2.1. TIPOS DE OBJETOS MATEMÁTICOS

En el EOS se asume una concepción de la matemática de tipo antropológico, y, en consecuencia, la noción de práctica matemática ocupa un lugar central. Pero también se considera la matemática como un sistema lógicamente organizado de objetos, entendiendo por objeto matemático cualquier entidad material o inmaterial que interviene en la práctica matemática, apoyando y regulando su realización (Font, Godino y Gallardo, 2013). En el EOS se proponen los siguientes tipos de objetos primarios:

En el EOS se dice que un objeto es extensivo si interviene en la práctica matemática como un caso particular, mientras que es intensivo si interviene como una clase o tipo de objetos; son las entidades resultantes de los correspondientes procesos de particularización y generalización, teniendo un carácter relativo a la situación que se analiza, esto es, del juego de lenguaje en que participan.

2.2. NIVELES PROTO-ALGEBRAICOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Desde el EOS se entiende el Razonamiento Algebraico Elemental (RAE) como el sistema de prácticas operativas y discursivas puestas en juego en la resolución de tareas abordables en la educación primaria, en las cuales intervienen objetos y procesos algebraicos (simbolización, relación, variables, incógnitas, ecuaciones, patrones, generalización, modelación, etc.).

En ^{Godino et al. (2014)}, se propone un modelo de razonamiento algebraico para la educación primaria basado en la distinción de tres niveles de algebrización, estableciendo criterios que permiten identificar la actividad matemática puramente aritmética (nivel 0 de algebrización) y distinguirla de progresivos niveles de algebrización. Los criterios para delimitar los distintos niveles están basados en el tipo de objetos y procesos matemáticos implicados en la actividad matemática, de acuerdo con el marco del EOS: tipos de representaciones usadas, los procesos de generalización implicados y el cálculo analítico que se pone en juego en la actividad matemática correspondiente. Los criterios para discriminar los primeros niveles de algebrización son:

Nivel 0. Se opera con objetos intensivos de primer grado de generalidad, usando lenguajes natural, numérico, icónico, gestual.

Nivel 1. Se usan objetos intensivos de segundo grado de generalidad, propiedades de la estructura algebraica de N y la igualdad como equivalencia.

Nivel 2. Se usan representaciones simbólico - literales para referir a los objetos intensivos reconocidos, los cuales están ligados a la información espacial, temporal y contextual; se resuelven ecuaciones de la forma Ax + B =C (A, B, C ϵR).

Nivel 3. Los símbolos se usan de manera analítica, sin referir a la información contextual. Se realizan operaciones con indeterminadas o variables; se resuelven ecuaciones de la forma Ax + =Cx+D (A, B, C, D ϵR).

Los niveles 1 y 2 se consideran como proto-algebraicos para distinguirlos del nivel 3, cuyos rasgos indican una actividad algebraica consolidada, mientras que el nivel 0 indica ausencia de actividad algebraica. Los niveles de algebrización están definidos en función de los objetos, significados y procesos que se requieren y emergen en la actividad matemática que realiza un determinado sujeto cuando resuelve una tarea o situación problema concreta. No se asignan a las propias tareas, que se pueden resolver de distintas maneras, pudiendo poner en juego una actividad algebraica diferente, ni a los individuos, que ante distintas situaciones pueden desarrollar soluciones que involucren objetos o procesos correspondientes a niveles de algebrización distintos.⁴ Se pueden interpretar en términos de las “capas de generalidad” que describe Radford. “Las capas de generalidad se distinguen en términos de las indicaciones a que recurren los estudiantes para pensar algebraicamente” (^{Radford, 2011, p. 311}). En este sentido, algunas características de la generalización factual y contextual que describe Radford se concretan en los niveles proto-algebraicos, mientras que la generalización simbólica es propia de un nivel consolidado de algebrización.

La aplicación de los niveles de algebrización a los sistemas de prácticas ligados a tareas relativas a proporcionalidad, aporta criterios para distinguir categorías de significados en la construcción progresiva del razonamiento proporcional.

