2.1. Las estructuras mentales

Como lo evidencian los objetivos y la pregunta de investigación, es central para nuestro estudio la noción de esquema. Esta noción forma parte de las denominadas -en la teoría APOE- estructuras mentales, junto con las acciones, los procesos y los objetos. Los individuos, para dar sentido a una situación matemática, construyen y utilizan acciones, procesos y objetos y los organizan en esquemas. Estas estructuras mentales son consideradas, en la teoría APOE, como etapas en el aprendizaje de los conceptos matemáticos.

Una acción es una transformación de objetos percibidos por el individuo como esencialmente externos y que requiere, ya sea explícitamente o desde la memoria, instrucciones paso a paso sobre cómo realizar la operación...

Cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, él o ella pueden hacer una construcción mental interna llamada proceso con lo cual el individuo puede pensar en realizar el mismo tipo de acción, pero ya no con la necesidad de estímulos externos...

Un objeto se construye a partir de un proceso cuando el individuo toma conciencia del proceso como una totalidad y se da cuenta de que las transformaciones pueden actuar sobre este...

Por último, un esquema para un cierto concepto matemático es una colección personal de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están vinculados por algunos principios generales para formar un marco de referencia en la mente del individuo que puede ser traído para afrontar una situación problemática que involucra al concepto. (^{Dubinsky y McDonald, 2001, pp. 276-277)}

Para ejemplificar las distintas estructuras mentales descritas anteriormente, consideremos el concepto función. Una persona que requiere una expresión algebraica para trabajar con una función y puede hacer poco más que sustituir la variable por valores particulares del dominio, se considera que tiene una concepción acción de función. Un individuo con una concepción proceso pensará a la función en términos de elementos de entrada que se transforman para producir elementos de salida. Una concepción objeto permite al individuo aplicar transformaciones a las funciones y concebir, por ejemplo, un conjunto de funciones, definir operaciones en dicho conjunto, equiparlo con una topología, etc. El esquema de función puede estar compuesto por diferentes tipos de funciones, como funciones de variable real, funciones de varias variables o funciones proposicionales. Estos diferentes tipos de funciones pueden haberse construido como procesos u objetos (^{Arnon et al., 2014}).

Por último, y volviendo a la estructura mental que ocupa un lugar privilegiado en nuestro estudio, una característica importante del esquema es la coherencia, la cual queda establecida por la capacidad del individuo para determinar qué fenómenos están al alcance del esquema y cuáles no.

2.2. Descomposición genética

Para cada concepto particular, las estructuras mentales son descritas a través de un modelo hipotético llamado descomposición genética. Una descomposición genética es un modelo epistemológico y cognitivo de un concepto matemático en el que se describen las estructuras y los mecanismos mentales que un individuo necesitaría construir para aprender dicho concepto. Hasta que se pruebe experimentalmente, una descomposición genética es una hipótesis y se conoce como preliminar. Una descomposición genética preliminar está basada en la compresión del concepto por parte de los investigadores, sus experiencias de aula en torno al mismo, investigaciones previas que informen sobre las concepciones de los estudiantes, perspectivas históricas sobre su desarrollo, y análisis de textos y materiales de enseñanza relacionados con dicho concepto. (^{Arnon et al., 2014, pp. 27-28})

2.3. Ciclo de investigación

La teoría APOE incluye un ciclo de investigación que está formado por tres componentes: análisis teórico, diseño e implementación de un plan de enseñanza, y recopilación y análisis de datos. De acuerdo con esta teoría, la investigación comienza con un análisis teórico y cognitivo del concepto matemático considerado, lo cual da lugar a una descomposición genética preliminar de dicho concepto. A partir de este análisis, se diseña e implementa un plan de enseñanza con la finalidad de que los estudiantes realicen las construcciones mentales establecidas en la descomposición genética preliminar. Durante la enseñanza se recolectan datos, los que luego serán analizados utilizando como marco teórico la teoría APOE, con la finalidad de responder la pregunta de investigación y alcanzar los objetivos propuestos para el estudio.

