EL CERO A MODO DE INTRODUCCIÓN
Este ensayo es una edición especial y en español del artículo alemán “Die Gestalt des‚ Nichts’ in der Mathematik” (Reyes-Santander y Brandl, 2010). Su versión original está en alemán y su traducción sería la figura de la “nada” en matemática y aparece como capítulo del libro Hacer nada.3 Pero ¿qué es hacer nada? ¿Qué es hacer nada en matemática? Vemos, primero que la figura de la “nada” en matemática tiene relación con los procesos de enseñar y aprender matemática. La nada y su símbolo está presente en toda la vida del estudiante en clases de matemática, aquí se presenta la nada como fuente de creación matemática y de razonamientos profundos, para ayudar a futuros docentes de diferentes áreas, a comprender que la nada puede llegar a generar existencia de conceptos e ideas, como un alimento para el pensamiento.
Comencemos con el cero desde un punto de vista histórico, sobre su nacimiento y su uso. El sistema posicional más antiguo y conocido en el mundo occidental, es el que fue desarrollado por los babilonios (alrededor del 4000 a. C.). En este sistema, una cifra por ejemplo la cifra 7, puede tomar diferentes valores según la posición en la que se encuentra. Los mayas, los indios y los chinos lograron el mismo descubrimiento, pero de forma independiente. Finalmente, los árabes nos heredaron el símbolo “0” junto con los llamados números arábigos, los cuales son esencialmente similares a los números indios.
Los indios utilizaron el cero de la misma manera que lo utilizamos nosotros hoy en día. En cambio, los mayas conocían el cero y lo ubicaban en la mitad o al final de su representación de símbolos, a pesar de esta forma de utilizar el símbolo cero, los mayas podían hacer cálculos simbólicos (Ifrah, 1998). En el siglo 2 a. C. los babilonios aún no conocían el cero, según la tabla de Uruks que data de la primera dinastía babilónica (Ifrah, 1998, pp. 417-420). No es conocido de manera exacta el momento en que el cero fue introducido en esta cultura. Aunque se estima que podría ser luego de la caída del imperio seléucida (312-63 a. C.), donde se comienza a utilizar un símbolo diferente a los 59 ya existentes.
El concepto de “resultado cero” para esta cultura no era asociado al símbolo y tampoco había expresiones verbales escritas como “nada” para expresar que el resultado obtenido era cero, como se muestra en la siguiente cita de Ifrah (1998, pp. 423):
En un texto de Susa […] el escribano concluye la sustracción de 20 menos 20 de la siguiente manera […]:
20 menos 20 … tú ya sabes.
En otro problema […] pone en lugar del cero como resultado […], simplemente:
El trigo se acabó.
Los indios expresaban, hace ya 1,500 años, con la palabra sanscrita “śūnya” no tan solo el número cero, sino que también el concepto de “el vacío”. La traducción de esta palabra al árabe es “Sifr”, a partir de esta traducción se deduce nuestra palabra “cifra”. Además, Sūnya significa en latín “zephirum” o “zephiro”, de donde provienen las palabras en inglés “zero”, del francés “zéro” y del español “cero”. Entonces, se debería agradecer y reconocer a los indios el descubrimiento y uso del cero en sus tres áreas (Guedj, 1997) relativo al sistema posicional, como número y como cantidad del conjunto vacío.
El matemático árabe-persa Muhammad ibn Musa al-Khwarismi (ca. 780 - ca. 850) escribe sobre la utilización del cero, por los árabes, para el concepto de nada, este era representado por medio de un símbolo parecido a letra minúscula “o”. Este símbolo fue utilizado como “cero” casi en todas partes de la India, en el norte y en el sur de la India, como también en el sur de Asia.
Recién en el siglo XII, fue introducido el cero en Europa y de allí para el occidente. Antes de este tiempo y con el uso del ábaco, el cero no era necesario (Guedj, 1997, p. 532). En la tercera mitad del medioevo, se reemplazó el uso del ábaco por medio de los cálculos simbólicos. Con la “caída” del ábaco nace una nueva forma de la aritmética, según algunos más elegante y eficiente. Esta nueva forma de hacer cálculos se deriva directamente de los procesos de cálculo de los indios y de los árabes, se le dio el nombre de “Algorismus” (hoy en día “Algoritmos”), por Al-Khwarismi uno de los primeros en enseñar estos procesos de cálculos a otras personas.