2.3. SIGNIFICADOS DE LA PROPORCIONALIDAD

Piaget considera que el razonamiento proporcional se adquiere en el estadio de las operaciones formales y constituye uno de los ocho esquemas que caracterizan el nivel de desarrollo formal de la persona (^{Inhelder y Piaget, 1958}). Según ^{Inheler y Piaget (1958)}, el razonamiento proporcional es una relación de segundo orden que implica una relación de equivalencia entre dos razones. Requiere del uso de un razonamiento hipotético deductivo que permite al sujeto utilizar una relación matemática (razón) y a partir de ésta deducir una segunda relación también matemática (proporción).

^{Freudenthal (1983)} identifica dos tipos de razones (internas y externas) siendo la primera la que se forma dentro de un mismo sistema (en una magnitud) y la segunda aquella que se forma entre sistemas (entre dos magnitudes) y propone la utilidad que puede representar el uso de la semejanza para el aprendizaje de la razón y la proporción.

Diversos trabajos de investigación (^{Fernández y Llinares, 2011}; ^{Fernández y Llinares, 2012}; ^{Sánchez, 2013}; ^{Silvestre y Ponte, 2011}) analizan las características del desarrollo del razonamiento proporcional desde la educación primaria hasta la educación secundaria, mostrando las dificultades que encuentran los estudiantes de distintos niveles educativos al afrontar situaciones de proporcionalidad. Según muestran varios estudios (^{Karplus, Pulos y Stage, 1983}; ^{Turnaire y Pulos, 1985}; ^{Van Dooren, De Bock, Gillard y Verschaffel, 2009}; ^{Fernández y Llinares, 2011}) diversos factores influyen en el rendimiento o éxito en las tareas de proporcionalidad: la relación entre los números involucrados, el uso de razones enteras y no enteras, las unidades de las magnitudes que aparecen en la situación, el formato en que se presenta la tarea, la familiaridad del contenido, entre otros. Los problemas que involucran números naturales pequeños, aquellos en los que aparecen relacionados los primeros o segundos términos de una razón y en los que existe una relación de divisibilidad entre sus términos, resultan más fáciles para los alumnos. ^{Tourniaire y Pulos (1985)} sugieren que es más sencillo visualizar cantidades discretas que continuas y, por tanto, los estudiantes desarrollarán mejores tareas de proporcionalidad que involucren cantidades discretas que si éstas son continuas.

^{Streefland (1985)}, propone anticipar una aproximación informal, intuitiva y cualitativa al concepto de razón y proporción previa a su formalización y algoritmización. Otros autores como Behr, et al. (1992); ^{Cramer y Post (1993)}, ^{Lesh, Post y Behr (1988)}, Ruiz (2002), ^{Ruiz y Valdemoros (2004)} apoyan la propuesta de ^{Streefland (1985)} sobre la pertinencia de una secuencia didáctica que permita avanzar desde un conocimiento de naturaleza intuitiva y cualitativa, de estructura aditiva (pre-proporcional), hacia un conocimiento cuantitativo de estructura multiplicativa, haciendo uso de procesos que fomenten la manifestación de estrategias de construcción progresiva que permita encaminar hacia el proceso de consolidación del razonamiento proporcional.

Recientemente, ^{Godino, Beltrán-Pellicer, Burgos, Giacomone (2017)} distinguen tres tipos de significados del objeto proporcionalidad: aritmético, proto-algebraico y algebraico-funcional, que además se complementan con un significado informal-cualitativo, centrado en la comparación multiplicativa de las cantidades que intervienen en los problemas y en la comparación perceptiva, por ejemplo, de la semejanza de formas geométricas.

