3.1. Diseño de investigación

Las dimensiones estudiadas son subjetivas para cada profesor y constituyen partes de una realidad que intentamos comprender de forma global. Intentamos describir y comprender formas de concebir el mundo educativo de un profesor particular, sin intentar buscar explicaciones generalizables, ya que no partimos de una realidad objetiva en el mundo educativo, sino de profesores y profesoras con una filosofía de la educación, unos conocimientos, unas metas y actuaciones que son difícilmente observables mediante la experimentación. Podríamos haber usado sólo cuestionarios que valoraran numéricamente las dimensiones estudiadas, pero la idea tan personal de la profesora, como veremos, respecto de los alumnos puede estar sustentada por creencias muy personales. Hemos usado la metodología cualitativa, ya que intentamos adentrarnos en la forma de entender la relación profesor-alumno en cuanto al uso de ayudas y comunicación. La profesora fue elegida de forma intencionada convirtiéndose en participante, y los resultados se han ido creando, en lugar de ser descubiertos, de forma coherente con un paradigma de investigación interpretativo. La razón para elegir el estudio de casos, procede del hecho de que las cuestiones cómo ayudar a los alumnos, cómo y qué exigirles, con qué intención comunicarles y cómo superar dificultades están sustentadas tanto por la “ética personal”, como por la visión de inteligencia de la profesora, y este binomio ética-inteligencia es personal y “único”, como su propia personalidad. Como teníamos interés, no sólo en analizar a la profesora, sino en posibles abstracciones, se trata de un estudio de casos particularista e instrumental, en el sentido de Muñoz-Catalán (2008), o inductivo en términos de Merriam (1998). Nuestro estudio de casos es descriptivo, ya que hacemos una rica y densa descripción de las interacciones que la profesora tiene con sus alumnos, interacciones que generalmente son alumno-profesor-alumno, en lugar de profesor-grupo.

Las fases de la investigación siguieron el siguiente proceso. En reuniones de profesores o cursos de formación del profesorado, pudimos constatar que una cuestión clave para ellos era el esfuerzo de los alumnos y cómo los profesores ayudan a éstos. En una revisión documental no encontramos datos al respecto en cuanto a educación matemática, por lo que decidimos entrar en el escenario y tomar datos mediante la realización de un cuestionario a 10 profesores de Secundaria en activo. El cuestionario constaba de preguntas de escala de valoración (1, 2, 3, 4; 1 poco de acuerdo y 4 muy de acuerdo) y preguntas abiertas, que se clasificaron en tres categorías: sentido de las actividades, sobre actitudes y valores y sobre la evaluación. Para el análisis de este cuestionario nos basamos en una tabla que calificaba las respuestas en aquellas que se sustentan en el fomento de la inteligencia ejecutiva o no la fomentan, y otra intermedia entre ambas, de tal forma que podían constituir un primer instrumento de investigación sobre la idea de ayudar y la dificultad. La profesora Silvia nos pareció una participante idónea, por ser buena informante y porque tanto en el cuestionario como en una posterior entrevista semiestructurada, que nos sirvió para confirmar respuestas o aclarar dudas, se declaraba firmemente convencida de promover la creatividad y autonomía de forma que el alumno supere dificultades inherentes al trabajo creativo más cercano al estilo Ulises. Así cabía la posibilidad de que Silvia representara el papel análogo al de Mike en ^{O’Shea y Leavy (2013)}.

Hecha ya la selección intencionada de Silvia, recogimos información en audio sobre la actuación de ella en 4 clases, de la que analizamos aquí una. Para el análisis y resultados, usamos estos instrumentos:

3.2. El análisis de la clase

El análisis de la clase lo hicimos usando el modelo de ^{Schoenfeld (2000)}, con adaptaciones de los autores. En él delimitamos un gran episodio, la clase entera, que se divide en subepisodios, que a su vez se vuelven a dividir en subepisodios, y así hasta una frase. Los episodios son conjuntos de acciones encadenadas que realiza la profesora, y, según ^{Schoenfeld, Minstrell y Van Zee (2000)}, definidos por dos criterios: que tengan coherencia fenomenológica, y que tengan activada una meta de alto nivel (que vaya más allá de contenidos matemáticos). Algo singular de Silvia era que circulaba por el salón ayudando a los alumnos a resolver las tareas que les había planteado en días anteriores, y en cada grupo ayudaba en una tarea que no necesariamente era la misma que en otro.

