4.1 Significado del número natural como secuencia numérica

En la figura 2, se muestra una tarea donde se hace uso de una canción infantil, para introducir las palabras numéricas del uno al diez y el orden para recitar las mismas.

Figura 2 Tarea en el contexto de secuencia numérica (^{SEP, 2014a, p. 13}). 

En el lado izquierdo se muestra la tarea analizada, mientras que del lado derecho se presenta la secuencia de prácticas (operativas y discursivas) esperadas para la ejecución de la misma. La tarea presenta las palabras numéricas del uno al diez, y el orden en que se recitan las mismas. La secuencia de prácticas está enfocada en el recitado de las palabras numéricas del uno al diez. Por tal motivo, en el análisis ontosemiótico se analizan prácticas cuyos objetos primarios intervinientes son: la secuencia numérica (concepto), la expresión verbal (lenguaje), y el recitado de la secuencia numérica (procedimiento). El análisis de las prácticas se puede ver en la tabla 3.

4.2 Significado del número natural como cardinal

En la figura 3, se muestra el análisis de una tarea en el contexto cardinal, en la que se pide contestar tres preguntas, sobre la cantidad de objetos en un salón de clases. En este caso, antes de presentar la secuencia de prácticas, se muestra la respuesta esperada a las preguntas planteadas en la tarea. Mientras que, en la secuencia de prácticas se muestran los pasos que el estudiante seguiría para llegar a la respuesta esperada.

Figura 3 Tarea en contexto cardinal (^{SEP, 2014a, p. 10}). 

El análisis ontosemiótico de las prácticas se puede ver en la configuración ontosemiótica presentada a continuación (tabla 4). Mostrando los distintos objetos primarios que intervienen en la solución de la tarea.

4.3 Significado ordinal del número natural

En la figura 4, se presenta el análisis de una tarea en contexto ordinal, donde se pretende identificar la posición que le corresponde a cada coche, tomando como referencia su distancia a la meta. En ella intervienen distintos objetos primarios, como las palabras numéricas ordinales, la secuencia en la que se recitan las palabras numéricas, entre otras.

Figura 4 Tarea en contexto ordinal (^{SEP, 2014a, p. 39}). 

El análisis ontosemiótico de las prácticas operativas y discursivas utilizadas en la resolución de la tarea, se puede ver en la tabla 5.

4.4 Significado simbólico del número natural

En la figura 5, se muestra el uso del número natural en un contexto simbólico, particularmente utilizado en una lotería. Asimismo, se analiza la secuencia de prácticas que se ponen en juego para resolver la tarea.

Figura 5 Tarea en el contexto simbólico (^{SEP, 2014b, p. 76}). 

A continuación, se presenta la configuración ontosemiótica asociada al análisis ontosemiótico de la tarea (tabla 6).

4.5 Significado operacional del número natural

En la figura 6, se presenta una tarea del número natural en contexto operacional. En la que se utilizan números de dos y una cifra para descomponer otros números como la suma de decenas y unidades.

Figura 6 Tarea en el contexto operacional (^{SEP, 2014a, p. 84}). 

El análisis ontosemiótico de las prácticas se presenta a continuación.

5.1 Configuraciones epistémicas asociadas al número natural en primer grado

De acuerdo con el análisis efectuado para el libro de texto correspondiente al primer grado de Educación Primaria en México (^{SEP, 2014a}), se identificaron tareas referidas al significado del número natural como: secuencia numérica, cardinal, ordinal y operacional. En cada uno de los significados y de acuerdo con la secuencia de prácticas y las configuraciones ontosemióticas, se identifican objetos primarios propios de cada significado, organizados en configuraciones epistémicas (figura 7).

Figura 7 Configuraciones epistémicas del número natural en primer grado de primaria. 

En la configuración epistémica del número natural como secuencia numérica, en el objeto lenguaje se identificó el trabajo con la expresión verbal y escrita de números del 0 al 99, como apoyo para el trabajo con dicho aspecto en al-gunas tareas se proponen el uso de las tabla-100. Por otra parte, en el caso de los procedimientos se hace énfasis en el conteo y la escritura ordenada de los números del 0 al 99, proponiendo para ello, actividades de ejercitación de la secuencia numérica y en algunos casos el uso de material concreto. Se aborda el concepto de secuencia numérica. En la parte de argumentos el análisis arrojó que las secuencias de prácticas se basan en el orden de la secuencia numérica, en ese sentido las proposiciones se relacionan con el orden en que se escribe la misma, es decir, 0<1<2<3…<99, así como la expresión verbal de los números (uno, dos, tres, …, noventa y nueve).