Los objetos y procesos que intervienen en las prácticas de resolución de los problemas sobre razones y proporciones dependen de los contextos de aplicación, como revelan las múltiples investigaciones realizadas sobre la naturaleza y desarrollo del razonamiento proporcional. La aplicación de los niveles de algebrización al estudio del razonamiento proporcional, no refiere a etapas de desarrollo cognitivo de los individuos, esto es, niveles de comprensión de razones y proporciones como ocurre en ^{Karplus, et al. (1983)}, ^{Tourniaire y Pulos (1985)} o ^{Lamon (1993)}. Para el EOS el significado institucional o personal de un objeto matemático se identifica con el sistema de prácticas operativas y discursivas asociado al campo de problemas de los que emerge el objeto en un momento dado. En tanto que los niveles de algebrización se definen en términos de los objetos y procesos que se requieren y emergen en la actividad matemática que realiza un determinado sujeto cuando resuelve una tarea o situación problema concreta, la aplicación de los niveles de algebrización propuestos en ^{Godino, et al. (2014)} a los sistemas de prácticas ligados a tareas relativas a proporcionalidad, aporta criterios para distinguir categorías de significados en la construcción progresiva del razonamiento proporcional. Además, teniendo en cuenta el papel clave que tiene la modelización algebraica de la actividad matemática en la progresión del aprendizaje, el reconocimiento del nivel de algebrización de las prácticas que pone en juego el alumno al resolver problemas de proporcionalidad es un indicador del grado de dominio del razonamiento algebraico en este contenido específico.

El significado aritmético (nivel 0 de algebrización) se caracteriza por la aplicación de procedimientos de cálculo aritméticos (multiplicación, división). En la práctica intervienen valores numéricos particulares y se aplican operaciones aritméticas sobre dichos valores; no intervienen objetos y procesos algebraicos. El significado proto-algebraico está centrado en la noción de proporción, de manera que el reconocimiento del valor unitario en un procedimiento de reducción a la unidad, y el uso de representaciones diagramáticas de soluciones se pueden calificar de proto-algebraicas de nivel 1. Por otro lado, la solución de un problema de valor faltante, basada en el uso de las razones y proporciones, involucra una incógnita y el planteamiento de una ecuación; la actividad de algebrización que se realiza en este caso es proto-algebraica de nivel 2, según el modelo de ^{Godino et al. (2014)}, ya que la incógnita aparece despejada en un miembro de la ecuación que se establece (Ax =B ) .

2.4. INICIACIÓN AL RAZONAMIENTO PROPORCIONAL

El papel del profesor para promover el pensamiento proporcional en las primeras etapas educativas es de vital importancia. ^{Miyakawa y Winslow (2009)} hacen una comparación de dos modelos didácticos ampliamente usados en educación matemática, apoyados en el análisis de experiencias de enseñanza de iniciación a la proporcionalidad en el contexto de la semejanza de figuras. ^{Silvestre y Ponte (2011)} asumen en su experiencia didáctica la perspectiva de que el aprendizaje de la proporcionalidad directa en 6° año de escolaridad debe centrarse en la comprensión de la estructura multiplicativa de una relación proporcional. Esta investigación asume la perspectiva de que esa comprensión se desarrolla mediante la resolución de problemas en el contexto de la interacción social en pequeños grupos y la discusión colectiva con todo un curso. En el trabajo de ^{Bentley y Yates (2017)} se presenta un estudio comparativo de los resultados obtenidos por dos grupos de estudiantes de 12 años, cuando resolvían problemas que requerían de un razonamiento proporcional (problemas de valor faltante). En uno de los grupos los autores siguieron un modelo de instrucción basado en ejemplos resueltos paso a paso de reducción a la unidad, siendo este grupo el que mostró mejores resultados. ^{Fielding-Wells, Dole y Makar (2014)} realizan un estudio de caso con un grupo de 26 alumnos de 4º curso de primaria siguiendo un modelo didáctico investigativo (inquiry pedagogy) para estimular la emergencia de pensamiento proporcional antes de la introducción formal de la razón y proporción en el currículo.

