orienta, dirige, facilita y guía la interacción de los alumnos con el saber colectivo, para que construya su propio conocimiento.
Para desarrollar esta dimensión se diseñó y aplicó a profesores de secundaria y bachillerato un cuestionario y, posteriormente, un análisis de los programas de estudio del nivel bachillerato (contenido de exponentes).
El cuestionario se aplicó a nueve profesores, tres de secundaria y seis de bachillerato, con el objetivo de obtener información acerca de la forma en que los maestros abordan el contenido. Se aplicó a maestros de secundaria y bachillerato debido a que se considera que los alumnos empiezan a ver el contenido desde este nivel. Obteniéndose los siguientes resultados:
Los profesores de ambos niveles educativos hacen hincapié en que los estudiantes presentan mayores dificultades con respecto al contenido de exponentes, cuando estos son negativos y fraccionarios. Con relación a los exponentes
Algo relevante de todo esto, es que los docentes utilizan dicha propiedad sin justificación debido a que la demostración requiere de conocimientos avanzados del nivel. Es por lo que, en esta investigación se considera de suma importancia abordar este tipo de exponentes, para poder diseñar una situación didáctica que sirva como alternativa para la enseñanza de tales exponentes en el nivel bachillerato, para que los profesores cuenten con una propuesta alternativa de enseñarlos y para que los estudiantes comprendan por qué es verdad la propiedad, ya que, si no comprenden el porqué de las cosas, difícilmente podrán aprenderlo.
La información recopilada de las respuestas que proporcionaron los profe-sores en los cuestionarios es de suma importancia, pues puede corroborarse que tal y como lo indican los antecedentes, los alumnos tienen dificultades para entender los exponentes, lo cual da sustento a la presente investigación. Además, muestra el camino que hay que seguir para elaborar el diseño, pues este irá principalmente enfocado a los exponentes racionales, en particular
De acuerdo con los análisis preliminares se retoma el hecho mencionado por Dennis y Confrey (2000), en el sentido de no ver a los exponentes racionales solamente como una extensión de patrones numéricos, sino introducirlos con un método alternativo que permita ampliar la visión de los estudiantes, para eso se incorporan elementos de la geometría euclideana utilizando únicamente regla y compás y el cálculo de la media geométrica.
JUSTIFICACIÓN MATEMÁTICA DEL DISEÑO
Antes de describir la concepción y análisis a priori explicaremos los argumentos matemáticos que se involucran en el diseño.
Debemos tener en cuenta que si se inscribe un triángulo en una semicircunferencia y uno de sus lados coincide con el diámetro, de acuerdo como se muestra en la figura 3, dicho triángulo es rectángulo. Ahora se traza la altura correspondiente a la hipotenusa del triángulo, esta divide a la hipotenusa en dos partes, si suponemos que una de ellas es la unidad y la otra cantidad a, se obtiene que la altura mide
Para demostrar esta última afirmación sean b y c los catetos del triángulo rectángulo (figura 4) y considerando dicho triángulo dividido en otros dos triángulos rectángulos de lados ch1 y ahb. Ahora, utilizando el teorema de Pitágoras en los tres triángulos se tienen las siguientes igualdades:
sustituyendo los valores de
de donde se obtiene que
Fase 2: Concepción y análisis a priori
Artigue et al. (1995) destacan que el análisis a priori comprende una parte descriptiva y otra predictiva en las cuales se debe realizar lo siguiente: Describir las selecciones del nivel local (relacionándolas con las selecciones globales) y las características de la situación didáctica que de ellas se desprenden.
El material que se facilitó (figura 5) a cada equipo fue:
1 juego de hojas de la actividad,
3 hojas de papel milimétrico,
3 plumas (1 negra, 1 roja y 1 azul)
1 compás, 1 regla graduada
En el instrumento se describen las instrucciones respecto del uso del material, indica tres construcciones geométricas con las que se encuentra la raíz cuadrada de un número dado a través de la determinación de la media proporcional (ver ejemplo en figura 6), diez preguntas relacionadas con las construcciones geométricas y tres preguntas abiertas para que el alumno refleje el procedimiento para el cálculo de raíces cuadradas, usando la geometría. También incluye preguntas relacionadas con las dos notaciones equivalentes entre sí
En el punto I, se consideran tres construcciones geométricas guiadas, en las que el objetivo es que los alumnos determinen las raíces cuadradas
En el punto II, sin guía del docente se solicita a los alumnos que determinen las raíces cuadradas de
En el punto III, se solicita a los alumnos que calculen valores, como por ejemplo
Fase 3: Experimentación
De acuerdo a De Faria (2006) es la fase de la realización de la ingeniería con una cierta población de estudiantes. Esa etapa se inicia en el momento en que se da el contacto investigador/profesor/observador con los estudiantes objeto de la investigación. Específicamente, la experimentación supone
- La explicitación de los objetivos y condiciones de realización de la investigación a los estudiantes que participarán de la experimentación;
- El establecimiento del contrato didáctico;
- La aplicación de los instrumentos de investigación;
-El registro de observaciones realizadas durante la experimentación.