La importancia del símbolo cero en el mundo moderno es indiscutible, se puede encontrar en cada texto escolar y en cada texto universitario relacionado con matemática o disciplinas afines, aunque, por mucho tiempo, su existencia no era completamente comprensible. Es recompensable y para muchos necesario, observar más precisamente este concepto de “nada” o de “cero” desde diferentes perspectivas.
NEUTRALIDAD
Una de las características del cero es que tiene un comportamiento que se muestra en relación con otros números y bajo alguna de las operaciones aritméticas. En el caso de la adición, el cero es tratado como “neutro”, es decir un objeto que se comporta de manera neutral frente al resto, es imparcial, no aumenta ni disminuye al objeto con el cual está siendo relacionado.
En matemática, se dice que un elemento se llama neutro si al ser operado con otro elemento, este conserva su valor. Cuando se hace la operación con el neutro, no hay cambio. Ahora, si se considera la multiplicación, podemos observar que el cero no se comporta de manera neutral, sino que más bien se comporta como un anulador de números y que transforma todos los números en nada.
En el caso del conjunto de los movimientos isométricos, traslaciones, rotaciones y reflexiones de una figura bidimensional o tridimensional, el elemento neutro sería una doble reflexión, una rotación en 0° (múltiplos de 360°) o bien la ausencia de movimiento. En este caso, el cero es una encarnación de lo estático: nada se mueve, todo se mantiene o todo vuelve a su estado inicial. En el caso de los múltiplos de 360°, la figura vuelve al estado inicial una y otra vez, con esto se tiene una clase de movimientos que corresponde a la rotación en 0°. Lo estático es una noción cíclica donde la neutralidad se repite.
Otro aspecto de la neutralidad del cero, donde el objeto matemático no cambia y el cero se comporta neutralmente, se tiene al observar el número 008765. En este caso, se puede ver inmediatamente que el cero no afecta en nada, se comporta neutralmente o bien que no “sirve para nada”. La expresión “eres más inútil que un cero a la izquierda”, indica que poner un cero a la izquierda no sirve para nada. El uso del cero a la izquierda no cambia el valor del número ya que en el sistema posicional se está poniendo una cifra que corresponde a la ausencia de una cantidad. En el caso de una cuenta bancaria, se tiene la visión de código numérico y no indican en este caso una cantidad.
Si se ubican algunos ceros en el lado derecho de un número, en nuestro caso 876500, entonces se aumenta en múltiplos de 10, 100, 1000, etc., el valor del número. Tenemos todo lo contrario a un comportamiento neutral del cero, la cantidad se potencia en múltiplos de diez. Es nuestro sistema decimal y la notación en este sistema, permite hacer una diferencia en relación a un comportamiento neutral del cero a la derecha o a la izquierda, es la convención que se tiene para representar números y leerlos.
Los significados de neutralidad del cero que hemos visto en esta sección tienen características completamente diferentes. Por un lado, ser elemento neutro dentro de una estructura algebraica y por otro lado en la forma de escribir un número dentro del sistema decimal. El elemento neutro es clave dentro de la definición de un “Grupo” y dentro de esta misma definición se puede diferenciar en estructuras algebraicas con conjuntos numéricos o bien con conjuntos de movimientos.
LAS TRES ETAPAS DE DESARROLLO DEL CERO
El cero es conceptualmente diferente al resto de las cifras 1, 2, 3, ..., 9 de nuestro sistema decimal. Como ya lo mencionaba el matemático Pierre Laplace,4 “el cero es una idea tan sencilla, que su propia simplicidad es la razón por la cual no somos lo suficientemente conscientes de la admiración que se merece”.
El cero ha recorrido un largo camino para llegar al significado que le damos hoy en día y debió pasar por una evolución en forma de tres estadios: en el primer estadio es funcional, en el segundo estadio es un dígito y en el tercer estadio es un número. En su primer estadio el cero es utilizado como símbolo y no como número (Guedj, 1997), es utilizado de manera funcional para expresar que la cantidad que se encuentra a la izquierda de este ha sido aumentada en 10. Esto significa que la expresión 20 se entendía como diez veces dos, cada vez que se agregaba este símbolo el valor era multiplicado por diez. En este caso, el cero se utilizaba como un símbolo para expresar un proceso multiplicativo en decenas, centenas, miles, etc.