El modelo didáctico que implementamos en esta investigación, difiere sustancialmente de los empleados por ^{Bentley y Yates (2017)}, ^{Miyakawa y Winslow (2009)} o ^{Silvestre y Ponte (2011)} al situarnos en un punto intermedio entre los modelos centrados en el profesor y los modelos centrados en el estudiante. Asumimos que la optimización del aprendizaje requiere un modelo de instrucción mixto indagativo-transmisivo que trata de conjugar la indagación de situaciones problemas por parte de los estudiantes con la enseñanza explícita de conocimientos en momentos críticos del proceso de estudio por parte del profesor. Creemos que el uso de tareas introductorias sobre proporcionalidad (como las que figuran en el Anexo), por medio de tablas numéricas y el planteamiento de cuestiones dirigidas a identificar las propiedades homogénea y aditiva de la función de proporcionalidad, puede permitir que los alumnos progresen desde formas intuitivas hacia niveles superiores de razonamiento algebraico.

3.1. PARTICIPANTES Y CONTEXTO

La población sobre la que se centra la investigación son estudiantes de primaria que tienen su primer encuentro con situaciones-problemas que ponen en juego la noción de proporcionalidad. Los participantes en este estudio son 23 estudiantes (13 niñas y 10 niños) de quinto curso de educación primaria (10-11 años de edad). La experiencia se llevó a cabo en un centro público de enseñanza de Educación Infantil y Primaria durante el curso 2016-2017.

Las sesiones de investigación, se desarrollaron en el tiempo (50 minutos) y la distribución habitual de la clase, durante las dos últimas semanas del curso académico. Se daba por concluido el desarrollo del temario y de forma general, se encontraban repasando los conocimientos aprendidos durante el curso, en un ambiente distendido. De manera previa a las sesiones, los alumnos no habían trabajado con problemas que involucrasen relaciones de proporcionalidad en su significado aritmético. Dentro del contexto de uso geométrico de la proporcionalidad, habían realizado lectura e interpretación de mapas a escala, sin embargo, no habían trabajado la reproducción a escala de mapas, por lo que consideramos que no se habían desarrollado actividades hasta el momento de la investigación que proporcionasen a los alumnos un concepto intuitivo de proporción, ni sirviesen de soporte en el desarrollo del razonamiento proporcional.

Tareas instruccionales

Después de presentar el contexto, la investigadora facilitó a los alumnos la hoja de trabajo con las tareas introductorias que reproducimos en el Anexo. La actividad está diseñada para estimular la indagación y la discusión por medio de cuestiones dirigidas que sirvan de acercamiento a la proporcionalidad. Al acabar cada actividad se discutieron las ideas de forma grupal, centrando la atención en el concepto de proporcionalidad y las propiedades cuya comprensión se persigue desarrollar con la tarea.

En el diseño de las tareas se han tenido en cuenta las recomendaciones de diversas investigaciones que sugieren un primer acercamiento intuitivo al concepto de proporcionalidad, recurriendo al uso de factores multiplicativos y tablas numéricas. La primera tarea introductoria, perseguía que los alumnos identificasen magnitudes directamente proporcionales y reconociesen una situación-problema que involucra una relación de proporcionalidad directa. Iniciamos el razonamiento proporcional a través de razones sencillas como doble, mitad... y el reconocimiento de la propiedad aditiva de la función de proporcionalidad, por medio del registro tabular. La siguiente situación-problema fue tomada de ^{Mochón (2012)} y perseguía que el alumno prosiguiese con la reflexión sobre si una situación es de tipo proporcional o no, movilizando el razonamiento proporcional en un nuevo contexto en el que la constante de proporcionalidad no es un número entero. En la última parte de la hoja de trabajo, retomamos la tarea inicial con la intención de introducir la reducción a la unidad, como procedimiento para resolver una situación de proporcionalidad. Autores como ^{Ercole, Frantz y Ashline (2011)} describen este procedimiento como estrategia intuitiva que puede usarse como punto de partida para la instrucción de la proporcionalidad (p. 483). Si bien las primeras tareas suponen una actividad matemática propia de un nivel 0 de algebrización, la actividad matemática realizada en la última tarea instruccional se considera de nivel 1 de algebrización.