Al haber una continua interacción de la profesora con alumnos individualmente al pasar por sus mesas, y que en estas interacciones la profesora podía volver al mismo alumno con el mismo problema, nos llevó a una primera adaptación de ^{Schoenfeld (2000)}. Decidimos así que hubiera un gran episodio que fuera la propia circulación por la clase, dividido en subepisodios, y que cada uno de ellos fueran los problemas planteados que la profesora había mandado para clase o para casa, y que notamos por (p-nº de problema-página del libro). Cada uno se subdivide en subepisodios que corresponden a la interacción de un problema con un alumno (S1, S2, S3…), junto con el intervalo de tiempo en el que sucede. Al hacerlo de esta forma mantenemos los criterios de coherencia fenomenológica (en este caso los contenidos, el mismo problema), y que tiene que estar activada una meta de alto nivel (que el alumno sea activo).

La segunda variación que introducimos se refiere al tipo de comunicación. Antes de explicar cómo hemos etiquetado los tipos de comunicación, exponemos los esquemas de comunicación que observamos en la profesora, lo que nos encontramos en la realidad:

Primer esquema:

Segundo esquema:

En ninguno de los dos casos la profesora induce al alumno a que hable consigo mismo, que hemos llamado habla interior, haciéndose cuestiones que le inciten a resolver por si mismo la cuestión, planteándose si puede usar heurísticos o no, si puede entrar uno u otro conocimiento o si puede gestionar de otra forma las actitudes que presenta ante la dificultad. Es, por tanto, este habla interior, una incitación al uso de la inteligencia ejecutiva.

Podemos encajar estos esquemas en la clasificación de ^{Ribeiro, Monteiro y Carrillo (2009)}, como comunicaciones unidireccionales encadenadas, y en la de ^{Schoenfeld, Minstrell y Van Zee (2000)} la mayoría como IRE encadenados y existiendo también algunas del tipo elicitación socrática. Los IRE son comunicaciones en las que el profesor pregunta, el alumno responde y por último el profesor evalúa la respuesta del alumno y pasa a la siguiente cuestión. En la elicitación socrática hay bastante interacción entre profesor y estudiantes, en la que tanto la sustancia de la pregunta como la dirección provienen del profesor, de modo que éste es capaz de hilvanar las respuestas de los alumnos con las preguntas siguientes del profesor. Ahora bien, al ser la posibilidad de uso del habla interior (o sea, el lenguaje con uno mismo para usar la inteligencia ejecutiva) uno de los puntos importantes que estudiamos, no nos parece apropiada ninguna de las clasificaciones. En ambas se hace hincapié en el tipo de comunicación entre la profesora y el alumno, y sus efectos, mientras que nosotros necesitamos saber qué intención tiene la profesora de provocar la activación de las habilidades ejecutivas. Así necesitamos una clasificación que contemple la posibilidad de activar en el alumno un lenguaje que active su memoria para rescatar conceptos, procedimientos o actitudes que le ayuden a resolver el problema. Por tanto, nos hemos decidido por la clasificación: comunicación que provoca inteligencia computacional y que no necesita usar el habla interior, la que provoca inteligencia computacional con necesidad del habla interior, y, por último, la que necesita inteligencia ejecutiva, que necesariamente implica uso de habla interior. A algunas interacciones entre la profesora y los alumnos del tipo comunicación que provoca inteligencia computacional y no necesita habla interior, le hemos añadido la expresión habla simple, ya que creemos que es bastante sugerente para el lector.

Figura 2 Modelo de Análisis 

3.3. ALGUNAS DE LAS VISIONES DE LA PROFESORA SOBRE LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

La profesora impartía Matemáticas a alumnos de 11 a 13 años. En el Departamento de Matemáticas del centro donde trabaja la profesora, se intenta instruir en resolución de problemas desde principio de curso, dedicando la primera unidad didáctica a conocer actitudes y heurísticos de 3 fases de resolución de problemas que figuran como “tema 0” del libro: Comprensión del problema; Lleva adelante tu estrategia y Comprueba tu solución. Aunque el libro recomienda seguir trabajando estos heurísticos en los siguientes temas, sólo tenemos constancia de que la profesora lo hiciera en el “tema 0”. Hay que mencionar que el currículo vigente cuando la profesora impartió esas clases incluía la resolución de problemas como algo importante, incluso como contenido. Concretamente en la Orden de 10 de agosto de 2007 en la página 51 incluye como primer Núcleo temático la resolución de problemas como núcleo transversal, y en la página 52 expone:

Contenidos relevantes

El alumnado de esta etapa educativa debe conocer y utilizar correctamente estrategias heurísticas de resolución de problemas, basadas, al menos, en cuatro pasos: comprender el enunciado, trazar un plan o estrategia, ejecutar el plan y comprobar la solución en el contexto del problema.