En el segundo estadio el cero es tratado como un dígito (del inglés: digit) o como una cifra más de las nueve que ya existían, evolucionó junto con el conteo de los dedos de la mano y su desarrollo termina con el sistema decimal. Al contar los diez dedos de la mano, se obtiene 10, al contar dos veces los dedos de las manos se tiene 2 veces 10 que es 20, etc. Esta forma de contar y de expresar las cantidades, de diez en diez, es la base de nuestro sistema decimal, donde el cero es considerado un dígito más.
Visualmente hablando se puede comparar este proceso con la idea de “pensar en
paquetes”, donde cada paquete de diez es una unidad de medida. En el caso del número
564, se tienen 5 paquetes de 100 (10 veces 10), 6 paquetes de 10 y 4 dedos, en
nuestra notación actual sería:
El cero como dígito, no tiene un recorrido tan fácil, hoy en día nos parece natural y completamente comprensible. Esto es, porque el sistema decimal no fue el único sistema utilizado en Europa. Al inicio del siglo XIX, había diferentes sistemas en uso, uno de ellos, que aún conservamos es el sistema duodecimal (paquetes de 12) de los ingleses. Este sistema duodecimal tiene su origen en el conteo de los dobleces de los dedos sin considerar el dedo pulgar y hasta hoy en día se conserva este sistema en la unidad de medida “pulgada” (doce partes de un pie), en el antes utilizado “chelín” británico, que tenia el valor de doce “peniques” y en otros países la utilizada “docena”, que se refleja en los paquetes de doce (doce huevos, doce platos, doce botellas).
Otro de los sistemas posicionales utilizados hasta el día de hoy y que tienen su base en la cultura babilónica, es el sistema sexagesimal, con 60 unidades y para cada unidad 60 símbolos diferentes. Según este sistema se organizó la medida para el tiempo, según hora, minutos y segundos. También, se utiliza para el conteo de puntos en el tenis. Como este sistema tenía tantos símbolos era más complicado hacer cálculos, por eso la transición de este sistema al sistema decimal fue mejor recibida por el mundo entero.
Los mayas, los aztecas, los celtas y los franceses usaron el sistema vigesimal en diferentes épocas de la historia. Esto se basa en el uso de 10 dedos de la mano y 10 dedos del pie, por lo que se cuenta en incrementos de 20 unidades. Se tienen 20 símbolos para anotar y para hacer cálculos con ellos. Un ejemplo de la actualidad de este uso vigesimal se puede encontrar en la palabra francesa quatre-vingt que significa cuatro veces veinte y en el nombre que recibe el número ochenta.
A principios del siglo XX, se celebraron reuniones en la ciudad de París, para unificar los diferentes sistemas de numeración que se utilizaban, tanto en el comercio, como en el día a día en Francia. Dada la simplicidad del sistema decimal y su predominancia en el comercio, se decidió que este sistema de numeración sería el utilizado en las cuentas y anotaciones comerciales nacionales.5
En el tercer estadio del cero, el enfoque fue llevado hasta como se conoce hoy en día: el cero como número. Finalmente, cuando preguntamos: ¿cuánto es dos menos dos? Se puede responder cero, sin tener problemas frente a la palabra “cuánto” y confirmando que esta expresión, en última instancia, conforma el significado de número.
Cero es un número y representa una cantidad inexistente o el vacío de un conjunto o nada de elementos. El cero es considerado en el sistema de axiomas de Peano,6 para los números naturales (Kaiser y Nöbauer, 2002, pp. 133-216):
0 es un número natural.
El número que sigue a un número natural es un número natural.
Dos números naturales diferentes no pueden tener un mismo sucesor.
0 no es el sucesor de ningún número natural.
Si el cero tiene una característica y otro número natural también la tiene entonces todos los números naturales tienen esta característica.
Contar desde el cero era una práctica común en la era maya, el primer día del mes estaba representado por el símbolo cero y su dios asociado Zotz, el segundo día del mes estaba asociado por el número 1, etc. En muchos casos, cuando se habla de los números y cifras, se pone en primer lugar el cero y se termina en el nueve, contando estas cifras se tiene que el primer número natural es el cero (Ifrah, 1998). Con esto el cero es considerado como el primer número natural. Sin embargo, muchos matemáticos no consideran el cero como un número natural, y solo lo permiten como un elemento del conjunto de los números enteros, donde se introduce y se usa en forma estructural.