3.2. DATOS DE LA INVESTIGACIÓN

Centramos nuestra atención en las respuestas dadas por el grupo de alumnos a una de las tareas de evaluación (las pulseras), analizadas según los tipos de objetos y procesos que se ponen en juego. Este análisis nos permite clasificar las respuestas según los niveles de razonamiento algebraico que manifiestan, distinguiendo características proto-algebraicas en sus producciones.

Irene ha hecho 6 pulseras iguales con 48 piedrecitas de colores.

3.3. ANÁLISIS DE LOS DATOS

Para evaluar el grado de aprendizaje logrado por los estudiantes se definieron dos variables cuantitativas y variables cualitativas. Las variables cuantitativas refieren al grado de corrección de la respuesta y al grado de corrección de las explicaciones dadas por los estudiantes en las tareas de evaluación. En ambos casos se ha asignado una puntuación de 0, 1, o 2 puntos si la respuesta es incorrecta (o el alumno no responde), parcialmente correcta o correcta, respectivamente. Las variables cualitativas refieren, con base a nuestro marco teórico, a la presencia en la práctica matemática de determinados tipos de objetos, como son, argumentos, tipos de lenguaje y representaciones, así como el grado de generalidad logrado:

4.1. GRADO DE CORRECCIÓN

En la tabla 1 se resumen los resultados obtenidos por los estudiantes respecto al grado de corrección de sus soluciones. Sólo dos alumnos no explicaron su respuesta en el ítem a (E18 y E20), dos no lo hicieron en los ítems b y c (E15 y E21 en ambas) y cuatro alumnos dejaron en blanco el apartado e (E6, E12, E18 y E21). Los ítems a) y b) incluyen dos columnas; la primera de ellas hace referencia al nivel de pertinencia de la respuesta y la segunda al grado de corrección de la justificación. Los apartados c) y e) responden a prácticas argumentativas, de manera que la pertinencia de la respuesta es la de su justificación. El apartado d) requiere una práctica operativa y no se pide a los alumnos que justifiquen su respuesta. En tal caso, la corrección de la misma corresponde únicamente a la pertinencia de la solución.

Todos los estudiantes respondieron de manera correcta a la primera pregunta: ¿Cuántas piedrecitas necesita Irene para hacer una pulsera? Salvo dos alumnos que no justificaron de ninguna manera su respuesta y uno que lo hizo de forma incorrecta (lo que puntúa en ambos casos como 0 a efectos de valoración), 17 de los 23 alumnos (73,91%) explicaron de forma parcialmente correcta la solución que ofrecían (véase la figura 1) y tres de ellos podemos considerar que lo hicieron de forma correcta (véase la figura 2).

Figura 1 Explicación parcialmente correcta de E7 al ítem a) 

Figura 2 Explicación correcta dada por E10 al ítem a) 

El tipo de explicación más frecuente (52% de los casos) incluye la división como argumento sin identificar el significado de ésta.

En la segunda pregunta: ¿Y para hacer 10 pulseras?, sólo un estudiante no respondió de manera correcta a la tarea. En cuanto a la justificación presentada, 15 alumnos lo hicieron de forma parcialmente correcta o incompleta y 5 alumnos lo hicieron de manera correcta. Las justificaciones ofrecidas en su mayoría hacían referencia a “multiplicar por 8”, sin embargo, seis alumnos, basaron su explicación en el valor unitario, es decir, el número de piedrecitas necesarias para elaborar una pulsera, como factor para conocer el número de piedras necesarias en el caso de querer fabricar 10 pulseras.

Consideramos una explicación correcta, cuando en la secuencia argumentativa se reconoce de forma explícita la relación de proporcionalidad, frecuentemente por medio del valor unitario (cantidad de piedras precisas para hacer una pulsera). Tal es el caso de la justificación dada por un alumno recogida en la figura 3.