Por otra parte, en la configuración epistémica del número natural como cardinal, se identificaron tareas relacionadas con el conteo de colecciones de objetos (frijolitos, dinero, naranjas, etc.), así como tareas que abordan el valor posicional de números de dos cifras. En ese sentido, en el apartado de lenguaje se tratan aspectos como la expresión verbal y escrita de números del 0 al 99, así como el uso de fichas de colores para el trabajo con el valor posicional. Mientras que, el procedimiento que predomina en la resolución de las tareas, es el conteo de uno en uno y de diez en diez. Respecto a los conceptos se nota la emergencia del concepto cardinalidad, conjunto, descomposición aditiva, magnitud, unidad, decena. Ahora, para el caso de los argumentos existen dos predominantes, aquellos relacionados con el valor posicional de números de dos cifras, y realizar correctamente el conteo de una colección de objetos. Finalmente, en el caso de las proposiciones, estas se relacionan con la conversión entre la expresión verbal y la escrita, por ejemplo, trece se representa como 13, así como el valor posicional, es decir, una decena está conformada por diez unidades.

Para la configuración epistémica del número natural respecto del significado ordinal, el libro de texto presenta tareas donde se aborda el uso y la ejercitación de números ordinales. En ese sentido, en el apartado de lenguaje se trabajan las expresiones verbales (primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno y décimo) y las expresiones numéricas (1°, 2°, 3°, 4°, 5°, 6°, 7°, 8°, 9° y 10°) de números ordinales. El procedimiento utilizado gira en torno a ordenar los objetos para su posterior conteo en forma ordinal. Los conceptos identificados en las tareas son número ordinal, orden, y posición. Los argumentos recaen principalmente en el orden en los números naturales como factor importante para la asignación del correspondiente número ordinal. En el caso de las proposiciones identificadas, estas guardan relación entre expresiones verbales y numéricas de números ordinales. Por ejemplo, primero se representa como 1° y así sucesivamente para cada número ordinal trabajado.

Finalmente, en la configuración epistémica del número natural en su significado operacional, el libro de texto presenta una tarea donde se tiene como lenguaje la descomposición aditiva de números naturales de dos cifras en términos de unidades y decenas. Por otra parte, se presenta como procedimiento la descomposición aditiva, como argumento el valor posicional de las cifras de un número. Y finalmente como proposiciones la descomposición aditiva del 14 como 10 + 4.

5.2 Configuraciones epistémicas asociadas al número natural en segundo grado

En cuanto a la organización del tema números naturales, en el libro de texto de segundo grado de Educación Primaria (^{SEP, 2014b}) se plantea la enseñanza de los números naturales del 100 al 999. Presentando trabajo con cuatro significados del número natural. A continuación, en la figura 8, se señalan las configuraciones epistémicas para el significado simbólico, cardinal, secuencia numérica y operacional del número natural. En cada configuración epistémica se destacan las situaciones-problemas, lenguaje, procedimientos, conceptos, argumentos y proposiciones que emergen al trabajar en cada uno.

Figura 8 Configuraciones epistémicas del número natural en segundo grado. 

En la configuración epistémica del número natural como símbolo, en el objeto lenguaje se muestra el uso de la expresión verbal y escrita de los números naturales hasta el 999, utilizando tarjetas. Para el caso de los procedimientos estos se relacionan con la comparación de las cifras de un número. Los conceptos abordados son cifra, mayor, menor, suma y resta, mientras que los argumentos en que se basa la realización de las tareas están aunados al orden de los números naturales. Finalmente, las proposiciones están relacionadas con determinar si un número se ubica antes o después en la secuencia numérica dada.

Por otra parte, en la configuración epistémica del número natural como cardinal el libro de texto presenta tareas relacionadas con el conteo, la lectura y escritura de números hasta el 999, y la comparación de cardinales. En ese sentido como resultados del análisis se muestra que, en el caso del lenguaje, se trabaja con la expresión verbal y escrita de los números naturales hasta el 999. Por otra parte, los conceptos trabajados son cardinalidad, conjunto, descomposición aditiva, unidad, decena y centena. Los argumentos que se hacen evidentes en la realización de la tarea están asociados a hacer correctamente el conteo de una colección de objetos y el valor posicional, y finalmente como proposiciones se tiene que una decena está conformada por diez unidades, una centena conformada por diez decenas o cien unidades.