LA POTENCIA DEL CERO
Muchas definiciones matemáticas parecen increíbles, por ejemplo, qué puede ser más
increíble cuando se dice: ¡cada número elevado a cero es igual a 1! Es mucho más
creíble y claro, cuando se explica que un número elevado a la tres, en símbolo
Si no fuera así, todo el constructo matemático relacionado con las potencias se derrumbaría.
Las potencias como an son una abreviatura para una cantidad n de factores del mismo número “a”. Hay un número que es denominado “base”, que es el número que se repite, y hay otro número, denominado “exponente”, que aparece un poco más pequeño en la parte superior derecha e indica el número de repeticiones que aparece “a” en la multiplicación. La base es un número que si se eleva a cero no debería anularse o convertirse en cero.
Considere la siguiente propiedad, que se enseña a nivel escolar, sobre potencias: un
número “a” elevado a “n” multiplicado con el mismo número elevado a “m” es igual a
el mismo número “a” elevado a
Para explicar la propiedad
Si consideramos una base constante y valores reales variables para el exponente, se
escribe simbólicamente lo anterior como la función
Esto ocurre exactamente en el momento en que el exponente es igual a cero
El caso en que el cero sea la base, es esencialmente más complicado: ¿es cero elevado a cero igual a 1 o es igual a cero? O bien se obtiene algo completamente diferente.
Hasta el inicio del siglo XIX muchos matemáticos ponían simplemente
El segundo caso, el informático Knuth11 se
refirió a esta controversia en la revista American Mathematical Monthly de 1992 y
rechazó firmemente la conclusión de que cero elevado a cero era indefinido. Si no se
puede suponer que
EL SISTEMA BINARIO (SIN COMPUTADORES SIN EL CERO)
Sin darnos cuenta, la mayoría de nuestra vida moderna se basa en un sistema binario, un ejemplo lo tenemos cada vez que se elige entre “sí” o “no”. Aunque los humanos a menudo usan la tercera opción, “tal vez”, una computadora solo distingue entre los dos estados “fluye” y “no fluye”, representados por los números 1 y 0. El sistema binario matemático utiliza solo los dígitos 0 y 1, es el sistema con más importancia y el más simple posible (Guedj, 1997).
Este sistema posicional es a la vez el más antiguo y el más moderno, que sigue siendo utilizado. La versión más antigua que es conocida, proviene de las islas del estrecho de Torres, entre Australia y Papa Nueva Guinea. Sus habitantes usan un método de conteo llamado “urapunokosa” caracterizado por el uso de dos números:
1 = urapun
2 = okosa
3 = okosa-urapun
4 = okosa-okosa
5 = okosa-okosa-urapun
6 = okosa-okosa-okosa
... etcétera. (Guedj, 1997, p. 59).
En el año 1703, el filósofo y matemático alemán Gottfried Willhelm Leibniz12 dijo que prefiere el sistema
binario al sistema decimal, indica que es suficiente para la ciencia de los números.
Solo utiliza los dígitos 0 y 1 y para llegar al número dos, uno se mueve un lugar
hacia la izquierda y comienza una nueva columna, es decir, en lugar de 2, se escribe
1 0 y en lugar de dos por dos, es decir 4, se escribe 1 0 0; analógicamente se
obtiene que dos veces dos veces dos, es decir 8, el número binario 1 0 0 0. Las
posiciones del sistema binario, pensando en moverse de dos veces dos, están
definidas por potencias de dos. El número 3 en el sistema binario se representa por
1 1, lo que resulta de
La longitud de la notación binaria está en desventaja con la notación decimal y representa un inconveniente para las personas. Para representar los dos dígitos en el número decimal 69 en binario, se necesitan siete posiciones: 1 0 0 0 1 0 1.