Figura 3 Respuesta de E5 correcta al apartado b) (identifica el valor unitario) 

La próxima tarea perseguía que los alumnos generalizasen la situación anterior a una cantidad de pulseras dada en términos del número de amigas de Irene. Debían explicar a Irene cuántas piedrecitas necesitaría para hacer una pulsera para cada una de sus amigas. En tal caso, el número de amigas de Irene actúa como parámetro. En su mayoría, trece alumnos, de los veintiuno que respondieron a este apartado, recurrieron al significado de la constante de proporcionalidad en su respuesta. Cinco en cambio desarrollaron una explicación que hemos considerado parcialmente correcta, de tendencia aritmética y tan sólo tres, recurrieron a un caso particular en su explicación.

En la figura 4, se muestra la solución dada por una alumna en la que establece un proceso de generalización verbal con el que se precisa la correspondencia o regla general que permite determinar el número de piedras necesarias, a partir del número de piedras usadas para hacer una pulsera.

Figura 4 Respuesta de E1 basada en el significado del valor unitario. 

En los siguientes ítems de la tarea, se pone en juego el carácter simétrico de la relación de proporcionalidad, de forma que ahora el dato es el número de piedrecitas y el valor faltante viene dado por la cantidad de pulseras que se pueden elaborar.

Veinte alumnos respondieron de forma correcta a la pregunta ¿Cuántas pulseras iguales puede hacer Irene con 72 piedrecitas? Además, dos alumnos, lo hicieron de forma incompleta al incluir la operación, pero no expresar mediante ningún registro la solución. El otro estudiante no respondió a la tarea. Es de mencionar que, aunque en el enunciado no se les pedía expresamente que explicaran cómo habían obtenido el resultado, diez alumnos lo hicieron de forma natural.

En la última tarea: si sabes el número de piedrecitas que tiene Irene ¿cómo le explicarías cuántas pulseras puede hacer?, dieciséis alumnos respondieron de forma parcial o totalmente correcta, tres lo hicieron de forma incorrecta y cuatro no contestaron.

En la figura 5, aparece la respuesta de un alumno a esta tarea, en la que reconoce la propiedad simétrica de la relación de proporcionalidad entre las magnitudes número de piedras y número de pulseras.

Figura 5 Respuesta de E21 al ítem e) 

Se han considerado parcialmente correctas (un total de diez respuestas) aquellas descripciones similares a “dividiendo por 8”. Las respuestas incorrectas lo fueron porque adoptaron un valor particular del número de piedras (usualmente 48 o 72) o bien multiplicaron por 8 el número de piedras, no reconociendo así el factor inverso de proporcionalidad.

4.2. ARGUMENTOS, LENGUAJES Y GRADO DE GENERALIDAD

Resumimos en la tabla 2 las frecuencias de los distintos tipos de argumentación en las producciones de los alumnos. Como puede observarse en dicha tabla no aparece el apartado d ya que en dicho ítem no se les requería a los alumnos que explicasen su respuesta.

Vemos que en los ítems a), b) y e) predominan las explicaciones de tendencia aritmética, centradas en la operación (presente en registro numérico o lenguaje natural). Sin embargo, en el ítem c) hay una mayor frecuencia de explicaciones que podemos considerar más formales, en las que se hace evidente la relación de proporcionalidad o el significado del valor unitario.

Además de éstas, dos alumnos (una de cuyas aportaciones se pueden ver en la figura 6) incluyen tablas como justificación a los resultados de los distintos ítems de la tarea.

Figura 6 Justificación tabular de E22 a distintos apartados de la tarea. 

Respecto a los tipos de lenguajes empleados por los alumnos (ver tabla 3) los registros más habituales son el natural y el numérico, si bien en algunas de las respuestas se incluyen diagramas o tablas para comunicar la solución (13,04% en el ítem a), 8,7% en el ítem b, 9,52% en el ítem c), 4,52% en el ítem d y 15,79% en el ítem e). En los ítems a), b) y d), los registros predominantes son el natural y numérico conjuntamente. En cambio, en las tareas de tipo argumentativo (ítems c y e) el registro predominante es el natural de manera exclusiva (alrededor del 80%).