En el caso de la configuración epistémica del número natural como secuencia numérica se muestra que el libro propone tareas para el tratamiento de la secuencia numérica hasta el 999. En ese sentido, el análisis de las tareas permite conocer que en el apartado lenguaje se promueve el trabajo con la expresión verbal y escrita de los números naturales hasta el 999, así como el uso de las tablas-100. En el caso del procedimiento se logra identificar el trabajo con la comparación de cardinales, y el reconocimiento de características de tramos de las secuencias numéricas para lograr la escritura correcta de la misma. Los conceptos abordados son orden y secuencia numérica. Para el caso de los argumentos, el análisis muestra que se hace referencia al orden en los números naturales, y en el caso de las proposiciones se tienen las siguientes 10<20<30…<990, 400<200 etcétera.

Finalmente, en la configuración epistémica del significado operacional del número natural, el libro de texto presenta tareas donde se hace uso del número para realizar operaciones básicas de suma y resta. El lenguaje utilizado resalta el uso de la expresión escrita de los números del 0 al 999, el uso de los términos mayor que, menor que. En el caso del procedimiento está el conteo. Como conceptos la suma y en el caso de los argumentos emergentes en la resolución de la tarea, se destacan la aplicación correcta de la suma o resta en la resolución de las tareas, y finalmente las proposiciones están asociadas en indicar que número es menor o mayor, por ejemplo: 170+2 > 170.

5.3 Configuraciones epistémicas asociadas al número natural en tercer grado

De acuerdo con el análisis de las tareas propuestas en tercer grado de la Educación Primaria (^{SEP, 2014c}), se identifica que en este grado escolar abordan el significado operacional, cardinal y el simbólico del número natural. La caracterización de los mismos viene dada por el tipo de objetos primarios (situaciones-problema, lenguaje, procedimientos, conceptos, argumentos y proposiciones) que emergen en cada uno de ellos, como ya se mencionó anteriormente esta caracterización se hace evidente mediante la correspondiente configuración epistémica. En la figura 9 se presenta las configuraciones epistémicas para el significado operacional, cardinal y el significado simbólico del número natural identificadas en el libro.

Figura 9 Configuraciones epistémicas del número natural en tercer grado. 

Para la configuración epistémica del significado operacional. Las tareas propuestas muestran en el lenguaje el uso de la expresión escrita y verbal de los números del 0 al 999, como procedimiento el conteo y la comparación de cardinales, como conceptos la suma, como argumentos el valor posicional, y como proposiciones la descomposición aditiva de algunos números.

Por otra parte, la configuración epistémica del significado cardinal del número natural, las tareas propuestas para el tratamiento de este significado, están enfocadas específicamente en el valor posicional para números de hasta cuatro cifras. En ese sentido, en el lenguaje se trabaja con la expresión verbal y escrita de números de hasta cuatro cifras, como procedimiento para lo anterior está la descomposición aditiva, mientras que los conceptos son unidades de millar, centenas, decenas y unidades, aunado a lo anterior como argumentos se tiene el valor posicional, y las proposiciones están relacionadas a la descomposición aditiva de algunos números de cuatro cifras, por ejemplo, 6583=6000+500+80+3.

Finalmente, para la configuración epistémica del significado simbólico del número natural, las tareas propuestas se inclinan con la comparación de números naturales, por tal motivo en el apartado de lenguaje se trabaja con la expresión verbal y escrita de números de hasta cuatro cifras, como procedimientos la comparación de cardinales, suma y el conteo, como conceptos el significado de mayor, menor y como argumentos aquellos relacionados con el orden de la secuencia numérica y en concordancia con lo anterior como proposiciones se tienen aquellas relacionadas con indicar cuando un número es mayor o menor que otro, por ejemplo, 29<31, 170> 159.

6.1 sobre las configuraciones epistémicas

El trabajo estuvo enfocado en caracterizar el significado pretendido del número natural en libros de texto de matemáticas, correspondientes a los tres primeros grados de Educación Primaria en México. El uso de los niveles de análisis de la actividad matemática (^{Godino et al., 2017}) permitió caracterizar la propuesta de enseñanza desde las situaciones-problema, el lenguaje, procedimientos, conceptos, proposiciones y argumentos identificados con el análisis presentado para cada grado escolar.

Con respecto a las situaciones-problema se identificaron 77 tareas que aluden al tratamiento de los distintos significados asociados al número natural, en los tres grados escolares. De las cuales 38 tareas son referidas al significado cardinal, 22 al significado de secuencia numérica, 9 al significado operacional, 5 al significado simbólico y 3 al significado ordinal. El mayor trabajo se concentra en primer y segundo grado con 70 tareas, mientras que en tercer grado solo se proponen 7.