Para dicha finalidad, no solo se tienen en cuenta los datos recogidos durante la enseñanza, también se pueden incluir cuestionarios, entrevistas semiestructuradas (grabadas en audio o video), pruebas y el trabajo con computadoras.

Las entrevistas son los medios más importantes por los cuales se recopilan los datos en las investigaciones basadas en APOE…

Los individuos entrevistados se pueden seleccionar a partir de sus respuestas a un cuestionario escrito o a un examen previamente administrado, retroalimentación del instructor o una combinación de esos criterios. (^{Arnon et al., 2014, p. 95})

Para intentar responder nuestra pregunta de investigación, hemos propuesto dos cuestionarios a estudiantes de primer año del profesorado de matemática de Uruguay. Luego de propuesto cada cuestionario, realizamos un análisis preliminar de las respuestas de los estudiantes a partir del cual seleccionamos algunos para realizarles entrevistas. En nuestro estudio las entrevistas jugaron un papel fundamental: la complejidad y sutileza de los conceptos matemáticos abordados en nuestra investigación, y los objetivos que nos propusimos, hizo de las entrevistas el medio más importante de recolección de información. A través de preguntas minuciosas fue posible, por ejemplo, detectar fenómenos inherentes a la construcción del esquema de adición de funciones; fenómenos que habían pasado desapercibidos en las respuestas a las preguntas de los cuestionarios.

Por otra parte, y volviendo al ciclo de investigación de la teoría APOE, ^{Roa-Fuentes y Oktaç (2012, pp. 204-205)} señalan:

Aspectos como este, relacionados con el tiempo y el número de integrantes del equipo de investigadores necesarios para hacer el seguimiento de grupos de estudiantes, han generado la realización de investigaciones que pasan de la primera a la tercera componente. Como es el caso del trabajo que presentamos en este escrito, una vez se tiene la descomposición genética preliminar, se diseñan instrumentos como pruebas diagnósticas y entrevistas para analizar la manera como los individuos han construido o están construyendo un concepto. Esto permite que aún sin haber desarrollado un proceso de enseñanza, se analice la viabilidad de los aspectos puramente teóricos de la descomposición genética preliminar.

En nuestro estudio también omitimos el segundo componente, pero, más que por las dificultades técnicas de la aplicación del ciclo de investigación, fue debido a la finalidad de este. Nuestro propósito no era que los estudiantes realizaran las construcciones mentales requeridas por la descomposición genética preliminar de adición de funciones, nuestro interés estaba centrado en aportar información sobre la construcción del esquema de adición de funciones: ¿pueden los estudiantes que participaron en nuestra investigación, por ellos mismos (sin que medie ningún plan de enseñanza), establecer vínculos entre conceptos como conjunto, función y operación binaria para resolver actividades vinculadas con la adición de funciones y comenzar a estructurar el esquema de dicho concepto?

Por último, el análisis de los datos recabados, correspondiente al tercero de los componentes del ciclo de investigación, refina (o valida) la descomposición genética preliminar, de modo que sea más congruente con la manera en que los estudiantes construyen el conocimiento. En nuestra investigación, el análisis de la información recogida a través de los cuestionarios y las entrevistas nos permitió validar la descomposición genética preliminar de adición de funciones y refinar la descomposición genética preliminar de función suma. Estas descomposiciones genéticas (la validada y la refinada) fueron utilizadas luego como marco de referencia para detectar fenómenos vinculados a la construcción del esquema de adición de funciones.

3.1. Descomposición genética preliminar de adición de funciones

A partir de la descomposición genética de operación binaria presente en ^{Arnon et al. (2014, p. 48)}, de nuestra comprensión del concepto adición de funciones y de nuestra experiencia de aula en torno al mismo, hemos realizado la descomposición genética preliminar de adición de funciones que presentamos a continuación.