Las figuras 7 y 8 muestran las producciones de dos alumnos a las tareas c) y e), respectivamente, en las que recurren a un lenguaje más simbólico para hacer referencia a las incógnitas o parámetros.

Figura 7 E10 usa el símbolo literal para incógnita 

Figura 8 Uso del símbolo ¿? por E11 para denotar cantidades desconocidas 

El valor unitario, “piedras por pulsera”, es representado por varios alumnos como se percibe en la imagen anterior, a través de la identidad “8 piedrecitas=1pulsera”.

Las tareas a), b) y d) sólo involucran números particulares (objetos con un primer grado de generalidad). Como hemos mencionado, en estos apartados o de manera conjunta a todos ellos, algunos alumnos elaboran tablas (objetos con un segundo grado de generalidad), donde las filas son los números de piedrecitas y los números de pulseras, y el número de columnas es variable.

Responder de manera correcta a los apartados c) y e) requiere un proceso de generalización: expresar la regla para hallar el número de piedrecitas a partir del número de pulseras (ítem c), o el número de pulseras a partir del número de piedrecitas disponibles (ítem e), cuando éstas son variables. En términos de ^{Radford (2003)}, se produce una generalización contextual: los estudiantes objetivan un esquema operacional que actúa sobre objetos abstractos pero conceptual, espacial y temporalmente situados.

Diecinueve alumnos, de veintiuno que respondieron al ítem c), y diecisiete alumnos de diecinueve que respondieron al ítem e), lograron este mayor grado de generalidad en la resolución de la tarea.

Resumimos en la tabla 4 los resultados relativos a los grados de generalidad descritos.

4.3. NIVEL DE ALGEBRIZACIÓN

En el estudio de los niveles de algebrización de la situación de las pulseras, y pensando en el proceso de generalización y las transformaciones implicadas, distinguimos dos partes en la tarea. Por un lado, los ítems a), b) y c) que preguntaban sobre el número de piedrecitas a partir de una cantidad (conocida o desconocida) de pulseras, y por otro lado los ítems d) y e) que preguntaban sobre el número de pulseras a partir de una cantidad (conocida o desconocida) de piedrecitas.

Los objetos que intervienen en las prácticas matemáticas requeridas son números particulares, tablas en algunos casos o bien la clase de posibles soluciones fijado el número de amigas (apartado c) o el número de piedras (ítem e). El lenguaje es natural, numérico o icónico y aunque puedan intervenir símbolos para referirse a datos desconocidos, no se opera con ellos.

Casi todos los alumnos, respondieron a la tarea por medio de reducción a la unidad y la mayoría expresaron la regla general en base a ésta. Cuando se reconoce la generalidad, se hace en lenguaje natural. Así concluimos que la actividad matemática desarrollada por la mayoría de los alumnos (diecinueve de los 23 en la primera parte, y dieciocho de los 23) en la segunda se puede considerar proto-algebraica (nivel 1 de algebrización). Cinco estudiantes tuvieron un nivel de algebrización distinto en la primera parte y la segunda; concretamente, para tres de ellos la actividad de la primera parte fue de nivel 1 de algebrización y nivel 0 (aritmética) en la segunda, y para dos de ellos el tratamiento de la primera parte fue aritmético y en la segunda parte proto-algebraico de nivel 1.

En la siguiente captura (figura 9) se puede ver la diferencia de niveles con que la alumna E9 responde a dos tareas: la actividad en el primer apartado se considera de nivel 0, ya que opera sobre números particulares, en un lenguaje natural y numérico; en el segundo apartado se considera de nivel 1, ya que explicita el criterio para obtener el número de piedras a partir del valor unitario.

Figura 9 Soluciones con niveles de algebrización distinta 

La alumna llega en el ítem e) a una generalización contextual, por medio de la cual es capaz de establecer, verbalmente, una relación funcional entre el número de piedras y el número de pulseras, reconociendo la indeterminación de la primera cantidad.