EL CONJUNTO VACÍO
Una definición clásica de conjunto es que este representa una combinación de ciertos
objetos distinguibles dentro de un todo; los objetos se llaman elementos del
conjunto y el todo se denomina universo. En este sentido, también se puede definir
un “conjunto falso” que no contiene ningún elemento u objeto. Este conjunto se
denomina conjunto vacío y se utiliza el símbolo
Lo más interesante de esta definición, es que el conjunto vacío está contenido en
cualquier otro conjunto de objetos. Supongamos que el conjunto vacío no es un
subconjunto de un conjunto arbitrario A, en notación simbólica
Otra definición del conjunto vacío es: un objeto es un elemento del conjunto vacío,
solo si este es diferente de él mismo. En notación matemática
Aquí, podemos establecer una primera relación entre el infinito y el conjunto vacío.
El cuarto axioma de Zermelo13
permite relacionar los conjuntos potencia14 del conjunto vacío con los números naturales. Se puede
formar un conjunto potencia, realizando de manera sucesiva potencias del conjunto
vacío
Si se continúa haciendo las potencias del conjunto vacío, se obtiene la sucesión
denominada por Zermelo
¿HASTA DÓNDE NOS LLEVA EL CERO?
En muchos países, se enseña a resolver ecuaciones de segundo grado, una manera de enseñar es utilizando una fórmula que debe ser conocida y aplicada para encontrar las soluciones (cuando las hay). En el sur de Alemania, esta fórmula tiene incluso una expresión conocida como “Mitternachtsformel”, que en español sería “la fórmula de medianoche”. Esta expresión indica que los estudiantes deben poder recitarla, incluso si el profesor llama a medianoche.
¿Cuál es la expresión matemática para esta fórmula ominosamente importante? Aquí está:
Por medio de la sustitución de los valores correspondientes se obtienen las dos
soluciones
Las soluciones obtenidas por la fórmula, son los valores de x para los que esta expresión resulta cero. De hecho, no hay una fórmula comparable para solucionar ecuaciones de primer o quinto grado. Si uno fuera a buscar la solución de la ecuación:
lo primero que se debe hacer es igualar a cero, para esto se debe restar 7 en ambos lados de la ecuación, obteniendo:
Evaluando para los valores a, b y c, se obtiene que las dos soluciones son:
Los valores
Es fácil visualizar que las funciones cuadráticas (llamadas parábolas) pueden tener
como máximo dos ceros, un cero doble o ningún cero. Si el vértice de una parábola
abierta hacia arriba tiene su vértice debajo del eje X, entonces hay dos ceros
diferentes, si el vértice está justo sobre el eje X, entonces hay un cero doble, y
si el vértice está por encima (debajo) del eje X, entonces no hay ceros para esta
función. Esto se aplica en general a la gráfica en el sistema de coordenadas de
todas las funciones polinomiales de grado n (donde
No se puede estar completamente satisfecho, con el hecho de que no hay un cero cuando
el vértice de la parábola se encuentra sobre (debajo) el eje X. Si la función es
En este nuevo mundo de números la función
Una de las proposiciones más importantes de la matemática, se basa en este conjunto de números imaginarios, el teorema fundamental del álgebra, demostrado por Gauss en 1799: cada polinomio de grado n siempre tiene exactamente n ceros complejos. El hecho de que estas soluciones sean a veces puramente imaginarias es solo un aspecto caprichoso del cero.
Un número dividido por cero se convierte en una fracción cuyo denominador es cero. Esta fracción se identifica con el conjunto infinito. En este conjunto, que consiste en tener al cero como su divisor, no hay cambio, aunque se pueden agregar o restar muchos números; al igual como no hay cambio en el Dios infinito e inmutable, cuando los mundos son creados o destruidos, aparecen o desaparecen numerosas órdenes de seres.18
Si miramos el símbolo
Elijamos concretamente para “a” el número 1 y consideremos la función
El problema para esta historia es que en este proceso no estamos realmente dividiendo
por cero, nos estamos aproximado a dividir por cero. En otras palabras, si
permitimos que x llegue a cero, entonces el límite de la función es infinito, en
notación simbólica:
En el siglo IX, los indios descubrieron que un número multiplicado por cero da cero,
esto recuerda a la frase, muy citada y criticada, de Martin Heidegger, “la nada
nihiliza” o bien “la nada destruye”. En consecuencia, si tenemos 5⋅0=0 y 13⋅0=0
ambos dan el mismo resultado cero. Ahora, si la división por cero estuviera
permitida, entonces obtienes
El símbolo
EL CÁLCULO INFINITESIMAL Y LA INCLINACIÓN DE UN PUNTO
Un gran tema de la matemática es la llamada “discusión de la curva”, donde las funciones se examinan por sus propiedades, se calculan los ceros y se grafica la función en un sistema de coordenadas. Para resolver problemas de modelación, es necesario conocer a cabalidad la función y hacer una discusión basada en el cálculo infinitesimal y la derivada.