3.2. Esquemas componentes del esquema de adición de funciones

Debido a que estamos interesados en la construcción del esquema de adición de funciones, es necesario tener en cuenta que el desarrollo de un esquema depende a su vez de otros esquemas:

En el proceso de aprendizaje, a medida que se desarrolla el conocimiento, un individuo puede construir Esquemas coexistentes que cambian constantemente y que están en distintas etapas de desarrollo. Cada Esquema está compuesto por Acciones, Procesos, Objetos y otros Esquemas y por las relaciones entre esas estructuras. Al enfrentar una situación problemática, una persona puede necesitar coordinar diferentes esquemas. Uno de los objetivos de la investigación es identificar los diferentes Esquemas que necesitan ser desarrollados y cómo son coordinados o cómo interactúan. Por lo tanto, para comprender el desarrollo de un Esquema, la investigación no solo debe determinar cómo se construye el Esquema sino cómo se puede coordinar con otros Esquemas relacionados. (^{Arnon et al., 2014, p. 122})

Por lo tanto, con la finalidad de responder nuestra pregunta de investigación -¿Cómo un individuo podría llegar a construir el esquema de adición de funciones?-, nos propusimos identificar diferentes esquemas que interactúan en el desarrollo del esquema de adición de funciones. Un análisis de la adición de funciones como proceso (que presentamos a continuación) nos permitió establecer que los esquemas de conjunto, función, operación binaria y función suma son componentes del esquema de adición de funciones.

3.3. La adición de funciones como proceso

Consideremos la adición de funciones (⨁) definida en el conjunto formado por todas las funciones reales (ℱ). Para desencapsular el objeto adición de funciones y pasarlo a considerar como un proceso, es necesario una concepción proceso de conjunto (que permita desencapsular el objeto ℱ) de modo que sea posible considerar dos funciones reales 𝑓 y 𝑔 cualesquiera -como objetos-; y también una concepción proceso de operación binaria que habilite la búsqueda del correspondiente del par ordenado (𝑓, 𝑔) a través de la adición de funciones. A continuación, se deben desencapsular las funciones 𝑓 y 𝑔 (objetos) para concebirlas como los procesos 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), para todo real 𝑥. Estos procesos deben ser coordinados a través de la adición de reales para obtener así el proceso f(x)+ g(x), para todo real 𝑥; lo cual conduce a una concepción proceso de función suma. Su encapsulación permite una concepción objeto de función suma. Por último, una concepción proceso de conjunto haría posible identificar la función suma como un elemento del conjunto ℱ (figura 2).

Figura 2 La adición de funciones como proceso. 

3.4. Descomposiciones genéticas de conceptos cuyos esquemas son componentes del esquema de adición de funciones

Según el análisis presentado anteriormente, una concepción proceso de adición de funciones requiere concepciones objeto y proceso de función y de función suma, y concepciones proceso de conjunto y operación binaria. Por lo tanto, podemos establecer que los esquemas de conjunto, función, función suma y operación binaria son componentes del esquema de adición de funciones. Debido al propósito de nuestra investigación, fue relevante entonces no solo contar con una descomposición genética de adición de funciones, sino con descomposiciones genéticas de conjunto, función, función suma y operación binaria. No fue necesario realizar descomposiciones genéticas de conjunto, función y operación binaria dado que ya existen en la literatura (^{Arnon et al., 2014}). En cambio, realizamos una descomposición genética preliminar de función suma a partir de la descomposición genética de función, de nuestro conocimiento disciplinar y de nuestra experiencia de aula.

A continuación, presentamos las descomposiciones genéticas de conjunto, función y operación binaria que aparecen en ^{Arnon et al. (2014)}. Luego, proponemos la descomposición genética preliminar de función suma.