La situación didáctica se aplicó a 24 estudiantes (12 binas) de segundo semestre de la Preparatoria V de la UAZ, ubicada en Jerez de García Salinas, municipio del estado de Zacatecas.
Situación de acción, formulación y validación. Aproximación de
Fase 4: Análisis a posteriori y validación
Según De Faria (2006)
Esta fase se basa en el conjunto de datos recolectados a lo largo de la experimentación, es decir, las observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, al igual que las producciones de los estudiantes en el aula o fuera de ella. Estos datos se completan con otros obtenidos mediante la utilización de metodologías externas: cuestionarios, entrevistas individuales o en pequeños grupos, realizadas durante cada sesión de la enseñanza, etc. La validación o refutación de las hipótesis formuladas en la investigación se fundamenta en la confrontación de los análisis, el a priori y a posteriori. (p. 5)
RESULTADOS
En general se tuvo buena respuesta de los alumnos ya que 9 de 12 equipos contestaron a la aproximación de
Análogamente los alumnos reaccionaron de manera parecida cuando se solicitó que calcularan
Derivado de las construcciones que los alumnos realizaron para encontrar el valor de
Para que los alumnos relacionaran la raíz cuadrada de un número con su cuadrado se plantearon varias preguntas a las que respondieron positivamente como se puede ver en la figura 8.
En la parte II del instrumento se solicitó a los alumnos que determinaran los valores de
Situación de validación. A la pregunta ¿qué relación tiene la longitud del segmento DE respecto al segmento AB ? la respuesta de los equipos para validar los resultados fue positiva aunque algunos escribieron que DE era la mitad del segmento AB , otros describieron que DE era la raíz cuadrada de AB (figura 10), concluyendo que esta última era la respuesta correcta, lográndose de esta manera la validación.
Figura 10 Situación de validación ¿qué relación tiene la longitud del segmento respecto al segmento AB ?
Para que los alumnos identificaran que las notaciones son equivalentes, en el instrumento se incluyeron actividades de la raíz cuadrada como radical
La situación de institucionalización (figura 12) se realizó de acuerdo con lo planeado la profesora investigadora preguntó a los alumnos qué resultados obtuvieron para
CONCLUSIONES
En la dimensión didáctica del instrumento que se diseñó y aplicó a los docentes de secundaria y bachillerato, resulto que generalmente lo que hacen al abordar el contenido de exponentes es presentar las propiedades y enseguida, un ejemplo numérico de cada una de estas.
De igual forma en la dimensión cognitiva, se diseñó y aplicó un cuestionario con la finalidad de identificar los conocimientos previos de los alumnos respecto del contenido de exponentes, en el que se identificó que cometieron los errores reportados por Abrate, et al. (2006) y Martínez (2007), y en algunas ocasiones se identificaron otros errores, por ejemplo:
Al realizar la fase de experimentación y realizar el análisis a posteriori y la validación, se identificaron diferentes problemáticas que permitieron el diseño de la secuencia didáctica sobre el contenido del exponente racional que se desarrolló en la fase de concepción y análisis a priori.
Refiriéndonos a nuestra actividad, consideramos que se obtuvieron los resultados esperados, ya que se pretendía que los alumnos aprendieran a calcular la raíz cuadrada de un número utilizando la geometría y la tecnología y, además que lograran identificar que
En general, se concluye que los alumnos pasaron por todas las etapas o situaciones que según Brousseau (1986) son necesarias para adquirir un conocimiento, estas son: acción, formulación, validación e institucionalización donde es importante señalar, que no necesariamente fue en ese orden.
Es posible afirmar que los equipos pasaron por tales situaciones, pues con la videograbación, se puede identificar que aparte de la situación de acción, en la formulación se logró que la mayoría de los alumnos transitaran del lenguage coloquial al matemático, también se presentó la validación al interior del equipo, cuando, por ejemplo, los alumnos discutían entre ellos las diferentes soluciones que tenían para un determinado problema y terminaban eligiendo únicamente una.
Se dio la validación de manera grupal, ya que algunos equipos de los que pasaron al pizarrón lograron convencer a sus compañeros para que cambiaran su respuesta, se hicieron preguntas para que los alumnos reflexionaran sobre la respuesta correcta. La institucionalización se realizó en tiempo y forma, de acuerdo con lo planeado.
Queda abierta la posibilidad de trabajar alguna propuesta de diseño que involucre los exponentes fraccionarios como un tercio, dos tercios, tres cuartos, menos un medio, etc. donde se pueden utilizar las propiedades de los exponentes.