Interacción con otros núcleos temáticos y de actividades

Más que estar relacionado con el resto de núcleos temáticos de matemáticas, la resolución de problemas constituye en sí misma la esencia del aprendizaje que ha de estar presente en todos los núcleos temáticos.

Con respecto al cuestionario y entrevista posterior a él, vemos que sobre sus afirmaciones acerca de la dificultad, ayuda y habla interior se manifiesta muy favorable a promover la inteligencia ejecutiva, sobre todo por su defensa de que el alumno sea creativo y ésta se puede aprender (“… la creatividad es algo que se tiene, yo pienso, y, pero si tú la vas fomentando, pues esa creatividad va creciendo, pero si no, yo creo que llega un momento en que a lo mejor la vas dejando de lado”), por considerar importante la resolución de problemas, por señalar que al alumno se le ayuda de forma que consiga pensar los problemas por sí solo (“con las indicaciones que yo le he dado, que ellos piensen por sí solos”), que debe descubrir (“[a preguntas sobre a qué se refiere cuando habla de madurez y crecimiento]… pues descubrir otra manera de hacer las cosas, antes no se planteaban descubrir la solución”), que aprenda por sí mismo, que hay diferentes formas de afrontar una misma situación (“sirve para su vida [se refiere a un alumno genérico] con vistas a que cuando tengan dificultades, a lo mejor en su vida intenta buscar otros caminos, otras formas de hacer las cosas”), que se sea comprensivo con sus dudas([ante un alumno que sigue manifestando dudas] “…párate, relájate, no pasa nada, con lo que ya te he dicho piensa en eso, deja que pase el tiempo ahora, …llega a tu casa y esta tarde te sientas, lo piensas y lo miras de nuevo con otros ojos a ver si lo ves de otra manera…”), o que debe aprender de los errores (“yo siempre aprendí de los errores, siempre, entonces, si hay un error, se puede transformar”). No nos queda claro si su visión tiende a promover la inteligencia ejecutiva cuando dice que los alumnos “no se deben sentir solos ante la dificultad de un problema”, ante las dudas cuando manifiesta que se lo explica una y otra vez a los alumnos. Ante su visión sobre el habla interior (al preguntarle sobre si cree que los alumnos tienen o usan algún tipo de habla interior al resolver problemas, manifiesta que “ni idea, no lo sé”), sobre la forma de mejorar resolviendo problemas (al preguntarle si un modelo le puede ayudar, manifiesta que “se mejora con esfuerzo, con ganas”, o al preguntarle sobre qué es ayudar, manifiesta que “es estar cerca del alumno en todo momento… que no se vea solo ante la dificultad de un problema…”). En la entrevista sobre el cuestionario ella terminó manifestando, a petición propia, lo siguiente:

Silvia: Lo más importante para mí es querer a los alumnos, desde el primer día, y quererlos con sus virtudes, con sus defectos, con su todo, intentar que ese cariño les ayude a aprender matemáticas, desde ahí, desde el cariño que yo les tengo yo les puedo ayudar, ellos se sienten confiados, se sienten tranquilos,

Resumiendo, podríamos decir, que la profesora parece, por lo visto con los datos recogidos, lo siguiente:

Para resolver las dudas se grabaron varias clases.

4.1. LA IMAGEN DE LA LECCIÓN Y COMO FUE EN REALIDAD

La profesora había dado una clase con este grupo de 1º de ESO a las 8:15 de la mañana, y ahora pretendía continuarla a las 10:15, que es la clase que analizamos. Si en la clase anterior los alumnos trabajaron problemas susceptibles de resolverse con ecuaciones, nada más comenzar Silvia Conde escribió en la pizarra los problemas para esta hora: 27, 28, 30, 31 y 32⁴ de la página 198 del libro de texto que aquí reproducimos.

Problemas para resolver con ecuaciones

Así que la imagen de la lección, según nos comentó en una entrevista previa constaba principalmente de la siguiente secuencia de acciones:

En cuanto a las dificultades que ella imaginaba estaban las de resolver ecuaciones a la hora de reducir expresiones y transponer términos, y a la hora de plantear los problemas mediante ecuaciones. No nos especificó qué tipo de dificultades habría específicamente con cada alumno. También pensaba que habría alumnos que no se esforzarían lo suficiente, y que ella tendría que incitarlos a trabajar. Nos comentó que ella consideraba importante la comprobación de las soluciones y fomentar la autonomía de los alumnos.