3.5. Sobre la recopilación y el análisis de los datos

En esta subsección presentamos, en primer lugar, aspectos generales vinculados con la población y con los instrumentos que utilizamos para recabar información (cuestionarios y entrevistas). En segundo lugar, proponemos un análisis a priori de las actividades que conformaron los cuestionarios. Dicho análisis se realizó en forma previa a proponer los cuestionarios a los estudiantes (utilizando -únicamente- como marco de referencia las descomposiciones genéticas presentadas anteriormente), pero no fue el primero de los análisis realizados. La selección, elaboración y reelaboración de las actividades conlleva un análisis que determina la pertinencia y adecuación de las actividades propuestas en relación con los objetivos y con la pregunta de investigación. En otras palabras, el análisis a priori no recoge el proceso de elaboración de los cuestionarios sino más bien es un análisis que justifica, posteriormente a dicha elaboración, el potencial que tienen unas ciertas actividades para recabar información valiosa en relación con nuestra investigación.

4.1. Conclusiones

En nuestra investigación, las descomposiciones genéticas de adición de funciones, conjunto, función, operación binaria y función suma fueron el marco de referencia utilizado (inicialmente) para el análisis a priori de las actividades que conformaron los cuestionarios empleados para recabar información. Este análisis permite justificar la pertinencia de los cuestionarios como herramientas válidas para recabar información con la finalidad de responder la pregunta de investigación y alcanzar los objetivos propuestos para el estudio.

Como es posible observar en el análisis a priori realizado, las distintas actividades comprometen distintas estructuras mentales vinculadas a la adición de funciones y a conceptos cuyos esquemas son componentes del esquema de adición de funciones. Una concepción acción de conjunto es necesaria en la actividad 6 del cuestionario 1 (de aquí en más, salvo que se indique expresamente, se estará haciendo referencia a actividades del cuestionario 1) y en la actividad 1 del cuestionario 2 (que son iguales desde el punto de vista matemático). Una concepción proceso de conjunto es necesaria en las actividades 3, 4, 7, 2/2 y 3a/2 (agregamos, luego del número de la actividad, una barra seguida de un 2 para indicar que la actividad corresponde al cuestionario 2). Por otra parte, una concepción objeto de conjunto es necesaria en las actividades 3, 7, 2/2 y 3a/2. Una concepción acción de función no es necesaria en ninguna de las actividades, en cambio es necesaria una concepción proceso en la actividad 7, y una concepción objeto en las actividades 3, 4, 6, 7, 1/2, 2/2 y 3a/2. Con respecto a la función suma, las actividades 1 y 5 están vinculadas a una concepción acción, la 1 y la 7 a una concepción proceso y las actividades 1, 2, 3, 7, 2/2, 3a/2 a una concepción objeto. Pasando ahora al concepto operación binaria, tenemos que en la actividad 2 se podría poner en juego una concepción acción, en las actividades 3, 6, 2/2, 3a/2 es necesaria una concepción proceso, y las actividades 2, 3, 2/2, 3a/2 están relacionadas a una concepción objeto. Por último, en relación con la adición de funciones, las actividades 2, 3, 6 y 3a/2 están vinculadas a una concepción acción, en la 7 es necesaria una concepción proceso y en las actividades 7 y 3b/2 una concepción objeto.

El análisis a priori realizado permite objetivar y brindar racionalidad a las exigencias cognitivas involucradas en las resoluciones de las distintas actividades que conformaron los cuestionarios utilizados para recabar información (por ejemplo, la actividad 5 requeriría únicamente una concepción acción de función suma -lo que la convierte en una actividad de muy baja exigencia cognitiva-; en cambio, la actividad 7 es la más exigente desde el punto de vista cognitivo: requiere concepciones proceso y objeto de conjunto, función, función suma y adición de funciones). Esto no solo nos permite justificar la pertinencia de las actividades para los propósitos de nuestra investigación, sino además aseverar que las actividades contienen un amplio margen de dificultad que nos permite obtener información variada en relación con el rendimiento matemático de los estudiantes:

La idea es obtener datos que muestren un rango amplio del rendimiento matemático sobre diferentes tareas matemáticas que permita comparar el pensamiento de los estudiantes que tuvieron dificultades con el pensamiento de los estudiantes que tuvieron éxito. Estas diferencias permiten a los investigadores determinar si las construcciones mentales requeridas por el análisis teórico explican las diferencias en el rendimiento o si se requieren otras construcciones mentales no consideradas por el análisis teórico. (^{Arnon et al., 2014, p. 95)}

En resumen, el análisis a priori de las actividades de los cuestionarios nos permite afirmar que: (1) los cuestionarios (utilizados para recabar información) están en consonancia con la pregunta de investigación y con los objetivos propuestos para el estudio y (2) las actividades tienen el potencial de capturar un rango amplio del rendimiento matemático de los estudiantes.