Con respecto al lenguaje, se propone el trabajo con la expresión verbal y/o escrita de números naturales en primer grado hasta el 100, en segundo grado hasta el 1000 y en tercer grado hasta el 10,000. Asimismo, para el caso de primer grado se aborda la expresión verbal y/o escrita de números ordinales del 1° al 10°. Con respecto al uso de material manipulativo para abordar la enseñanza del valor posicional solo se hace uso de material de tipo no proporcional (^{Cid et al., 2003}), lo anterior de acuerdo con ^{Terigi y Wolman (2007)} es una característica no tan conveniente porque promueve que el Sistema de Numeración Decimal se relacione con un sistema de numeración aditivo, y con ello se pierde la conceptualización del sistema.

Ahora, los procedimientos propuestos están ligados con el conteo de 1 en 1, de 10 en 10, y de 100 en 100, la identificación de numerales, comparación de colecciones y la descomposición aditiva, los cuales emergen con la resolución de las tareas. Por otra parte, los conceptos abordados son cardinalidad, número ordinal, valor posicional, cifra, unidad, decena, centena, unidad de millar, y descomposición aditiva, los mismos no son trabajados en el texto de manera explícita. Con respecto a los argumentos estos se enfocan en el orden de la secuencia numérica y el valor posicional de números de hasta cuatro cifras. Finalmente, las proposiciones se relacionan implícitamente con las decenas, centenas, la descomposición aditiva, el orden de la secuencia numérica, la lectura-escritura de números naturales y ordinales.

6.2 Significados del número natural

Caracterizar los distintos significados del número natural en los libros de texto de matemáticas en Educación Primaria, puede contribuir al conocimiento del profesor sobre los contextos de uso promovidos en los distintos grados escolares. Lo cual podría servir como elemento de apoyo para el desarrollo del sentido numérico en los estudiantes (^{Cid et al., 2003}; ^{Godino et al., 2009}; ^{NCTM, 1989}; ^{SEP, 2011a}) y la planificación docente, en el segundo periodo escolar.

Por ejemplo, para el significado de secuencia numérica, y particularmente sobre la introducción de los números naturales en los distintos grados escolares. En primer grado, se concentró la mayor cantidad de tareas (17 tareas), donde se aborda la expresión verbal, escrita y el orden de los números del 0 al 99, utilizando herramientas como la tabla-100, canciones infantiles, fichas, entre otras. En segundo grado, esta cantidad disminuye a cinco tareas, donde se contempla la expresión verbal, escrita y el orden de los números del 100 al 999. En tercer grado, ya no es presentada explícitamente, la secuencia numérica del 1000 al 10,000, pero si se utilizan números de cuatro cifras en la resolución de problemas.

Para el significado cardinal, y propiamente donde se incluyen tareas sobre el valor posicional de las cifras de un número. En primer grado, se trabaja de manera implícita el valor posicional de números de dos cifras utilizando fichas de colores. Mientras que, en segundo grado el valor posicional de los números de tres cifras y en tercer grado el valor posicional de números de hasta cuatro cifras. Lo anterior, sin utilizar o definir los términos de unidad, decena, centena y unidad de millar en ninguno de los grados escolares.

Por otra parte, el significado ordinal solo es abordado en primer grado, don-de muestran la expresión verbal, escrita y el orden de los primeros 10 números ordinales. El significado simbólico es tratado en segundo y tercer grado con cinco tareas en total, donde se utilizan números de dos y tres cifras en tarjetas.

Finalmente, para el significado operacional es abordado en primero, segundo y tercer grado, y los números se utilizan para realizar operaciones de suma y resta, así como comparación de números de dos y tres cifras, por ejemplo, en segundo grado se puede encontrar expresiones como 170+2>170.

El conocimiento de la existencia de los significados presentados en esta investigación, radica en la potencialidad que tiene en el uso que el docente de educación primaria pueda darle en el salón de clases. Dado que, si el profesor es consciente, por ejemplo, de la ausencia del tratamiento explícito de la expresión verbal y escrita de los números del 999 al 10, 000 puede proponer tareas para fortalecer este aspecto en la enseñanza-aprendizaje de este significado. Lo mismo sucede con el significado ordinal, dado que se puede proponer trabajar no solo con 10 números ordinales, sino que puede proponer incluir por lo menos los primeros veinte números ordinales. Además, entre más significados maneje el estudiante mejor será su compresión del número.

De manera general, se considera que mediante el análisis realizado se pudo caracterizar el significado pretendido en cada libro de texto. En ese sentido, el uso de los niveles de análisis de la actividad matemática para el análisis de tareas, permitió conocer en primer lugar los significados del número natural abordados en los libros de texto. Además, permitió mostrar un análisis pormenorizado de la actividad matemática que se pone en juego en la resolución de las tareas. Dicha información puede ser utilizada en la planeación docente, dado que permite tener una visión global del tratamiento del número natural en los tres primeros grados de la Educación Primaria.