Tras terminar la clase le preguntamos si llevó adelante las secuencias de acciones que tenía previsto, y si las dificultades eran las esperadas. También le preguntamos si los positivos que puso al principio de la clase, sobre ecuaciones mandadas para casa, si los ponía con observar que estaban bien.

Lo que ocurrió en realidad, se entiende mejor con la distribución de los alumnos en el aula, que notamos por S1, S2…S24.

Figura 3 Distribución de los alumnos en la clase. 

La profesora circuló por el aula interactuando con cada alumno, siendo esta interactuación igual ante un mismo problema, sin influir el alumno en cuestión. La ayuda a los alumnos que la piden hace que los alumnos trabajen, aunque nunca comprueban. La mayoría de esquemas de comunicación usados por Silvia Conde fueron del tipo comunicación que provoca inteligencia computacional y que no necesita usar el habla interior. Vemos aquí una diferencia entre la imagen de la lección y lo que ocurrió en realidad.

Para al análisis desgranado en episodios y subepisodios, exponemos las metas que observamos en clase:

A continuación, figura la división de la clase en episodios y subepisodios.

4.3. RESULTADOS

La triangulación la llevamos a cabo del siguiente modo: tras recabar los datos por el investigador 1, éste pasaba un informe al investigador 2, que tras 90% de consenso se daba por válido. A continuación, se exponían los resultados ante el grupo de investigación, con expertos, que servía para matizar resultados o desecharlos.

Una apreciación global que tenemos en cuanto a la profesora es su gran empatía con los alumnos, lo que hace que ellos muestren una gran confianza en acudir a ella para que les ayude, hecho que no hemos percibido con otros profesores a cuyas clases hemos asistido.

Otra apreciación global que nos sugiere la clase en cuanto a la metodología, es que es como nos esperábamos, como nos decía la encuesta y la entrevista que iba a suceder, intentando ayudar acompañándolos, animándolos, minimizando la importancia del error si no salía el problema. En cambio, nos extrañó al principio que los alumnos pudieran levantarse, hacer mucho ruido, y algunos no trabajar, usando como plan de acción para solventarlo sólo las buenas maneras, como nos comentó en una entrevista posterior. Esto, sin duda, nos extraña menos una vez que hemos entrado a fondo en el mundo personal de Silvia, y hemos comprendido lo que es para ella ayudar.

En cuanto a la finalidad de la asignatura, nos parece que da importancia a la resolución de problemas (y por tanto parece que busca fomentar las habilidades ejecutivas), ya que en las tareas de la clase ha propuesto varios problemas, susceptibles todos de resolverse con ecuaciones. Otra cuestión es que intente seguir instruyendo el modelo de resolución de problemas tal y como prescribe el currículo en cuanto al modelo de cuatro pasos y a su interacción con el núcleo temático de Álgebra. Un ejemplo donde esto se pone de manifiesto, es en el episodio [1.2.9] que se refiere a todas las interacciones con el problema (p-30-198). Este es un problema que se puede resolver haciendo un gráfico (el tema 0 de resolución de problemas que ella trabajó al principio de curso contiene uno igual), o con fracciones (el tema 7 de fracciones tiene algunos muy parecidos, como el 30 o el 3º de la página 141 del libro de texto), o también con una particularización organizada y sistemática o buscando un problema familiar. En la entrevista final, concretamente en las preguntas 1, 2 y 3, nos aseguró que había hecho y corregido los problemas de las páginas anteriores. En los subepisodios [1.2.9.1], [1.2.9.2], [1.2.9.3] y [1.2.9.6] no contempla ninguna de estas alternativas, sino que el objetivo de resolver los problemas con ecuaciones está por encima del de promover las habilidades ejecutivas. Exponemos como ejemplos los subepisodios [1.2.9.1], [1.2.9.3], [1.2.9.4] en los que interacciona con el alumno S4.

La profesora usa aproximadamente 11 minutos en intentar callar a los alumnos, poner positivos a algunos alumnos como S4 (episodio [1.1]), anima a los alumnos a trabajar y les anuncia la tarea, que será resolver problemas que están en el libro de texto al final del tema de ecuaciones. La alumna S4, tras estos 11 minutos, trabaja algunos problemas como el problema (p-28-198), y le solicita ayuda a la profesora hacia los 18:30. Lo resuelve y se enfrasca con el problema (p-30-198), pidiéndole ayuda hacia el minuto 28:

La alumna S4 la llama. Le muestra en su papel el planteamiento del problema (p-30-198) que viene en el libro:

En la línea 2 vemos como intenta recordarle el algoritmo para resolver ecuaciones con denominadores, y activa para ello las metas M2 y M5. Entre las líneas 4 a 6, al decirle claramente que pasa multiplicando, lo cual ella cree que va a tranquilizar a la alumna y hace que no se sienta sola. La comunicación de la profesora con la alumna es una comunicación que provoca inteligencia computacional, sin necesidad de habla interior. Creemos que ella consigue que los alumnos que piden ayuda se esfuercen por aprender el método de planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado activando las metas M2 y M5. También nos parece que se aleja de los que prescribe el currículo en cuanto a resolución de problemas ya que se le suprime la dificultad con la ayuda que le da, y que podría haberse apoyado en otro tipo de comunicación como: ¿qué hiciste en situaciones parecidas? o ¿es malo que estés atascada? Creemos que esto la hubiera acercado más a fomentar el esfuerzo creador del estilo Ulises.

La profesora sigue circulando por la clase y le reclama la ayuda S4, otra vez, hacia el minuto 32:30:

La profesora viene de ayudar a S1 con el mismo problema (p-30-198), comentándole al final que éste era muy complicado, y que no tendría que haberlo puesto. En la misma posición que atiende a S1 atiende a S4.

En la línea 1, cuando escribe la solución x=89, la ayuda de la profesora va encaminada a que repita el procedimiento de forma correcta. Activa aquí las metas M2 y M5. Vemos que la profesora ha conseguido que la alumna mantenga interés por aprender a resolver el problema, a pesar de las dificultades o errores. Otra cuestión es cómo ha gestionado estas dificultades o errores pues la alumna no ha tenido que comprobar si 89 es el número buscado porque la ayuda es darle el siguiente paso del proceso correctamente. En cuanto a la comunicación es aquella que provoca inteligencia computacional sin que provoque habla interior, como por ejemplo, ¿Cumple 89 lo que queremos? O ¿Es malo equivocarse en Matemáticas? Por lo anterior, creemos que está lejos de promover el modelo de 4 pasos que prescribe el currículo y así se aleja de promover el esfuerzo creador del estilo Ulises.

La profesora sigue circulando por la clase ayudando a otros compañeros, con resolver este problema u otros, y al hacia el minuto 40, tras llamarla S4, se dirige a ella otra vez:

La alumna le muestra la resolución de la ecuación, con un paso más desde donde se quedó en el subepisodio anterior:

La alumna en la línea 1 quiere que la profesora le diga cómo seguir, a lo que la profesora le responde rescatándole de la memoria el procedimiento para resolver ecuaciones (activa las metas M2 y M5), pues cree que ayuda más a la alumna sin que esta llegue a sentirse insegura y por eso le suprime la dificultad. La profesora ha conseguido que esta alumna mantenga su interés por aprender a resolver el problema y llegar hasta el final. Como en los Análisis anteriores se aleja de la prescripción del currículo de que el alumno utilice estrategias heurísticas en cuatro pasos, con incitaciones a la comprobación o con preguntas. para cuando esté atascada, del tipo ¿Qué haces para resolver las del primer grado? Por lo anterior pensamos que está más cerca de promover el estilo Sísifo que el estilo Ulises.

La dificultad que aparece en este subepisodio, podría analizarse con ^{Papini (2003)}, cuando afirma que:

La aparición de estas dificultades puede tener relación… pero también, con fenómenos de tipo didáctico como suele ser el excesivo énfasis puesto, en las clases de matemática, en la mecanización del trabajo algebraico en desmedro de un uso modelizador de estas herramientas (p.45).

El análisis que hemos hecho de los tres subepisodios se confirman en el resto de subepisodios [1.2.n] donde ella actúa siempre de la misma forma. Le pedimos a la profesora el examen de este tema, y por las preguntas que ponía, resolver ecuaciones y un problema susceptible de resolverse con ecuaciones y la forma de puntuarlo, nos confirmó se valoraba el algoritmo. Tras analizar estas dimensiones creemos que el tipo de esfuerzo que fomenta no tiende a ser un esfuerzo creador. En las dos clases siguientes que analizamos a Silvia Conde, que fueron de Geometría, nos confirmaron los resultados, tanto a los dos investigadores como a los expertos.

A los alumnos de esta clase se les planteó el mismo problema en la prueba inicial del curso siguiente, unos 4 meses más tarde, obteniendo unos esquemas de resolución muy superficiales, con algunos planteamientos que parecían decirnos que el alumno intuía que se podía resolver con ecuaciones, pero sin llegar a plantearla bien y no resolviéndola correctamente.