La discusión de la curva se agota en las transformaciones algebraicas y tiene una interpretación geométrica visual, que fue el punto de partida histórico de la derivada. La pregunta que históricamente se quiere responder es: ¿cómo determinar el tipo de tangente a una curva en un punto particular?
Para determinar la ecuación de esta recta tangente es necesario encontrar la
pendiente m, ver figura 3. La pendiente se
calcula a través del cociente
Como se muestra en la figura 3, tenemos una mala aproximación para la inclinación de la tangente que pasa por el punto P1 , para obtener una mejor aproximación, se debe acercar el punto P2 hacia el punto P1, esto significa reducir la distancia entre los puntos a cero. 0
La pendiente en un punto sería
La solución la encontraron de forma independiente Isaac Newton19 y Gottfried Leibniz. Newton utilizó un truco
ingenioso como remedio contra la división prohibida: agregó a un cambio
(infinitesimalmente pequeño)
Al final de los cálculos, esta magnitud quedaba fuera, por lo que nunca se necesita
saber su valor exacto. En lugar de ver
Seife (2002, p. 137) escribe al respecto:
De cierta manera, fueron esas infinitesimales magnitudes infinitamente pequeñas, más pequeñas que cada número positivo que uno podría haber considerado, pero fueron de cierta manera más grande que cero. Para los matemáticos de ese tiempo, esto era una idea irrisoria. Las magnitudes infinitesimales en sus ecuaciones eran embarazosas para Newton, y las barrió bajo la alfombra lo más pronto que pudo.20
Lo contradictorio de esta historia, es que a pesar de todas las deficiencias, este
procedimiento funcionaba. Fue Leibniz, quien tomó la “maldición” de los tamaños
infinitesimales, escribió con sus propios símbolos
La solución al acertijo vuelve a encontrar solución a la sombra del concepto
“límite”. Para determinar la inclinación de la tangente, se considera que ∆x y ∆𝑦
no son realmente cero, sino que más bien “se les hace tender a cero”. Esto mismo se
puede traducir matemáticamente, al límite del cociente
Si bien a primera vista, esto puede parecer una sutileza o quizás incluso tan místico
como el oscuro de Newton, tenemos aquí que esta cadena de pensamientos cumple con
las estrictas leyes de la matemática. El concepto del valor del límite tiene un
fundamento matemático seguro y evita hábilmente los peligros que emanan de símbolos
tales como
LA FÓRMULA MATEMÁTICA MÁS BELLA DE TODAS
Hardy (1940) compuso uno de los primeros
poemas relativos a la belleza de la matemática. En 1990 la revista The Mathematical
Intelligencer propone a sus lectores una evaluación de la belleza de 24 teoremas y
demostraciones. El primer lugar fue para la formula
Belleza significa en matemática frecuentemente sencillez, orden o coherencia (Inglis y Aberdein, 2014). Detengámonos por un momento, en la más bella de todas las fórmulas. ¿Qué elementos importantes reúne? Por un lado, está el número “ℯ” de Euler, que junto con “pi”, el número más famoso y pariente de “ℯ”, un número trascendental, que quiere decir que no puede construirse con compás y regla como una longitud, ni es la solución de una ecuación algebraica. Estos números no pueden expresarse mediante un corte o ser obtenidos con una raíz. Coloquialmente, se puede decir que una persona nunca puede escribir en extenso estos números trascendentales, es decir, solo se tendrán aproximaciones a ellos y expresiones simbólicas, como letras.