Por otra parte, el análisis a priori, utilizando como marco de referencia la descomposición genética, puede resultar de utilidad a los docentes para comprender las exigencias -desde el punto de vista cognitivo- involucradas en la resolución de ciertas actividades. El conocimiento de dichas exigencias puede posicionarlos mejor a la hora de tomar decisiones que colaboren con el aprendizaje de sus estudiantes.

La descomposición genética presentada en este trabajo evidencia que un objeto matemático por muy «simple» que parezca o que algunos libros de texto presenten de forma trivial, implica un conjunto de construcciones mentales y mecanismos de construcción que los estudiantes requieren desarrollar para lograr su comprensión... (Jaimes, Chaves y Vargas, 2017, p. 77)

Por último, consideramos que las descomposiciones genéticas preliminares de adición de funciones y de función suma presentadas en este artículo constituye una contribución a la literatura.

4.2. Descripción general de la investigación y comentarios preliminares sobre sus resultados

Nuestra investigación comenzó con una descomposición genética preliminar de adición de funciones. Debido a los propósitos de nuestro estudio, creímos necesario contar además con descomposiciones genéticas de conceptos cuyos esquemas son componentes del esquema de adición de funciones. Un análisis de la adición de funciones como proceso nos permitió establecer que los esquemas de conjunto, función, operación binaria y función suma son componentes del

esquema de adición de funciones. No fue necesario realizar descomposiciones genéticas de conjunto, función y operación binaria, dado que ya existían en la literatura (^{Arnon et al., 2014}); en cambio elaboramos una descomposición genética preliminar de función suma.

Las descomposiciones genéticas mencionadas sirvieron como marco de referencia, inicialmente, para realizar un análisis a priori de las actividades de los cuestionarios que utilizamos para recabar información y, luego, para analizar las respuestas de los estudiantes a las preguntas planteadas en los cuestionarios y en las entrevistas que realizamos.

Cuando comenzamos el análisis, nos encontramos con cierta regularidad: muchos estudiantes identificaban la adición de funciones con la función suma, considerándolas como si fueran el mismo concepto matemático. Luego advertimos que esta identificación era un caso particular de una más general: la identificación de una relación con los elementos de su conjunto de llegada. A este fenómeno lo llamamos identificación y lo explicamos a través de la teoría APOE.

Después de haber explicado el fenómeno de identificación, analizamos la información recogida en relación con las estructuras mentales (acción, proceso y objeto) vinculadas a la adición de funciones y a la función suma, con la finalidad de validar o refinar las descomposiciones genéticas preliminares. Este análisis nos condujo a validar la descomposición genética preliminar de adición de funciones y a refinar la de función suma.

Una vez que contamos con dichas descomposiciones genéticas (la validada y la refinada), las utilizamos como marco de referencia para analizar las respuestas de los estudiantes con el propósito de alcanzar los objetivos propuestos para esta investigación:

Con respecto al primero de los objetivos, hemos encontrado elementos suficientes para apreciar la complejidad y las exigencias cognitivas presentes en la construcción del esquema de adición de funciones. Por lo tanto, consideramos que no es suficiente -desde el punto de vista de la enseñanza- centrar la atención en cómo los estudiantes aprenden, en forma aislada, conceptos como conjunto, función y operación binaria, es necesario, también, trabajar intencionalmente en la construcción de vínculos entre los mismos. En relación con el segundo de los objetivos, el análisis nos permitió advertir, además del fenómeno de identificación, la existencia de otros dos fenómenos: el de interacción/interferencia de esquemas y el de enmarcación, pero el reporte de los mismos excede los propósitos de este artículo.