Los números ℯ y están acompañados por el número imaginario i. En matemáticas, un
número imaginario, es un número, cuyo cuadrado es un número real negativo. El número
imaginario i, llamado también unidad imaginaria, es igual al símbolo
Gauss encontró una representación gráfica para los números imaginarios. En su plano
Gaussiano los números imaginarios forman una línea perpendicular con relación a la
línea recta horizontal de números reales exactamente a través del 0. Todos los
puntos de este plano forman los números complejos como un par de coordenadas, la
primera es la coordenada real (eje X) y la segunda es la coordenada imaginaria (eje
Y). El número complejo i se corresponde al número real 1 en el eje vertical, o el
par (0|1) corresponde a
Volviendo a nuestra bella fórmula
LA ESFERA DE RIEMANN
Todos los escolares aprenden y trabajan durante su época de estudios con los elementos básicos de la simetría. Ya en la escuela primaria comienza este proceso con hechos simples como la reflexión en un eje, se dibujan figuras como mariposas, caras y figuras geométricas sencillas o se trabaja con un espejo o con pintura y papel, marcando el eje o haciendo un doblez para hacer coincidir los puntos simétricos. Este es un primer nivel, el cual es superado cuando se ven otro tipo de reflexiones, por ejemplo, reflejar sobre un círculo en vez de una línea recta. Este tipo de reflexiones se trabaja en los últimos años del colegio o en la universidad.
¿Cómo nos podemos imaginar esta reflexión? Consideremos nuevamente el plano Gaussiano de números reales y complejos, realicemos una “inversión” de un punto: la nueva distancia al punto cero es el recíproco de la distancia original y el ángulo es el negativo del original. Al final, es intercambiado el interior de un círculo de radio 1, el denominado círculo unitario, con el exterior del círculo; cada punto del círculo queda fijo, como se muestra en la figura 4.
Aquí ocurre algo sorprendente: las líneas rectas que están fuera del círculo “espejo” (análogo al eje de reflexión) son reflejadas en círculos dentro del círculo de reflexión y viceversa. Con esto, las dos figuras rectas y círculos son llevadas dentro de un contexto a un par de coordenadas. Con esta reflexión circular, el trabajo de los matemáticos se hace más fácil, los resultados sobre rectas se pueden entender como casos límites especiales de resultados en círculo considerando el radio y el límite.
Consideremos un poco más precisamente la función relacionada con la inversión
compleja
La diferencia con lo real es que el símbolo ∞ ya no se usa solo en conexión con un
proceso de borde (límite), sino independientemente como un “punto infinitamente
distante”. ¿Cómo se puede entender este significado? Riemann (1826-1866) da una
respuesta hermosa y profunda, interpretando los números complejos como puntos en una
esfera en lugar de puntos sobre el plano (ver figura
4). El polo sur representa el punto cero y el polo norte el punto
La relación entre la esfera de Riemann y el plano numérico de Gauss se remonta al método de Ptolomeo (125 d. C.), llamado proyección estereográfica. Este método responde a la pregunta de cómo hacer un mapa plano sobre una superficie curva o bien cómo dibujar el globo terráqueo sin demasiadas distorsiones.
En última instancia, el concepto de “nada” junto con su símbolo “0” y su concepto
relativo “todo” junto con su símbolo “
ENCAPSULACIÓN
En este trabajo destacan las múltiples formas de la “nada” en la matemática. Comenzando con el símbolo hasta llegar a la cifra y terminando en el número. El cero nos permite representar una cantidad inexistente, la vacuidad e incluso la nada. Hemos visto la “nada” como un elemento neutro, que deja sin modificar objetos matemáticos. Vimos cómo el cero era el pilar de nuestro sistema decimal y una fuente de problemas para las potencias, se muestra también el papel especial de este símbolo y su relación estrecha con el uno.
Vimos que el cero, es parte del poco vocabulario del lenguaje binario como un lugar característico de una función, que debe ser estudiado por los estudiantes al final de su época escolar, ya que permite resolver problemas de modelación. Como argumento para una operación prohibida o al menos sin sentido; como parte de la más hermosa de todas las fórmulas y finalmente como el gemelo del infinito, que nos revela que no está en el mundo de los reales, sino más bien del imaginario.
La nada no es en absoluto nula o insignificante en matemáticas, ni menos en los procesos de comprender la matemática en las escuelas o universidades, por el contrario, sin este concepto no habría matemáticas como las conocemos. En el colegio se debe discutir sobre la nada y sobre los conceptos matemáticos relacionados. La nada en matemática es un concepto esencialmente creativo y proponedor de discusiones, ha provocado cambios y nuevas estructuras, es vital conocerlo y comprenderlo.